八年级数学下册_第一章

直角三角形全等的判定方法
❖ 直角三角形全等的判定方法:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全
等(斜边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全
问题 观察图中的全等三角形应怎样表示？
△ ABC ≌△ DEF
注：记全等三角形时,通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上.
在找全等三角形的对应元素时一般有什 么规律？
A B
D
A D
C
B
C
有公共边的，公共边是对应边.
在找全等三角形的对应元素时一般有什 么规律？
C
A
C
E
A D
B
D
B
有公共角的，公共角是对应角.
解: (1) △ABC、△BDC、△ABD
x
(2)设∠A=x
x 2x
2x
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD， AD的延长线交BC于E.求证：AE⊥BC.
证明：在△ADB和△ADC中
AB AC
BD
CD
AD AD
∴ △ADB≌△ADC
∴ ∠BAD=∠CAD
又∵ AB=AC ∴ AE⊥BC
3、识别全等三角形的对应边、对应角的关键是正 确识别它们的对应顶点。
2.等腰三角形
生活中你能遇到的等腰三角 形？
什么是等腰三角形？
有两边相等的三角形叫等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，
A
另一边叫做底边。
腰
两腰的夹角叫做顶角。
顶 角
腰
腰和底边的夹角叫做底角。 底角 底角
B
C
底边
已知：在△ABC中，AB=AC,求证∠B=∠C
∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°
∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
辅助线
关于辅助线：
❖ 辅助线是为了证明需要在原图上添画的 线.（辅助线通常画成虚线）
❖ 它的作用是把分散的条件集中，把隐含 的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
❖ 添加辅助线，可构造新图形，形成新关 系，找到联系已知与未知的桥梁，把问 题转化，但辅助线的添法没有一定的规 律，要根据需要而定,平时做题时要注意 总结.
A
Ａ
Ａ
Ａ
B
C
Ｂ D Ｃ Ｂ D ＣＢ D Ｃ
方法一
方法二
已知：在△ABC中，AB=AC,求证∠B=∠C
证明：作底边BC的中线AD
A
∴BD=CD
在△ADB和△ADC中
AB AC
BD
CD
AD AD
∴ △ADB≌△ADC
B
D
C
∴ ∠B=∠C
已知：在△ABC中，AB=AC,求证∠B=∠C
证明：过点A作AD⊥BC交BC于点D A
多米？
２米
对于含300角的直角三角形边之 间,角之间的关系要作为常识去 认可.
30°
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边 为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又 称为毕达哥拉斯定理
c a
b
弦 勾
股
c
b a
s1
1 2
(a
b)(a
1.全等三角形
教学目标：
知识与技能： 1，了解全等形及全等三角形 的概念 2，理解全等三角形的性质
3，掌握寻找对应边与对应角 的方法，能运用全等三角形的 性质解决简单的问题。
回忆：举出现实生活中能够完全重合的 图形的例子? 同一张底片洗出的同大小照片是 能够完全重合的;
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
2、在△ABC中，已知：AB=AC
①、AB=2，BC=3，则△ABC的周长为 7
；
②、若有两边长为2、4，则△ABC的周长为 10 ；
③、若有两边长为2、3，则△ABC的周长为
；
7或8
例1、如图，在△ABC中，AB = AC，点D在 AC上，且BD=BC=AD.
（1）图中共有哪些等腰三角形. （2）求△ABC各内角的度数。
对应角，对应边所夹的角一定是对应角， 对应角所对的边也是对应边。 （ ）
2、如图所示，△ABC≌△DCB，则观察图形一定有下
列关系成立：
⑴ AB = ___，AC = ____；
A
D
⑵∠A = ____，∠ABC = _____，
∠ACB =___．
B
C
3、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4， AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。
∴ △ADB≌△ADC
∴ ∠B=∠C
B
D
C
1 .等腰三角形的两个底角相等.
等边对等角：
A
∵AB=AC
∴∠ B=∠C
B
C
2.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中
线,底边上的高互相重合.
A
（等腰三角形的三线合一）
3.等腰三角形是轴对称图形， 对称轴就是顶角的平分线 （底边上的中线,底边上的 B D C 高）所在的直线。
要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子 ,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种 例子称为反例(counter example).
例 已知：如图△ABC. 求证： ∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180° B
A E
1 2
C
D
证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则
∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）
利用等腰三角形的性质填空：
A
(1)∵AB=AC,AD是边BC上的高， ∴∠_A__B_D_ = ∠_A_C_D__，_B_D__= _C_D__.
(2) ∵AB=AC,AD是中线， ∴_A__D_⊥_B_C__ ，∠_B_A_D__ =∠_C_A__DB_. D
C
(3) ∵AB=AC,AD是角平分线， ∴_A__D_ ⊥_B_C__ ，_B__D__ =__C_D__.
等（AAS）.
❖ 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!
命题:两边及其中一边的对角对应
相等的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!
随堂测试
1、判断 （1）、两个全等形一定能够重合（ ） （2）、两个图形全等，所有对应元素都相等（ ） （3）、三个角对应相等的两个三角形全等（ ） （4）、两个三角形全等，对应顶点所在的角一定是
1.在△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，
则∠B = 65° .
A
2.在△ABC中，AB = AC，∠B= 50°，
则∠A= 80° .
3.等腰三角形一个角为70°,它的另
外两个角为_7_0_°__,4_0_°__或_5_5_°__,55°
B
C
4.等腰三角形一个角为120°,它 的另外两个角为_3_0_°__,3_0°
求出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC的度数，图中有 哪些相等的线段？
A
A
B D
1题
CB
D
C
2题
2、如图在△ABC中，AB=AD=DC, ∠BAD=26°, 求∠B和∠C
答案：1、∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45° AB=AC BD=CD=AD
2、∠B=77° ∠C=38.源自文库°
知识内容：
性质：
法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确.
反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某 些问题时常常会有出人意料的作用.
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推 理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的 推论(corollary).推论可以当作定理使用.
八年级数学下册 第一章
证明（二）
彩虹教育 主讲 郎瑞
怎么证明几何命题
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果” 索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证 明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
A EC
达标测试
4、如图△ABD≌ △EBC， AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
解： ∵△ABD≌ △EBC ∴AB=EB、BD=BC ∵BD=DE+EB ∴DE=BD-EB
=BC-AB =5-3=2cm
1、什么是全等形、全等三角形、全等三角形的 对应顶点、对应边、对应角?
2、表示三角形全等时应注意什么？
定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的 规定,也就是给出它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题 (statement).
每个命题都由条件(condition)和结论 (conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论 是由已事项推断出的事项. 正确的命题称为真命题(true statement),不正 确的的命题称为假命题(false statement).
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推 导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这 种证明方法称为反证法(reduction to
a用bs反ur证di法ty证) 明的一般步骤: 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方
A
练习：如图在△ABC中，AB=AC, 点D、E在BC上，且AD=AE, 求证：BD=CE
B
DF E
C
证明：作BC边上的高AF也是DE边上的高 ∵ AB=AC ∴ BF=CF （三线合一） ∵ AD=AE ∴ DF=EF（三线合一） ∴ BF-CF=CF-EF ∴ BD=CE
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC, ∠BAC=90°）,AD是底边BC上的高，
有对顶角的，对顶角是对应角.
在找全等三角形的对应元素时一般有什 么规律？
A
A
B
C E
P
B
D
F
C
D
一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.
规律总结
有公共边的，公共边是对应边. 有公共角的，公共角是对应角. 有对顶角的，对顶角是对应角. 一对最长的边是对应边， 一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角， 一对最小的角是对应角.
1)等腰三角形是轴对称图形， 2)等腰三角形的两底角相等（等边对等角） 3)等腰三角形的底边上的中线,底边上的高和顶角平分线、互 相重合（三线合一）
过程方法：
数学思想转 化
其他收获
实验操作——得到图形 实验探究——发现结论 推理论证——证明结论
转化 分类
如图，在高为２米，坡角为30°
的楼梯表面铺毯，地毯长度约为
b)
1 2
(a 2
2ab
b2
)
1 2
a2
1 2
b2
ab
c
a
s2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c2
s1 s2
b
1 2
a2
1 2
b2
ab
ab
1 2
c2
a2 b2 c2
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ； 也可以表示为 c2 +4•ab/2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ ∠BDA = ∠CDA = 90° 在Rt △BAD与Rt △CAD中
AB = AC
AD = AD
∴ Rt△ADB≌ Rt△ADC B
D
C
∴ ∠B=∠C
已知：在△ABC中，AB=AC,求证∠B=∠C
证明：作AD平分∠BAC
A
∴ ∠BAD = ∠CAD
在△ADB和△ADC中
AB = AC ∠BAD = ∠CAD AD = AD
全等图形的特征 全等图形的形状和大小都相同
概念
A
D
B
CE
F
能够完全重合的两个三角形,叫 全等三角形.
记作:△ABC≌△DEF
读作 :△ABC全等于△DEF 。注：对应顶点要在对应的位置
互相重合的顶点叫对应顶点.
. 互相重合的边叫对应边
互相重合的角叫对应角.
全等三角形的性质： 全等三角形对应边相等，对应 角相等。
A
D
B
C
达标测试
1、能够 重合的两个图形叫做全等形. 两个三角形重合时，互相 重合_的顶点
叫做对应顶点.记两个全等三角形时， 通常把表示 重合_顶点的字母写在相__对__应
的位置上. D
2、如图△ABC≌ △ADE
若∠D=∠B， ∠C= ∠AED，
B
则∠DAE= ∠BAC ；
∠DAB= ∠EAC 。
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为 4•ab/2+(b- a)2
c a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2
c a
c b
∴a2+b2=c2