关于车辆安全行车距离的模型

校第五届大学生数学建模竞赛
A题
关于车辆安全行车距离的模型
摘要
本文基于题目所给的数据，综合分析了各种影响安全行车距离的因素，建立起车辆停止的安全距离的数学初等模型，得出了较为合理的计算结果。

对于问题（1），首先，我们以国际经验值公式为基础，建立了模型（一），并从相关资料中得出模型的各个参数的波动范围，解析了各种因素是如何影响安全行车距离的，具有一定的参考价值。

其次，为了能准确地给出具体的数值来确定安全行车距离，我们改进并简化了该模型，以速度为主要参数，建立起模型（二）。

在模型（二）中，我们把安全行车距离近似看为制动距离。

以题目所给的实际数据，进行多项式拟合，得到了二次项的系数k的值为0.0260，并用excel绘图，将模型所得曲线与实际数据的散点图进行比较，得出结果的拟合情况良好。

对于问题（2），在模型（二）的基础上，把安全行车距离分为两部分即制动停车距离和安全停车间距。

安全停车间距定为5英尺。

将问题给出的速度40公里/小时和80公里/小时化为英制单位分别是36.4（英尺/秒）和72.8（英尺/秒），运用以上算法得到安全距离分别为66.7英尺和195.5英尺。

关键词：数学初等模型、excel软件、国际经验公式、安全行车距离模型
一、问题的重述
随着人们生活水平的不断提高，马路上行驶的车辆也越来越多，交通事故的发生也在不断提高。

针对严重的道路交通情况，为了保障人民的生命安全，在遇到紧急情况时就需要司机能够迅速停下车辆，避免交通事故发生。

安全行车距离是指在车辆行驶过程中两辆车之间必须保持的最小距离，以免在紧急刹车时两辆车相撞。

问题（1）请参考已知的数据（或自己收集资料）建立让车辆停止的安全距离的数学模型。

问题（2）结合1的模型，给出速度是40公里/小时和80公里/小时的安全行车距离。

二、问题的分析
所谓的安全行车距离就是指在同一条车道上，同向行驶前后两车间的距离（即后车车头与前车车尾间的距离），保持既不发生追尾事故，又不降低道路的通行能力。

安全行车距离主要取决于制动停车距离。

制动停车距离又包括反应距离和刹车距离。

对于反应距离，也就是当车辆行驶状态发生变化时，驾驶员从看到变化到用脚踩刹车，直到刹车系统产生制动力并开始制动时，汽车在该时段内行驶的距离；而刹车距离即指车辆在刹车系统产生的制动力下开始制动，到运动状态停止时所行驶的距离。

除了制动停车距离外，安全行车距离还应加上安全停车间距，即两车停止运动时的距离。

理想状态下该距离为0，出于安全考虑，本文取值为5英尺。

影响汽车安全行车距离的主要因素有车辆的行驶速度、驾驶员的反应能力、路面的状况、天气的变化、载重量以及车辆的制动系统的结构等。

而车辆的行驶速度是其中最为关键的因素。

对于问题（1），要求参考已知的数据（或自己收集资料）建立让车辆停止的安全距离的数学模型，即所建立的安全行车距离模型能保持既不发生追尾事故，又不降低道路的通行能力。

首先，因为速度是影响汽车安全行车距离中最为关键的因素，所以我们根据一般的经验值公式，建立起模型（一），以描述速度与汽车安全行车距离之间的大概关系，并确定了相关参数的波动范围。

其次，由于理论值与实际参数的不确定性，我们改进了该模型，以速度为主要参数，建立起模型（二），并以问题所给的相关数据进行拟合，得出新的拟合系数k的具体值。

通过excel绘图，将模型所得曲线与实际数据的散点图进行比较，分析得出拟合情况良好。

对于问题（2），我们结合问题（1）的模型（二），将相关的数据化为相同的单位，代入其中，求解出相应结果。

三、模型的假设与符号的说明
3.1 模型的假设
（1）假设所采用的资料数据都是真实可靠的；
（2）假设汽车在刹车过程中未出现故障；
（3）假设汽车刹车过程中未遇到因事故引起的公路扭曲等路况；
3.2 符号说明
d
表示安全停车间距；
表示反应距离；
d
1
d
表示刹车距离；
2
表示实际行车速率，(i=0,1,2,…13)；
v
i
表示不同路面的附着系数；
表示驾驶员实际反应时间；
t
1
d表示安全行车距离；
k表示二次项的系数；
t表示驾驶员反应时间；
w表示力f所做的功；
m表示物体的质量；
v表示物体的速度；
f表示物体所受的力；
E表示动能的变化量；
a表示汽车加速度；
四、模型的建立与求解
4.1 对问题（1）的模型的建立与求解
4.1.1模型（一）的建立与求解
车辆的行驶速度是其中最为关键的因素。

《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第八十条规定,机动车在高速公路上行驶,车速超过 100 km / h 时,应当与同车道车保持 100 m 以上的距离;车速低于100 km /h时, 同车前道前车距离可适当缩短,但最小距离不得少于 50 m。

如遇雨雾或路面湿滑 ,应延长行车间距。

以行驶速度这个关键因素,来判断汽车的安全行车距离一般有以下的三种方法 :
（1）由于前后车的行驶速度一般都差不多,而且制动过程也差不多,因此可用与前车保持 2 s的时间的方法。

这种方法比较粗糙。

（2）前后汽车间隔的米数和行驶车速的千米数相同。

比如:当汽车车速为 50 km /h 时,安全行车距离为50 m。

（3）车速除以10再平方。

比如当汽车车速为80 km / h 时,安全行车距离为 64 m。

但上三种方法都只能是粗略地估算,并无法准确地计算汽车的安全行车距离。

综合分析影响安全行车距离的各种因素,并按照决定安全距离的反应距离和制动停车距离两个部分,确定如下算法：
①反应距离 d
1
t
v d i =1
于是在相同的反应时间内,车速越快,反应距离越长。

②制动停车d 2
距离根据有关资料分析, 制动距离的长短与汽车的行驶速度、汽车在不同路同行驶时的地面附着系数等因素有关,其数值一般选用经验公式:
Φ=2542
2i
v
d
③安全行车距离d
d=d 0+ d 1+ d 2=d+v i t+Φ
2542
i v
④相关参数的确定
Φ一般附着系数在干燥水泥路面为 0. 7～1. 0;下雨开始时为 0. 3～0. 4;潮湿水泥路面为 0. 4 ～0. 6。

轮胎与道路的附着系数 φ不同路面的附着系数如表 1所示。

表 4-1 不同路面的附着系数
反应时间t,据有关专家测定,在大多情况下数驾驶员的反应时间在 0. 30～1.00s 之间,再加上刹车系统发生作用的时间等因素,总的反应时间在 1. 30～1.98s 之间,即取值为 1.30 ～1.98s 。

它取决于驾驶员反应的灵敏度,操作技术的熟练程度,还与驾驶员的年龄、情绪、身体状况、车速及目标的状态等因素有关,其数据的选择因人而定,很难准确确定。

安全停车间距d 0,两车制动停止时应保持一定的间距d 0以保证安全。

d 0选择是否合理，对安全行车距离有一定的影响。

理想状态下该距离为0，但国内外的资料一般为2～5米。

4.1.2 模型（二）的建立与求解
通过以上分析，我们可以认为司机在看到前方有异常，刹车系统产生制动力并开始制动时，汽车所行驶的距离为反应距离：
i
v t d 11=)1(
由能量关系；从踩制动踏板到车停止，汽车车速从v i 变成0的过程中 在F 作用下车行驶距离d 2所做的功为：=W 2Fd 动能的变化量为：=E 2/2mv 汽车车速从v i 变成0过程中，有
2Fd =2/2mv ，,
按照牛顿第二定律可知F m ∝，刹车时的减速度a 为常数，于是
2d =2i kv )2(
其中k 是比例系数，实际上1/2k a = 刹车距离为
21i i kv v t d += )3(
为了将这个模型用于实际，需要知道其中的参数1t 和k ．通常有经验估计和数据拟合两种方法，这里我们采用反应时间1t 的平均值(按数据平均值计)，其值为0．75秒。

这里给出部分数据。

表4-2 反应时间
鉴于刹车距离有一定的范围，我们取其中间值，并重新整理。

利用重新整理后的数据和“t 1=0.75秒，可以得到模型二中k =0.0260；
0260.0)75.0(7
1
27
1
2
=-=
∑∑==i i
i i i i
v
v v d
k (3)
则制动距离与速度的关系为：20260.075.0i i v v d += （4）
4.2问题（2）的求解
问题（1）的模型(二)求解行车速度与行车安全距离的算法进行优化从来准确估算出问题（2）的结果。

生活中行车安全距离除了制动停车距离外，还应加上安全停车间距，即两车停止运动时的距离。

于是我们引进了安全停车间距d 0。

两车制动停止时应保持一定的间距 d 0 。

d 0选择得是否合理,对系统具有一定的影响。

理想情况最小可以为 0,为了保障安全根据有关国内资料d 0一般为 2 ～5 m ，处于安全考虑此模型规定d 0=5。

于是安全距离为：
200260.075.0i i v v d d ++=
由问题给出的速度化为英制单位分别是36.4（英尺/秒）和72.8（英尺/秒），运用以上算法得到安全距离分别为66.7英尺和195.5英尺。

五、 模型的结果分析与评价
5.1 模型（一）的结果分析与评价
由模型（一）可以看出，安全行车距离d 分为三部分，即反应距离、制动停车距离和安全停车间距，但该模型有较多的参数，且在一定的范围内波动，Φ在干燥水泥路面为 0. 7～1. 0;下雨开始时为 0. 3～0. 4;潮湿水泥路面为 0. 4 ～0. 6；反应时间t,在 0. 30～1.00s 之间；安全停车间距d 为2～5米。

但对安全行车距离的研究有一定的指导作用。

在实际驾驶中，按此模型难以准确地测量到与前车的安全行车距离，因此我们改进并简化了该模型，以速度为主要参数，建立起模型（二）。

5.2 模型(二）的结果分析与评价
根据模型（二），统计行车安全距离与速度的变化情况如图1所示。

在图1中横坐标表示行车速度，纵坐标表示行车安全距离。

在图中可以看出行车速度是行车安全距离的决定性因素。

表5-1 模型（二）的结果数据
速率（英里/小时）观察到的总停止距离
(英尺）
模型预测值
（英尺）
29.32 42 44.29
36.65 56 62.29
43.98 73.5 83.27
图1 速率与实际安全距离曲线
图2 速率与预测安全行车距离曲线
在图2中横坐标表示行车速率，纵坐标表示模型预测行车安全距离；
图3 实际值与预测值拟合
根据问题给出的相关数据按照模型（二）的公式算出模型预测的安全行车距离，得到表5-1的数据（完整的在附件），运用excel软件得出结果，并把实际值与预测估计值进行图像拟合得到图3，通过图1、图2、图3的对比可以看出，模型的预测结果曲线与实际曲线基本一致，即拟合情况良好。

参考文献
[1] 姜启源.谢金星.叶俊. 数学模型.高等教育出版社 2003
[2] 韩中庚.马晓军.胡宗云.数学建模竞赛—获奖论文精选与点评（第二卷）.科学出版社
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[3] 杨翠萍.官慧峰.高速公路汽车防撞系统的安全行车距离研究，http//.
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[4] 武元杰.孟华.汽车安全车距模型影响因素分析.交通与运输学报.2010(z2).
[5] 徐杰.杜文.孙宏. 跟随车安全距离分析.交通运输工程学报2002,2(1).
附录：
附表4-2 反应时间
表5-1 模型（二）的结果数据
附表4-3 实际数据。