绝对值不等式的解法

2.解决题2的关键是理解绝对值的几何意义.
【解析】
1.|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2
x2－2x 1＞x2－4x 4 2x＞3 x＞3 , 2
所以原不等式的解集为
答案：(3， ) 2
2.方法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么
A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式
化为x+1+x-1≥3.所以x 3 . 2
综上,可知原不等式的解集为 {x | x 3 或x 3}. 22
方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
y 2x 3， x 1,
1，
1 x 1,
2x 3，
x 1.
作出函数的图象(如图).函数的零点是
3,3,
22
从图象可知当 x 或 3 时x ,y3≥0.
2
2
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为 (, 3]U[3 ,).
答案：(, 3]U[3 ,)
22
22
3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法. (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性，进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式. 此类问题的简单解法是利用等价转化法，即 a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.
(5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式. 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|<f(x)⇔x∈∅， |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
__ ∅
|x|>a ______________ ___________ __ {x|x＞a或x＜-a} {x∈R|x≠0} R
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. (1)|ax+b|≤c⇔_-_c_≤__a_x_+_b_≤__c_. (2)|ax+b|≥c⇔_a_x_+_b_≥__c_或__a_x_+_b_≤__-_c_.
3
解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等 变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
类型 一简单绝对值不等式的解法
1.不等式| 1 x－2 | 1 的解集是_____.
2 2．不等式|1
x
1
x
2
|
＜1
的解集为______.
绝对值不等式的解法
• 复习：如果a>0，则 |x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a
O
a
x
|x|<a
-a
O
a
x
|x|>a
1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集.
不等式
a>0
a=0
a<0
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|x|<a _{_x_|_-_a_＜__x_＜__a}
_∅_
2
【解析】1. | 1 x－2 |1 x－4 2 2 x－4 2, 2
解得2≤x≤6.
答案： ［2,6］
【拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.
此类不等式的简单解法是等价转化法，即 ①当a>0时，|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a. |f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a. ②当a=0时，|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)≠0. ③当a<0时，|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)有意义即可.
1.不等式|x－1|＜2的解集是_____. 【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3. 答案：(－1,3)
2.不等式|4－3x|≥2的解集是_____. 【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2
或3x－4≥2，解得 x 2或x≥2. 答案：(, 2) U[2,) 3
【互动探究】若将题1中的不等式改为 x－1＞( 2－x )2,
的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数 轴上的x.
所以-1-x+1-x=3,得x 3 . 2
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴 上的x,所以x-1+x-(-1)=3.
所以 x 3 . 2
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于
3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大
于3，所以原不等式的解集是(, 3]U[3 ,). 22
方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 . 2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为
x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以
(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式. 此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|<|g(x)|⇔［f(x)］2<［g(x)］2 ⇔［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0.
(3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式. 此类不等式的简单解法是等价转化法，即 ①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.
类型 二含多个绝对值不等式的解法 【典型例题】 1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为______. 2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为______.
【变式练习】若将题1中的不等式改为 x－1＞( 2－x )2,
求它的解集.
探究提示：
1.题1中可采用不等式两边同时平方的方式去掉绝对值符号.