导数的求法

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求导数的方法

求导数的方法（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：①C'=0(C为常数)；②(x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(e^x)'=e^x；⑥(a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）⑦(Inx)'=1/x（ln为自然对数）（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

导数是微积分的一个重要的支柱！导数公式及证明[编辑本段] 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)y=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。

导数的求法

导数的求法【知识要点】一、求导的方法1、利用常见八种函数的导数公式① （C 为常数） ② ③0='C 1()()n n x nx n Q -'=∈x x cos )(sin ='④ ⑤ ⑥ x x sin )(cos -='1(log )log x a a e x '=x x 1)(ln ='⑦ ⑧a a a x x ln )(='x x e e =')(2、利用导数的运算法则① ② ③ '''()u v u v ±=±'''()uv u v uv =+'''2()(0)u u v uv v v v -=≠3、利用复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ()u y f u ''=则复合函数在点处有导数，且，或写作(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=二、导数的求法一般有四种：（1）利用导数的概念解答；（2）利用八种初等函数的导数公式解答；（3）利用导数的四则运算法则解答；（4）利用复合函数的求导法则求导.【方法讲评】方法一利用导数的概念解答解题方法求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量)(x f y =)(/x f ；②求平均变化率；③取极限，得导)()(x f x x f y -∆+=∆xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(数＝. /y xy x ∆∆→∆0lim【例1】求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2()f x x x =-+1x =-【点评】求函数的导数的一般步骤是：①求函数的改变量；②)(x f y =)(/x f )()(x f x x f y -∆+=∆求平均变化率；③取极限，得导数＝. x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(/y xy x ∆∆→∆0lim 【反馈检测1】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬C 2()715(08)f x x x x =-+≤≤2h 6h 时变化率，并说明它们的意义．方法二利用八种初等函数的导数公式解答解题方法直接利用八种初等函数的导数公式解答. 【例2】求函数的导数. ()f x=【解析】 113122211()()22f x x x x ----'''===-=-由题得【点评】在使用时，要注意函数的形式，如果是就不能利用该公式了，因为1()()n n x nx n Q -'=∈(3)n x 它的底数是，不是，是复合函数，不是初等函数. 学科#网3x x 【反馈检测2】求函数的导数. 44()cos sin 22x x f x =-方法三利用导数的四种运算法则解答解题方法直接套导数的四种运算法则. 【例3】已知函数，则＝________．))(ln 2()(2x x f x x f -'+=)4(f ' A ． B ．6 C ．8 D ．6-2【点评】本题中的处理是一个难点，有许多同学不知道把它怎么办.其实是一个常数，求导(2)f '(2)f '时，把它看作常数，利用就可以了.再给x 赋值得到的方程，即可求出的值.[()]()Cf x Cf x ''=(2)f '(2)f '【反馈检测3】设，求.x xe x f x ln )(=)(x f '方法四利用复合函数的求导公式解答解题方法函数在点处有导数，函数在点处的对应点处()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u 有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【例4】已知，求. 21x y -=y '【解析】1211211,22u x v u x v u -=-=∴=-===设1112y u v x ∴==-= 【点评】函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数()u x ϕ=x ()x u x ϕ''=)(u f y =x u ，则复合函数在点处有导数，且，或写作()u y f u ''=(())y f x ϕ=x x u x y y u '''=⋅(())()()x f x f u x ϕϕ'''=【反馈检测4】已知，求. sin 2()x f x x=()f x '高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第17讲：导数的求法参考答案【反馈检测1答案】在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和，说明在附近，原油温2h 6h 3-52h 度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升． 3/C h 6h 5/C h【反馈检测2答案】sin x -【反馈检测2详细解析】 442222()cos sin (cos sin )(cos sin )222222x x x x x x f x =-=+- 22(cos sin )cos 22x x x =-=()(cos )sin f x x x ''∴==-【反馈检测3答案】(1ln ln )x e x x x ++【反馈检测3详细解析】 )(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f xx x x . xxe x xe x e x x x 1ln ln ⋅++=)ln ln 1(x x x e x ++=【反馈检测4】 2sin 22cos 2x x x x-【反馈检测4详细解析】 22(sin 2)(sin 2)(sin 2)(sin 2)()x x x x x x x f x x x '''--'==2sin 2cos cos 2u x v u u v u x ''==∴===设(sin 2)2cos 2x x '∴= 22(sin 2)2cos 2(sin 2)2cos 2()x x x x x x f x x x --'∴== 2sin 22cos 2x x x x-=。

求导数的简单方法

求导数的简单方法导数是微积分中的一个重要概念，它表示函数在其中一点处的变化率。

求导数的方法有很多，其中有一些比较简单且常用的方法，下面我将详细介绍。

1.用基本的求导法则求导数：(1)常数法则：如果f(x)是常数c，那么f'(x)=0。

(2)幂法则：对于f(x)=x^n，其中n是一个实数，那么f'(x)=n*x^(n-1)。

(3) 指数函数法则：对于f(x) = a^x，其中a是常数，那么f'(x) = ln(a) * a^x。

(4) 对数函数法则：对于f(x) = log_a(x)，其中a是常数且不等于1，那么f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

(5) 三角函数法则：对于f(x) = sin(x)、cos(x)、tan(x)等三角函数，那么f'(x) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。

(6)反函数法则：如果f(x)是可逆的，并且f'(x)≠0，则其反函数f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。

2.使用导数的性质简化求导过程：(1)加减法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

(2)乘法法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

(3)除法法则：如果f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2(4)复合函数法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

3.使用隐式求导法求导数：当一个函数y以x为自变量，且无法显式地表示y为x的函数时，可以使用隐式求导法。

导数的运算法则

)'
100 x
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
( 2)因为c' (98)
5284
1321
2
(100 98)
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
2 ;
2
cos x
cos x
cos x
巩固练习
求下列函数的导数:
(4) y (2 x 3)(3x 2)； (5) y x tan x;
2
ln x
(6) y
x
2
2

(
4
)
法一：
y

(
2
x

3
)'
(
3
x

2
)

(
2
x
3)(3x 2)'
解：
4 x(3x 2) (2 x 2 3) 3 18x 2 8x 9
公式5.若f ( x ) a x，则f ' ( x ) a x ln a (a 0);
公式6.若f ( x ) e x，则f ' ( x ) e x ;
1
公式7.若f ( x ) log a x，则f ' ( x )
(a 0, 且a 1);
x ln a
100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90％

高中数学导数的计算

高中数学导数的计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。

在高中数学中，我们主要学习了常见函数的导数计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

下面我们将通过一些例子详细介绍这些函数的导数计算方法。

一、多项式函数的导数计算多项式函数的一般形式为f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、..、a₁、a₀为常数，n为正整数。

多项式函数的导数计算可通过幂次降低的方法来进行。

具体来说，对于f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，如果n≥1，则有f’(x)=naₙxⁿ⁻¹+(n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻²+...+a₁。

如果n=0，则f’(x)=0。

例题1：求函数f(x)=4x⁴+2x³-3x²+5的导数。

解：f’(x)=4*4x³+3*2x²-2*3x¹+0=16x³+6x²-6x二、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x)=aᵏx，其中a为常数，k为指数。

指数函数的导数计算可以通过应用导数的基本性质和指数函数的特点来求解。

具体来说，对于函数f(x)=aᵏx，根据导数的基本性质，有f’(x)=k*aᵏ⁻¹x。

同样地，对于指数函数f(x)=a，它的导数为f’(x)=0。

例题2：求函数f(x)=3e²ˣ的导数。

解：f’(x)=3*2e²ˣ=6e²ˣ三、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x)=logₐx，其中a为底数。

对数函数的导数计算同样可以通过应用导数的基本性质和对数函数的特点来求解。

具体来说，对于函数f(x)=logₐx，根据导数的基本性质，有f’(x)=1/(xlna)。

例题3：求函数f(x)=ln(4x)的导数。

解：f’(x)=1/(4x)四、三角函数的导数计算三角函数是高中数学中常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

求函数导数的各种方法

求函数导数的各种方法
求函数导数的计算方法一般分为8种方法：
1.公式法
这个方法需要熟练掌握导数的基本公式。

2.导数四则运算公式
导数的乘法和除法公式要能熟练运用。

3.复合函数的链式法则—非常重要的求导方法
链式法则在应用时一般分成4步：分解—各自求导—相乘—回代
如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数.
4.反函数求导法
利用这种方法求导时，要注意：先取反函数，然后对反函数siny 求导，特别注意此时y是自变量，所以siny 的导数是cosy。

5.对数求导法
一般两种情况会使用对数求导法，这两种情况都是对等式两端同时取自然对数，利用对数的运算性质对函数进行变形。

（1）求幂指函数的导数
（2）求复杂根式的导数
6.隐函数求导法
隐函数是隐藏在一个方程中的函数，要用到链式法则。

7.参数方程求导法
注意参数方程求导公式
8.高阶导数
下面这个例子是一个求高阶导数的经典例题。

一般求二阶导数要多练习求隐函数和参数方程的二阶导数。

导数的四则运算法则

cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 cos 2
x
sec2
x.
即同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
例 5 设 y = sec x，求 y .
解根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
(cos x) cos2 x

sin x cos2 x
tan .
y x x0
y y0
)
(1)](
x
1)
(x2
1) 2x( x ( x 2 1)2
1)
2x (x2
x2 1 1)2
.
例 4 设 f (x) = tan x，求 f (x). 解 f ( x) (tan x) sin x
cos x
cos x(sin x) (cos x)sin x
cos2 x
一、偏导数的求法
例 6 求函数 z x2 3xy 2 y3 在点 (2 , 1) 处的两个偏导数.
解因为
z 2x 3 y, z 3x 6 y2 ,
x
y
所以
z 22 31 1 , x x2
y1
z 3 2 6 1 0 . y x2
y1
例 7 设 z x y ( x 0) , 求证：
x0 x
x0 x
lim
x0
y x
lim
x0
u(
x
)
v x
v(x)
u x
u x
v
u( x) lim v v( x) lim u lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0

求导数的方法

求导数是数学分析中的一个重要概念，它的基本概念是函数的变化率，即函数在某一点处的斜率。

求导数是对函数进行微积分的一种操作，可以用来求出函数图形的切线斜率和函数的变化率。

求导数的基本方法有两种，一是极限法，二是微积分法。

极限法是一种比较常见的求导数方法，它的基本思想是把函数在某一点处的变化率抽象成函数在此点附近距离不断减小时的变化率，从而得到函数在此点处的导数。

而微积分法更复杂，是在研究函数的性质时，可以利用积分的概念以及初等函数的性质，来求出函数的导数。

求导数的方法可以分为几种：
(1) 求一元函数导数的常用方法：
a. 利用导数的定义求导数；
b. 利用导数的性质求导数；
c. 利用微积分求导数；
d. 利用极限法求导数；
e. 利用初等函数的性质求导数；
f. 利用泰勒公式求导数。

(2) 求多元函数导数的常用方法：
a. 利用偏导数的定义求偏导数；
b. 利用偏导数的性质求偏导数；
c. 利用多元函数的性质求偏导。

导数的求解方法

导数的求解方法
嘿，你问导数的求解方法啊？这可有不少招呢。

一种方法是用定义求导数。

就是那个极限的式子，变化量比上自变量的变化量，当自变量的变化量趋近于零时的极限。

这就有点像你看汽车速度表，速度就是路程的变化量除以时间的变化量嘛。

比如说求一个函数在某一点的导数，就把函数在这点附近的变化量算出来，再除以自变量的变化量，然后让这个变化量越来越小，看看极限是多少。

这可需要点耐心呢。

还有一种方法是用公式求导数。

像那些常见的函数，比如幂函数、指数函数、对数函数啥的，都有现成的求导公式。

就像你有了一把万能钥匙，遇到这些函数，直接套公式就行。

比如说求 x 的 n 次方的导数，就是 n 乘以 x 的 n 减一次方。

这多方便呀。

另外呢，对于一些复杂的函数，可以用求导法则来求。

比如加法法则、乘法法则、除法法则啥的。

就像你做算术题，有加法、乘法、除法的运算法则一样。

比如说两个函数相加的导数，就等于它们各自的导数相加。

我记得有一次，我做一道数学题，要求一个复杂函数的导数。

我一开始想用定义求，算了半天也没算出来。

后来我想起来可以用求导法则和公式，就把那个函数拆成几个简单函数的组合，然后用公式和法则一步一步地求，最后终于求出来了。

这可把我高兴坏了。

总之呢，求导数的方法有定义法、公式法、求导法则法。

求导的运算法则

求导的运算法则求导的运算法则是微积分中非常重要的一部分，它提供了一些简单而有效的方法来求解函数的导数。

在本文中，我们将介绍一些常见的求导法则，并通过一些例子来说明它们的应用。

首先，我们来讨论常数函数的导数。

对于一个常数函数f(x)=c，其中c是一个常数，它的导数等于零。

这是因为常数函数的图像是一条水平线，它没有斜率。

接下来，我们来考虑幂函数的导数。

对于函数f(x)=x^n，其中n 是一个正整数，它的导数等于n*x^(n-1)。

例如，对于函数f(x) =x^2，它的导数是f'(x)=2x。

我们还可以使用求导法则来求解求和函数和差函数的导数。

对于函数f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)和h(x)是两个可导函数，它们的导数分别是g'(x)和h'(x)，那么f(x)的导数等于g'(x)+ h'(x)。

同样地，对于函数f(x)=g(x)-h(x)，它的导数等于g'(x)-h'(x)。

除了求和函数和差函数，我们还可以使用乘积法则来求解乘积函数的导数。

对于函数f(x)=g(x)*h(x)，其中g(x)和h(x)是两个可导函数，它们的导数分别是g'(x)和h'(x)，那么f(x)的导数等于g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。

这个法则可以通过对乘积函数进行展开和合并项得到。

另外，我们还可以使用链式法则来求解复合函数的导数。

对于函数f(x)=g(h(x))，其中g(x)和h(x)是两个可导函数，它们的导数分别是g'(x)和h'(x)，那么f(x)的导数等于g'(h(x))*h'(x)。

链式法则可以帮助我们处理更加复杂的函数求导问题。

最后，我们来讨论一下常见的三角函数的导数。

对于函数f(x)= sin(x)，它的导数是f'(x)=cos(x)。

对于函数f(x)=cos(x)，它的导数是f'(x)=-sin(x)。

导数的四则运算法则

1 2
xsinx + = = -
1 2 x x
cosx = -
2xsinx + cosx 2x x
cosx + 2xsinx 2x x
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1 x 例6．求y=f（x）= 的导函数,f'(1). 3 x
2 2 1 x (1 x ) (3 x ) (1 x )(3 x ) 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 )2
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证明：令y=f(x)+g(x)，则
Δy = f(x +Δx)+ g(x +Δx)-[f(x)+ g(x)] =[f(x +Δx)- f(x)]+[g(x +Δx)- g(x)]= Δf +Δg
Δy Δf Δg = + Δx Δx Δx Δy Δf Δg Δf Δg lim = lim + = lim + lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx Δx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
练习：求下列函数导函数（1）y= e2x (2) 答案:（e2x）'=2e2x ,
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y=cos2x (cos2x)'= -sin2x
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练习题 1．若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x)，g(x)满足f ’(x)=g’(x)，则f(x) 与g(x)满足（ B ）（A）f(x)＝g(x) （B）f(x)－g(x)为常数函数
(1) y 2 x 3x 8
5 2
(2) y ( x 2x)( x 2)

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。

即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。

下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。

例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。

解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。

f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。

解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。

g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。

求导数公式及运算法则

求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。

在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。

本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。

一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。

二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。

3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。

5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。

三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。

下面介绍求导数的四则运算法则。

1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。

2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。

导数的计算方法链式法则与隐函数求导

导数的计算方法链式法则与隐函数求导导数的计算方法：链式法则与隐函数求导导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点的变化率。

在实际问题求解中，我们常常需要计算函数的导数。

本文将介绍两种常见的导数计算方法：链式法则和隐函数求导。

一、链式法则链式法则是求复合函数导数的一种方法，适用于函数嵌套较多的情况。

下面以一个简单的例子来说明链式法则的使用。

设有函数 f(x) = sin(2x)，我们要求该函数在某一点 x=a 的导数。

首先，我们定义一个新的函数 u(x) = 2x，再定义一个函数 v(u) = sin(u)。

根据链式法则，复合函数 f(x) 可以表示为 f(x) = v(u(x))。

根据链式法则，导数 f'(x) 可以表示为：f'(x) = v'(u(x)) * u'(x)其中，v'(u) 表示函数 v(u) 对 u 的导数，u'(x) 表示函数 u(x) 对 x 的导数。

对于函数 v(u) = sin(u)，它的导数 v'(u) = cos(u)。

而函数 u(x) = 2x，则它的导数 u'(x) = 2。

将上述结果代入链式法则公式，可以得到：f'(x) = cos(u(x)) * 2接下来，我们需要求出函数 f(x) 在点 x=a 处的导数。

将 x=a 代入f'(x) 中，可以得到：f'(a) = cos(u(a)) * 2这样，我们就求得了函数 f(x) = sin(2x) 在点 x=a 处的导数。

二、隐函数求导隐函数是指由方程所定义的函数，其中的变量在方程中未显式表示。

隐函数求导是一种用于求解这类函数导数的方法。

下面以一个常见的例子来说明隐函数求导的过程。

设有方程 x^2 + y^2 = 1，我们要求解该方程所定义的隐函数 y(x) 在某一点 x=a 的导数。

为了求解 y'(a)，我们可以通过对方程两边同时对 x 求导，进而解出y'(a) 的表达式。

导数公式及导数的运算法则

导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。

导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。

本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。

一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。

2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。

4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。

5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。

6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。

二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。

2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。

3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。

4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。

5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。

三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。

导数的定义与求法

导数的定义与求法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。

在数学中，导数的定义是极限的概念，可以通过一些基本的求导法则来求解。

本文将介绍导数的定义以及求导的方法。

一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点处的变化率。

对于函数f(x)，在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义为:f'(a) = lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)其中lim表示取极限的操作。

这个极限表示当自变量趋近于a时，函数值对应的变化率的极限值。

二、求导法则除了使用导数的定义来计算导数外，数学家总结了一系列的基本求导法则，可以帮助我们更便捷地求导。

下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：对于常数c，导数为0。

d/dx (c) = 02. 幂法则：对于幂函数y = x^n，导数为nx^(n-1)。

d/dx (x^n) = nx^(n-1)3. 求和与差法则：对于函数y = u(x) ± v(x)，导数等于各个函数的导数的和或差。

d/dx [u(x) ± v(x)] = u'(x) ± v'(x)4. 乘积法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数的值再加上第一个函数的值乘以第二个函数的导数。

d/dx [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)5. 商法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数等于分子函数的导数乘以分母函数的值再减去分子函数的值乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。

d/dx [u(x)/v(x)] = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2三、应用举例为了更好地理解导数的定义和求导法则，我们来看几个实际应用的例子。

例1：求函数f(x) = 3x^2在x = 2处的导数。

根据导数的定义，我们可以计算出：f'(2) = lim (x→2) [3x^2 - 3(2)^2] / (x - 2)= lim (x→2) [3x^2 - 12] / (x - 2)= lim (x→2) (3(x + 2)(x - 2)) / (x - 2)= lim (x→2) 3(x + 2)= 3(2 + 2)= 12所以，函数f(x) = 3x^2在x = 2处的导数为12。

导数求导的方法

导数求导的方法当我们谈论导数和求导的方法时，实际上是在讨论函数的变化率，以及如何计算函数在某一点的斜率或变化率。

在数学上，导数表示函数在某一点处的斜率，可以帮助我们找到函数的最大值、最小值和函数的变化趋势。

以下是关于导数求导的50种方法，包括基本的导数规则、常见函数的导数计算以及一些常用的求导技巧。

1. 基本导数规则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导、反三角函数求导等。

2. 使用极限定义：根据导数定义的极限表达式，计算函数在某一点的导数。

3. 使用导数的性质：利用导数的性质，如加法性、乘法性、导数与乘积的关系、导数与商的关系等，简化函数的导数计算。

4. 利用链式法则：对复合函数求导时，使用链式法则计算导数，将复合函数拆解成简单的函数并依次求导。

5. 利用反函数求导：利用反函数的导数与原函数导数的倒数关系，对反函数求导。

6. 隐函数求导：对含有隐函数的方程，利用隐函数求导公式计算导数。

7. 用总导数公式：对多元函数，利用总导数公式计算偏导数。

8. 利用对数求导：对指数函数求导时，可以先将指数函数化为自然对数形式，再进行求导。

9. 利用差商定义求导：将函数的差商形式化，然后利用极限定义计算导数。

10. 利用牛顿-莱布尼茨公式：对定积分求导时，利用牛顿-莱布尼茨公式将导数和定积分联系起来。

11. 利用泰勒展开式：通过泰勒展开式将函数转化为多项式形式，然后求导。

12. 利用微分方程求导：对包含微分方程的函数，通过微分方程的特定形式计算导数。

13. 利用参数方程求导：对包含参数方程的函数，利用参数方程的导数计算方式求导。

14. 利用极坐标求导：对极坐标形式的函数，通过极坐标的导数计算方式求导。

15. 利用数值方法求导：通过数值微分或数值积分方法估算导数值。

16. 利用导数的几何意义：利用导数表示函数在某一点的切线斜率，计算导数。

17. 利用对称性求导：利用函数的对称性质简化导数计算过程。

导数的四则运算法则

y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)，切线方程为 : y 6 15( x 2)，即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t

导数求导的公式

导数求导的公式定义在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。

导数通常用来表示函数在某一点的变化率，即函数在该点附近的变化趋势。

导数求导是微积分中的一种重要操作，它可以帮助我们分析函数的性质、求解极值和优化问题等。

导数的计算导数的计算方法有很多种，其中最基本的方法是使用导数的定义式进行求导。

如果函数f(x)在x点处可导，那么函数在该点处的导数可以表示为：$f'(x) = \\lim_{h \\to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，当x点处函数f(x)可导时，f’(x)即为函数f(x)在x点处的导数。

常见导数求导公式在微积分中，有一些函数的导数求导公式是比较常见的，下面列举几个常见的求导公式：1.常数函数的导数若f(x) = c，其中c为常数，则f’(x)= 0。

2.幂函数的导数若f(x) = x^n，其中n为常数，则f’(x)= nx^(n-1)。

3.指数函数的导数若f(x) = e^x，其中e为自然对数的底，则f’(x) = e^x。

4.对数函数的导数若f(x) = ln(x)，则f’(x) = 1/x。

5.三角函数的导数若f(x) = sin(x)，则f’(x) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则f’(x) = -sin(x)。

通过应用这些常见的导数求导公式，我们可以求解各种函数的导数，从而更好地理解函数的性质和变化规律。

总结导数求导是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们分析函数的性质、求解极值和优化问题等。

导数的计算方法多种多样，常见的导数求导公式可以帮助我们快速求解各种函数的导数。

通过深入学习导数求导的知识，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决实际问题提供有力的数学工具。

以上是关于导数求导的公式的一些基本介绍，希望可以帮助您更好地理解这一重要的微积分概念。

函数求导的各种方法

函数求导是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，从而更好地分析函数的性质。

求导有多种方法，下面就来介绍一下几种常用的求导方法。

首先是利用微积分的基本定义来求导。

这种方法是最基本的求导方法，它利用微积分的基本定义，即函数的导数是极限的概念，来求导函数。

这种方法比较繁琐，但是可以求出任意函数的导数。

其次是利用微分的基本法则来求导。

这种方法利用微分的基本法则，如链式法则、指数函数法则、对数函数法则等，来求导函数。

这种方法比较简单，但是只能求出一些特殊函数的导数。

最后是利用拉格朗日法则来求导。

这种方法利用拉格朗日法则，即函数的导数是极值点处的切线斜率，来求导函数。

这种方法比较容易，但是只能求出一些特殊函数的导数。

以上就是函数求导的几种常用方法，它们各有优缺点，在实际应用中，我们可以根据实际情况选择合适的求导方法。