2017年数学中考专题《存在性问题》
初中数学常见的存在性问题(答案附后)
1. ( 2017·怀化)如图，在菱形 ABCD 中， ABC 120, AB 10 cm，点 P 是这个菱形内 部或边上的一点.若以 P, B, C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P, A( P, A 两点不重合) 两点间的最短距离为 m.
2. ( 2017· 内江)如图， 已知直线 l1 // l2 ，l1 , l2 之间的距离为 8， 点 P 到直线 l1 的距离为 6.点 Q 到直线 l2 的距离为 4, PQ 4 30 ，在直线 l1 上有一动点 A ，直线 l2 上有一动点 B ,满足
2 5 2 ; ④ 当 线 段 DG 最 小 时 ， BCG 的 面 积 S 8
有 .(填序号)
8 5 ，其中正确的命题 5
4. ( 2017 · 烟 台 ) 如 图 ， 菱 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC, BD 相 交 于 点 O, AC 12cm ，
BD 16 cm， 动点 N 从点 D 出发， 沿线段 DB 以 2 cm/s 的速度向点 B 运动， 同时动点 M 从点 B 出发，沿线段 BA 以 1 cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点停止运动时另一 个动点也随之停止.设运动时间为 t (s)( t 0 )，以点 M 为圆心， MB 长为半径的⊙ M 与 射线 BA ，线段 BD 分别交于点 E 、 F ，连接 EN . (l)求 BF 的长(用含有 t 的代数式表示)，并求出 t 的取值范围; (2)当 t 为何值时，线段 EN 与⊙ M 相切?
1 SADE ，求此时抛物线的 2
8. (2017·西宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形( OABC 的顶点 A, C 分别在 x 轴， y 轴的 正半轴上， 且 OA 4, OC 3 ， 若抛物线经过 O, A 两点， 且顶点在 BC 边上， 对称轴交 BE 于点 F 点 D, E 的坐标分别为(3,0) , (0,1). (1)求抛物线的解析式; (2)猜想 EBD 的形状并加以证明; (3)点 M 在对称轴右侧的抛物线上，点 N 在 x 轴上，请问是否存在以点 A, F , M , N 为顶 点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标;若不存在，请 说明理由.
中考数学专题：直角三角形存在性问题
坐标为
3 2
,
0
．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~
【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点 A、B 、C 坐标； （2）表示线段 AB 、AC、BC； （3）分类讨论 ①AB²+AC²=BC²、②AB ²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解．
垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出 P 点坐标．
设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
3 2
，
可得： 1 m2 m 3 1 ．
2
2
解得： m1 1 2 ， m2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2,1 、 1 2, 1 、 1 6,1 ．
2
2
若
1 2
m2
m
3 2
m
1 ，解得： m1
5 ， m2 5 （舍）．
若
1 2
m2
m
3 2
m
1 ，解得：
m1
2
5 ， m2 2
5 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5 、 2 5,1 5 ．
y
D AO
C
M Bx
P
y
D O
A
P
Q
C Bx
Q
N
对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！ 也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键． 其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即 可．
中考数学存在性问题透视
一
次 函 数 ｙ ‘ ＋ 的 图 象 与 轴 交 于 点 Ａ、 点 曰 ＝ ＋ ３
（ 曰 的 正 半 轴 上 ） 与 ｙ轴 交 于 点 Ｃ。 顶 点 在 轴 。 其 点 为 Ｄ。 直 线 Ｄ Ｃ的 函 数 关 系 式 为 ｙ ｈ ＋ 又 ＝ ３，
ｔｎ ａ
’
一
／ｘ ’ 得ｆ ， ２由 意 点 ｙ－ － ＿３ 或ｆ 题 得， Ｐ 一，
●
例 １ （０ ５ 广 东 茂 名 市 ） 图 １ 已 知 二 ２０ 年 如 ．
（ ）设 抛 物 线 Ｃ 的顶 点 为 ， ２ ． 抛 物 线 Ｃ 与 分 别 交 于 Ｃ、 ． 轴 Ｄ两 点 （ Ｃ 点 Ｄ的 左 侧 ） 顶 点 为 Ⅳ， 点 在 ， 四 边形 Ｍ Ｎ Ｄ Ａ的 面 积 为 Ｓ， 点 Ａ、 Ｄ 若 点 同 时 以 每 秒 １ 单 位 的 速 度 沿 水 个 平 方 向 分 别 向 右 、 左 运 动 ； 此 向 与 ； 圈２ 同 时 ． 、 Ⅳ同 时 以 每 秒 ２ 单 点 点 个 位 的速 度沿 竖直 方 向分别 向下 、向上 运动 。 直 到 点 Ａ与 点 Ｄ重 合 为 止 ．求 出 四 边 形 ＭＤ Ａ的 面 Ｎ 积Ｓ 运 动 时 间 ￡ 间 的 关 系 式 ． 写 出 自变 量 ｔ 与 之 并 的取值 范 围 ： （ ） ｔ 何 值 时 ， 边 形 ＭＤ Ａ的 面 积 Ｓ ３ 当 为 四 Ｎ 有 最大值 ． 求 出此最 大值 ： 并 （ ） 运 动 过 程 中 ， 边 形 ＭＤ Ａ能 否 形 成 ４在 四 Ｎ 矩 形 ？若 能 ， 出此 时 ￡ 值 ； 不 能 ， 说 明理 求 的 若 请 由． 解 ： １ 点 Ａ （ ４， ） 点 曰（ ２， ） 点 Ｅ（ ８ （） ＿ ０ ， 一 ０ ， ０， ） 关 于 原 点 的 对 称 点 分 别 为 Ｄ （ ０） Ｃ（ ０） Ｆ ４， ， ２， ，
中考数学专题复习——存在性问题
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图（），当、 分别移动到边、的延 长线上时，连接与， （）中的结论还成立 吗？（直接回答“是” 或“否”，不需要证 明）
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图当、分别 在、的延长线上移 动时，连接与，（） 中的结论还成立吗？ 请你说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图，当、分别 在边、上移动时，连 接和交于点，由于点、 的移动，使得点也随 之运动，请你画出点 的运动路径草图.若， 试求出线段的最小值.
小结
说说看：你有哪些收获？
.动态问题通常要设想整个运动过程，找到并记下 每一个特殊的位置；
.注意考察图形运动经过的某些特殊点，图形变化 而成的特殊形状；
A'
活动一：我自信，我能行
.如图，矩形中，点在边上，将矩形沿 直线翻折，点恰好落在边上的点处. 若，，则的长为.
A
D
E
BF
C
活动一：我自信，我能行
、如图，正方形的边长为，点在边上
且超越自我
正方形中，动点、分别从、两点 同时出发，以相同的速度在直线、 上运动.
.把整个运动过程分解成若干个小过程，逐一考察， 最后再综合考虑。
我们一直在努力， 我们会一直努力！
活动一：我自信，我能行
．如图，将周长为的△沿平移一个单 位得到△，则四边形的周长为( )
．
A
D
B
E
C
F
活动一：我自信，我能行
如图，一块含有角的直角三角形，在水平桌面上 饶点按顺时针方向旋转到’’’的位置.若的长为， 那么丁点从开始到结束经过的路径长为( )
中考数学专题复习教案-专题四 存在性问题(2)
1专题四 存在性问题(2)教学目标：通过复习,查缺补漏,发展学生直观想象、逻辑推理能力,提高综合应试水平. 复习重点：四边形的存在性复习策略：以题带知识点,基础过关,变式提升,分层要求,配套课件 教学过程：例1.在平面直角坐标系中,以A (,0),B (2,0),C (0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( D ) A.(3,1)B.(4-,1)C.(1,1-)D.(3-,1)变式1.已知A ,B ,C 三点不在同一条直线上,则以这三点为顶点的平行四边形共有 3个. 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点A (1-,0),B (3,0),C (0,3). (1)求二次函数的解析式；(2)若在x 轴上有一动点M ,在二次函数2y ax bx c =++的图象上有一动点N ,则M 、N 、B 、C 四点是否能构成平行四边形?若存在,请求出所有适合的点M 的坐标；若不存在,请说明理由. 解:(1)223y x x =-++；(2)设M (t ,0),根据题意,得能构成平行四边形时点N 的坐标有三种可能:分别是(3t -,3),(3t -,3),(3t +,3-) ∵点N 在抛物线223y x x =-++上∴把(3t -,3)代入得,2(3)2(3)33t t --+-+= 解得1t =或3t =(点M 与点B 重合,舍去) ∴M (1,0)同理得M (5,0),M (27-+,0)或M (27--,0)∴所求点M 的坐标为(1,0),(5,0),(27-+,0),(27--,0).例2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,A ,B ,C 分别为坐标轴上的三个点,且1OA =,3OB =,4OC =.(1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式；(2)是否存在一点P ,使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；解:(1)239344y x x =--+；(2)(5,3).A BCxy xyA BCO2变式1.如图,抛物线2y ax bx c =++经过△ABC 的三个顶点,与y 轴相交于(0,94),点A 坐标为(1-,2),点B是点A 关于y 轴的对称点,点C 在x 轴的正半轴上. (1)求抛物线的函数解析式；(2)点F 为线段AC 上一动点,过F 作FE ⊥x 轴,FG ⊥y 轴,垂足分别为E 、G ,当四边形OEFG 为正方形时,求出F 点的坐标. 解:(1)29144y x =-+；(2)①当点F 在第一象限时,F (1,1)；②当点F 在第二象限时,同理可得F (3-,3) 此时点F 不在线段AC 上,故舍去 综上所述,所求点F 的坐标为(1,1).变式2.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=,6AC =,8BC =,动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动,过点P 作PD ∥BC ,交AB 于点D ,连接PQ 分别从点A ,C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t 秒(0t ≥).(1)直接用含t 的代数式分别表示:QB =82t -,PD =43t ；(2)是否存在t 的值,使四边形PDBQ 为菱形?若存在,求出t 的值；若不存在,说明理由.并探究如何改变Q 的速度(匀速运动),使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形,求点Q 的速度. 解：不存在理由:平行四边形PDBQ 不能为菱形 设点Q 的速度为每秒m 个单位长度 则8BQ mt =-,43PD t =,5103BD t =-要使四边形PDBQ 为菱形,则PD BD BQ == 当PD BD =时,541033t t =-,解得103t = 当PD BQ =时,101048333m ⨯=-,解得1615m = ∴当点Q 的速度为每秒1615个单位长度时,经过103秒,四边形PDBQ 为菱形.作业布置：配套练习专题4 选做题： 教学反思：CB DQABC xyO。
2017年中考数学复习 初中数学存在性问题专题课件 (共28张PPT)
❖ 分析：
❖ 平行四边形中有两个定 点E、C，和两个动点M、N， 为了不使情况遗漏，需按 EC在平行四边形中的“角 色”分类讨论；
❖ 然后，求M、N坐标时， 充分运用平行四边形在坐标 系中的性质求解，关注与 △OCE全等的△，还有线段
比： OE 3 OC 4
❖ 简解：
（1）CE为平行四边 形的对角线时，其 中点P为平行四边 形中心，点M与抛 物线的顶点重合， 点N与M 关于点P 对称，
刘 xx,中 共 党 员 ,西南 大学地 理科学 学院2005级 地 理科学 专业本 科学生 。在06-07年 度 曾 担 任 地 理科学 学院05级 地理 科学二 班团支 部书记 ,现任地 理科学 学院05级 本科 学 生 党 支 部 副书记 ,该同学 自入校 以来,从 各方面 严格要 求自己 ,注重 综合素 质的提 高 ,在 思 想 、 学习、 工作等 各方面 有较为 突出的 表现,在 团学工 作方面表现更为突出 ,此 外 ,在 校 期 间该同 学还曾 参加各 项文体 活动和 社会实 践活动 并获得 多项荣 誉。 在 思 想 上 ,积 极上进 ,热爱社 会主义 祖国,拥 护中 国共产 党的领 导,关心 国是,关 注身边 小 事 ,在 担 任 学院05级 本科 学生党 支部副 书记期 间,该同 学积极 配合支部书记开展工 作 ,为 支 部 建 设和党 员培养 献计献 策,并且 做好与 同学的 沟通交 流,鼓 励和培 养更多 的 优 秀 青 年 学生加 入党组 织,同时 ,作为学 生党员 ,以身 作则,积 极发挥 先锋模 范作用 , 在 工 作 、 学 习、生 活中,模 范带头 、乐于 奉献,受 到一致 好评。 此外,该 同学 注重政 治 理 论 学 习 和思想 觉悟提 高,不断 加强理 论学习 ,曾参加 “八荣 八耻” 知识竞 赛,并
中考数学复习考点知识讲解与练习09 存在性问题
中考数学复习考点知识讲解与练习专题09 存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题知识面广，综合性强，构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，存在性问题分为肯定型和否定型，，并具有较强的探索性，解题上分为代数方面的存在性问题，如根的存在性、最值的存在性、点的存在性等，思路是：假设存在-推理论证-得出结论。
运用数形结合、分类讨论等数学思想，本中考数学复习考点知识讲解与练习专题眼于平面直角坐标系下的几何存在性问题，通过本中考数学复习考点知识讲解与练习专题的巩固训练，对于其他函数和几何中的存在性的问题有抛砖引玉的作用。
一、填空题1．在平面坐标系中，已知线段AB，且A、B的坐标分别A（2，4），B（5，4），点C 为线段AB的中点．（1）线段AB与x轴的位置关系是______，AB=______，点C的坐标为______；（2）在y轴上是否存在点P，使得三角形PAC面积为6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由二、解答题2．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(0，1)(2，0)(2，1.5)，(1)求三角形ABC 的面积．(2)如果在第二象限内有一点P (a ，试用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，有三点()()(),0,,3,,0A a B b C c ，且满足：()2640a b c -++-=（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）已知，在y 轴上有一点30,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在坐标轴上是否存在一点P ，使△ABP 和△ABC 的面积相等？若存在，求出P 点坐标．若不存在，请说明理由．（C 点除外）4．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A 、C 坐标分别为（﹣8，4）、（2，﹣8），且AD ∥x 轴，交y 轴于M 点，AB 交x 轴于N ．（1）求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积；（2）一动点P 从A 出发（不与A 点重合），以12个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动，在P 点运动过程中，连接MP 、OP ，请直接写出∠AMP 、∠MPO 、∠PON 之间的数量关系；（3）是否存在某一时刻t ，使三角形AMP 的面积等于长方形面积的13？若存在，求t 的值并求此时点P 的坐标；若不存在请说明理由．5．如图，在长方形ABCD 中，边8AB =，4BC =，以点O 为原点，OA ，OC 所在的直线为y 轴和x 轴，建立直角坐标系.（1）点A 的坐标为()0,4，则B 点坐标为______，C 点坐标为______；（2）当点P 从C 出发，以2单位/秒的速度沿CO 方向移动（不过O 点），Q 从原点O 出发以1单位/秒的速度沿OA 方向移动（不过A 点），P ，Q 同时出发，在移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围.6．已知，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(),a a --，(),0b 且20b -=．（1）求a ，b 的值；（2）在坐标轴上是否存在点C ，使三角形ABC 的面积是8？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,1，点B 坐标为()1,3-，y 轴上是否存在一点P ，使ABP △为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0A -，()0,3B ． ()1求AB 的长；()2过点B 作BC AB ⊥，交轴于点C ，求点C 的坐标；()3在()2的条件下，如果P 、Q 分别是AB 和AC 上的动点，连接PQ ，设AP CQ x ==，问是否存在这样的使得APQ 与ABC 相似？若存在，请求出的x 值；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （-2，1），且|a+2b ＋1|+(3a-4b+13)2＝0．（1）求a ，b 的值；（2）在y 轴上存在一点D ，使得△COD 的面积是△ABC 面积的两倍，求出点D 的坐标．（3）在x 轴上是否存在这样的点，存在请直接写出点D 的坐标，不存在请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (0, 3)A ，(5,0)B ，(5,4)C 三点．（1）在平面直角坐标中画出ABC ∆，求ABC ∆的面积（2）在x 轴上是否存在一点M 使得BCM ∆的面积等于ABC ∆的面积？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．（3）如果在第二象限内有一点(, 1)P a ，用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（4）且四边形ABOP 的面积是ABC ∆的面积的三倍，是否存在点P ，若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知在平面直角坐标系中，ABO 的面积为8，OA OB =，12BC =，点P 的坐标是(,6)a ．（1）求ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标；（2）若点P 坐标为(1,6)，连接PA ，PB ，求PAB △的面积；（3）是否存在点P ，使PAB △的面积等于ABC 的面积？如果存在，请求出点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点A （4、0）、B （3，4），C （0，2）．（1）求ABCO S 四边形；（求四边形ABCO 的面积）（2）在x 轴上是否存在一点P ，使4APB S ∆=，（三角形APB 的面积），若存在，请直接写出点P 坐标．13．如图，已知在平面直角坐标系中，A （0，﹣1）、B （﹣2，0）C （4，0）（1）求△ABC 的面积；（2）在y 轴上是否存在一个点D ，使得△ABD 为等腰三角形，若存在，求出点D 坐标；若不存，说明理由．14．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，.若点是边上的一个动点（与点不重合），过点作交于点. （1）求点的坐标；（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长； （3）在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由.15．如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上，8ABO S =△，OA OB =，10BC =，点P 的坐标是(6)a -，，（1）求ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标；（2）连接PA 、PB ，并用含字母a 的式子表示PAB △的面积（2a ≠）；（3）在（2）问的条件下，是否存在点P ，使PAB △的面积等于ABC 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，A （-1,0），B （3,0），C （0,2），CD ∥x 轴，CD =AB ．(1)求点D 的坐标（2）四边形OCDB 的面积OCDB S 四边形(3)在y 轴上是否存在一点P ，使PAB S ∆＝OCDB 13S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，已知(0,)A a 、(,0)B b 、(,)C b c ，其中a ，b ，c 满足关22(3)0,(4)0b c -=-≤．如果在平面内有一点(,1)P m ．（1）a =________；b =________；c =________；（2）是否存在m ，使得以A ，O ，B ，P 四点构成的四边形的面积与ABC 的面积相等．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接,AP BP ，请探究,,OAP PBC APB ∠∠∠之间的数量关系．18．如图，在平面直角坐标系中，点AB 、的坐标分别为()()1,03,0-、，现同时先将点A B 、分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到AB 、的对应点CD 、，连接AC BD CD 、、．（1）直接写出点C D 、的坐标；（2）在x 轴上是否存在一点F ，使得三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A C ，分别在y 轴，x 轴的正半轴上，顶点D 与原点重合，顶点B 的坐标为()34，．将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC边上的点G 处，E F ，分别在AD AB ，上，且点F 的横坐标为2．（1）求点G 的坐标；（2）求EFG 的面积；（3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M N F G ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-，CD//x 轴，CD=AB ．(1)求点D 的坐标：(2)四边形OCDB 的面积S 四边形OCDB ；(3)在y 轴上是否存在点P ，使S △PAB =S 四边形OCDB ；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.。
中考数学压轴题专题1《直角三角形的存在性问题》
中考数学压轴题专题一《直角三角形的存在性问题》【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c 与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y 轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m≠0）与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考）如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使P A+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2 ．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．【典例指引】类型一 【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（1172+，﹣2）117-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【解析】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P 点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩，∴13 kb=-⎧⎨=-⎩，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得，即P，﹣2）或P，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（1172+，﹣2）或（1172-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）372；（3）P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o由222AC PC PA +=，列出方程即可解决．②当90CAP ∠=︒时，由222AC PA PC +=， 列出方程即可解决．③当90APC ∠=︒ 时，由222PA PC AC +=，列出方程即可； 试题解析：(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++，得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+ (2)如图1中，∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ，--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--，，∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0， ∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2 (3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=， ∴22222(52)2(5)3m m ++-=+， 解得m =7， ∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=， ∴22222(52)32(5)m m ++=+-， 解得m =−3， ∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=， ∴2222232(5)(52)m m ，+++-= 解得m =6或−1， ∴P 3(−2,6),P 4(−2,−1)，综上所述,满足条件的点P 坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三 【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －2的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等．(1)求实数a ，b 的值；(2)如图①，动点E ，F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．【解析】试题分析：（1）根据抛物线图象经过点A 以及“当x =﹣2和x =5时二次函数的函数值y 相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．（2）①首先由抛物线解析式能得到点A 、B 、C 三点的坐标，则线段OA 、OB 、OC 的长可求，进一步能得出AB 、BC 、AC 的长；首先用t 表示出线段AD 、AE 、AF （即DF ）的长，则根据AE 、EF 、OA 、OC 的长以及公共角∠OAC 能判定△AEF 、△AOC 相似，那么△AEF 也是一个直角三角形，及∠AEF 是直角；若△DCF 是直角，可分成三种情况讨论：i ）点C 为直角顶点，由于△ABC 恰好是直角三角形，且以点C 为直角顶点，所以此时点B 、D 重合，由此得到AD 的长，进而求出t 的值；ii ）点D 为直角顶点，此时∠CDB 与∠CBD 恰好是等角的余角，由此可证得OB =OD ，再得到AD 的长后可求出t 的值；iii ）点F 为直角顶点，当点F 在线段AC 上时，∠DFC 是锐角，而点F 在射线AC 的延长线上时，∠DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意． ②此题需要分三种情况讨论：i ）当点E 在点A 与线段AB 中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF ；ii ）当点E 在线段AB 中点与点O 之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；iii ）当点E 在线段OB 上时，重叠部分是个小直角三角形．试题解析：解：（1）由题意得： 16420{4222552a b a b a b +-=--=+-，解得：a =12，b =32-．（2）①由（1）知二次函数为213222y x x =--.∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA =4，OB =1，OC =2，∴AB =5，AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°．∵AE=2t，AF，∴2AF ABAE AC==.又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=12AE=t．假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，∴AE=12AB=52t=52÷2=54；ⅱ）若D为直角顶点，如图3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=32，∴t=34；当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=34或t=54．②ⅰ）当0＜t≤54时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S=12×2t×t=t2；ⅱ）当54＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=m，则BH= 12m，DH=2m，∴DB=32m．∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴32m=4t﹣5，∴m=23（4t﹣5），∴S=S△DEF﹣S△DBG=12×2t×t﹣12（4t﹣5）×23（4t﹣5）=2134025333t t-+-；ⅲ）当2＜t≤52时，重叠部分为△BEG，如图5．∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S=12×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．综上所述：2225(0)41340255{(2)3334542025(2)2t tS t t tt t t<≤=-+-<≤-+<≤．【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在． 【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）；（2）存在．S △PBC 最大值为2716；（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--．设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）．∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716．（3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =-,22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【详解】解：（1）令y=0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧。
中考数学总复习训练专题存在性问题
2017届中考数学总复习训练专题：存在性问题中考重难点突破这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．【例】抛物线y ＝14x 2－32x ＋2与x 轴交于A ，B 两点(OA <OB )，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点E 也从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒(0<t <2)．①过点E 作x 轴的平行线，与BC 相交于点D (如图所示)，当t 为何值时，1OP ＋1ED的值最小，求出这个最小值并写出此时点E ，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【学生解答】解：(1)在抛物线的解析式中，令y ＝0，即14x 2－32x ＋2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∵OA <OB ，∴A (2，0)，B (4，0)，在抛物线的解析式中，令x ＝0，得y ＝2，∴C (0，2)；(2)①由题意得：OP ＝2t ，OE ＝t ，∵DE ∥OB ，∴△CDE ∽△CBO ，∴CE CO ＝ED OB ，即2－t 2＝DE 4，∴DE ＝4－2t ，∴1OP ＋1ED ＝12t ＋14－2t ＝1－t 2＋2t＝11－（t －1）2，∵0<t <2，1－(t －1)2始终为正数，且t ＝1时，1－(t －1)2有最大值1，∴t ＝1时，11－（t －1）2有最小值1，即t ＝1时，1OP ＋1ED 有最小值1，此时OP ＝2，OE ＝1，∴E (0，1)，P (2，0)；②存在，∵抛物线y ＝14x 2－32x ＋2的对称轴为直线x ＝3，设F (3，m )，∴EP 2＝5，PF 2＝(3－2)2＋m 2，EF 2＝(m －1)2＋32，当△EFP 为直角三角形时，当∠EPF ＝90°时，EP 2＋PF 2＝EF 2，即5＋1＋m 2＝(m －1)2＋32，解得m ＝2；当∠EFP ＝90°时，EF 2＋FP 2＝EP 2，即(m －1)2＋32＋(3－2)2＋m 2＝5，解得m 2－m ＋3＝0，方程无解，∴EP 不可能为斜边．∴当∠EFP ＝90°时，这种情况不存在；当∠PEF ＝90°时，EF 2＋PE 2＝PF 2，即(m －1)2＋32＋5＝(3－2)2＋m 2，解得m ＝7.综上所述存在F 1(3，2)和F 2(3，7)两点使△EFP 为直角三角形．【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题．模拟题区1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k 与直线y ＝kx ＋1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧． (1)如图(1)，当k ＝1时，写出A ，B 两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图(2)，抛物线y ＝x 2＋(k －1)x －k (k >0)与x 轴交于点C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，在直线y ＝kx ＋1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC ＝90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2－1，直线的解析式为y ＝x ＋1.联立两个解析式，得x 2－1＝x ＋1，解得：x ＝－1或x ＝2，当x ＝－1时，y ＝x ＋1＝0；当x ＝2时，y ＝x ＋1＝3，∴A (－1，0)，B (2，3)；(2)设P (x ，x 2－1)．如图(1)所示， 过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F (x ，x ＋1)．∴PF ＝(x ＋1)－(x 2－1)＝－x 2＋x ＋2.S △ABP ＝S △PF A ＋S △PFB ＝12PF ·(AN ＋BM )＝32PF (注：AN 、BM 是两个三角形的高)，∴S △ABP ＝32(－x 2＋x ＋2)＝－32⎝⎛⎭⎫x －122＋278，当x ＝12时，y ＝x 2－1＝－34.∴△ABP 面积最大值为278，此时点P 坐标为⎝⎛⎭⎫12，－34；(3)设直线AB ：y ＝kx ＋1与x 轴、y 轴分别交于点E ，F ，则E ⎝⎛⎭⎫－1k ，0，F (0，1)，OE ＝1k ，OF ＝1.在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF ＝⎝⎛⎭⎫1k 2＋1＝1＋k 2k.令y ＝x 2＋(k －1)x －k ＝0，即(x ＋k )(x －1)＝0，解得x ＝－k 或x ＝1.∴C (－k ，0)，OC ＝k .设以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC ＝90°.设点N 为OC 中点，连接NQ ，如图(2)所示，则NQ ⊥EF ，NQ ＝CN ＝ON ＝k 2.∴EN ＝OE －ON ＝1k －k2.∵∠NEQ ＝∠FEO ，∠EQN ＝∠EOF ＝90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ OF ＝EN EF ，即k 21＝1k －k 21＋k 2k ，解得k ＝±255，∵k >0，∴k ＝255.∴当k ＝255时，存在唯一一点Q ，使得∠OQC ＝90°.2．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O ，与x 轴交于另一点N ，直线y ＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A ，D 两点，与抛物线交于B (1，m )，C (2，2)两点． (1)求直线与抛物线的解析式；(2)若抛物线在x 轴上方的部分有一动点P (x ，y )，设∠PON ＝α，求当△PON 的面积最大时tanα的值． (3)若动点P 保持(2)中的运动路线，问是否存在点P ，使得△POA 的面积等于△PON 面积的815？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线解析式为y ＝－x ＋4，抛物线解析式为y ＝－2x 2＋5x ； (2)tanα＝52；(3)存在．P (1，3)．中考真题区3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－16x 2＋bx ＋c 过点A (0，4)和C (8，0)，P (t ，0)是x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段AP 的中点，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段PB .过点B 作x 轴的垂线，过点A 作y 轴的垂线，两直线相交于点D .(1)求b ，c 的值；(2)当t 为何值时，点D 落在抛物线上；(3)是否存在t ，使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似？若存在，求此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)c ＝4，b ＝56；(2)∵∠AOP ＝∠PEB ＝90°，∠OAP ＝90°－∠APO ＝∠EPB ，∴△AOP ∽△PEB ，且相似比为AO PE ＝APPB＝2，∵AO ＝4，∴PE ＝2，OE ＝OP ＋PE ＝t ＋2，又∵DE ＝OA ＝4，∴点D 的坐标为(t ＋2，4)，∴点D 落在抛物线上时，有－16(t ＋2)2＋56(t ＋2)＋4＝4，解得t ＝3或t ＝－2，∵t ＞0，∴t ＝3，故当t 为3时，点D落在抛物线上；(3)存在t ，能够使得以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似．理由如下：①当0＜t ＜8时，若△POA ∽△ADB ，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝44－12t 整理，得t 2＋16＝0，∴t 无解，若△POA ∽△BDA ，同理，解得t ＝－2±25(负值舍去)；②当t ＞8时，若△POA ∽△ADB ，则PO AD ＝AO BD ，即t t ＋2＝412t －4，解得t ＝8±45(负值舍去)；若△POA ∽△BDA ，同理，解得t 无解．综上所述，当t ＝－2＋25或t ＝8＋45时，以A ，B ，D 为顶点的三角形与△AOP 相似．4．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE ≌△FCE ? 若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m )，直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．解：(1)抛物线解析式为y ＝12x 2－3x －8，∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，又∵抛物线与x 轴交于点A ，B 两点，点A 坐标(－2，0)，∴点B 的坐标为(8，0)．设直线l 的解析式为y ＝kx ，∵经过点D (6，－8)，∴6k ＝－8，∴k ＝－43，∴直线l 的解析式为y ＝－43x ，∵点E 为直线l 与抛物线对称轴的交点，∴点E 的横坐标为3，纵坐标为－43×3＝－4，∴点E 的坐标(3，－4)；(2)抛物线上存在点F 使得△FOE ≌△FCE ，此时点F 纵坐标为－4，∴12x 2－3x －8＝－4，∴x 2－6x －8＝0，x ＝3±17，∴点F 坐标(3＋17，－4)或(3－17，－4)；图1(3)①如图1中，当OP ＝OQ 时，△OPQ 是等腰三角形．∵点E 坐标(3，－4)，∴OE ＝32＋42＝5，过点E 作直线ME ∥PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H .则OM OP ＝OEOQ ，∴OM ＝OE ＝5，∴点M 坐标(0，－5)．设直线ME的解析式为y ＝k 1x －5，∴3k 1－5＝－4，k 1＝13，∴直线ME 的解析式为y ＝13x －5，令y ＝0，得13x －5＝0，解得x＝15，∴点H 的坐标(15，0)，∵MH ∥PB ，∴OP OM ＝OB OH ，即－m 5＝815，∴m ＝－83；图2②如图2中，当QO ＝QP 时，△POQ 是等腰三角形．∵当x ＝0时，y ＝12x 2－3x －8＝－8，∴点C 坐标(0，－8)，∴CE ＝32＋（8－4）2＝5，∴OE ＝CE ，∴∠1＝∠2，∵QO ＝QP ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE ∥PB ，设直线CE 交x 轴于N ，解析式为y ＝k 2x －8，将点E 坐标代入，∴3k 2－8＝－4，k 2＝43，∴直线CE 的解析式为y ＝43x －8，令y ＝0，得43x －8＝0，x ＝6，∴点N 坐标(6，0)，∵CN ∥PB ，∴OP OC ＝OB ON ，∴－m 8＝86，∴m ＝－323.综上所述，当m ＝－83或－323时，△OPQ 是等腰三角形．。
动点存在性问题
第一讲动点存在性问题一．考情分析二．知识回顾1、题型分类在中考中，存在性问题一般分为四类：1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。
2、方法归纳在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。
而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。
对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。
而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。
对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。
对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。
类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。
动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动的时间为t （秒）。
当t为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形（C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图3），PMN △的形状是否发生改变若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图4），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（B ）【典型例题3】如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的一个专题训练并有试题详细解析及参考答案）
中考数学压轴题专题--函数图象中点的存在性问题（很好的⼀个专题训练并有试题详细解析及参考答案）1、如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的⼤⼩；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1．详细解析及参考答案：（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂⾜为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH 3A (13)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代⼊点A (13)-，可得3a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x =-=．（2）由22323331)y x x ==- 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,．所以3tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (13)-、B (2,0)、M 3(1,，得3tan 3ABO ∠=，23AB =233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC ===．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展：在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底⾓的等腰三⾓形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底⾓为30°的等腰三⾓形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图52、如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（⽤含b 的代数式表⽰）；（2）请你探索在第⼀象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的⾯积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进⼀步探索在第⼀象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三⾓形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1详细解析及参考答案：（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂⾜分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ??+??=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
存在性问题2
中考中存在性问题存在性问题是一种常见的探索性问题，也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一，其解法的一般思路是假设存在，然后导出某个结论，如果该结论合理，则说明假设成立，其结论存在；如果该结论不合理，则说明假设错误，所探索的结论不存在． 2、“存在性”问题的基本类型和解决方法“存在性”问题大体可分为两类：Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）；Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。
（1）由数量关系确定的“存在性”问题这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。
例1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =DC =5，AD =4，BC =10． 点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上．（1）若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由． 析解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高为4，面积为28． 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K ，则根据已知可求得：1245xFG -=⨯， ∴21224(710)255BEF S BE FG x x ==-+ △≤≤； （2）存在．理由是： 由（1），得22241455x x -+=．解得x 1=7，x 2=5（舍去）； ∴存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE =7；（3）不存在．理由是：假设存在，则S △BEF ∶S AFECD =1∶2，（BE +BF ）∶（AF +AD +CE ＋DC ）=1∶2， 则有221628553x x -+=．整理，得：3x 2－24x +70=0． 因为方程没有实数解，∴不存在这样的实数x ．即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1∶2的两部分．对应练习1：如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，动点P 从A 点P 出发，以每秒1个单位的速度沿AB 边向B 点运动，动点Q BD运动，两点同时出发，点P 到达B 处时两点运动停止，记Q P ,的运动 时间为t 。
中考数学重难点专题17 二次函数中几何存在性的问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题17二次函数中几何存在性的问题【典型例题】1．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线C1：y14-＝x212-x＋2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．(1)求A，B两点的坐标．(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以△B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．【专题训练】一、解答题1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+32x+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，2）．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF△x轴交直线BC于点F，过P作PE△y轴交直线BC 于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ△AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+n经过B、C两点．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE△y轴，分别交x轴，BC于点E，F．(1)求直线BC及抛物线的表达式；(2)点D在移动过程中，若存在△DCF＝△ACO，求线段DE的长；(3)在抛物线上取点M，在坐标系内取点N，问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E 是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y2x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴。
专题7：存在性问题
例 1.(2013²遵义)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, AC=4cm, BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发,均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA,CB 向终点 A,B 移动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度 沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒,0＜t＜ 2.5).(1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ABC 相似？
(2)如图 1,过点 M 作 MN⊥AB 于点 N, 当 0≤t＜1 时, MN 2 3 ∵tan60°= = = 3 EN EN ∴EN=2,EB=3+t,NB=3+t-2=1+t, ∴MC=1+t, 1 ∴S= (MC+EB)³BC=2 3 t+4 3 ； 2 如图 2,当 1≤t＜3 时, 3 ∵MN=2 3 ,EF=OP=6,∴GH=6³ =3 3 2 MK GH MN ∴ = , EF HG ∴MK=2, ∵EB=3+t,BF=3-t,BQ= 3 BF= 3 (3-t), CQ=2 3 -BQ,= 3 t-- 3 , 7 3 3 ∴S=S 梯形 MKFE-S△QBF=- t2+3 3 t+ . 2 2
(3)不存在. 理由如下：连接 BD,∵点 O 为矩形 ABCD 的对称中心 ∴点 O 为 BD 的中点. 假设存在实数 T,使 B1 与 O 重合,此时 EF 是 OB 的垂直平分线, 垂足为 H, BD 61 易知 BD=2 61,BH= = , 4 2 易证△ EHB ∽△ BHF ∽△ BCD 61 61 39 ∴BF= ,BE= ,∴AE=10-BE= . 12 10 10 ∵点 F 的运动速度是点 E 运动速度的 3 倍, BF 但 ≠3 AE ∴不存在实数 T,使得 B1 与 O 重合.
中考命题研究数学(遵义)：第四节存在性问题
第四节存在性问题中考重难点突破这类问题是近几年来各地中考的“热点”．解决存在性问题就是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点．这类题型是对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．【例】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，抛物线过A(－1，0)、C(0，－3)两点，抛物线的顶点为点D.对称轴与x轴交于点E，抛物线与x轴交于点B.(1)求抛物线的解析式并求顶点坐标；(2)点M是对称轴x＝1上一个动点，是否存在这样的点M，使MA＋MC最小，若存在求出该点坐标；(3)如图2，点P是对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使PB与PC的距离之差的绝对值最大，若存在求出该点坐标；(4)如图3，连接BC，若点K在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A到B运动(不与A，B重合)，同时点R在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，设运动时间为t秒，求出△BKR的面积S与t的函数关系式，并求出点K运动多长时间，△BKR的面积最大？最大面积是多少？【解析】本题考查抛物线背景下的最短和问题、最大差问题以及面积最值问题．【学生解答】【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”．解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题．1．(2015黔东南中考)如图，已知二次函数y1＝－x2＋134x＋c的图像与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；(2)由图像写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．(2015遵义十一中三模)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx ＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B(1，m)、C(2，2)两点．(1)求直线与抛物线的解析式；(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝α，求当△PON的面积最大时tanα的值．(3)若动点P保持(2)中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的815？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.(2015黔东南中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－错误!x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B 作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．4．(2015铜仁中考)如图，已知，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N 运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．。
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2017年数学中考专题《存在性问题》题型概述【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验.【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析.(1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法.(2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断.真题精讲类型一 代数方面的存在性问题典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上.(1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果)(2)是否存在点P ，使得ACP ∆是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由;(3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标.【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力.【全解】(1)－2 －3 (－1,0)(2)存在.第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)，,90OA OC AOC =∠=︒Q ，45OCA OAC ∴∠=∠=︒.190ACP ∠=︒Q ,11904545MCP CPM ∴∠=︒-︒=︒=∠. 1MC MP ∴=.由(1)可得抛物线为223y x x =--.设21(,23)P m m m --，则23(23)m m m =----，解得10m =(舍去)，21m =.2234m m ∴--=-.则1P 的坐标是(1，－4).第二种情况，当以A 为直角顶点时，过点A 作2AP AC ⊥,交抛物线于点2P ，过点2P 作y 轴的垂线，垂足是2,N AP 交y 轴于点F .如图(2)2//P N x ∴轴.由45CAO ∠=︒,245OAP ∴∠=︒.245,3FP N AO OF ∴∠=︒==.2P N NF ∴=.设21(,23)P n n n --，则2(23)3n n n -=---.解得13n =(舍去),22n =-.2235n n ∴--=,则2P 的坐标是(－2,5).综上所述，P 的坐标是(1,－4)或(－2,5).(3)连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD EF =.根据垂线段最短，可得当OD AC ⊥时，OD 最短，即EF 最短.由(1)可知，在Rt AOC ∆中，3,OC OA OD AC ==⊥Q ，D ∴是AC 的中点.又//DF OC ,1322DF OC ∴==. ∴点P 的纵坐标是32-.则23232x x --=-，解得x =∴当EF 最短时，点P 的坐标是23()22+-或23(,)22-. 1. (2015·山东烟台)如图，点(,6),(,1)A m B n 在反比例函数图象上，AD x ⊥轴于点,D BC x ⊥轴于点,5C DC =.(1)求,m n 的值并写出反比例函数的解析式;(2)连接AB ，在线段DC 上是否存在一点E ，使ABE ∆的面积等于5?若存在，求出点E的坐标;若不存在，请说明理由.2. (2016·湖南张家界)已知抛物线2(1)3(0)y a x a =--≠的图象与y 轴交于点(0,2)A -，顶点为B .(1)试确定a 的值，并写出B 点的坐标;(2)若一次函数的图象经过,A B 两点，试写出一次函数的解析式;(3)试在x 轴上求一点P ，使得PAB ∆的周长取最小值;(4)若将抛物线平移(0)m m ≠个单位，所得新抛物线的顶点记作C ，与原抛物线的交点记作D ，问:点,,O C D 能否在同一条直线上?若能，请求出m 的值;若不能，请说明理由.【考情小结】考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换(平移，对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称—最短路线问题等知识点，还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大.类型二 点的存在性问题典例2 (2016·黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线211:242C y x x =-++与222:C u x mx n =-++为“友好抛物线” (1)求抛物线2C 的解析式.(2)点A 是抛物线2C 上在第一象限的动点，过A 作AQ x ⊥轴，Q 为垂足，求AQ OQ +的最大值.(3)设抛物线2C 的顶点为C ，点B 的坐标为(－1,4)，问在2C 的对称轴上是否存在点M ，使线段MB 绕点M 逆时针旋转90︒得到线段MB '，且点B '恰好落在抛物线2C 上?若存在求出点M 的坐标，不存在说明理由.【全解】(1)2212422(1)4y x x x =-++=--+Q∴抛物线1C 的顶点坐标为(1,4)Q 抛物线1C 与2C 顶点相同，1,1412m m n -∴=-++=-⨯. 解得2,3m n ==.∴抛物线2C 的解析式为2223u x x =-++.(2)如图(1)所示:设点A 的坐标为2(,23)a a a -++. 223,AQ a a OQ a =-++=Q ，2223212333()24AQ OQ a a a a a a ∴+=-+++=-++=--+. ∴当32a =时，AQ OQ +有最大值，最大值为214. (3)如图(2)所示;连接BC ，过点B '作B D CM '⊥，垂足为D .(1,4),(1,4)B C -Q ，抛物线的对称轴为1x =,,2BC CM BC ∴⊥=.90BMB '∠=︒Q ,90MB D B MD ''∴∠+∠=︒.MB D BMC '∴∠=∠.在BCM ∆和MDB '∆中，MB D BMC BCM MDB BM MB '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩,BCM MDB '∴∆≅∆.,BC MD CM B D '∴==.设点M 的坐标为(1,)a .则4,2B D CM a MD CB '==-==.∴点B '的坐标为(3,2)a a --.2(3)2(3)32a a a ∴--+-+=-.整理，得27100a a --=.解得2a =或5a =.当2a =时，M 的坐标为(1,2)，当5a =时，M 的坐标为(1,5).综上所述当点M 的坐标为(1,2)或(1,5)时，B '恰好落在抛物线2C 上.3. (2015·辽宁大连)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(2,)m m ，翻折矩形OABC ，使点A 与点C 重合，得到折痕DE .设点B 的对应点为F ，折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点,,C F D 的抛物线为2y ax bx c =++.(1)求点D 的坐标(用含m 的式子表示);(2)若点G 的坐标为(0,－3)，求该抛物线的解析式;(3)在((2)的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ，使12PM EA =?若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由. 【考情小结】根据以上分析，我们可以归纳出存在性问题的解决策略:(1)直接求解法:存在性问题探索的结果有两种:一种是存在;另一种是不存在.直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法.(2)假设求解法:先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理，若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在;否则，假设不成立，结论不存在.(3)反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更需要使用反证法.参考答案1.(1)由题意，得65m n m n =⎧⎨+=⎩,解得16m n =⎧⎨=⎩. 设反比例函数解析式为k y x =，将(1,6)A 代入得6k =，则反比例函数的解析式为6y x =. (2)存在，设(,0)E x ，则1,6DE x CE x =-=-,AD x ⊥Q 轴，BC x ⊥轴，90ADE BCE ∴∠=∠=︒.连接,AE BE , 则111()222ABE ADE BCE ABCD S S S S BC AD DC DE AD CE BC ∆∆∆=--=+⋅-⋅-⋅四边形 35522x =-=5解得5x =，则E (5,0).2. (1)1a = (1,3)B -(2)设一次函数的解析式为y kx b =+,将,A B 两点的坐标代入解析式求得1,2k b =-=-,所以2y x =--.(3)A 点关于x 轴的对称点记作E ，则E (0,2),连接EB 交x 轴于点P ，则P 点即为所求.理由:在PAB ∆中，AB 为定值，只需PA PB +取最小值即可，而PA PE =，从而只需PE PB +取最小值即可，由于两点之间线段最短，所以PE PB EB +≤，所以,,E P B 三点在同一条直线上时，取得最小值.由于过,E B 点的一次函数解析式为52y x =-+, 故2(,0)5P .(4)设抛物线向右平移m (若0m >表示向右平移，若0m <表示向左平移)个单位，则所得新的抛物线的顶点(1,3)C m +-,新抛物线解析式为2(1)3y x m =---. 两抛物线的交点2(1,3)24m m D +-， 经过,O C 的一次函数解析式是31y x m=-+. 若,,O C D 在同一直线上， 则有233(1)412m m m -=-++, 化简整理，得3260m m m +-=,由于0m ≠,所以260m m +-=.解得2m =或3m =-.故,,O C D 三点能够在同一直线上，此时2m =或3m =-.即抛物线向右平移2个单位，或者向左平移3个单位，均满足题目要求.3.(1)设D 的坐标为(,)x m ，根据题意，得,CD x OC m ==因为//CD EA ,所以CDE AED ∠=∠.又因为AED CED ∠=∠.所以CDE CED ∠=∠.所以,2CD CE EA x OE m x ====-,在Rt COE ∆中, 222OC OE CE +=， 222(2)m m x x +-=， 解得54x m =. 所以D 的坐标为5(,)4m m .(2)作DH 垂直于x 轴，由题意，得3OG =.53244OE OA EA m m m =-=-=, 531,442EH OH OE m m m DH m =-=-==. 334,,12m OE OG GOE DHE HE HD mm ∆∆==:. 所以2m =.所以此时D 点坐标为5(,2)2， 55,2,4 1.522CD CF FD BD ====-=, 因为,2CD FI CF FD FI ⨯=⨯=⨯1.5÷2.5=1.2.CI ===1.6,所以F 的坐标为(1.6,3.2)F .抛物线为2y ax bx c =++经过点,,C F D ，所以代入，得 226.25 2.521.6 1.6 3.2c a b c a b c ⎧=⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2562512c a b ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. 所以抛物线解析式为25252612y x x =-++.(3)存在，因为12PM EA=，所以12PM CD=.以M为圆心，MC为半径画圆，交抛物线于点F和点P.如图:点P坐标为(1.6,3.2)和(0. 9,3. 2).。