7-2 离散时间信号与系统的Z域分析

z u ,
i 1,l
6
六、Z反变换
部分分式法
3. m>n
F ( z)
m n
B( z ) b0 b1 z 1 bm z m F ( z) A( z ) 1 a1 z 1 a n z n

i 1
ki z i
B1 ( z 1 ) A( z 1 )
多项式
按(1)(2) 情况展开
7
1 例 : F ( z) z 4, 求f [k ] 1 2 1 (1 2 z ) (1 4 z )
A B C 解： F ( z ) 1 1 2 1 2z (1 2 z ) 1 4 z 1
C (1 4z 1 )F ( z) z 4 4
1. m<n，分母多项式无重根
F ( z)
i 1 n
ri 1 pi z 1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z 1 ) F ( z )
z pi
5
六、Z反变换
部分分式法
B( z ) b0 b1 z 1 bm z m F ( z) A( z ) 1 a1 z 1 a n z n
B (1 2z 1 ) 2 F ( z) z2 1
1 2 ( 1 2 z ) 1 2 1 F ( z )(1 2 z ) A(1 2 z ) B C 1 1 4z
1 d 1 2 A [ F ( z )( 1 2 z ) ] 1 (2) dz
z 1
z 1
1
Res[F ( z) z k 1 ]z 0.5 ( z 0.5)F ( z) z k 1
2 z 0.5 k z z 1
z 0.5
(0.5) k
f [k ] Res[ F ( z ) z
k 1
] z 1 Res[ F ( z ) z

2
(k 1)) u[k ]
由指数加权性质
f [k ] a cos(
k

2
k )u[k ]
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六、Z反变换
留数法
1 k 1 f [k ] F ( z ) z dz c 2 πj

i 1
n
Re s[ F ( z ) z k 1 ]
z pi
若F(z)z k1在z = pi处有一阶极点，则该极点的留数为
11
2 z 2 0.5 z , z 1 ,用留数法求f[k]。 例：F ( z ) 2 z 0.5 z 0.5
解：
F(z)z k1在z=1, z=0.5有两个一阶极点，其留数为
Res[F ( z) z
k 1
]z 1 ( z 1)F ( z) z
k 1
z 1
2 z 0. 5 k z z 0. 5
i
C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。
Re s{F ( z) z k 1}z zi zi为F(z)zk1在C中的极点
计算方法：
来自百度文库幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法
3
六、Z反变换
计算方法： 幂级数展开和长除法
幂级数展开和长除法 由单边 z 变换的定义有
F ( z ) f [k ]z k f [0] f [1]z 1 f [2]z 2
z 2
2
f [k ] [2 2k (k 1)2k 4 4k ]u[k ]
8
z2 例：F ( z ) 2 , z a, 求f [k ] 2 z a
解：
F(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用
Z sin( 0 k )u[k ]
sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
2. m<n，分母多项式在z=u处有l 阶重极点
F ( z)
i 1 nl
ri 1 pi z
1

i 1
l
qi (1 uz 1 ) i
1 d l i 1 l qi ( 1 uz ) F ( z) l i 1 l i (u ) (l i )! d( z )
k 0

因此，若能将 F ( z ) 在收敛域内展开为 z 的幂级数， 则级数的系数就是序列 f [k ] 。
4
1
六、Z反变换
部分分式法
B( z ) b0 b1 z 1 bm z m F ( z) A( z ) 1 a1 z 1 a n z n
Z
sin( 0 (k 1))u[k ]
sin 0 1 2 z 1 cos 0 z 2
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z2 例：F ( z ) 2 , z a, 求f [k ] 2 z a
1 F ( z) 1 ( z / a) 2
f1[k ] sin(
解：
1 F1 ( z ) 1 z 2
离散时间信号与系统的Z域分析
离散时间信号的Z域分析 离散时间系统的Z域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
1
离散时间信号的z域分析
理想取样信号的拉普拉斯变换 z变换定义 单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换
2
六、Z反变换
1 k 1 f [k ] F ( z ) z dz c 2 πj
k 1
] z 0.5 =[1+(-0.5)k]u[k]
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1) Z变换与拉普拉斯变换的关系。
2) 双、单边Z变换的定义与适用范围:
双边适用于离散系统综合设计
单边大多用于离散系统的分析
3) Z域分析与其他域分析方法相同， Z变换 的性质类似于其他变换。但位移特性， 单、双边变换明显不同。
Re s[ F ( z ) z k 1 ] ( z z i ) F ( z ) z k 1
z pi
z zi
若F(z)z k1在z = p处有n 阶极点，则该极点的留数为
n 1 n 1 d ( z p ) F ( z) k 1 Re s[ F ( z ) z ] n 1 z p (n 1)! dz z p