全国初中数学竞赛精彩试题及问题详解(00002)

中国教育学会中学数学教案专业委员会2012年全国初中数学竞赛试卷题号 一 二 三总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数22||()||a a b c a b c -++-+可以化简为（）．A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（）．A ．22．2 D ．222（甲）．如果正比例函数()0y ax a =≠与反比例函数()0by b x=≠的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为()32--，，那么另一个交点的坐标为（）．A ．()23，B ．()32-，C ．()23-，D ．()32，2（乙）．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y ++≤的整数点坐标()x y ，的个数为（）．A ．10B ．9C ．7D ．53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．A ．1B ．214a -C ．12D ．143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ABC △是等边三角形．30ADC ∠=°，3AD =，5BD =，则CD 的长为（）． A ．32B ．4 C ．25D ．4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．44（乙）．如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．A ．5B ．6C ．7D ．85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（）． A ．0p B ．1p C ．2p D ．3p5（乙）．黑板上写有111123100，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）． A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487?>”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值围是.6（乙）. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为15E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与DE 、DB 分别交于点M 、N ，则DMN △的面积是.7（乙）．如图，O ⊙的半径为20，A 是O ⊙上一点。

以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =.延长BC ，与O ⊙分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于．8（甲）．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2011120122x x 的值为．8（乙）．设n 为整数，且12012n ≤≤. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为.9（甲）．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.9（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，，均为三角形数，且a b c ≤≤，则a c 的取值围是.10（甲）．如图，四边形ABCD 接于O ⊙，AB 是直径，AD DC =. 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F . 若AE AO =，6BC =，则CF 的长为.10（乙）．已知n 是偶数，且1100n ≤≤．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△. 已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解读式.12（甲）．如图，O ⊙的直径为AB ，1O ⊙过点O ，且与O ⊙切于点B ．C 为O ⊙上的点，OC 与1O ⊙交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与1O ⊙交于点F ，求证：1BOC DO F △∽△．12（乙）．如图，O 的接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是ABD △的心. 求证：（1）OI 是IBD △的外接圆的切线； （2）2AB AD BD +=.13（甲）．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数. 当2012a ≥时，求a 的最小值.13（乙）．凸n 边形中最多有多少个角等于150︒？并说明理由．14（甲）．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<<，且122012122012n x x x +++=.14（乙）．将23n ，　，　，()2n ≥任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．中国教育学会中学数学教案专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试卷参考答案一、选择题 1（甲）．C解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．1（乙）．B解：1111111223a+=+=+++111===2（甲）．D解：由题设知，2(3)a -=⋅-，(3)(2)b -⋅-=，所以263a b ==，.解方程组236y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，得32x y =-⎧⎨=-⎩，；32.x y =⎧⎨=⎩， 所以另一个交点的坐标为()32，.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为()32，.2（乙）．B解：由题设2222x y x y ++≤，得0≤22(1)(1)2x y -+-≤. 因为x y ，均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，；22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，；22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，；22(1)1(1) 1.x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，；12x y =⎧⎨=⎩，；10x y =⎧⎨=⎩，；01x y =⎧⎨=⎩，；00x y =⎧⎨=⎩，；02x y =⎧⎨=⎩，；21x y =⎧⎨=⎩，；20x y =⎧⎨=⎩，；22.x y =⎧⎨=⎩，以上共计9对x y （，）.3（甲）．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为(1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是4423421444a b a b ++++-=.3（乙）．B解：如图，以CD 为边作等边CDE △，连接AE . 由于AC BC =，CD CE =，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以BCD ACE △≌△，BD AE =.又因为30ADC ∠=°，所以90ADE ∠=°. 在Rt ADE △中，53AE AD ==，，于是224DE AE AD =-，所以4CD DE ==.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，， 消去x 得()274y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--. 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2330p q -->，即39p q +<. 由于p q ，都是正整数，所以1p =，15q ≤≤；或2p =，12q ≤≤，此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大．5（乙）．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)11123100x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1101x +=，100x =．二、填空题6（甲）．719x <≤解：前四次操作的结果分别为32x -，()332298x x --=-，()39822726x x --=-，()3272628180x x --=-由已知得27264878180487x x -⎧⎨->⎩≤ 解得719x <≤.容易验证，当719x <≤时，32487x -≤98487x -≤，故x 的取值围是 719x <≤．6（乙）．7解：由已知可得999a b c b c c a a bb c c a a b b c c a a b------++=++++++++ 9993b c c a a b =++-+++ 109379=⨯-=．7（甲）．8解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知BFN △∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以23AN AF =.在Rt ABF △中，因为2AB a BF a ==，，所以 225AF AB BF a =+=， 于是25cos AB BAF AF ∠=. 由题设可知ADE BAF △≌△，所以AED AFB ∠=∠，18018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=°°.于是25cos AM AE BAF =⋅∠=，2453MN AN AM AF AM =-=-=，415MND AFD S MN S AF ==△△. 又21(2)(2)22AFD S a a a =⋅⋅=△，所以2481515MND AFD S S a ==△△.因为15a =8MND S =△.7（乙）．285解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为22201216OB =-，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===， 22366455CM OC OM BM =-==，． 所以CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=.8（甲）．23-解：根据题意，关于x 的方程有223943042k k k ⎛⎫∆=--+ ⎪⎝⎭≥，由此得()230k -≤．又()230k -≥，所以()230k -=，从而3k =. 此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-. 故2011120122x x =21x =23-．8（乙）．1610解：因为22(3)(3)n n n n -+++=4259n n ++=22(1)(1)(1)510n n n n -++++.当n 被5除余数是1或4时，1n -或1n +能被5整除，则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除； 当n 被5除余数是2或3时，21n +能被5整除，则22(3)(3)n n n n -+++能被5整除； 当n 被5除余数是0时，22(3)(3)n n n n -+++不能被5整除.所以符合题设要求的所有n 的个数为201082161010⨯+=．9（甲）．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得043b ≤≤.又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0130(1)(2)43b m m =-++≤≤，87(1)(2)130m m ++≤≤，由此得8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设.故8m =．9（乙）351ac-<≤解：由题设得111a b c c b a+>⎧⎪⎨+>⎪⎩，， 所以11111c c a c b a +>+>-，即111c c a a +>-. 整理得 2310a a c c ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由二次函数231y x x =-+3535a c -+<<. 又因为1ac≤351a c -<≤.10（甲）32解：如图，连接AC ，BD ，OD .由AB 是O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=°. 依题设90BFC ∠=°，四边形ABCD 是O 的接四边形，所以BCF BAD ∠=∠，所以Rt Rt BCF BAD △∽△，因此BC BACF AD=. 因为OD 是O 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥， 于是2DE OE DC OB==. 因此223DE CD AD CE AD ===，.由AED △∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以32322BA AD AD BA ⋅=⋅，22BA =，故ADCF BC BA =⋅=3222=10（乙）. 12解：由已知有()()a b a b n -+=，且n 为偶数，所以a b a b -+，同为偶数，于是n 是4的倍数．设4n m =，则125m ≤≤．（Ⅰ）若1m =，可得0b =，与b 是正整数矛盾．（Ⅱ）若m 至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对a b （,）满足22a b a bm -+⋅=；若m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对a b （,）满足22a b a bm -+⋅=．（Ⅲ）若m 是素数，或m 恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对a b （,）满足22a b a bm -+⋅=． 因为有唯一正整数对a b （,），所以m 的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当13x -<<时，恒有0y <，所以23420m m ∆=+-+>（）（），即210m +>（），所以1m ≠-．…………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，且233(3)2m m ++++≤0，解得m ≤5-．…………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-．…………（20分）11（乙）．解：因为4sin 5AO ABC AB ∠==，8AO =，所以 10AB =由勾股定理，得BO =262AB AO -=.易知ABO ACO △≌△，因此6CO BO ==. 于是()08A -，，()60B ，，()60C -，.设点D 的坐标为()m n ，，由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△. 所以1122BC |n|=AO BO ⋅⋅， 1112()8622n ⨯-=⨯⨯， 解得4n =-.因此D 为AB 的中点，点D 的坐标为()34-，.…………（10分）因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为ABC △的重心，所以点E 的坐标为803⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解读式为()()66y a x x =-+. 将点E 的坐标代入，解得a =227. 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解读式为228273y x =-. …………（20分）12（甲）．证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以CBE △是等腰三角形．…………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以BOC △∽△1DO F ．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形心的性质和同弧上圆周角的性质知22BAD BDACID CDI ∠∠∠=+=∠，所以CI CD =．同理，CI CB =.故点C 是IBD △的外心.连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA OC =， 所以OI AC ⊥，即OI CI ⊥.故OI 是IBD △外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I 作IE AD ⊥于点E ，设OC 与BD 交于点F . 由BC CD =，知OC BD ⊥.因为CBF IAE ∠=∠，BC CI AI ==，所以Rt Rt BCF AIE △≌△，所以BF AE =.又因为I 是ABD △的心，所以2AB AD BD AE BD +-==.故2AB AD BD +=．…………（20分）13（甲）．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）.因为()()224a b ab a b +-=-， 所以()22224a m n m --=，()()22222a m n a m n m -+--=…………（5分）因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--(m 为素数)，所以 222a m n m -+=，221a m n --=.解得a =2(1)4m +，n =214m -.于是b a m =-=214m -（）.…………（10分）又2012a ≥，即2(1)20124m +≥.又因为m 是素数，解得89m ≥. 此时，a ≥2(891)20254+=.当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸n 边形中有k 个角等于150°，则不等于150°的角有n k -个．（1）若k n =，由()1502180n n ⨯=-⨯°°，得12n =，正十二边形的12个角都等于150°； …………（5分）（2）若k n <，且13n ≥，由()()1501802180k n k n ⨯+-⨯>-⨯°°°，可得12k <，即11k ≤． 当11k =时，存在凸n 边形，其中的11个角等于150°，其余n k -个角都等于()2180111501(6)301111n n n α-⨯-⨯==-⨯--°°°，0180α<<°°，150α≠°． …………（10分）（3）若k n <，且811n ≤≤．当1k n =-时，设另一个角等于α．存在凸n 边形，其中的1n -个角等于150°，另一个角()()21801150(7)30n n n α=-⨯--⨯=-⨯°°°．由11n ≤可得(7)30180n α=-⨯<°°；由8n ≥可得(7)300n α=-⨯>°°，且150α≠°．…………（15分）（4）若k n <，且37n ≤≤，由（3）可知k ≤2n -．当2k n =-时，存在凸n 边形，其中2n -个角等于150°，另两个角都等于()215n -⨯°．综上，当12n =时，k 的最大值为12；当13n ≥时，k 的最大值为11； 当811n ≤≤时，k 的最大值为1n -；当37n ≤≤时，k 的最大值为2n -．…………（20分）14（甲）．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数，且122012x x x <<<，所以11x ≥，22x ≥，…，20122012x ≥． 于是122012122012n x x x =+++1220122012122012+++=≤． …………（10分）当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，，　，，则1220121220121x x x +++=. …………（15分）当1n k =+时，其中12011k ≤≤，令1212k x x x k ===，，　，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯，，，则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012，　，　，　．…………（20分）14（乙）．解：当1621n =-时，把23n ，　，　，分成如下两个数组：{}88162322121+-，　，　，　，　，　和{}84521-，　，　，　． 在数组{}88162322121+-，　，　，　，　，　中，由于38821632221<>-，（），所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =．在数组{}84521-，　，　，　中，由于48421>-，所以其中不存在数a b c ，，，使得b a c =． 所以，n ≥162．…………（10分）下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组. 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时b a c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．…………（20分）。