长安大学结构力学复习资料资料

2.次超静定结构的力法方程 （力法典型方程）
由两次超静定结构的力法方程推广，得：
11x1 12 x2 1i xi 1 j x j 1n xn 1P 0 21x1 22 x2 2i xi 2 j x j 2n xn 2P 0
……………..
i1x1 i2 x2 ii xi ij x j in xn iP 0 j1x1 j2 x2 ji xi jj x j jn xn jP 0
结构力学
结构力学教研室 长安大学建筑工程学院
第八章 力 法
§8.1 力法基本概念
1. 力法基本概念
❖ 力法基本未知量
超静定结构是有多余约束的几何不变体 系，具有多余约束是其与静定结构在几 何组成上的区别，也是造成其仅用静力 平衡条件不能求解的显见原因。 力法的基本未知量是超静定结构多余 约束中的多余力。
拆除约束法常要用到约束的约束数，现 归纳如下： ➢ 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，
相当于去掉一个约束；
➢ 切开一个单铰或去掉一个固定 铰支座，相当于去掉两个约束；
➢ 切断一根连续杆或去掉一个固 定支座，相当于去掉三个约束；
➢ 将固定端换成固定铰支座或在 一根连续杆上加一个单铰，相 当于去掉三个约束。
+ = i1
i2 ii
ij
in
xi
iP
0 (8-2-1a)
j1
j2
ji
jj
jn
xj
jP
0 0
n1
n2
ni
nj
nn
xn
nP
0
柔度矩阵特征
在柔度矩阵的主对角线上（左上角至 右下角的斜直线）排列的是主系数。 主对角线两侧，排列的是副系数。根 据位移互等定理，在主对角线两侧对 称位置上的副系数互等。所以，力法 方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其 独立的柔度系数为(n2 n个) / 。2
(b)
使 11 = 11x1 式(b)改写成：
=
11x1 + 1P 0
(c)
力法基本方程，是基本结构上多余力 处沿多余力方向的位移与原结构一致 的条件。即位移条件。
例8-1-1试用力法计算图(a)所示超静定
梁，并作梁的弯矩图。
q
A
B
(a)原结构
解：(1)取基本体系如图(b)。
q
A
B
(b)基本体系
超静定结构去掉多余约束，并代以多 余力后的体系，作为原结构的力法基 本体系。本章中，力法基本体系的结 构一定是静定结构，力法基本体系的 结构叫力法基本结构。
❖力法基本方程
力法基本方程，应是求解结构多余约 束中多余力的条件方程。
受力条件只能从原结构的外荷载、多 余约束，与基本体系的外荷载及相应 的多余约束力定性一致考虑，见图81-1。 变形和位移条件是结构内部对外力响 应的外部表现形式，见图8-1-2(a)、 (b)所示，可以由基本结构中的多余力 处沿该多余力方向的位移与原结构一 致的条件定量分析。
(a1)
(a2)
x2
x1
x1
x2
(b1)
(b)
x2 x2
x1
x3
(b2)
§8.2 在荷载作用下的力法方 程及示例
1. 两次超静定结构的力法方程
取原结构的力法基本体系如图(b)
A
(b)
x2
B x1
1 0 2 0
x1方向的位移条件 x2 方向的位移条件
分别考虑基本结构在各个多余力、荷 载 单 独 作 用 下 的 位 移 情 况 ， 见 图 (c) 、 (d)、(e)所示。
……………..
n1 x1 n2 x2 ni xi nj x j nn xn nP 0
(8-2-1)
力法方程是力法基本结构与原结
构一致的位移条件。
写成矩阵形式：
11 12 1i 1 j 1n x1 1P 0
21
22
2i
2j
2
n
x1
2
P
0
0
A
(c)
B x2
A
(d)
B x1
A
B
(e)
将各因素单独作用基本结构的位移 叠加，得：
11 12 1P 1
(a)
21 22 2P 2
引入位移影响系数,并代入位移条件，式 (a)写成：
11x1 12 x2 1p 0
(b)
21 x1 22 x2 2 p 0
式(b)既是两次超静定结构在荷载作 用下的力法方程。
A
B
CA
B
C
(a)原结构
x 1
x 2
(b)基本结构1
A x 1 x 2B x 2
C
(c)基本结构2
图8-1-3
一个超静定结构的多余约束数是一定
的，但是基本体系却不是唯一的。
力法基本未知量数=结构的多余约束 数=结构的超静定次数
对于较复杂的超静定结构，则可采用拆 除约束法。即，逐一拆除结构的约束，直 到其成为静定结构（力法基本结构），则 拆除的约束就是多余约束，其数量就是力 法的基本未知量数。
❖ 力法基本体系
q
A
(a)原结构
q
BA
B
x1
(b)基本体系
图8-1-1
如图8-1-பைடு நூலகம்(a)所示为有一个多余约束的 几何不变体系。取B支座链杆为多余约 束，去掉后代以多余力x1，见图(b)。
设想x1是已知的，图(b)所示体系就是 一个在荷载和多余力共同作用下的静定 结构的计算问题。换句话说，如果x1等 于原结构B支座的反力，则图(b)所示体 系就能代替原结构进行分析。
q
q
A
(a)原结构
BA
B
x 1
(b)基本体系
该条件可表示为： 1 0 (a)
利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、 多余力单独作用下的两种情况，分别分析 后再叠加。分解后，见图(c)、(d)所示
A
B
q A
B
(c)
x 1
(d)
11 与 1P 叠加， 得：
11 + 1P = 1 0 即：11+ 1P = 0
用拆除约束法判定结构的力法基本 未知量，应注意：
➢ 结构上的多余约束一定要拆干净， 即最后应是一个无多余约束的几 何不变体系；
➢ 要避免将必要约束拆掉，即最后 不应是几何可变体系或几何瞬变 体系。
例8-1-2 试确定图(a)、(b)所示结
构的基本未知量。
x2
x1 x2
x1
x3
x3
x3
x2
x1
(a)
x1
(2)作 M 1图和M P 图见图(c)、(d) qL2
2
q
A
B
L
A
B
x 1 = 1
(c)
(d)
(3)作弯矩图，见图(e)。
qL2 8
qL2 8
A
B
(e)
2.力法基本未知量的确定
确定力法基本未知量，即要求确定多 余力的数量，同时也要求确定相应的 基本体系。
如图8-1-3(a)所示连续梁，去掉两个 竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b)