小波分析全章节讲解
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小波的发展 傅里叶分析傅里叶级数 傅里叶变换 泛函数分析 小波的基本概念 小波小讲窗口傅里叶变换 小波变换 多分辨率分析 小波算法 小波分析 图像压缩 小波的应用 小波去噪
边缘检测
jt
（2）用基底表示函数的展开
f f , en en
n
三、窗口傅里叶变换（傅里叶→小波）
由于传统傅里叶分析只适用于平稳信号， 在进行非平稳信号的分析时通常采用时 频处理方法，它将一维时域信号分解为 二维时域—频域联合分布表示。传统傅 里叶分析不适用于时变信号的分析，但 是可以在时域和频域内进行加窗处理， 窗内的信号认为是准平稳的，对它们可 以采用平稳信号的分析方法，如频谱分 析和功率谱分析。这就是窗口傅里叶变 换。
（4）规范正交基 若内积空间 X 中的基底 {en }满足
0, m n em , en (m n) 1, m n
则称 {en } 为 X 中的规范正交基（标准正交 基）。 故 x X 都可以展开成为
x
x, e
n 1
n
en
并且有Parseval等式，即
一、小波的发展
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的 双重意义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通 过物理的直观和信号处理的实际需要 经验的建立了反演公式，当时未能得 到数学家的认可。 小波分析的应用是与小波分析的 理论研究紧密地结合在一起地。
窗口傅里叶变换的方法
• 时频分析 • 时域-频域联合分 • 加窗时频分析
（一）时频分析
（1)传统傅里叶分析的局限性 传统的傅里叶分析在平稳信号的分析和处理中具有重要作用。 它将时间域内复杂信号的分析转换为频率域内的具有简单参数的 频谱密度的分析，或者分解为频域内的具有简单形状的信号之和。 这种从一个分析域转换到另一个分析域的方法是信号分析中的常 用方法。 但是现实世界中的很多信号，例如，脑电波信号、地震信号、 语音信号等，都是非平稳的。这些信号的频率是时变的。 对于这种信号的准确描述，必须使用具有局部 性能的时域和频域的二维 (t , ) 联合表示， 或者说必须提取特定时间段和频率段内的信号 特性。这时，传统的傅里叶分析就显得无能为力了。 傅里叶变换所描述的是整个时间段内频率 的特性，或者说它是一种全局的变换而没有 刻画出特定时间段或频率段的特性。
(2)
时域-频域联合分析
对于非平稳信号的分析，一种有 效的方法是时域-频域二维联 合分析。信号从一维时域 f (t ) 表示分解为时域和频域的 二维联合表示 F (t , ) ，用以 描述信号在不同时刻的频率分 布情况。常用的时频分析手段 有窗口傅里叶变换、小波变换 和Wigner-Ville分布等。
1 x[n] X [k ]e N n 0
N 1
j
2 nk N
1 N 1 X [k ]WN nk , n 0,1,..., N 1 N n 0
三、泛函分析
1.函数空间 （1）线性空间 例：平方可积函数空间
L ( R) f ( x)
2
f ( x) dx
• 傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理 的基础，也是现代信号处理的出发点。 它将信号分析从时间域变换到了频率域。 • 泛函分析是20世纪初开始发展起 来的一个重要的数学分支，它是 以集合论为基础的现代分析手段， 它用更加抽象的概念来描述熟知 的对象。
• 小波理论是建立在傅里叶分析和 泛函分析基础之上的视频分析工 具之一。 • 小波变换是对傅里叶变换与短时 傅里叶变换的发展，为信号分析、 图像处理、量子物理及其他非线 性科学的研究域带来革命的影响。
2.频窗处理 加频窗处理实际上是将信号 通过滤波器组，或者说将信号分 别 F ( )与多个频窗相乘。频窗是 由低通滤波器 G ( ) 在频率轴上的 平移而形成的一系列带通滤波 器 {G( )}R ，其中 为频率 位移。带通滤波器组的作用就是 提取信号在特定频率段（频带） 内的信息而屏蔽频带外信号。
2来自百度文库
F ( ) d
2
F ( f ) df
2
上式实际上给出了信号的能量关系。 在时域和频域的总能量是相等的，故 也称为能量守恒定理。
5.尺度伸缩 在小波分析中，有着大量涉及信号 在时域和频域的伸缩和变尺度分析。
t f a F (a ) a
信号在一个域内的伸缩会导致在 另一个域的相反方向上的伸缩。
x
2
x, e
n 1
n
2
（5）双正交基 对于不满足规范正交条件的基底 {ek } 来说， n } 使得 如果存在另一组对偶基底 {e
0, m n m (m n) en , e 1, m n
对应的傅里叶展开式为
n en f f ,e
F (t ) 2 f ( )
F
2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个 附加相位，但是幅频特性不变，即
f (t a) F ()e
F
ja
3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域 卷积，即
f1 (t )* f 2 (t ) F1 () F2 ()
F 1 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子 力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊 断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如： 在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面的图象压缩、分类、 识别与诊断，去污等。 在医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
X ak ek (t ), t , ak R, k Z k
即 X 为函数序列 {ek (t )} 的所有可能的 线性组合构成的集合，则称 X 为 序列 {ek (t )}张成的线性空间，简记为
X span{ek }
（2）基底 若序列 {ek (t )} 线性无关，则 g X ，式 中的系数 ak 的取值是惟一的。此时，就 称 {ek (t )}为空间 X 的一组基底。 （3）正交（直交） 设x,y为内积空间中的两个元素， 若内积 x, y 0 ，则称x,y 相 互正交，简记为 x y 。
二、傅里叶分析(连续)
1、傅里叶变换
（1）傅里叶（FT）定义
F （）=
1 f (t ) 2
f (t )e
jt
dt
（1.1）
F ( )e d
jt
（1.2）
其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT)
(2)FT的性质
1.对偶性 利用对偶性可以方便地得到一 些函数的傅里叶变换或反变换 公式，即
n 1
规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。
（6）框架 { k } 为H中的一个函数 设H为Hilbert空间， 序列，若 f H ，都存在实数A,B使得
A f
2
f , k B f
k
2
n R 例2：在n维欧氏空间 中， n f ( f1, f2 ,..., fn ), g ( g1, g2 ,...gn ) ， f , g R 定义内积为
f , g f1 g1 ... f n g n fi gi
i 1
n
2.基底及展开 （1）由函数序列张成的空间 设 {ek (t )} 为函数序列，令集合 X 为
为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，工程 技术领域长期以来一直采用D.Gabor开发的窗口 Fourier变换（短时Fourier变换），来对时空信号 进行分段或分块的时空-频谱分析（时频分析）。 窗口Fourier变换：
Fg ( , w) f (t ) g (t )e jwt dt
f (t )
0
t
g (t )
0
f (t ) g (t )
t
0
t
最简单的时间窗是矩形窗函数，如上图所示。但 是也可以根据需要选择其他的窗函数，如Gauss窗、 Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函数具有 非常良好的时域局部化性质： （1）具有时域紧支集。 （2）窗内信号保持原样。 （3）窗外信号完全衰减为0，完全地屏蔽了窗外信号。 （4）窗的过渡带为“陡”的阶跃跳变， 因此，没有平滑的衰减过渡带和窗拖尾。 根据常用傅里叶变换，矩形窗函数的频谱 为sinc函数，它有着很长的拖尾。这就引入 了带外频谱干扰，或者说在频域内的局部化 特性不够好，给带内信号的分析带来了干扰。
傅里叶变换(离散)
时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离 散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶 变换（DFT）。 1.DTFT
X ()
n
x[n] e
jn
jn
1 x[n] 2
X ( )e
d
2.DFT
X [k ] x[n]e
n 0 N 1 j 2 nk N nk x[n]WN , k 0,1,..., N 1 n 0 N 1
F
4.Parseval定理（内积定理） 它表明两个信号在时域和频域中的 内积之间的关系，即
1 * f ( t ) f ( t ) dt F ( ) F ( )d 1 2 1 2 特别当 f1 t f2 t 时，有
* 2
1 f1 (t ) dt 2
则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、 下界。 当A=B时，此框架称为紧框架； 尤其当A=B=1时，此紧框架就变 为规范正交基。
3.从泛函角度描述傅里叶变换 （1）用内积表示傅里叶变换 内积空间中的函数，其傅里叶变换可 用内积表示为
F ( )
f (t ) e
jt
dt f (t ), e
其中，g为窗口函数（参见图10-3）。
虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时 空定位问题，但由于窗口的大小是固定的，对频 率波动不大的平稳信号还可以，但对音频、图像 等突变定信号就成问题了。本来对高频信号应该 用较小窗口，以提高分析精度；而对低频信号应 该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口 Fourier变换则不论频率的高低，都统一用同样 宽度的窗口来进行变换，所以分析结果的精度不 够或效果不好。迫切需要一种更好的时频分析方 法。
2
（2）赋范线性空间 n 例： x
1
k 1
k
2 x 2 k k 1 x max k
n
1 k n
1
2
（3）巴拿赫（Banach)空间 （4）希尔伯特（Hilbert）空间 ) 例1：对于线性空间 L2 (R), f , g L2 (R， 定义内积为 * f , g f ( x) g ( x)dx
虽然时变信号的频率特性 随着时间而改变，但是这种改 变是渐变的而非突变的，也就 是说，在一个特定的足够小的 区间（窗）内，可以认为信号 的特性是不变的，信号是局部 稳定的或准平稳的。
（二）加窗时频分析 1.时窗处理 将信号在时域内进行分段，等效于用位置不 同的窗函数 g (t ) 与原信号 f (t ) 相乘的结果，如下 图所示。在时域内，时间函数一般选取具有能量 局部化的函数。先选定一个基本窗函数 g (t ) ， 然后将 g (t ) 沿时间轴平移得到一组窗函数， {g (t b)}bR 其中 b 为时间位移。平移后的窗函数分别 与原信号相乘，其结果就等效于提取了 原信号的不同时间段内的信息而屏蔽了 段外的信号。
边缘检测
jt
（2）用基底表示函数的展开
f f , en en
n
三、窗口傅里叶变换（傅里叶→小波）
由于传统傅里叶分析只适用于平稳信号， 在进行非平稳信号的分析时通常采用时 频处理方法，它将一维时域信号分解为 二维时域—频域联合分布表示。传统傅 里叶分析不适用于时变信号的分析，但 是可以在时域和频域内进行加窗处理， 窗内的信号认为是准平稳的，对它们可 以采用平稳信号的分析方法，如频谱分 析和功率谱分析。这就是窗口傅里叶变 换。
（4）规范正交基 若内积空间 X 中的基底 {en }满足
0, m n em , en (m n) 1, m n
则称 {en } 为 X 中的规范正交基（标准正交 基）。 故 x X 都可以展开成为
x
x, e
n 1
n
en
并且有Parseval等式，即
一、小波的发展
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的 双重意义。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通 过物理的直观和信号处理的实际需要 经验的建立了反演公式，当时未能得 到数学家的认可。 小波分析的应用是与小波分析的 理论研究紧密地结合在一起地。
窗口傅里叶变换的方法
• 时频分析 • 时域-频域联合分 • 加窗时频分析
（一）时频分析
（1)传统傅里叶分析的局限性 传统的傅里叶分析在平稳信号的分析和处理中具有重要作用。 它将时间域内复杂信号的分析转换为频率域内的具有简单参数的 频谱密度的分析，或者分解为频域内的具有简单形状的信号之和。 这种从一个分析域转换到另一个分析域的方法是信号分析中的常 用方法。 但是现实世界中的很多信号，例如，脑电波信号、地震信号、 语音信号等，都是非平稳的。这些信号的频率是时变的。 对于这种信号的准确描述，必须使用具有局部 性能的时域和频域的二维 (t , ) 联合表示， 或者说必须提取特定时间段和频率段内的信号 特性。这时，传统的傅里叶分析就显得无能为力了。 傅里叶变换所描述的是整个时间段内频率 的特性，或者说它是一种全局的变换而没有 刻画出特定时间段或频率段的特性。
(2)
时域-频域联合分析
对于非平稳信号的分析，一种有 效的方法是时域-频域二维联 合分析。信号从一维时域 f (t ) 表示分解为时域和频域的 二维联合表示 F (t , ) ，用以 描述信号在不同时刻的频率分 布情况。常用的时频分析手段 有窗口傅里叶变换、小波变换 和Wigner-Ville分布等。
1 x[n] X [k ]e N n 0
N 1
j
2 nk N
1 N 1 X [k ]WN nk , n 0,1,..., N 1 N n 0
三、泛函分析
1.函数空间 （1）线性空间 例：平方可积函数空间
L ( R) f ( x)
2
f ( x) dx
• 傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理 的基础，也是现代信号处理的出发点。 它将信号分析从时间域变换到了频率域。 • 泛函分析是20世纪初开始发展起 来的一个重要的数学分支，它是 以集合论为基础的现代分析手段， 它用更加抽象的概念来描述熟知 的对象。
• 小波理论是建立在傅里叶分析和 泛函分析基础之上的视频分析工 具之一。 • 小波变换是对傅里叶变换与短时 傅里叶变换的发展，为信号分析、 图像处理、量子物理及其他非线 性科学的研究域带来革命的影响。
2.频窗处理 加频窗处理实际上是将信号 通过滤波器组，或者说将信号分 别 F ( )与多个频窗相乘。频窗是 由低通滤波器 G ( ) 在频率轴上的 平移而形成的一系列带通滤波 器 {G( )}R ，其中 为频率 位移。带通滤波器组的作用就是 提取信号在特定频率段（频带） 内的信息而屏蔽频带外信号。
2来自百度文库
F ( ) d
2
F ( f ) df
2
上式实际上给出了信号的能量关系。 在时域和频域的总能量是相等的，故 也称为能量守恒定理。
5.尺度伸缩 在小波分析中，有着大量涉及信号 在时域和频域的伸缩和变尺度分析。
t f a F (a ) a
信号在一个域内的伸缩会导致在 另一个域的相反方向上的伸缩。
x
2
x, e
n 1
n
2
（5）双正交基 对于不满足规范正交条件的基底 {ek } 来说， n } 使得 如果存在另一组对偶基底 {e
0, m n m (m n) en , e 1, m n
对应的傅里叶展开式为
n en f f ,e
F (t ) 2 f ( )
F
2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个 附加相位，但是幅频特性不变，即
f (t a) F ()e
F
ja
3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域 卷积，即
f1 (t )* f 2 (t ) F1 () F2 ()
F 1 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子 力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊 断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如： 在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面的图象压缩、分类、 识别与诊断，去污等。 在医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
X ak ek (t ), t , ak R, k Z k
即 X 为函数序列 {ek (t )} 的所有可能的 线性组合构成的集合，则称 X 为 序列 {ek (t )}张成的线性空间，简记为
X span{ek }
（2）基底 若序列 {ek (t )} 线性无关，则 g X ，式 中的系数 ak 的取值是惟一的。此时，就 称 {ek (t )}为空间 X 的一组基底。 （3）正交（直交） 设x,y为内积空间中的两个元素， 若内积 x, y 0 ，则称x,y 相 互正交，简记为 x y 。
二、傅里叶分析(连续)
1、傅里叶变换
（1）傅里叶（FT）定义
F （）=
1 f (t ) 2
f (t )e
jt
dt
（1.1）
F ( )e d
jt
（1.2）
其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT)
(2)FT的性质
1.对偶性 利用对偶性可以方便地得到一 些函数的傅里叶变换或反变换 公式，即
n 1
规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。
（6）框架 { k } 为H中的一个函数 设H为Hilbert空间， 序列，若 f H ，都存在实数A,B使得
A f
2
f , k B f
k
2
n R 例2：在n维欧氏空间 中， n f ( f1, f2 ,..., fn ), g ( g1, g2 ,...gn ) ， f , g R 定义内积为
f , g f1 g1 ... f n g n fi gi
i 1
n
2.基底及展开 （1）由函数序列张成的空间 设 {ek (t )} 为函数序列，令集合 X 为
为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，工程 技术领域长期以来一直采用D.Gabor开发的窗口 Fourier变换（短时Fourier变换），来对时空信号 进行分段或分块的时空-频谱分析（时频分析）。 窗口Fourier变换：
Fg ( , w) f (t ) g (t )e jwt dt
f (t )
0
t
g (t )
0
f (t ) g (t )
t
0
t
最简单的时间窗是矩形窗函数，如上图所示。但 是也可以根据需要选择其他的窗函数，如Gauss窗、 Hanning窗、Blackman窗等。其中，矩形窗函数具有 非常良好的时域局部化性质： （1）具有时域紧支集。 （2）窗内信号保持原样。 （3）窗外信号完全衰减为0，完全地屏蔽了窗外信号。 （4）窗的过渡带为“陡”的阶跃跳变， 因此，没有平滑的衰减过渡带和窗拖尾。 根据常用傅里叶变换，矩形窗函数的频谱 为sinc函数，它有着很长的拖尾。这就引入 了带外频谱干扰，或者说在频域内的局部化 特性不够好，给带内信号的分析带来了干扰。
傅里叶变换(离散)
时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离 散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶 变换（DFT）。 1.DTFT
X ()
n
x[n] e
jn
jn
1 x[n] 2
X ( )e
d
2.DFT
X [k ] x[n]e
n 0 N 1 j 2 nk N nk x[n]WN , k 0,1,..., N 1 n 0 N 1
F
4.Parseval定理（内积定理） 它表明两个信号在时域和频域中的 内积之间的关系，即
1 * f ( t ) f ( t ) dt F ( ) F ( )d 1 2 1 2 特别当 f1 t f2 t 时，有
* 2
1 f1 (t ) dt 2
则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、 下界。 当A=B时，此框架称为紧框架； 尤其当A=B=1时，此紧框架就变 为规范正交基。
3.从泛函角度描述傅里叶变换 （1）用内积表示傅里叶变换 内积空间中的函数，其傅里叶变换可 用内积表示为
F ( )
f (t ) e
jt
dt f (t ), e
其中，g为窗口函数（参见图10-3）。
虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时 空定位问题，但由于窗口的大小是固定的，对频 率波动不大的平稳信号还可以，但对音频、图像 等突变定信号就成问题了。本来对高频信号应该 用较小窗口，以提高分析精度；而对低频信号应 该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口 Fourier变换则不论频率的高低，都统一用同样 宽度的窗口来进行变换，所以分析结果的精度不 够或效果不好。迫切需要一种更好的时频分析方 法。
2
（2）赋范线性空间 n 例： x
1
k 1
k
2 x 2 k k 1 x max k
n
1 k n
1
2
（3）巴拿赫（Banach)空间 （4）希尔伯特（Hilbert）空间 ) 例1：对于线性空间 L2 (R), f , g L2 (R， 定义内积为 * f , g f ( x) g ( x)dx
虽然时变信号的频率特性 随着时间而改变，但是这种改 变是渐变的而非突变的，也就 是说，在一个特定的足够小的 区间（窗）内，可以认为信号 的特性是不变的，信号是局部 稳定的或准平稳的。
（二）加窗时频分析 1.时窗处理 将信号在时域内进行分段，等效于用位置不 同的窗函数 g (t ) 与原信号 f (t ) 相乘的结果，如下 图所示。在时域内，时间函数一般选取具有能量 局部化的函数。先选定一个基本窗函数 g (t ) ， 然后将 g (t ) 沿时间轴平移得到一组窗函数， {g (t b)}bR 其中 b 为时间位移。平移后的窗函数分别 与原信号相乘，其结果就等效于提取了 原信号的不同时间段内的信息而屏蔽了 段外的信号。