五 信号抽样与重构

实验五 信号的抽样和重构

实验目的

（1）熟悉抽样信号及其频谱。 （2）掌握抽样定理。

（3）了解理想低通滤波器。

一、实验原理 1．抽样信号

抽样信号相当于连续信号与周期性的冲击序列相乘。

)()()(t t f t f T s δ⋅=

在Matlab 中可以很方便的用不同的时间间隔实现对连续信号不同频率的抽样。 抽样信号的频谱等于原始信号的频谱与冲击序列的频谱的卷积。

∑∑∞

-∞

=∞-∞=-=-*=n s n s s n F T n T F F )(1)(1)()(ωωωωδωω

抽样信号的频谱是对原始信号的频谱的周期性延拓，周期大小为抽样品率，其中每一个周期

都复制了原始信号的频谱。

2．抽样定理

一个带宽为wm 的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/wm 。

3．低通滤波器

为了从抽样信号中恢复原始信号，可以让抽样信号通过一个低通滤波器，把一个周期的频谱取出来。理想低通滤波器的频率响应H(jw)，是一个自变量为w 的门函数。让抽样信号的频谱Fs(jw)与滤波器的H(jw)相乘，可以得到抽样信号一个周期的频谱Fa(jw)。对Fa(jw)求傅立叶逆变换，可以重构原始信号。

二、验证性实验

1．绘制宽度为2的门信号G 2(t)=u(t+1)-u(t-1)的图形和频谱。

门信号并非严格意义上的有限带宽信号，但是，由于其频率f>1/τ的分量所具有的能量占有很少的比重，所以一般定义f m =1/τ为门信号的截止频率。其中的τ为门信号在时域的宽度。在本例中选取f m =0.5，临界采样频率为f s =2f m=1，过采样频率为f s >1（为了保证精度，可以将其值提高到该值的50倍），欠采样频率为f s <1。

MATLAB 程序：

Ts=0.01;%采样周期=0.01,fs=100>>2fm=1 t=-4:Ts:4;

f=rectpuls(t,2);% 宽度为2的门信号

w1=2*pi*10; % 频谱范围[-20*pi 20*pi] N=1000; % 计算出2*1000+1个频率点 k=0:N;

wk=k*w1/N;

F=f*exp(-j*t'*wk)*Ts; % 计算Fourier 变换 F=abs(F); % 计算频谱的幅度 wk=[-fliplr(wk),wk(2:1001)];

F=[fliplr(F),F(2:1001)]; % 补充对应负频率的频谱 subplot(2,1,1); plot(t,f); xlabel('t'); ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2); plot(wk,F); xlabel('w'); ylabel('F(jw)'); title('f(t)的幅度谱');

-4

-3-2-1

01234

00.5

1

t

f (t )

f(t)=u(t+1)-u(t-1)

-80

-60

-40

-20

020

40

60

80

00.511.5

2w

F (j w )

f(t)的幅度谱

由于抽样周期很小，抽样频率（100Hz ）远远大于信号带宽，结果相当于连续信号。 请回答：

门信号的频谱第一个过零点是多大的频率？

2．绘制宽度为2的门信号G 2(t)=u(t+1)-u(t-1)的的抽样信号的图形和频谱。 MATLAB 程序：

Ts=0.25;%采样周期=0.25,fs=4>2fm=1 t=-4:Ts:4;

f=rectpuls(t,2);% 宽度为2的门信号

w1=2*pi*10; % 频谱范围[-20*pi 20*pi] N=1000; % 计算出2*1000+1个频率点 k=0:N;

wk=k*w1/N;

F=f*exp(-j*t'*wk); % 计算Fourier 变换 F=abs(F); % 计算频谱的幅度 wk=[-fliplr(wk),wk(2:1001)];

F=[fliplr(F),F(2:1001)]; % 补充对应负频率的频谱

subplot(2,1,1); stem(t/Ts,f); % 采样信号的离散时间显示 xlabel('n'); ylabel('f(n)'); title('f(n)');

subplot(2,1,2); plot(wk,F); % 显示采样信号的连续的幅度谱 xlabel('w'); ylabel('F(jw)'); title('f(n)的频谱');

00.5

1

n

f (n )

-80

-60

-40

-20

020

40

60

80

0246

8w

F (j w )

f(n)的频谱

请回答：

抽样序列f(n)的脉冲宽度是多少，为什么不是2？ 抽样信号的频谱周期是多少？

3．求宽度为2的门信号G 2(t)=u(t+1)-u(t-1)的的抽样信号，利用低通滤波器重构门信

号，并计算误差。

MATLAB 程序： %计算抽样信号

Ts=0.25; % 采样周期

t=-4:Ts:4; %时间区间[-4，4] f=rectpuls(t,2);%抽样信号

%计算抽样信号的频谱 w1=2*pi*10; N=1000; k=0:N;