华东理工大学2011年高等数学下答案

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华东理工大学高数答案第2章

第2章（之1）第2次作业教学内容: §2.1 导数概念**1. 设x x x f 2)(3+=，试用导数定义求)(x f '.解：lim ()()lim()()∆∆∆∆∆∆∆x x f x x f x x x x x x x xx →→+-=+++--003322 =+322x .**2. 试用导数定义计算下列函数的导数：（1）xx f 1)(=，求)1(f '；（2）()38t t g -=，求()2g '；（3）()t t t -=23ϕ，求()1-'ϕ.解：（1）x f x f f x ∆-∆+='→∆)1()1(lim )1(0=+-→lim ∆∆∆x xx0111=-+=-→lim ∆∆x x 0111.（2） ()()()tt g t t g t g t ∆-∆+='→∆0lim()[][]()()tt t t t t t t tt t t t t t t t t t ∆∆+∆+∆+-=∆∆+-=∆--∆+-=→∆→∆→∆32233033033033lim lim 88lim()22033lim t t t t t ∆-∆--=→∆23t -=，即 ()23t t g -='， ()122-='∴g .（3） ()()()tt t t t t ∆-∆+='→∆ϕϕϕ0lim()()[][]ttt t t t t t ∆--∆+-∆+=→∆22033limttt t t t ∆∆-∆+∆=→∆2036lim()16136lim 0-=-∆+=→∆t t t t ， ()16-='∴t t ϕ， ()71-=-'ϕ.**3. 求曲线22x y = 在点 ()2,1=P 处的切线方程.解：曲线在点P 处切线的斜率为 4122lim 21=--→x x x ，所以切线方程为 ()214+-=x y .**4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答

华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华东理工大学2013–2014学年第二学期《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4开课学院：理学院，专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级任课教师题序一二三四五六总分得分阅卷人注意：试卷共两页六大题一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）：1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为。

答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为。

答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 zxy u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。

答：12)(--=z x xy x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u zy+=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则=∂∂yu。

答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数，则∂∂zy= 。

答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a ρρρ，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b ρρρρϖ 。

答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于。

答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。

答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是。

2011年高等数学(高数)学位考试答案与平分标准

| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | |2011年《高等数学》学位考试试卷（答题时间150分钟）一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，15分，共计5小题，每小题3分）1. 若0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小量，则当0x x →时，下列表达式中哪一个不一定是无穷小量 D ；A.)()(x x βα+B.22()()x x αβ+ C.[]ln 1()()x x αβ+⋅ D.2()()x x αβ 2. 曲面xy yz zx ++=11在点(,,)123处的切平面方程为 BA.334251-=-=-z y x B.0)3(3)2(4)1(5=-+-+-z y x C.x y z -+-+-=1524330 D.53423140()()()x yz -+-+-+= 3. 若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分化成累次积分为 DA.2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰B.2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰C.2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰D.2cos 322(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰4. 222arctan (),ln(1)x t d yy y x dx y t =⎧==⎨=+⎩设确定了则 C A.2 B.221t + C.22(1)t + D.212t- 5. 设2222()()0()0m ax by dx bx ay dy x y x y ab ⎛⎫++++≠ ⎪+≠⎝⎭是某二元函数的全微分，则m = A A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（将正确答案填在横线上。

本大题共15分，共计5小3分） 6. xx exx 21lim 30--→= 17. 设u x y x y =+-44224，则∂∂22u x =22812yx - 8. 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 29. 设)(x f 连续，则⎰=+bady y x f dx d )()()(x a f x b f +-+ ，其中a ，b 为常数，且b a <。

华南理工大学2011高数下期中考试及答案

华南理工大学2011-2012学年第二学期《高等数学》期中考试试卷评分标准一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分) 1.求极限22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：lim e 0k t t t -→+∞= ２＇22()2()lim (e lim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦））３＇２．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x . 解：()()226023220xdx z dz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ３＇ 6,1326dz x dy x xydx z dx y yz+==-++ ２＇３．设,u f 可微，证明： ()()grad grad f u f u u '= 证明：()()()()()()(){}()()(){},,,,x y z xyzf u f u f u f u f u u f u u f u u '''''''''==⋅⋅⋅grad ３＇(){}(),,x y z f u u u u f u u '''''==grad ２＇４．求曲线23x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩的切线，使它与平面21z y z ++=平行.解：设切点为()23000,,M t t t -，则切向量为{}2001,2,3T t t =- . １＇_____________ ________学号学院专业座位号( 密封线内不答题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………{}{}2200001,2,31,2,11430T n t t t t ⋅=-⋅=-+=解得01t =或013t =，相应切点为()1,1,1-或111,,3927⎛⎫- ⎪⎝⎭，２＇因此，所求切线为1111:123x y z L -+-==-， 21113927:321x y z L -+-==- ２＇二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．设()()()()()22,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，试研究该函数在()0,0点的可微性. 解：()()()()0,00,00,0lim0,0,000x y x f x f f f x →-===- ４＇又()()()()2222022(,)()limlim0(()())x x y y f x y x y x y x y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆-∆=≠∆+∆∆+∆∆+∆ ５＇函数(),f x y 在点()0,0处是不可微的１＇６．设函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，满足等式2220x yy x y xy y xx f f f f f f f -+=，且0y f ≠，(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =确定的函数.求 22yx∂∂.解：x yf yx f ∂=-∂ ４＇ 220yx ∂=∂ ６＇7．在经过点12,1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的所有平面中求一个，使这个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小.解：设该平面为1x y za b c++=，１＇四面体的体积为16V abc =. １＇问题化为求16V abc =在约束条件21110,0,0,03a b c a b c++-=>>>下的最小值点.构造拉格朗日函数()1211,,,163f a b c abc a b c λλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭３＇由22222110,0,0,1066633a b c bc ac ab f f f f a b c a b cλλλλ=-==-==-==++-= ３＇得唯一一组解6,3,1a b c ===，该实际问题的最小值一定存在，从而该点一定是要求的最小值点了.因此所要求的平面为163x yz ++= ２＇三. 解答下列各题 (每小题8分，共32分) ８．计算11301ydy x dx +⎰⎰.解：21113330111x yDdy x dx x d dx x dy σ+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰４＇()112333011113x x dx x d x =+=++⎰⎰ ３＇ ()22219=- １＇ 9．计算22y Dx edxdy -⎰⎰，其中区域D 是由直线0,1,x y y x ===所围成的区域.解：22y Dx e dxdy -⎰⎰21200yy dy x e dx -=⎰⎰ 4’ 213013y y e dy -=⎰ 2’ 1163e =- 2’10．计算2()x y dV Ω+⎰⎰⎰.其中Ω是曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2,8z z ==所围成的区域.解：求出旋转面方程为222x y z += １＇2()x y dV Ω+⎰⎰⎰＝()22x y dV Ω+⎰⎰⎰ １＇＝()8222Dzdz x y dxdy +⎰⎰⎰ ３＇82283220022336z dz d r dr z dz πθππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ３＇ 11．计算三重积分2y dV Ω⎰⎰⎰，其中(){}222,,2x y z xy z z Ω=++≤.解：2y dV Ω⎰⎰⎰22cos 2342sin sin d d dr ππϕθθϕϕρ=⎰⎰⎰５＇415π=３＇四. 解答下列各题 (每小题9分,共18分)12.求由两圆周()22224x y a a +-=和()222(0)x y a aa +-=>所围的均匀薄片的质心.解：0x = ２＇4sin 2202sin 11sin 3a a D Dy ydxdy d r dr S a πθθθθπ==⎰⎰⎰⎰５＇＝73a ２＇13. 计算由曲面22x y az +=和222(0)z a x y a =-+>所围立体的表面积.解：22222224412x y a x y S dxdy a a+≤=+++⎰⎰６＇2(2)3a a π=+ ３＇。

华东理工大学高等数学答案第2章.doc

第2章（之8）第9次作业教学内容：§2.3.4函数的间断点及其分类 §2.3.5闭区间上连续函数的性质 §2.4.1函数可导与连续的关系 §2.4.2函数的和差积商的求导法则**1．型为（），则此函数间断点的类、的间断点为函数2123122=+--=x x x x y是第一类．是第二类，．是第二类；是第一类，．都是第二类；，．都是第一类；，．21212121======x x D x x C x B x AC 答：***2. 设xx x x x f 1sin1)(22--=，则1-=x 是)(x f 的 ___ 间断点； 0=x 是)(x f 的_____ 间断点；1=x 是)(x f 的 ____ 间断点.答案:1、无穷；2、可去；3、跳跃.***3．对怎样的 a 值，点 a x = 是函数()a x x x f --=42 的可去间断点？解：函数在可去间断点处a x =极限必存在。

由极限基本定理，设A a x x a x =--→4lim 2，则必有()()()a x x a x A x -+-=-α42，其中()x α是a x →时的无穷小。

而()44lim 22-=-→a x a x ，另一方面，()()()[]0lim =-+-→a x x a x A ax α。

所以由042=-a 得2±=a 。

经验证，当 2±=a 时，a x x a x --→4lim 2存在，故 2±=a 为所求.**4.指出的间断点，并判定其类型．f x x xx x()sin =--21解： ,,210πππn x x x ±±±===，，，，，都是的间断点f x ()， ∞==∈≠=→)(lim 0sin ,)0(x f n z n n n x n x πππ，处，　在，的第二类间断点是，，，故)(32x f x πππ±±±=；，无意义处在1sin 1)1(lim)(lim ,)0(,00-=--==→→xx x x x f f x x x∴=x f x 0是的可去间断点()；,1sin 1)01(1sin 1)01(1=+-=-=f f x ，处在)01()01(+≠-f f 的跳跃间断点是　)(1x f x =∴.***5 、指出下面函数的无穷间断点：x x xx f sin cos 1)(-=.解：依题意，0=x 及),2,1( ±±==k k x π是)(x f 的间断点. 而x x x x x x x f x x x ⋅=-=→→→2lim sin cos 1lim )(lim 200021=. 故0=x 不是无穷间断点.又)0(0)2()2(lim )2sin()2cos(1lim sin cos 1lim 221222≠=---=----=-→→→k x k x x k x k x x k x x x k x k x k x πππππππ，而)2,1,0(sin cos 1lim2 ±±=∞=-+→k x x xk x ππ，∴ 函数)(x f 的无穷间断点为 ,5,3,πππ±±±=x .**6．设()x f y =在[]1,0上连续，且()10≤≤x f 。

高等数学下册 (殷锡铭许树声著) 华东理工出版社课后答案第9章 khdaw

1第9章（之6）（总第49次）教学内容：§9.4.3二阶线性常系数微分方程的解法（A ）**1．求下列方程的通解（1）；08=+′′y y 解：，，082=+λi 222,1±=λ。

x c x c y 22sin 22cos 21+=（2）'6"+y y 解：62+λλ所以通解为（1）'8''−y y 解：∵82−λ通解为：)1('=c y 得到：1c （2）'4"+y y 解：42+λλ通解为：。

)5sin 5cos (212x c x c e y x +=−代入初始条件有：，πππe c c e y =⇒=+=−221)0()2(，)5cos 55sin 5()5sin 5cos (22('212212x c x c e x c x c e y x x +−++−=−−π得：。

特解为：。

πe c −=1)5sin 5cos (2x x e y x+−=−π2（3）；10)0(',6)0(,03'4"===++y y y y y 解：，，0342=++λλ0)3)(1(=++λλ所以通解为。

x x e c e c y 321−−+=代入初始条件有：，6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=−−=−−=−−c c e c e c y x x 特解为：。

x x e e y 3814−−−=**3．求解初值问题1)0(1d 20≥⎪⎩⎪⎨⎧==++′∫x y x y y y x 解：将原方程对求导得x ′′+′+=y y y 201()且有′=−=−y y ()()01201微分方程（1）的通解为：，y e C x C x =+−()12代入初始条件，得，1)0(,1)0(−=′=y y 1,021==C C 故所求问题的解为：。

x e y −=***4．设函数二阶连续可微，且满足方程，求函数。

11-12-2高等数学下(通信、电子本科)A卷及标准答案

2011 - 2012学年第二学期期末考试《高等数学(下)》试卷(A)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分 100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班题号-一--二二三四总分分数评阅人： ____________ 总分人： __________________________、单项选择题(共 10小题，每小题3分，共30分)。

【A 】设有直线L ：口 =丄二二2及平面二:2x y =1,则直线L1 -2 1(A)平行于二 (B) 在二内 (C)垂直于二 (D) 与二斜交【D 】2.锥面z立体在xoy 面的投影为[A l 4.函数z = f (x, y)在点(x 0, y 0)处可微分，则函数在该点1 1【C 】5.将二次积分pdx. f(x,y)dy 转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)必连续 (C)必有极值(D)(B)偏导数必存在且连续偏导数不一定存在(A) (x -1)2 y 2=1 (B) (x-1)2 y 2 乞 1(C)z= 0,(x -1)2y 2 -1(D)z =0,(x_1)2y 2 _1【C 3.设函数z 二z(x, y)由方程e z = e + xyz 确定，则一z的值为(1,0,1)(A) d(B)e (C)(D)11 1 x( A )°dy y f(x, y)dx(B)°dy 0f(x,y)dx( C )1 y0dy 0f(x,y)dx(D) 1 10dy 0f(x,y)dx【D] 6.设L为圆周x22y =1(逆时针方向),则口L(x y)dx (3y -2x)dy( A 3 二(B) 2 二(C) 4 二(D) -3'：【D】7.下列级数中，收敛的级数是001(A) ----------- (B)n4 . 2n 1f (3n4 2n(C)1 nn4 1 * n2(D)nm n ■ 1°°(x _1)n 【B] 8.幕级数a(x n丿■的收敛域为心n3n(A) ( -2, 4) (B)[-2,4)(C)[-2,4](D)(-2, 4]【C】9.微分方程y - y = 0满足初始条件y l x出=2的特解为(A) y =e x1( B)xy = e 2x x(C) y = 2e (D) y = e【B] 10.具有特解y1.x .x二e , y2 二xe的二阶常系数齐次线性微分方程是(A) y -2y y = 0(B)y 2y y = 0(C) y y - 2y = 0(D)y - y 2y = 0得分|二、填空题(共5小题，每小题3分,共15分)1. 设两点A(1,2,1)及B (2,1,3),则| AB | = | AB | = •、6 _；向量AB与z轴的夹角为，r则方向余弦COS ；* = ____ . COS f = ----32. 设z = y x,则dz=_dz = y x In yd^xy x^dy.3. 函数f(x, y) =x2y — y2在点P(1,1)处方向导数的最大值为_T5 _____________ .4. 设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则[(x + y)ds=_J2 _______________ .15.函数展开成X 的幕级数为3 x1.已知曲面Z =x 2 ・y 2-2上一点M (2,1,3)，⑴ 求曲面在M 点处的一个法向量；(2) 求曲面在M 点处的切平面及法线方程•2.求函数 f (x, y) = 2(x 「y)「x 2「y 2 的极值.2 2 2 23.平面薄片的面密度为」(x,y)=x y 1,所占的闭区域 D 为圆周x y =1及坐标轴所围成的第一象限部分，求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分(3z 2x)dydz - (y 3 -2xz)dxdz - (3x 2z)dxdy ,其中Z为上半球面z = a 2 -x 2 - y 2及平面z = 0所围立体的整个边界曲面的外侧5.设曲线通过原点，且曲线上任一点 M (x, y)处的切线斜率等于 x - y ,求该曲线的方程.6. 求微分方程y -3y ，2y =e x 的通解.3n7. 判断级数v (-1)n °半是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?心 4四、综合应用题(共2小题，共13分，其中第1题6分，第2题7分).1. (6分)要用钢板造一个体积为4( m 3)长方体无盖容器，应如何选择容器的尺寸，使n 1n z03nx , -3 ：：三、计算题(共7小题，每小题6分,共42分)得用料最省？》 2 * 》2. (7分)设在xoy平面有一变力F(x, y) =(x • y2) i (2x^8) j构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关；(2)计算质点从点 A(1,0)移动到点《高等数学(下)》试卷(A) 第5页共6页B(2,1)时场力所作的功(1)|ABH<6; COS 63x(2) dz = y Inydx xy x_l dy、2「¥x n ,—3»3n £3三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6 分)(1)由 z = x 2y 2 -2 得，Z x =2x,Z y =2y ,曲面在点M (2,1,3)处的一个法n=(-4, -2,1))2分)⑵ 在点M (2,1,3)的切平面方程为4(x-2)，2(y-1)-(z-3) =04x 2y-z -7 -0选择题每小题3分共30分)..填空题(每小题3分,共15分).... (2 分) 法x y 42分)线z -3 -1A 二 f xx （1,—1） = —2,B 二 f xy （1,—1） = °,C 二 f yy （1, — 1） = -2,则2AC - B=4 ° , A ：： ° , .................................................................................. （2 分）所以（-1 为极大值点，极大值f （1,—1） =2 ............................................................. （2 分） 3.（6分）平面薄片的质M 二 J（x, y ）dxdy 二（x 2 y 2 1）dxdy .......................... （ 2 分）DD1 o2dr C 1）Z ° - °v/【丄加丄詩彳二3二 ................................ （2分）2 4 2 84.（6 分）所围空间区域门={（ x, y, z ） |0 _ z _ a 2-X 2 - y 2} 由高斯公式，有原式r "耳◎迅）dv0 ex oy cz!!! （3z 2 3y 2 3x 2）dv ............................. （ 2 分）Q2 a=3茁 2sin 「d 「r 2 r 2dr ................................. （ 2 分）0 - 0 02.（6 分）f x =2_2x, f y =-2—2yf x 二 0,占八（2 分）y=°,（2 分）（-1 xy丑1 6=3 2二[-cos J： [ r5]0 a5......................... ( 2 分)5 55.(6分)设所求曲线为y = y(x),由题意得，y = x- y , y(0) = 0,该方程为一阶线性微分方程y・y=x, 其中P( x) 1 Q, x ........................... x .......................... ( 2 分)_p(x)dx |P(x)dx _|dx f dx故通解为y = e [ e Q(x)dx C] =e [ xe dx C] [xe x dx C]二e ▲ (xe x _ e x C)二Ce」x -1(2 分)2分)从而Q(x)二-x,特解y - -xe x, (2 分)y(0)=0 从而所求曲线为6.(6 分)对应的齐次方程y”-3y、2y=0的特征方程为r2-3r•2=0，得特征根则对应的齐次方程的y =C1e x C2e2x2分)对于非齐次方程y ” -3y： 2y二e x, ' =1为r2-3r *2=0的单根，P(x) =1,设其* y特解为y -Q(x)e x,其中Q(x)=ax, a为待定系数，Q(x)满足Q (x) (2' p)Q(x)二P(x)0 (2 1 _3)(a) =17.(6分)由于》(一1)n 4 3n4ny 二C^x C2e2x_xe x.而|im 加=lim匸匕=丄 , 贝U (—2卑1 )收y u n F 4n 4 心4n 敛，................................... （ 3 分）3n从而'•（_ ni i3n ）也收敛，且为绝对收心4n敛. ....................................... （3分）四、综合应用题（共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分）.41.（6分）设该容器的长，宽，高为x, y,z,由题意知xyz=4,则z ,容器的表面积xy4 8 8A = xy 2yz 2xz = xy 2(x y) xy , x 0, y 0xy x y分）( 2 分)因实际问题存在最小值，且驻点唯一，所以当x二y = 2（ m）, z = 1（ m）时，容器的表面积最小，从而用料最省. .....................................................................（1分）2.（7 分）证明：（1）P（x, y）=x y2, Q（x, y） = 2xy-8,由于在xoy面内，—=2y Q恒成立，且P连续，® ex cy ex2分)故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ................................... （4分）⑵质点从点A（1,0）移动到点B（2,1）时场力所作的功（与路径无关），路径L可取折线段A > C,C > B,其中点C(2,0),从而(2,1) * (2,1)W F dr Pdx Qdy%,。

高数下第10章答案华东理工

( A2 B 2 0)
(3) 过点 P (1,2,1) 与向量 S1 i 2 j 3k , S 2 j k 平行的平面方程为_____ ．答： x y z 0 (4) 点 M 0 (6,2,1) 到平面 x 2 y 2 z 6 0 的距离为 d ___________．解： d
．
第 10 章（之 3）（总第 55 次）
教学内容：§10.3 平面与直线[10.3.1]
**1.解下列各题 (1) 平行于 x 轴，且过点 P (3,1,2) 及 Q (0,1,0) 的平面方程是______ ．答： y z 1
(2) 与 xOy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ．答： Ax By d 0
即
2 2 2c o s ，则 cos
0 ，所以
3 3 ，即 a 与 b 的夹角为． 4 4
** 9.在 yz 平面内求模为 10 的向量 b，使它和向量 a 8i 4 j 3k 垂直．解：∵ 向量 b 在 yz 平面内， ∵ b a，

∴P 点的径向量为 r0 ta ． ** 4．设 a 2, b 3 ，a 与 b 的夹角等于（1） a b ；（3） (a) b ；
2 ，求： 3
（ 2） (3a 2b) (a 2b) ；（ 4） 3a 2b ．
解：（1） a b a b cos a, b 2 3 cos
（4） 3a 2b

2
2 2 3a 2b 3a 2b 9 a 4 b 12ab

华东理工大学2007至2008学年第二学期高等数学下8学分课程期末考试试卷A

华东理工大学2007至2008学年第二学期高等数学下8学分课程期末考试试卷 A
2008年6月
一. (本题8分)
求旋转抛物面上与直线垂直的切平面方程。

二. (本题8分)
试用拉格朗日乘数法在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短.
三. (本题8分)
设函数在上连续, 且满足,
其中, 求的表达式 .
四. (本题8分)
求曲线在[2,6]上的一条切线,使该切线与直线及曲线
所围成的图形面积为最小,并求最小面积.
五. (本题8分)
如图，半径为的半球形水池中盛满了水,设抽水机每分钟作功为常量千焦耳,
则水深为时,水面下降的速率是多少?
六.填空题(每小题4分,共40分):
1.微分方程满足初始条件的特解
是___________ .
2. 微分方程的通解是 .。

华东理工大学2011年高等数学下试卷

华东理工大学2010–2011学年第二学期《高等数学(下)》（11学分）期中考试试卷 2011.4开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：注意：试卷共2大张，6大题一．（本题7分）求过点M (,,)001和N (,,)300，且与xoy 平面成π3角的平面方程。

二．（本题7分）函数y y x z z x ==(),()由方程组x y e x y z z ++=++=⎧⎨⎩112所确定，求d d ,d d y x zx 。

三．（本题7分）以2x yu =为新的未知函数，变换方程 0)622()4(222=-+-'-+''y x x y x x y x ，并求原方程的通解。

四．（本题7分）容器内有1003m 的盐水，含10kg 的盐，现在以每分钟33m 的均匀速度从A 管放进净水冲淡盐水，又以每分钟23m 的均匀速度将混合均匀后的盐水从B 管抽出，问100分钟后容器内还剩多少盐？1．若0),(00=∂∂y x x f，0),(00=∂∂y x y f ，则),(y x f 在点),(00y x 是（）（A ）连续且可微；（B ）连续但不一定可微；（C ）可微但不一定连续；（D ）不一定可微也不一定连续。

2．若z f x y =(,)在(,)x y 00处沿x 轴反方向的方向导数A ，则f x y (,)在该点对x 的偏导数（）（A ）为A （B ）为-A （C ）不一定存在（D ）一定不存在。

3．设1y ，2y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解，若常数λ，μ使21y y μλ+是该方程的解，且21y y μλ-是该方程对应齐次方程的解，则（）（A ）21=λ，21=μ；（B ）21-=λ，21-=μ；（C ）31=λ，32=μ；（D ）32=λ，32=μ。

华东理工大学高等数学答案第12章

x2

2
1
dy
0

1
0
dy
x
2 y y
f ( x, y ) dx ；

1
0
dy 2 f x, y dx ．
1 1 x 2
2 x
答： (C )
2 2 **（5）设函数 f x, y 在 x y 1 上连续，使 f x, y dxdy 4 dx 0 0
2
又 ∵ 当 r 0 时， , 0,0 ，且 f x, y 在 0,0 连续． ∴ lim
1 r 0 r 2
x 2 y 2 r 2
f x, y d f 0,0 ．
第 12 章（之 2）（总第 68 次）
教学内容 : § 12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题： ** （1）设 f ( x , y ) 是连续函数，则
3
2
2
2

D
a 2 x 2 y 2 dxdy ．
3
（A） 1；答：（B）．
(B)
3 ； 2
3
(C)
3 ； 4
(D)
1 ． 2
73
**2．解下列问题： (1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：中，D 为任一有界闭区间．解：令 u x 2 y 2 ，且 f u e 1 u ，则有 f ' u e u 1 ．

1

x
ex
2
2 x
d x 2 2x e x

2
2 x 2 1
**(2)
1
2 2 dx x 1 x y dy ． 1

高数下课本详解答案(合工大版)

习题8-11.自点(),,P a b c 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解在,,xoy yoz zox 坐标面上的垂足坐标分别为(),,0a b 、()0,,b c 、(),0,a c ，在x 轴、y 轴、z 轴上垂足的坐标分别为(),0,0a 、()0,,0b 、()0,0,c .2.已知三角形个的三个顶点的坐标分别为()4,1,9A 、()10,1,6B -、()2,4,3C ，求该三角形的三边长度，此三角形由何特点？解7AB ==，7AC ==，BC =由于AB AC =，且222AB ACBC +=，故此三角形为等腰直角三角形.3.在z 轴上求与点()4,1,7P -和点()3,5,2Q -等距离的点的坐标.解设z 轴上的点为()0,0,M z，则MP MQ=即=，解得149z =，故点为140,0,9M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.求到两定点()1,2,1A -和()2,1,2B -等距离的点(),,M x y z 的轨迹.解由于MA MB =，从而有=解得26630x y z +--=.5.设平行四边形的两条对角线向量为a 和b，求其四条边向量.解如意8-1所示，由向量加减法的平行四边形法则有,,c d a c d b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 故2a b c += ，2a b d -=，即平行四边形的四条边向量为2a b + 、2a b + 、2a b - 、2a b- .(图8-1)(图8-2)6.设A 、B 、C 、D 是一个四面体的顶点，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，证明：()12MN AD BC =+.证如图8-2所示，AD DN AN +=，BC CN BN += ，AN AM MN -= ，BN BM MN -= ，又DN CN =- ，AM BM =- ，于是22AN BN AD BC MN ++==.7.已知两点()A 和()3,0,2B ，计算向量AB 的模、方向余弦、方向角及与AB平行的单位向量.解由于{}1,AB =-，则有2AB = ，1cos 2α=-，cos 2β-，1cos 2γ=-，方向角为23πα=，34πβ=，3πγ=，与AB 平行的单位向量为121,,222⎧⎫⎪⎪±--⎨⎬⎪⎪⎩⎭.8.设358a i j k =++，27b i j k =--，求向量23c a b =+在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量.解23945c a b i j k =+=+-，故c 在x 轴上的投影为9，在z 轴上的分向量为5k - .9.一向量的终点在点()2,1,7B -，它在x 轴、y 轴及z 轴上的投影依次为4,4-和7，求这向量的起点A 的坐标.解设起点(),,A x y z ，由{}{}2,1,74,4,7AB x y z =----=-解得()2,3,0A -.10.设{}3,5,1a =- ，{}2,2,3b = ，{}4,1,3c =-- ，求与a b c +-平行的单位向量.解{}1,8,5a b c +-=，故与a b c +-平行的单位向量为±.11.设5AB a b =+ ，618BC a b =-+ ，()8CD a b =-，试证A 、B 、D 三点共线.证因为()()6188210BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+()252a b AB=+=所以AB平行BD ，即A 、B 、D 三点共线.12.已知向量AB 的模为10，与x 轴正向夹角为4π，与y 轴正向夹角为3π，求向量AB .解设向量AB的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，由于4πα=，3πβ=，222cos cos cos 1αβγ++=，得1cos 2γ=±于是向量{}211cos ,cos ,cos 10,,222AB AB αβγ⎫⎪==±⎨⎬⎪⎪⎩⎭.习题8-21.设4a i j k =+-，22b i j k =-+ ，求（1）()()22a b a b +⋅-；（2）()()22a b a b +⨯- ；（3）a 与b 夹角.解（1）a =，3b =，4a b ⋅=-()()222223230a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=；（2）114794221i j k a b i j k⨯=-=----()()225354520a b a b a b i j k +⨯-=-⨯=++；（3）设a 与b夹角为θ，则cos9a ba bθ⋅===-arccos9θ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.2.已知向量a 和b相互垂直，且1a=，b=，求（1）()()a b a b+⋅-；（2）()()a b a b+⨯-；（3）()a b+与()a b-夹角.解（1）()()22222a b a b a b a a b b a b+⋅-=+⋅-⋅-=-=-；（2）()()2a b a b a a b a a b b b a b+⨯-=⨯+⨯-⨯+⨯=-⨯=（3）()a b+与()a b-夹角为θ，则()()()()21cos42a b a ba b a bθ+⋅--===-+-，故23πθ=.3.已知13a=，19b=，24a b+=，求a b-.解()()2222a b a b a b a a b b+=+⋅+=+⋅+()()2222a b a b a b a a b b-=-⋅-=-⋅+两式相加，得()22222a b a b a b-=+-+()2222131924484=+-=，22a b-=.4.已知()1,1,2A-、()5,6,2B-、()1,3,1C-，求：（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；（2）三角形ABC的面积ABCS∆；（3）B点到边AC的距离d.解（1）{}4,5,0AB=-，{}0,4,3AC=-，450151216043i j kAB AC i j k⨯=-=++-故同时与AB 及AC 垂直的单位向量为{}115,12,1625AB AC AB AC⨯±=±⨯；（2）12522ABC S AB AC ∆=⨯=；（3）由于1122ABC S AB AC AC d ∆=⨯=⋅，且5AC = ，则5d =.5.设平行四边形的对角线2c a b =+ ，34d a b =- ，其中1a =，2b = ，且a b ⊥ ，求平行四边形的面积.解设平行四边形的两邻边分别为m 、n，则c m n =+ ，d m n =-,从而()()1142222m c d a b a b =+=-=-,()()1126322n c d a b a b =-=-+=-+ ,55sin 102S m n a b a b π=⨯=⨯== .6.已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求向量s a b c =++ 的长度，以及s 分别与a 、b 、c的夹角.解()()222214s a b c a b c a b c =++⋅++=++=，于是s =cos ,s a s a s a⎛⎫⋅===⎪⎝⎭cos ,s b s b s b ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭cos ,s c s c s c ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭所以,s a arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭,s b arc ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，,s c arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭7.试用向量证明直径上的圆周角是直角.证取圆心为原点建立坐标系如图8-3所示，则圆周方程为222x y R +=，在圆周上任取一点(),A x y ，直径BC ，(),0B R -，(),0C R ，().AB R x y =--- ，().AC R x y =--则()()22220AB AC R x R x y R x y ⋅=---+=-++=故AB AC ⊥，即直径BC 所对应的圆周角为直角，由圆周关于任意一条直径都对称的性质知，直径所对应的圆周角是直角.(图8-3)8.判断下列两组向量a 、b 、c是否共面：（1）{}2,1,3a =- ，{}1,0,5b =- ，{}1,1,4c =-；（2）{}4,2,1a =- ，{}2,6,3b =- ，{}1,4,1c =-.解（1）21310540114abc -⎡⎤=-=≠⎣⎦- ，故a 、b 、c 不共面；（2）4212630141abc -⎡⎤=-=⎣⎦-，故a 、b 、c共面.9.计算顶点()2,1,1A -、()5,5,4B 、()3,2,1C -、()4,1,3D 的四面体的体积.解{}3,6,3AB = ，{}1,3,1AC =- ，{}2,2,2AD =，则四面体的体积为36311132366222V ABAC AD ⎡⎤==-=⎣⎦ .10.如果存在向量c同时满足11a c b ⨯= ，22a c b ⨯= ，证明：12210a b a b ⋅+⋅= .证由于()()12211221a b a b a a c a a c ⋅+⋅=⋅⨯+⋅⨯ ()()2112a c a a c a =⨯⋅+⨯⋅ [][]2112a ca a ca =+ [][]21210a ca a ca =-=习题8-3.1.求出满足下列条件的各平面方程：（1）过点()2,1,1-且与平面32120x y z -+-=平行；（2）过三点()1,1,1-、()2,2,2--、()1,1,2-；（3）过点()2,1,2，且分别垂直于平面32x y z ++=和平面3241x y z +-=；（4）平行x 轴且过两点()1,0,1和()1,1,0；（5）通过z 轴和点()3,1,2-.解（1）设所求平面的法向量n ，可取平面的法向量为{}3,2,1n =-故过点()2,1,1-平面方程为()()()322110x y z ---++=，即3230x y z -+-=；（2）由三点式平面方程知，所求平面方程为1113330023x y z --+--=-即320x y z --=；（3）设所求平面的法向量n ，{}11,3,1n = ，{}23,2,4n =-{}1213114,7,7324i j kn n n =⨯==---，则所求平面方程为()()()14271720x y z --+---=，即250x y z -+-=；（4）设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，由于平面平行x 轴，且点()1,0,1、()1,1,0在平面上，从而有000A A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0A =，B D =-，C D =-，且0D ≠，故平面方程为10y z +-=；（5）设过z 轴的平面为0Ax By +=，且点()3,1,2-在平面上，则由30A B -=，得3B A =，且0A ≠所以平面方程为30x y +=.2.求平面2260x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量{}2,2,1n =- ，取xoy 坐标面的法向量{}10,0,1n =，yoz 坐标面的法向量{}21,0,0n = ，zox 坐标面的法向量{}30,1,0n =，则平面与xoy 、yoz 、zox 各坐标面的夹角余弦分别为1cos 3α=，2cos 3β=，22cos 33γ-==.3.求过点()0,1,0-和()0,0,1，且与xoy 坐标面成3π角的平面.解设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，从而有0,0,cos ,3B D C D π⎧⎪-+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得,A B D C D ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩于是，所求平面方程为10y z +-+=.4.在z 轴上求一点P ，使它到点()1,2,0M -与到平面:32690x y z π-+-=有相等的距离.解设z 轴上点()0,0,P z，则PM =又()1,2,0M -到:3269x y z π-+-=的距离为697z d -=则有697z -=，即2131081640z z ++=，解得2z =-或8213z =-，故所求点为()0,0,2-或820,0,13⎛⎫-⎪⎝⎭.5.试求平面270x y z -+-=与平面2110x y z ++-=的夹角平分面的方程.解设(),,M x y z 为该平面上任取的一点，那么M到两平面的距离相等，即有于是有()27211x y z x y z -+-=±++-故所求平面方程为240x y z --+=或60x z +-=.6.设从原点到平面1x y za b c++=的距离为ρ，试证明：22221111a b c ρ++=，并由此求点(),,a b c 到该平面的距离.证由点到平面的距离公式知ρ=1ρ=，即22221111a b c ρ++=.点(),,a b c到平面的距离2d ρ=.7.判别平面:3210x y z π+-+=与下列各平面之间的位置关系：（1）1:3210x y z π+--=；（2）2:520x y z π-++=；（3）3:2310x y z π-+-=.解（1）取平面π法向量{}1,3,2n =- ，1π法向量{}11,3,2n =-，由于n与1n 的坐标成比例，故n 与1n平行，且d ==；（2）取平面2π法向量{}25,1,1n =-，由于20n n ⋅= ，故2n n ⊥，即两平面相互垂直；（3）取平面3π法向量{}32,3,1n =-，两平面夹角余弦339cos 14n n n n θ⋅==所以两平面斜交，夹角9arccos14θ=.习题8-4.1.求满足下列条件的各直线方程：（1）过两点()13,2,1M -和()21,0,2M -；（2）过点()4,2,1-且平行于直线230,510,x y y z --=⎧⎨--=⎩平行；（3）过点()1,2,2-且垂直于平面3210x y z +-+=.解（1）直线的方向向量可取{}124,2,1s M M ==-于是直线方程为321421x y z -+-==-，（2）直线的方向向量可取{}1202,1,5051i j k s =-=-则直线方程为421215x y z -+-==；（3）平面法向量{}3,2,1n =- ，直线的方向向量可取{}3,2,1sn ==-于是直线方程为122321x y z -+-==-.2.用对称式方程和参数方程表示下列直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩解直线的方向向量{}1114,1,3213ij k s ==---，可在直线上取一点()1,0,2A -，则直线的对称式方程和参数方程分别为12413x y z -+==--，14,4,2 3.x t y z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩3.求过点()0,1,2M 且与直线11112x y z --==-垂直相交的直线方程.解过点()0,1,2M 且垂直直线L 的平面方程为()()()01220x y z ---+-=即230x y z -+-=解方程组230,11,112x y z x y z -+-=⎧⎪⎨--==⎪⎩-，得直线与平面的交点为131,,122M ⎛⎫⎪⎝⎭由此可得121,,122s MM ⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭，故所求直线方程为12312x y z --==--.4.求直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程.解设过直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束方程为()()243290x y z x y z λ-++---=，(λ为非零常数)即()()()2341290x y z λλλλ+-++--=，上述平面法向量为{}23,4,12n λλλ=+--- ，已知平面法向量为{}14,1,1n =-选择λ使1n n ⊥，即()()()()234411210λλλ+⋅-+⋅-+-⋅=，解得1311λ=-故得与已知平面垂直的平面为1731371170x y z +--=则所求投影直线为1731371170,4 1.x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩5.求过点()3,1,2M -且通过直线43521x y z-+==的平面方程.解()4,3,0P -为直线上的一点，直线的方向向量为{}5,2,1s =，则平面的法向量{}1428,9,22521i j kn MP s =⨯=-=- 故所求平面方程为()()()83912220x y z --+-++=即8922590x y z ---=.6.已知平面220x y z +--=及平面外一点()2,1,4M -，求点M 关于已知平面的对称点N .解过点()2,1,4M -且垂直于平面220x y z +--=的直线方程为214121x y z +--==-设M 关于已知平面的对称点(),,N x y z ，则有214,121x y z +--⎧==⎪-⎪=解得0,5,2,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即对称点()0,5,2N .7.设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为0d ⨯=MM s s.证设向量0MM 与直线L 的方向向量s 的夹角为θ，则00000sin MM s MM s MM MM MM ssd θ⨯⨯==⋅=.8.求点()03,1,2M -到直线10,240,x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解直线的方向向量{}1110,3,3211=-=---ij ks ，在直线上取一点()1,2,0M -，则{}02,1,2=---MM ，{}02123,6,6033⨯=---=----i j kMM s 所以0322d ⨯===MM s s.习题8-51.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：（1）1x y +=;（2）22y x =；（3）222x y R +=；（4）22149x y -=.解（1）在平面解析几何表示直线，空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何表示抛物线，空间解析几何中表示抛物柱面；（3）在平面解析几何表示圆，空间解析几何中表示圆柱面；（4）在平面解析几何表示双曲线，空间解析几何中表示双曲柱面.2.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）2221x y z --=；（2）()222z a x y -=+.解（1）将xoy 平面上双曲线221x y -=绕x 轴旋转一周；（2）将yoz 平面上直线z y a =+绕z 轴旋转一周.3．根据常数k 的不同取值，分别讨论下列方程所表示的曲面是什么曲面.（1）22x ky z +=；（2）222x y z k +-=.解（1）当0k >时，为椭圆抛物面，特别地当1k =时为旋转抛物面,当0k =时，为抛物柱面，当0k <时，为双曲面；（2）当0k >时，为旋转单叶双曲面，当0k =时，为圆锥面，当0k <时，为旋转双叶双曲面.4.作出下列曲面所围成的图形：（1）22,1z x y z =+=；（2）z =，z ；（3）0x =，0y =，0z =，1x y +=，226x y z +=-；（4）2y x =，1x y z ++=，0z =.解（1）见图8-4；（2）见图8-5（图8-4）（图8-5）（3）见图8-6；（4）见图8-7（图8-6）（图8-7）习题8-61.将空间曲线222,:1,z x y x z ⎧=+Γ⎨+=⎩转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程.解曲线Γ等价于212,1,y x x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于z 轴的柱面212y x =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线，或等价于221,1,y z x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于x 轴的柱面221y z =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线.2.将下列曲线的一般方程转化为参数式方程：（1）()22221,11,z x y x y ⎧=--⎪⎨-+=⎪⎩（2）2229,,x y z y x ⎧++=⎨=⎩.解（1）曲线的参数方程为1cos ,sin ,2sin ,2x t y t t z ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=⎩（02t π≤≤）;（2）曲线的参数方程为,,3sin ,2x t y t t z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（02t π≤≤）.3.试分别确定常数,,B C D 的各组值，使得平面0By Cz D ++=与圆锥面222z x y =+的截痕为：（1）一点；（2）一条直线；（3）两条相交直线（4）圆；（5）双曲线.解（1）取0B D ==，1C =，则平面0z =与圆锥面的截痕为一点()0,0,0；（2）取1B C ==，0D =，则平面0y z +=与圆锥面的截痕为一条直线0,0;y z x +=⎧⎨=⎩（3）取1B =，0C D ==，则平面0y =与圆锥面的截痕为为两条直线0,,y z x =⎧⎨=⎩和0,;y z x =⎧⎨=-⎩（4）取0B =，1C =，1D =-，则平面1z =与圆锥面的截痕为圆221,1;x y z ⎧+=⎨=⎩（5）取1B =，0C =，1D =-，则平面1y =与圆锥面的截痕为为双曲线221,1;z x y ⎧-=⎨=⎩4.求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线方程：（1）22,1;z x y z x ⎧=+⎨=+⎩（2）cos ,sin ,2.x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解（1）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：2210,0;y y x z ⎧+--=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：22310,0;y z z x ⎧+-+=⎨=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：1,0;x z y +=⎧⎨=⎩（2）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：221,0;x y z ⎧+=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：sin20;z y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：cos ,20.z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩5.求由旋转抛物面22z x y =+与222z x y =--围成的立体在三个坐标面上的投影区域.解立体在xoy 面投影区域(){}22,1xy D x y xy =+≤，立体在yoz 面投影区域(){}22,2,11yz D y z yz y y =≤≤--≤≤，立体在zox 面投影区域(){}22,2,11zx D x z xz x x =≤≤--≤≤总复习题八1.填空题（1）设()2a b c ⨯⋅= ，则()()()a b b c c a ⎡⎤+⨯+⋅+=⎣⎦；（2）设{}2,1,2a = ，{}4,1,10b =- ，c b a λ=- ，且a c ⊥，则λ=；（3）yoz 平面的圆()222,0,y b z a x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩（0b a >>）绕z 轴旋转一周所得环面的方程为；（4）点()2,1,0M 到平面3450x y z ++=的距离d=；（5）设有直线1158:121x y z L --+==-与26,:23,x y L y z -=⎧⎨+=⎩则1L 与2L 的夹角为.（1）答案“4”.解()()()()24a b b c c a a b c ⎡⎤+⨯+⋅+=⨯⋅=⎣⎦；（2）答案“3”.解{}42,1,102c b a λλλλ=-=---- ，由a c ⊥ ，()()()2421121020λλλ⋅-+⋅--+⋅-=，解得3λ=；（3）答案“()()2222222224x y z b a b x y +++-=+”.解绕z轴旋转环面的方程为()222b z a -+=，即222222x y b z a +±++=所以()()2222222224x y z b a b x y +++-=+（4）答案解d ；（5）答案“3π”.解1L 和2L 的方向向量分别为{}11,2,1s =-和{}21,1,2s =-- 则12121cos 2s s s s θ⋅== ，3πθ=.2.选择题（1）直线11:213x y z L +-==-与平面:1x y z π--=的关系为（）；（A ）L 在π上（B ）L 平行π但L 不在π上（C ）L π⊥（D ）一般斜交（2）两条直线111:201x y z L --==-与22:112x y z L +==的关系为（）；（A ）平行（B ）相交但不垂直（C ）垂直相交（D ）异面直线（3）直线方程23,1,x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩可化为（）；（A ）21213x y z -+==-（B ）114213x y z +++==-（C ）12213x y z ++==（D ）122213x y z -+-==-（4）旋转曲面22z x y =+不是由平面曲线()旋转而成的.（A ）2,0,z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴（B ）2,0,z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴（C ）2,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴（D ）,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴.（1）答案选（B ）.解直线L 的方向向量{}2,1,3s =-，()1,0,1M -为直线L 上一点，平面π的法向量为{}1,1,1n =--，显然0s n ⋅=，且点()1,0,1M -不在平面π上，故L 平行π但L 不在π上；（2）答案“C ”.解1L 、2L 的方向向量分别为{}12,0,1s =- 、{}21,1,2s = ，则120s s ⋅=，直线1L 与2L 垂直，又()11,1,0M 、()20,0,2M -分别为1L 、2L 上的点，且12122011120112s s M M -⎡⎤==⎣⎦---，即1L 、2L 在同一平面上；（3）答案选（C ）.解直线的方向向量{}2112,1,3111i j k s =--=-，()0,1,2--为直线上一点，故选（C ）；（4）答案选（D ）.解在曲线,:,z xy L x y =⎧⎨=⎩上任取一点()0000,,M x y z ，设(),,M x y z 是0M 绕z 轴旋转轨迹上任一点，则有20000,z z x y x ⎧===⎪==故得旋转曲面方程为()2212z x y =+.3.已知2c a b =+ ，d a b λ=+ ，2a = ，1b = ，且a b ⊥，求：（1）λ为何值时，c d ⊥；（2）λ为何值时，以,c d为邻边所围成的平行四边形的面积为6.解（1）由于c d ⊥ ，则0c d ⋅=，即()()22220a b a b a b λλ+⋅+=+= 解得2λ=-；（2）由题设条件知6c d ⨯=而()()()22c d a b a b a bλλ⨯=+⨯+=-⨯则有()22sin 222c d a b a b πλλλ⨯=-⨯=-=- 所以226λ-=，5λ=或1λ=-.4.设一平面通过从点()1,1,1-到直线10,0,y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，且与平面0z =垂直，求此平面方程.解过点()1,1,1M -且与直线10,:0,y z L x -+=⎧⎨=⎩垂直的平面1π的方程为()()()0111110x y z ⋅-+⋅++⋅-=，即y z +=解方程组10,0,0,y z x y z -+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩得直线L 与平面1π的交点1110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,平面0z =的法向量{}10,0,1n = ，则所求平面的法向量可取为111001,1,0211122ij kn n M M ⎧⎫=⨯==⎨⎬⎩⎭-所以所求平面方程为()()11102x y -++=，即210x y ++=.5.求通过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩且与点()1,2,1的距离为1的平面方程.解设过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面束方程为()()322260x y x y z λ-++--+=（λ为非零常数）即()()321260x y z λλλλ+-+-++=，由点()1,2,1到平面的距离为1，即1d =解得2λ=-或3λ=-，所以所求平面方程为22100x y z ++-=或43160y z +-=.6.在xoy 面上求过原点，且与直线x y z ==的夹角为3π的直线方程.解设所求直线L 方程为,0,y Ax z =⎧⎨=⎩即10x y zA ==，直线L 的方向向量{}1,,0s A= 由题意知1cos32π==，得4A =-于是，所求直线方程为(40,0,xy z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或(40,0.x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩7.求通过点()1,2,3--，平行于平面62350x y z --+=，且又与直线13x -=1325y z +-=-相交的直线方程.解过点()1,2,3M--作已知平面的平行平面，此平面方程为()()()6122330x y z +---+=即62310x y z --+=求此平面与已知直线的交点，由62310,113,325x y z x y z t --+=⎧⎪-+-⎨===⎪-⎩解得0t =，交点为()01,1,3M -，故所求直线的法向量为{}02,3,6s MM ==-所求直线方程为123236x y z +-+==-.8.确定常数k 的值，使得平面y kz =与椭球面222241xy z ++=的交线为圆.解平面与椭球面的交线222241,:,x y z y kz ⎧++=Γ⎨=⎩等价于方程组()22222241,:,x y k z y kz ⎧++-=⎪Γ⎨=⎪⎩要使交线为圆，只须242k-=，即k =，交线为2221,2.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩9.求曲面2221x y z ++=和()()222111x y z -+-+=的交线在yoz 平面上的投影曲线方程.解由题设两曲面的方程消去x ，得交线在yoz 平面上的投影柱面方程22220y y z -+=所求投影曲线方程为22220,0.y y z x ⎧-+=⎨=⎩10.求两曲面22z x =与z =所围立体在三个坐标面上的投影区域.解两曲面的交线在xoy 面上的投影柱面为()2211x y -+=，则投影区域为()(){}22,11xy D x y x y =-+≤，两曲面的交线在yoz 面上的投影柱面为222112z y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则投影区域为()222,112yz z D y z y ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，两曲面的交线在zox 面上的投影柱面为z 和z x =，则投影区域为(){,zx D x z x z =≤≤.11.画出下列曲面所围立体的图形：（1）22z xy =+，1x =，1y =，0z =；（2）z xy =，0z =，1x y +=；（3）22z xy =+，2y x =，1y =，0z =；（4）2y x =，212y x =，1x z +=，0z =.解（1）见图8-8；（2）见图8-9；(图8-8)(图8-9)（3）见图8-10；（4）见图8-11.(图8-10)(图8-11)习题9－11指出下列平面点集中，那些是开集、闭集、有界集、连通集、开区域以及闭区域？并分别求其聚点和边界点：（1）22{(,)|0<1}x y x +y <；（2）{(,)|}x y y x >；（3）{(,)|2,2,2}x y x y x y ≤≤+≥；（4）2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +>⋂+-≤．解（1）为有界开区域；聚点为集合22{(,)|1}x y x +y ≤，边界点为集合22{(,)|=1}{(0,0)}x y x +y ⋃；（2）为无界的开区域；聚点为集合{(,)|}x y y x ≥，边界点为集合{(,)|,}x y y x x =-∞<<+∞；（3）为有界闭区域；聚点集合为该区域上所有点，边界点集合为三个直线段{(,)|2,02}x y x y =≤≤与{(,)|2,02}x y y x =≤≤及{(,)|2,02}x y x y x +=≤≤的并集；（4）为有界连通集合；聚点为2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +≥⋂+-≤，边界点为圆弧221{(,)|1,2x y x y y +=≥及圆弧221{(,)|(1)1,}2x y x y y +-=≥的并集．2．证明：点0P 为点集E 的聚点的充分必要条件是点0P 的任意邻域内都至少含有一个点集E 中异于0P 的点．证明：“⇒”由聚点的定义即可得；“⇐”取101(,){|01}U P P P P δδ=<<=（其中0P P 表示点0P 与点P 的距离），则111(,)P U P E δ∃∈⋂，记20112P P δ=，则202(,)P U P E δ∃∈⋂ ，依此类推，由数学归纳法可知对于每个正整数n ，均可取到点01101111(,),22n n n n n P U P E P P δδ----∈⋂=≤ ，由此可得一个两两均不相同的点列{}n P ，若0δ>，因lim 0n n δ→∞=，则k δ∃使得k δδ<，那么当n k ≥时必有0(,)n P U P δ∈，即在0(,)U P δ中比含有集合E 的无穷多个点，因此点0P 为点集E 的聚点．3．求下列各函数值：（1）设22(,)2x y f x y xy-=，求(,1)x f y ；（2）设22(,)y xf x y x y xye =+-，求(,)f tx ty ；（3）设(,)3f x y x y =+，求(,(,))f x f x y ；（4）设(,,)v u v f u v w u w +=+，求(,,)f x y x y xy +-；（5）设22(,)y f x y x y x+=-，求(,)f x y ．解（1）2221(,1)(,)22x y x x y f f x y x y xy y⎛⎫- ⎪-⎝⎭===；（2）222222(,)(,)yxf tx ty t x t y t xye t f x y =+-=；（3）(,(,))3(3)49f x f x y x x y x y =++=+；（4）2(,,)()()x y x f x y x y xy x y xy -+-=++；（5）设,,,11y u uv u x y v x y x v v =+===++，222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，2(1)(,)1x y f x y y-=+．4．设1)z f =+-，若当1y =时，z x =，求函数()f u 及(,)z z x y =的表达式．解由题设有11),1)1x f f x =+=-，令1u =，则2(1)x u =+，所以有2()2f u u u =+，相应的有(,)1z z x y x ==-．5．求下列函数的定义域：（1）(,)f x y =；（2）(,)ln()f x y y x =-+；（3）22221(,)arcsin 4x y f x y x y+=+-；（4）(,,)f x y z =解（1）{(,)|}D x y y x y =-<<；（2）22{(,)|0,,1}D x y x y x x y =≥>+<；（3）22{(,)|4,}D x y x y y x =+≤≠；（4）222{(,,)|1,D x y z x y z z =++<>．习题9－21．证明：2222001lim()sin0x y x y x y →→+=+．证明0ε∀>，因为2222221()sinx y x y x y+≤++，取δ=当0δ<<时，则有2222221()sin 0x y x y x y ε+-≤+<+，因此有2222001lim()sin 0x y x y x y →→+=+．2．求下列极限：（1）201ln()lim 2x x y e y x y →→++；（2）220x y →→（3）100lim(1sin )xyx y xy →→-；（4）22()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+解（1）原式0ln(1)ln 21e +==；（2）原式220220lim 21()2x y x y x y →→+==--+；（3）原式sin 11sin 00lim (1sin )xyxyxyx y xy e ---→→⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）原式222()()lim (2),lim lim 0,lim lim 0u x y x y x y x y u x y x x x x y y y x y x y x y u x ye e e e e e e =+++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞++=-⋅======，原式0=．3．证明下列极限不存在：（1）22400lim x y xy x y →→+；（2）2222200lim ()x y x y x y x y →→+-．解（1）当取点(,)P x y 沿曲线2:C y kx =趋于点(0,0)O 时则有222422000lim lim 1x x y xy kx k x y x kx k →→→==+++，k 取值不同，则该极限值不同，因此该极限不存在；（2）当取点(,)P x y 沿直线y x =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 1()x y x y x y x y →→=+-，而当取点(,)P x y 沿直线0y =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 0()x y x y x y x y →→=+-，因沿不同方向取极限，则该极限值不同，故该极限不存在．4．讨论下列函数的连续性：（1）22(,)y xf x y y x+=-；（2）22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪≠⎩（3）,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);x y f x y x y ≠=≠⎩（4）(,,)f x y z =．解（1）函数的定义域为2{(,)|}D x y y x =≠，它在D 内处处连续，抛物线2:C y x =上的点均为它的间断点；（2）函数在全平面内处处有定义，它在区域{(,)|(,)(0,0)}D x y x y =≠内处处连续，由于00lim (,)x y f x y →→不存在，故(0,0)O 是它的间断点；（3）当(,)(0,0)x y ≠时，函数显然是连续的，又00lim0(0,0)x y f →→==，所以它在(0,0)O 处也连续，因此该函数在全平面内处处连续；（4）函数(,,)f x y z 的定义域为222{(,,)|14}x y z x y z Ω=<++<，在定义域内(,,)f x y z处处连续，在球面2221x y z ++=及2224x y z ++=上函数间断．5．设二元函数(,)f x y 在有界闭区域E 上连续，点(,),1,2,,i i x y E i n ∈=⋅⋅⋅，证明至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．证明令112211(,)min{(,)},(,)max{(,)}i i i i i i i i i ni nm f x y f x y M f x y f x y ≤≤≤≤====，则有(,),1,2,,i i m f x y M i n≤≤=⋅⋅⋅，由此可得1(,)ni i i mn f x y Mn=≤≤∑，即1(,)niii f x y m M n=≤≤∑．（1）若m M =，则1122(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y ==⋅⋅⋅=，取11(,)(,)x y ξη=即可；（2）若m M <，则有1(,)niii f x y m M n=<<∑，由连续函数介值定理知至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．习题9－31．求下列函数的一阶偏导数：（1）2tan()cos ()z x y xy =++；（2）arctanx yz x y+=-；（3）ln(z x =+；（4）(1)yz xy =+．解（1）22sec ()2cos()sin()sec ()sin(2)zx y y xy xy x y y xy x∂=+-=+-∂,由对称性可知2sec ()sin(2)zx y x xy y ∂=+-∂；（2）22222212,()1zy y z xxx y x y y x yx y x y ∂--∂=⋅==∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭；（3）z z xy ∂∂==∂∂；（4）21(1),(1)[ln(1)]1y y z z xyy xy xy xy x y xy-∂∂=+=+++∂∂+．2．求下列函数在指定点的偏导数：（1）(,)sin(2)xf x y ex y -=+，求(0,)4x f π'及(0,)4y f π'；（2）22(,)(2)arccos f x y x y x =++-，求(2,)y f y '．解（1）(0,)4(0,)[(cos(2)sin(2)]1,(0,)044x x y f e x y x y f πππ-''=+-+=-=；（2）()2(2,)42y f y yy ''=+=．3．求下列函数的二阶偏导数：（1）2cos ()z ax by =+；（2）z =；（3）arctan 1x yz xy+=-；（4）z yu x =，求2ux z ∂∂∂及22u y ∂∂．解（1）2cos()sin()sin 2(),sin 2()z za ax by ax by a ax byb ax by x y∂∂=-++=-+=-+∂∂，22222222cos 2(),2cos(),2cos 2()z z z a ax by ab ax by b ax by x x y y ∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂．（2）2222222222222222,,,()()z x z y z y x z xy x x y x x y x x y x y x y ∂∂∂-∂-====∂+∂+∂+∂∂+，2222222()z x y y x y ∂-=∂+；（3）22211()1(1)111z xy y x y xxy x x y xy ∂-++=⋅=∂-+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，由对称性可知211z y y ∂=∂+，22222222222,0,(1)(1)z x z z yx x x y y y ∂-∂∂-===∂+∂∂∂+；（4）2222112224ln ln 2ln ln ,,,zzzzy y y yu z u y z x u z x u yz x z x x x x x x y x z y y y y y --∂∂+∂∂+===-=∂∂∂∂∂．4．求下列函数的指定高阶偏导数：（1）ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32z x y ∂∂∂；（2）u x y z αβγ=，求3ux y z∂∂∂∂．解（1）23232222111ln()1,,0,,z z z z z xy x x x x y x y y x y y∂∂∂∂∂=+====-∂∂∂∂∂∂∂∂；（2）23111111,,u u u x y z x y z x y z x x y x y zαβγαβγαβγααβαβγ------∂∂∂===∂∂∂∂∂∂．5．设322,(,)(0,0),(,)20,(,)(0,0),xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩求(0,0)xyf ''及(0,0)yx f ''．解(,0)(0,0)(0,0)lim0,0x x f x f f y x →-'==≠时，0(,)(0,)1(0,)lim 2x x f x y f y f y y x →-'==，(0,)(0,0)1(0,0)lim 2x x xyy f y f f y →''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0,0y x f y f f x y→-'==≠时，0(,)(,0)(,0)lim 0y y f x y f x f x y →-'==，0(,0)(0,0)(0,0)lim 0y y yx x f x f f x→''-''==．6．已知二元函数(,)z z x y =在区域{(,)|0}D x y x =>内有定义，且满足3,(1,)cos z x y z y y x x∂+==∂，试求(,)z x y ．解由3z x yx x∂+=∂可得31(,)ln ()3z x y x y x C y =++，由(1,)cos z y y =可得1()cos 3C y y =-，因而31(,)(1)ln cos 3z x y x y x y =-++．7．分别讨论下列函数在点的连续性和可偏导性：（1）222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩（2）(,)f x y =（3）2222,(,)(0,0),(,)1,(,)(0,0).x y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩解（1）因为22212xy y x y ≤+，所以22200lim 0x y xy x y →→=+，因此该函数在点(0,0)处连续，又[][]0(0,0)(,0)0,(0,0)(0,)0x y x x f f x f f y ==''''====，因而该函数在(0,0)处存在偏导数；（2）因00(0,0)x y f →→==，因而该函数在点(0,0)处连续，而0(0,0)limx x x f x→'=不存在，同理(0,0)y f '也不存在，因而该函数在(0,0)处不存在偏导数；（3）当取点(,)P x y 沿直线y kx =趋于点(0,0)O 时，则有222222001lim 1x y x y k x y k →→--=++，由于k 取不同值时，上述极限不一样，故222200lim x y x y x y →→-+不存在，因而该函数点(0,0)处不连续，(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy→→--''===∞，故在点(0,0)处偏导数(0,0)x f '存在，而偏导数(0,0)y f '不存在．8．考察函数2244,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩并回答下列问题：（1）(,)f x y 在点(0,0)处是否有二阶偏导数；（2）(,)x f x y '与(,)y f x y '在点(0,0)处是否连续．解（1）2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),x xy x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),y x y y x x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩0(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x xx y f x f f x →''-''==0(0,)(0,0)(0,0)lim 0y yyy f y f f y→''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0x x xyy f y f f y→''-''==．（2）当取点(,)P x y沿直线(y kx k =≠趋于点(0,0)O 时则有2442444242000002(3)2(13)lim (,)lim lim ()(1)x x x x y y xy x y k k f x y x y x k →→→→→--'===∞++，故(,)x f x y '在点(0,0)处不连续，同理可证(,)y f x y '点(0,0)处也不连续．9．设arctan y u z x =，证明2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂．证明222221,1uy yz z y xx x y x∂--=⋅⋅=∂++222222()u xyz x x y ∂=∂+，同理有222222()u xyzy x y ∂-=∂+，22arctan ,0u y uz x z∂∂==∂∂，所以有2222222222222200()()u u u xyz xyz x y z x y x y ∂∂∂++=-+=∂∂∂++．10．证明：如果(,)f x y 在区域D 内偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '有界，则函数(,)f x y 在区域D 内连续．证明因为(,)x f x y '与(,)y f x y '在D 内有界，所以0M ∃>，对(,)x y D ∀∈均有(,),(,)x y f x y M f x y M ''≤≤，设000(,)P x y D ∈，则0δ∃>，当ρδ=<时有00(,)x x y y D +∆+∆∈，记100200(,),(,)P x x y P x x y y +∆+∆+∆，则线段01P P 与12PP 必完全属于D 内，由Lagrange 中值定理知0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆-001020(,)(,)y x f x x y y y f x x y x θθ''=+∆+∆∆++∆∆，0000(,)(,)()f x x y y f x y M x y +∆+∆-≤∆+∆，由夹逼准则可知00000lim[(,)(,)]0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=，即函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，由点000(,)P x y 的任意性可知，函数(,)f x y 在区域D 内处处连续．习题9－41．求函数22z x xy y =+-在点000(,)P x y 处当自变量,x y 分别取得增量,x y ∆∆时相应的全增量及全微分．解222200000000()()()()()z x x x x y y y y x x y y ∆=+∆++∆+∆-+∆--+2200000000(2)(2),d (2)(2)x y x x y y x x y y y x y x x y y =+∆+-∆+∆+∆∆-∆=+∆+-∆．2．求下列函数的全微分：（1）yz yx =；（2）arctan y z x=；（3）2222x y z x y-=+；（4）u =．解（1）21d d (1ln )d y y z y x x x x y -=++；（2）22d d d y x x yz x y -+=+；（3）2224(d d )d ()xy y x x y z x y -=+；（4）d u =3．试证：(,)f x y =在点(0,0)处连续，偏导数存在，但不可微．证明000(0,0)x y f →→==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处连续，00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)lim 0x y x y f x f f y f f f x y→→--''====，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在，又00limx x y y →→→→''---=不存在，故该函数在点(0,0)处不可微．4．设221sin ,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩证明：（1）(0,0),(0,0)x y f f ''存在；（2）(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处不连续；（3）(,)f x y 在点(0,0)处可微．解（1）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,(0,0)lim 0y x y f x f f y f f x y→→--'====，因此(0,0)x f '，(0,0)y f '存在；（2）222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()x x x y y x y f x y y x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因而(,)x f x y '在(0,0)处不连续，又222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()y x x y y xy f x y x x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因此(,)x f x y '在(0,0)处也不连续；（3）22001sin lim0x x y y xy x y →→→→''---==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．5的近似值．解令22(,)(,)(,)x y f x y f x y f x y ''===，则有(1.02,1.97)(1,2)(1,2)0.02(1,2)(0.03)x y f f f f ''=≈+⨯+⨯-130.022(0.03) 2.952=+⨯+⨯-=．6．设有一无盖的圆柱形容器，容器的壁与底厚均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm ，求容器外壳体积的近似值．解若圆柱体的底半径为r ，高为h ，则体积为2V hr π=，223d 22 3.144200.1 3.1440.155.3cm V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=．。

(整理)华工-2011高数下期末试卷.

华工2010-2011高数下期末试卷一、填空题1、函数z=4x2+9y2在点（2，1）的梯度为gradz= ；2、函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值点是；3、假设L为圆x2+y2=a2的右半部分，则∫； 4、设A=e x siny i+(2xy2+z)j+xzy2k，L ds=则divA｜(1,0,1)= ；5、设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是方程（x2-2x）y‘‘(x2-2)y’+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为。

二、计算三重积分（），其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体。

三、证明：f(x，y)=︱︱在点（0，0）处连续，f x(0,0)与f y(0,0)存在，但在（0,0）处不可微。

四、设函数u（x，y）有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式x=rcosθ，y=rsinθ，将x- y变换为r，θ下的表达式。

，其中L为：五、计算²²（1）圆周（x-1）²+(y-1)²=1(按反时针方向)；（2）闭曲线︱x︱+︱y︱=1（按反时针方向）。

六、计算，∑是平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分。

七、计算曲面面积分I=，其中∑为上半球面z=²²的上侧。

八、求微分方程+ = 的通解。

九、求微分方程2y‘’+y‘-y=2e x的通解。

十、（非化工类做）求幂级数()121141-∞=-∑⋅-nnnnxn的收敛域。

十一、（非化工类做）将函数f(x)=展开成麦克劳林级数，并确²定其成立区间。

十二、（非化工类做）设函数f(x)是以2为周期的周期函数，它在-上的表达式为f(x)=，将其展成傅里叶级数，并确定其成立范围。

十（化工类做）求微分方程（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0的通解。

十一（化工类做）计算，其中L为直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界。

高数下,第13章答案,华东理工

L 4
a2 d cos 2
1 1 1 a4 4 a 4 cos 2 sin 2 d 2a 4 4 ( cos 2 cos 4 )d (4 ) 。 0 2 4 4 8 4

***5．已知摆线 x a(t sin t ), y a(1 cos t )(0 t 2 ) 上任一点 ( x, y ) 处密度等于该点的纵坐标，试求：（1）该摆线弧的质量；（2）该摆线弧的质心坐标；（3）该摆线弧关于 x 轴的转动惯量．
(B)
61 4 dx 3 0
2
2
x 3(1 ) 2
dy
0
(C) 答：(B)．
61 4 3
y 2 ( 1) 3

0
dx dy
0
3
(D)
61 4 dx dy 3 0 0
3
**(2) 设∑为球面 x 2+y 2+z2=a2 在 z≥h 部分， 0<h<a，则
2 a h
2 2
zdS
2
dS

1 2 1 2 2 x y z 1 4 9
(9 x

2
4 y 2 36 z 2 1 24 yz 36 zx 12 xy 6 x 4 y 12 z )dS
1 1 ( x 2 y 2 z 2 )dS 4 9 1
36
1 2 1 2 2 x y z 1 4 9
第 13 章（之 1）（总第 73 次）
教学内容： § 13.1 第一型曲线积分
**1. 解下列各题：（1）设 L 为 y x 2 上从点 O (0,0) 到 A (1,1) 的一段弧．则 I （ A）

华东理工高等数学上(11学分)2010期末-解答B卷

华东理工大学2010–2011学年第一学期《高等数学(上)11学分(B)》期末考试试卷2011.1开课学院：_理学院_，考试形式：_闭卷_，所需时间：_120分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：题序一二三四五六七总分得分阅卷注意：试卷共3大张，7大题一、（每小题4分，共20分）填空题请将填空题的答案写入下面表格的指定位置1234561-e)1(2tan y e x dx x +3)1(-e e e π221、极限2)1sin (lim n n nn ∞→=。

2、设ln(cos 0yy e ++=，则dy =。

3、设t tx te y e --⎧=⎨=⎩，则==e t dx yd 22。

4、已知⎰=x tdtx f 1arctan )(，则)1('f =。

5、曲线)3)(2)(1(---=x x x x y 的拐点的个数为。

二、（每小题4分，共20分）选择题请将选择题的答案写入下面表格的指定位置12345ABBCD1、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0,)1(1)(3x x e x x f x，则（）。

（A ）0)0('=f ；（B ）1)0('=f ；（C ）1)0('-=f ；（D ）)(x f 在点0=x 不可导。

2、方程322630x x x -++=实数根的个数有几个？(A)0个；(B)1个；(C)2个；(B)3个。

3、设函数()f x 在(,)-∞+∞内二阶可导，且满足方程''()2'()10f x f x +-=，若0x 是()f x 的一个驻点，则(A)()f x 在0x 处取极大值；(B)()f x 在0x 处取极小值；(C)()f x 在0x 处不取极值；(D)无法判定()f x 在0x 处是否取极值。

4、时，，则当，设065)(sin )(65cos 102→+==⎰-x x x x g dt t x f x ()f x 是()g x 的（）．　同阶但不等价无穷小　高阶无穷小；等价无穷小；　低阶无穷小； )()()()(D C B A 5、设(,)x a b ∀∈，有'()'()f x g x =，则(,)x a b ∀∈有()(A)()()f x dx g x C =+⎰；(B)()()g x dx f x C =+⎰；(C)()()f x g x =；(D)()()f x g x C =+。

华理高数答案第11章

2
所以除点 ( m, n) （其中 m, n Z ）以外处处连续．
第 11 章（之 2）（总第 60 次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
Provided by 理学院学代会学习部
**1.解下列各题：（1）函数 f ( x, y )
x 2 y 在 (0,0) 点处
3ห้องสมุดไป่ตู้
即
s x y 解：令， y t x
∴ f s , t
s 2 s 2t 2 s 2 1 t ， 1 t 1 t 2
lim 1 xy 1 x2 y2
xy
．
f x, y
x 2 1 y ． 1 y
***4. 求极限：
zy
1,1
x 2 y 1,1 1 ，

4
．[也可求出切向量为 0,1,1]
0,1,10,1,0 arccos
12 12 12
2 ． 2 4
***6. 设函数 ( x , y ) 在点 (0,0) 连续，已知函数 f ( x , y ) x y ( x , y ) 在点 (0,0) 偏导数
x , y 0, 0
解： 0
1 xy 1 x2 y 2

1 xy 1
x2 y2

1 2 x y2 2 1 xy 1 x 2 y 2

x2 y2 0 2 1 xy 1

（ x, y 0,0 ）
y 0
y (0, y ) f (0, y ) f (0,0) 0 ，即 f y (0,0) 0 ． lim x 0 y y

2006-2007高数下(8学分)期末试题A及解答

华东理工大学2006-2007学年高等数学下(8学分)期末考试试卷A 2007.7一. 填空题(每小题4分, 共36分) 1.微分方程22x x e xy y -=+'满足初始条件0)0(=y 的特解为y =____________. 2.微分方程09)4(=''+y y 的通解为y =________________.3.1||||==b a , a 与b 夹角等于3π, 则|32|b a -=_____________.4.过直线⎩⎨⎧=-=+21:z y y x L 且平行于}4,1,2{--=l 的平面方程是____________5.设),4()(2)4(t e t f t F -+=, 其中1),(C y x f ∈且有a f =-)1,2(及b f =-')1,2(1, c f =-')1,2(2, 则)0(F '=______________6.设函数),(y x z z =由方程xz xy e z y x -=-+32确定, 则)0,0(dz =_____________.7.σd y x y x y x ⎰⎰≤++++12222222)(1)(=______________.8.广义积分dx x x ⎰+∞+1)1(1=_______________. 9.极坐标系下心脏线)cos 1(2ϑρ+=所围成区域D 的面积为A =_______________.二. 选择题(每小题4分, 共32分)1.椭圆122≤+y x 绕x 轴和y 轴旋转所得的体积分别是上x V 和y V , 则 ( ) (A)y x V V 49=; (B)y x V V 32=; (C)y x V V 94=; (D)y x V V 23=.2.函数Cx y =是微分方程032=+'-''y y x y x 的 ( ) (A)通解; (B)特解; (C)是解, 但既不是通解, 也不是特解; (D)以上都不对.3.若a 与b不平行, 且μλ≠, 则b a λ+与b a μ+ ( ) (A)必不平行; (B)模不相等; (C)必不垂直(正交); (D)不排除有平行的可能性; 4.“函数),(y x f 在),(00y x 点两个一阶偏导数都存在”是“函数),(y x f 在),(00y x 点可微”的 ( ) (A)充分条件, 但不是必要条件; (B)必要条件, 但不是充分条件;(C)必要条件; (D)既不是充分条件, 也不是必要条件.5.设2C f ∈, ),,2(xz z y y x f u -+=, 则yx u∂∂∂2= ( )(A)131122f z f ''+''; (B)23131122f z f z f ''+''+''; (C)2313121122f z f z f f ''+''+''+''; (D)23131211222f z f z f f ''+''+''+'' 6.C f ∈, 则⎰⎰ϑϑπρρρρϑρϑcos 2sec 40)sin ,cos (d f d = ( )(A)⎰⎰--111102),(y dx y x f dy ; (B)⎰⎰-22121),(x x dy y x f dx ; (C)⎰⎰-22020),(x x dy y x f dx ; (D)⎰⎰-+211110),(y dx y x f dy .7.下列极限中等于0的是 ( ) (A)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (B)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (C)dx e n nn xn ⎰+∞→12lim ; (D)dx e n nn xn ⎰+∞→1222lim .8.边际成本等于边际收益是利润最大的 ( )(A)充要条件; (B)充分条件, 非必要条件;(C)必要条件, 非充分条件; (D)既不是必要条件, 也不是充分条件.三. (本题8分) 微分方程y y y y ''='+''2)(2满足初始条件2)0(=y , 3)0(='y 的特解.四. (本题8分)求曲线⎩⎨⎧-=++=++3zx yz xy z y x L ：上的点P , 使L 在点P 处的切线平行与平面0=-+z y x .五. (本题8分) 利用夹逼性准则求极限)332211(lim 2222nn nn n n n n n n n ++++++++++++∞→ . 六. (本题8分)求有二阶连续导数的函数)0)((>t t f , 使)(22y x f u +=满足12222=∂∂+∂∂y ux u .华东理工大学2006-2007学年第二学期《高等数学（下）》课程期终考试试卷参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，共36分）1.)1e (e2--x x 2.x C x C x C C 3sin 3cos 4321+++ 3.7 4. 123=++z y x5. )8(3c b a - 6. y xd 20d 1+ 7. )122(3-π8. 2ln 9. π6二．选择题（每小题4分，共32分）：8.C. 7.C; 6.D; 5.B; B; 4.A; 3.; C 2.; 1.D三．以y p '=为新未知函数，暂以y 为新自变量，原方程可化为 p ypy 2d d )1(=----(2分)解得 21)1(-=y C p ------------------------------------------------（2分）由32==y p可得31=C ---------------------------------------------------------------------------（1分）由2)1(3-='y y 解得x C y 3112-=----------------------------------------------------------（2分）根据条件2)0(=y 可得12=C ，即x y 3111-=-或xxy 3132--=------------------------（1分）四．因为{}1,1,11=→n ，{}y x x z z y n +++=→,,2，所以切向量为 {}y x x z z y n n t ---=⨯=→→→,,21 --------------------------（ 3分）{}{}y x y x x z z y l t lt =⇒=-⋅---⇒=⋅⇒⊥→→→→1,1,1.,0 ------------(3分)代入原曲线方程（组）得⎩⎨⎧-=+=+32,022zx x z x 解得)2,1,1(1-=P 和)2,1,1(2--=P -------（2分）五．（本题8分）记kn kn b k ++=2，n k ,,3,2,1 =，并记n n b b b a +++= 21，适当放大缩小可得11122++≤≤++=n n n b n n n n k ，n k ,,3,2,1 =, 所以 n k n Q n n n n a n n P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=112----------------------------------------------------（5分）而1lim lim ==∞→∞→n n n n Q P ，根据夹逼准则可得1lim =∞→k n a -------------------------------------（3分）六．（本题8分）记22y x t +=，则有)(t f u =，所以tx t f x u ⋅'=∂∂)(，t y t f y u⋅'=∂∂)(-------------------------------（1分） 322222)()(ty t f t x t f x u ⋅'+⋅''=∂∂，322222)()(t x t f t y t f y u ⋅'+⋅''=∂∂---------（2分）原方程可化为 1)(1)(='+''t f tt f ---------------------------------------------------------（1分）以)(t f p '=为新的未知函数，仍然以x 为自变量，得到新方程为11=+'p tp ------------------------------------------------（2分）解得t C t p t f 121)(+=='，从而有212ln 21)(C t C t t f ++=--------------------------（2分）。

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§9.1微分方程基本概念*1．微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的C 、α、λ与k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 与k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明'=-+--y e x e x x x3332321212sin cos ，''=----y e x e x x x3332321212sin cos ，代入方程得''+'+=y y y 0，此外，，1)0(0)0(='=y y故y e x x=-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce xt xx =+⎰20d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明'=+⋅+⎰y e e t e e Ce x t x x x x 220d =++ye x x 2，即2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y e e t Ce xt x x=+⎰20d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程：（1）31+=Cx y ；解将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ．（2）xCx C y 21+=．解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322x Cy =''．从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy．所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1，法线方程为y Y -=y '-1)(x X -，因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程；§9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解：分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ，得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211x C y +-=．（2）222y x e yxy -='；解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe xx +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解：12d 42d +-=-x x e y e y y ，C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-，即 ()()e x C y -+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．分离变量，)1)(1(y x y --='，x x y y d )1(1d -=-，并积分x x yyd )1(1d -=-⎰⎰ 得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 xx ce y -+=2211．解法二（线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C eC x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Ce y -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解： y '=21x y -，∴21d d x x y y -=(0≠y )，21d d x x y y-=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴x Ce y arcsin =，π6)21(e y -=，∴21arcsin6Ce e =-π，∴1-=C ，∴x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: 22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dxe e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， 1)0(=y ，101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）x e x y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： x e x y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，x e x Q cos )(=．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y x x x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e (csc cos ⎰+=x x C x x x C x csc )e (cos -=，由1)2(=πy ，可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解：方程变形为 2112x x y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx e x x c e y dx x dx x 222)11(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x 22211xx c 1212-+= 由 0)1(=y ，得 21=c ，所以特解为：xx y 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）．解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为y x y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中y y Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy e y c ex y y dy y y dy yyy y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x yx()d d =+2，即d d yxxy x -=-2，分离变量得d d y y x x -=2，积分得y Ce x =+222，在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()．由初始条件0)0(=v ，得)ln(1mg k C -=，即得v mg k e k m t=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ．解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为y y x X '+=．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xyy 2='．设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yxy 2-='．这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221．***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y 的通解．解原方程可化为4122=++'y y e x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x e C ez x x x xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=． ***10．作适当变换，求微分方程d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解．解：令ux y =2，代入方程整理得 x xu u d tan d =，积分得Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入上式，即得原方程的通解：Cx xy =2sin ．第9章（之3）（总第46次）教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1))ln ln 1(d d x y xyx y -+=；解： )ln ln 1(d d x y x y x y -+=，∴dx dy =x y (1+xy ln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=x dxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =．以 xyu =代入，得所求的通解为cx xe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=．解：方程可化为xy xyy arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 x y u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为ux u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Ce y xy x 22+=arctan． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解．解: 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2，令yxu =，则u u dy du y u 12+=+，u u du 1+=y dy，∴⎰+uu du 1=⎰y dy ，c y u ln ln )1ln(212+=+∴，cy u =+∴12，即2221y c u =+，代回即得22y x +1=22y c ，1)2(=y ， ∴52=c ，因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为 11d d -+=-+=x y x y x y y x x y ，令 xy u =，u x u y '+='，代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ，分离变量 x x u u u u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+-⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111cy b x a cy b x a f y ++++=' 在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=．并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++sb t ac y b x a sb t ac y b x a 22222111111221b a b a ≠ ， ∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112ba b a c b c b h b a b a ca c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒xt ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒，令dt du t u dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ，⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dt du u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t ct u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy xxy x y y ln 1'12-=-∴--令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x 1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： 0d d )2(=+-y x x xy y ，x y d d +y x 1=212y x，y y '-21+211y x =x 2，21y u =，x u d d +x 21x u 1=，∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C ex u x x x xd 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴[]x C xy +=-2121，∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为：d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得u Ce u x =，以u y =2代入上式，原方程通解为y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x y x -=-2232，令x z -=1，则方程化为：322d d y z y y z =+，则通解z eC y e y yy y y=+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y +=，故原方程通解：1122x y C y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ．解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=- ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e x xe C e x e x C e x t xx x x x x x x x ，****6．作适当的变换求方程12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得 d d z x x x z e x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x ex e C ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x e Ce x x +++=++原方程的通解为sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x +='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得 212yy y '-=-，解得 y Ce x 21=+，由yx ==00，求得C =-1，故原方程的解为：y e x 21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程．解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(),212yy xy x '-=-令y z 2=，解得 z y x C x ==-2() 由y ()11=，得C =2，曲线方程为：x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时，容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+，于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(r ghA t t h t t h πα=∆-∆+-，令0→∆t ，得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h ghr At h πα解得 200222+=t g r Ah πα，代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ，62.0=α，得10304=t （秒）．第9章（之4）（总第47次）教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是（）（A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122()（D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是（）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解．（1）0='+''y y x ；解： 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程，令 y p '=⇒y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒p p d =x x d -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒1ln ln ln C x p +-=⇒x C p 1=， ∴=xy d d x C1，x x C y d d 1=，⎰⎰=x x C y d d 1，21ln C x C y +=．（2）()1212+''+'=x y xy ；解：''++'=+y x x y x 211122， '=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan ．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ，令 y p '=，则 ypp y d d =''，代入方程有0d d 2=+⋅⋅p yp p y ，0)d d (=+⋅⇒p yp y p ，因为求通解，所以 p 满足0d d =+⋅p y py ．由 ⎰⎰-=⇒-=y yp p yy p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒，⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111212C x C y+=⇒．∴ 通解：212C x C y +=．（4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ，即d d p p yy y =+212，得 p C y =+121()，所以d d yy C x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章（之5）（总第48次）教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解．所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将(1)、(2)两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(3式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以21y y -是齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222x y x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y x y x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解．所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t ee -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t et e te -'-"042142222222=-⨯-+=t t t t e t te te t e ，()()2222"41t t t et e te ----'-=-+-⨯--=--241240222222et e tte t e t t t t ()，故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e e e 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x ==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x 21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为：1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t xt x t at xt x t a t xt x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章（之6）（总第49次）教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________．解：)4sin 4cos (213x c x c e y x +=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________．解：x x C C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________．解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx +=，则=p ___，=k _____．解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ，通解为：x e x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ，所以特解为：x e x y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ；解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c e y x +=-．代入初始条件有： πππe c c e y =⇒=+=-221)0()2(，)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2(212212x c x c e x c x c e y x x +-++-='--π，得：πe c -=1．特解为：)5sin 5cos (2x x e y x +-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解：0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ，所以通解为 x x e c e c y 321--+=．代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x x e e y 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x 210100d ()解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为： y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ，故所求问题的解为：x e y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='x x u u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得：)()(x x ϕϕ=''，且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为：x x e C e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ，故所求函数为：x e e x x x ch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100，即 010022=-x g dt x d ．又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x g dt x d ，解得方程的通解为：tg tg ec e c x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x所以 tg tg ee x 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg ee 10101010100-+=，即： 510=t gch ， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期．解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xt g g x gx =-+=-，其中g =980厘米/秒2其解为：x C g t C g t =+1222cos sin ，振动周期为T g ==≈222490028ππ.．第9章（之7）（总第50次）教学内容：§二阶线性常系数方程的解法； §高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式（）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式（）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin （C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解（1）122+=-'-''x y y y ；解：∵022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0 不是特征根．设 01b x b y p+=，代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,01-=b b ，特解为：x y -=．（2）x e y y y -=+'+''2．解： ∵1- 是二重特征根，∴ 设 02b e x y x p-=， 0202b e x b xe y x x p---='，202022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''，代入 x e y y y -=++'2''，解得：210=b ，特解为：x e x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x 32满足条件y y ()()000='=的特解．解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x he C e C y 221+=，设特解为xp e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ．故方程的通解为x xx e x x e C e C y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为x xe x x e y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=1222．**5．求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ，特征根： 2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 x he c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ，由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ，所以特解为：x x y p 212-=．所以方程的通解为：x x e c c y y y x p h 212221-++=+=-．2）对于方程x e y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y x p=，代入方程有：810=b ， x p e y 281=，所以方程的通解为：x xphe ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为：x b x b y psin cos 1+=，代入方程有：x b x b y pcos sin '1+-=，x b x b y psin cos "1--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 11=+---，得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x ec c y y y xphsin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x 6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r123,=，相应齐次方程的通解为x he x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x px =+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(0y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得 ''=+y y 1其通解为：y C e C e x x =+--121，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==，故所求曲线方程为：y e e x x x =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m S t mg mg d d sin cos 22=-θμθ 且S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ代入初始条件得C v C 120==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xt kx mg d d 22+=，且0)0(0)0(='=x x ，．方程的通解为：x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ，代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos．***10．求下列方程的通解：（1）02)4(=''+'''-y y y ；解：02234=+-λλλ， 0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y ．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c e c e c y x x 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dy a b dt y d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ；（2）x x y y x y x ln 22=+'-''．证明：令 x t ln =，t e x =，dtdyx dx dt dt dy dx dy 1==， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111，将y y ''',代入方程有：()()t e f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222，得证．（1）令 x t ln =， t e x =，原方程化为：0222=--y dtdy dt y d ．其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xcx c y 221+=．（2）令 x t ln =， t e x =，原方程化为：t te y dt dydt y d =+-2222，上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t hsin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()1b t b e y t p+=，代入方程得：0,11==b b ，即：t e y t p=．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系．解： ma B F F =--阻重， a 为加速度，ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===，所以 22dt xd m B dt dx k mg =--，即 m B g dtdx m k dt x d -=+22 ，其特征方程为： 02=+λλmk ，解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c ec x t mkh+=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=，代入方程有：m B g b m k -=0，得 kBmg b -=0．所以微分方程的通解为：t kB mg c ec x t mk-++=-21，因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c m k c c 求得：222221,k gm Bm c k Bm g m c -=-=，所以x 与t 的关系可表示为： t k B mg e k g m Bm x tm k -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程．证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12（3）'='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C CC C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos 所以原方程的解为：f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝ ⎫⎭⎪1111．第9章（之8）（总第51次）教学内容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章（之9）（总第52次）教学内容：§9.7 差分方程 1. 已知t te y 3=是二阶差分方程t t t e ayy=+-+11的一个特解，求a ．解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t tyy ；解：t t C y )27(-=(2) 431-=--t tyy ；解：23+=t tC y(3) 051021=-++t y ytt ；解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) t tt y y2124=-+；解：144-+=t t tt C y(5) t tt t y y21⋅=-+．解：t tt C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y ytt sin 1=-+；解：t B t B Y tcos sin 21+=(2) t y ytt πcos 31-=++．解：)sin cos (21t B t B t Y tππ+=4. 设ty 为第t 期国民收入，tC 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知ty ，tC ，I之间有关系I C y tt+=，βα+=-1t tyC ，其中10<<α，0>β，试求ty ，tC ．解：ty 满足：βα+=--I yy t t1，解得 αβα-++=1I C y t t ，从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t ．5. 已知差分方程tt tcy yby a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意 ,2,1=t ，有0>ty ；(2) 在变换tt yu 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解； (3) 求方程tt ty yy =++1)21(的满足初始条件20=y 的解．解：（1）归纳法证明．（2）令 tt y u 1=，即tt u y 1=，111++=t t uy ，则原方程化为线性差分方程b au cutt =-+1，其一般解为 a c ≠时， ac bc a C u t t -+=)( ； a c =时， b C u t +=．（3）令 tt yu 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ，所以原方程的一般解为 tt u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ，所以特解为 2=ty ．。

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3
3
3
x ， 100 t
从时刻 t 到 t dt ，对应盐量由 x 变到 x dx ，在时间段 [t , t dt ] 内，流出的盐量为
x 2 dt ，从而有 100 t
解得
dx
2x dt ， 100 t
x
C ， (100 t ) 2
5
代入初始条件 x (0) 10 ，得 C 10 ，所以
11 学分： 1． (6,2,0) ； 4．0； 7． ln 2 2． x 1 5．4；
y 1 z 1； 0
3．
2 (5 ln 2 3) ； 3
y 1
6． yx
f 1 y x ln y f 2 ；
y

n 1

1n1 x n
n2
1 x n
(2 x 2) ； 8．1； 3 3 x C 3 sin x) ； 2 2
三．（本题 7 分）以 u
y 为新的未知函数，变换方程 x2 x 2 y ( x 2 4 x) y (2 x 2 2 x 6) y 0 ，
并求原方程的通解。解：
y x 2u ， y 2 xu x 2 u ， y 2u 4 xu x 2 u ，
华东理工大学 2010–2011 学年第二学期
《高等数学(下)》期中考试试卷解答 2011.4
一．（11 学分）求过点 M ( 0,0,1) 和 N ( 3,0,0) ，且与 xoy 平面成解： M , N 为平面与 z 轴， x 轴的交点设所求平面方程为：

角的平面方程。 3
x y z 1 3 b 1
2
二．（11 学分）函数 y y ( x ), z z ( x ) 由方程组
所确定，求
d y dz , 。 dx dx
解：
dy z dz 1 d x e d x 0 d y dz 1 2 y 0 dx dx dy 1 ez ， d x 2 ye z 1 dz 1 2y d x 2 ye z 1
法向量为
1 1 n { , ,1} 3 b
由与 xoy 平面成
角，故 cos cos( n, k ) 3 3

1 1 1 1 9 b2
解得： b
3 26
，故平面方程为： x
26 y 3 z 3 0 。 x y ez 1 x y z 1
x
10 5 kg (100 t ) 2 x 10 5 2.5 kg 。 (100 100) 2
令 t 100 ，得
五．选择题（每小题 4 分，共 24 分）请将选择题的答案写入下面表格的指定位置 1 2 3 4 5 6 D C A B B B
六．填空题（每小题 4 分，共 48 分）
代入原方程，化简得
u u 2u 0 ，
通解为
u C1e x C 2 e 2 x ， y x 2 (C1e x C 2 e 2 x )
原方程通解为
1
四．（本题 7 分）容器内有 100 m 的盐水，含 10kg 的盐，现在以每分钟 3 m 的均匀速度从 A 管放进净水冲淡盐水，又以每分钟 2 m 的均匀速度将混合均匀后的盐水从 B 管抽出，问 100 分钟后容器内还剩多少盐？解：设 t 分钟容器内含盐量为 x x (t ) ，此时容器内盐的密度为
9． xy 1 e
11． 12dx 8dz ；
12． sin x cos x 。
2