华东理工大学2011年高等数学下答案

9． xy 1 e
；
10． C1e
x
e 2 (C 2 cos
11． 12dx 8dz ；
12． sin x cos x 。
2
三． （本题 7 分）以 u
y 为新的未知函数，变换方程 x2 x 2 y ( x 2 4 x) y (2 x 2 2 x 6) y 0 ，
并求原方程的通解。 解：
y x 2u ， y 2 xu x 2 u ， y 2u 4 xu x 2 u ，
法向量为
1 1 n { , ,1} 3 b
由 与 xoy 平面成
角，故 cos cos( n, k ) 3 3

1 1 1 1 9 b2
解得： b
3 26
，故平面方程为： x
26 y 3 z 3 0 。 x y ez 1 x y z 1
2
二． （11 学分）函数 y y ( x ), z z ( x ) 由方程组
所确定，求
d y dz , 。 dx dx
解：
dy z dz 1 d x e d x 0 d y dz 1 2 y 0 dx dx dy 1 ez ， d x 2 ye z 1 dz 1 2y d x 2 ye z 1
华东理工大学 2010–2011 学年第二学期
《高等数学(下)》期中考试试卷 解答 2011.4
一． （11 学分）求过点 M ( 0,0,1) 和 N ( 3,0,0) ，且与 xoy 平面成 解： M , N 为平面与 z 轴， x 轴的交点 设所求平面方程为 ：

角的平面方程。 3
x y z 1 3 b 1
3
3
3
x ， 100 t
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从时刻 t 到 t dt ，对应盐量由 x 变到 x dx ，在时间段 [t , t dt ] 内，流出的盐量为
x 2 dt ，从而有 100 t
解得
dx
2x dt ， 100 t
x
C ， (100 t ) 2
5
代入初始条件 x (0) 10 ，得 C 10 ， 所以
11 学分： 1． (6,2,0) ； 4．0； 7． ln 2 2． x 1 5．4；
y 1 z 1； 0
3．
2 (5 ln 2 3) ； 3
y 1
6． yx
f 1 y x ln y f 2 ；
y

n 1

1n1 x n
n2
1 x n
(2 x 2) ； 8．1； 3 3 x C 3 sin x) ； 2 2
代入原方程，化简得
u u 2u 0 ，
通解为
u C1e x C 2 e 2 x ， y x 2 (C1e x C 2 e 2 x )
原方程通解为
1
四． （本题 7 分）容器内有 100 m 的盐水，含 10kg 的盐，现在以每分钟 3 m 的均匀速度从 A 管放进净水冲淡盐水，又以每分钟 2 m 的均匀速度将混合均匀后的盐水从 B 管抽出，问 100 分钟后容器内还剩多少盐？ 解：设 t 分钟容器内含盐量为 x x (t ) ，此时容器内盐的密度为
x
10 5 kg (100 t ) 2 x 10 5 2.5 kg 。 (100 100) 2
令 t 100 ，得
五．选择题（每小题 4 分，共 24 分） 请将选择题的答案写入下面表格的指定位置 1 2 3 4 5 6 D C A B B B
六．填空题（每小题 4 分，共 48 分）