并行算法3-4阶龙格库塔法
四阶龙格—库塔法的原理及其应用
《四阶龙格—库塔法的原理及其应用》
龙格—库塔法(又称龙格库塔法)是由一系列有限的、独立的可能解组成的无穷序列,这些解中每个都与原来的数列相差一个常数。
它是20世纪30年代由匈牙利著名数学家龙格和库塔提出的,故得此名。
1.它的基本思想是:在n 阶方阵M 上定义一个函数,使得当n 趋于无穷时,它在m 中所表示的数值为M 的某种特征值,从而构造出一族具有某种特性的可计算函数f (x)= Mx+ C (其中C 为任意正整数)。
例如,若f (x)=(a-1) x+ C,则称之为(a-1) x 的龙格—库塔法。
2.它的应用很广泛,可以求解各类问题,且能将大量的未知数变换成少数几个已知数,因此它是近似计算的一种重要工具。
3.
它的优点主要有:(1)可以将多项式或不等式化成比较简单的形式;(2)对于同一问题可以用不同的方法来解决,并取得同样的结果;(3)适合处理高次多项式或者不等式,尤其适合处理多元函数的二次型。
matlab经典的4级4阶runge kutta法
MATLAB是一种用于算法开发、数据分析、可视化和数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
作为一个强大的工具，MATLAB提供了许多数值计算方法，其中4级4阶Runge-Kutta方法就是其中之一。
1. Runge-Kutta方法简介Runge-Kutta方法是求解常微分方程（ODE）的数值方法之一。
在MATLAB中，用户可以使用内置的ode45函数来调用4级4阶Runge-Kutta方法。
具体来说，4级4阶Runge-Kutta方法是一种单步迭代方法，通过在每个步骤中计算斜率来逐步逼近解析解。
它的优点是数值稳定性好，适用于多种类型的微分方程。
2. Runge-Kutta方法的公式4级4阶Runge-Kutta方法的一般形式如下：$$k_1 = hf(t_n, y_n)$$$$k_2 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_1)$$$$k_3 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_2)$$$$k_4 = hf(t_n + h, y_n + k_3)$$$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$其中，$t_n$是当前的独立变量值，$y_n$是当前的解向量，h是步长，$f(t_n, y_n)$是给定点$(t_n, y_n)$处的斜率。
通过不断迭代上述公式，可以逐步求解微分方程的数值解。
3. MATLAB中的4级4阶Runge-Kutta方法的应用在MATLAB中，用户可以使用ode45函数调用4级4阶Runge-Kutta方法来求解常微分方程。
使用ode45函数的基本语法如下：```matlab[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)```其中，odefun是用户定义的ODE函数句柄，tspan指定了求解的时间范围，y0是初始条件。
四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)求解微分方程
四阶龙格库塔法（Runge-Kutta ）求解微分方程张晓颖（天津大学 材料学院 学号：1012208027）1 引言计算传热学中通常需要求解常微分方程。
这类问题的简单形式如下：{),(')(00y x f y y x y == （1）虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中的多数微分方程需要采用数值解法求解。
初值问题（1）的数值解法有个基本特点，它们采取“步进式”，即求解过程顺着节点排序一步一步向前推进。
这类算法是要给出用已知信息y n 、 y n −i ……计算y n +1的递推公式即可。
2 龙格库塔法（Runge-Kutta ）介绍假设对于初值问题（1）有解 y = y (x ) ，用 Taylor 展开有：......)(!3)(!2)()()(321+'''+''+'+=+n n n n n x y h x y h x y h x y x y （2） 龙格库塔法（Runge-Kutta ）实质上是间接的使用 Taylor 级数法的一种方法。
对于差商hx y x y n n )()(1-+，根据微分中值定理，存在 0 < θ < 1 ，使得：)()()(1h x y hx y x y n n θ+'=-+ （3）于是对于 y = y (x ) ，可得到：))(,()()(1h x y h x hf x y x y n n n n θθ+++=+ （4）设))(,(*h x y h x f K n n θθ++=，为区间 [x n , x n +1 ] 上的平均斜率。
四阶龙格库塔格式中的*K 由下式计算得到：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hK y h x f K K h y h x f K K h y h x f K y x f K K K K K h y y n n n n nn n n n n （5） 四阶龙格库塔法（Runge-Kutta ）的每一步需要四次计算函数值f ，其截断误差更低，计算的精度更高。
《龙格-库塔方法》课件
适用于求解一般和刚性常微分方程，并且具有较好的稳定性和收敛性。
龙格-库塔方法的原理
1
基本思路
通过将微分方程转化为差分方程，使用逼近公式计算数值解。
2
推导过程
使用泰勒级数展开和积分逼近，推导出不同阶次的龙格-库塔方法公式。
龙格-库塔方法的算法流程
1
步骤分解
包括选择步长、计算斜率、更新数值、迭代等一系列操作。
《龙格-库塔方法》PPT课 件
欢迎大家来到本次的PPT课件《龙格-库塔方法》。在本课程中，我们将一起 探索这一数值计算方法的原理、算法流程、应用领域以及注意事项。
什么是龙格-库塔方法？法。
特点
通过多步骤迭代计算，可以得到精确性较高的数值解。
2
具体实现过程
将算法流程转化为编程语言中的相应代码实现。
图解龙格-库塔方法
龙格-库塔方法示意图
图中展示了使用龙格-库塔方法进行迭代计算的示意 图。
对比其他数值方法的表现
通过与其他数值方法的比较，可以更好地理解龙格库塔方法的优势。
龙格-库塔方法的应用领域
常见应用范围
广泛应用于科学研究、工程计算、物理模拟等领域。
实际计算案例
通过实际案例，展示龙格-库塔方法在解决实际问题中的应用。
注意事项
1 龙格-库塔方法的收敛性和稳定性
在使用龙格-库塔方法时，需要注意数值解的收敛性和算法的稳定性。
2 常见误差和偏差的处理方法
介绍常见的误差和偏差来源，并提供相应的处理方法。
总结
龙格-库塔方法的优势和不足
总结龙格-库塔方法的优点和局限性，指出其适 用性和改进空间。
对未来数值计算的展望
展望未来龙格-库塔方法在数值计算领域的发展 和应用前景。
龙格库塔方法
• 可以通过检查步长折半前后两次计
算结果的偏差
=
(h)
y2 n1
y(h) n1
变步长方
来判断所选取的步长是否合法适
（1）对于给定的精度，如果 ,则反复将步长折半 进行计算直至 为止，这时取折半以后的“ 新值” 作为结果；
四阶RungeKutta方法
这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔 (h)和一个估算的斜率的乘积 决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
k1是时间段开始时的斜率； k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率 k1 来 决定 y在点 tn + h/2的值； k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率 k2决定 y值； k4是时间段终点的斜率，其 y值用 k3 决定。 当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
75
0.0033
误差 0.45e-4 0.17e-4 0.15e-4 0.48e-4 0.25e-4 0.55e-4 0.14e-4
y(xn) 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492
改进Euler法一步需要计算两个函数值 (h=0.1) 四阶Runge-Kutta方法一步需要计算四 个函数值（h=0.2） 总计算量大致相当，但四阶RungeKutta方法精度更高
设从节点xn出发，先以h为步长求出一个近似值，记为yn(h)1 因为经典格式的局部截断误差为O(h5),因此有
y(xn+1)-y(nh)1 Ch5 其中C与y(5)(x)在[xn, xn1]内的值有关
将步长折半，即取
h 2
为步长从xn跨两步到xn+1，求得一个近似值yn( h21)
龙格-库塔方法-文档资料
c3a 2b32
c3a3 1
6
; 2
O (h4)
常见的2种三阶方法：
库塔三阶方法
h yn1yn6(k14k2k3)
k1
f(xn,yn);
k2
hh f(xn2,yn2k1)
k 3 f(x n h ,y n h k 1 2 h k 2 ) •5
四级方法：N = 4
局部截断误差 O ( h 5 )
可见误差随着 x n 的增加呈指数函数递减
当 f y 0 时，微分方程是不稳定的； 而 f y 0 时，微分方程是稳定的。
上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中 f 有关
•21
实验方程： y y C ,R e () 0
D e f 3 对单步法 yn 1ynh(xn,yn,h )应用实验方程，
e n 1 e n h [ ( x n ,y ( x n ) , h ) ( x n ,y n , h ) ] T n 1
•15
因为单步法是 p 阶的：h0,0hh0满足|Tn1|Chp1
|e n 1| |e n| h L |e n| C h p 1|en |
其中 1hL,C hp1
•18
三、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/ 计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响
首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:
yn1ynhf(xn,yn)
设实际计算得到的点 x n 的近似函数值为 yn yn n，
其中 y n 为精确值， n 为误差
yn1ynhf(xn,yn)
通过适当选取参数 1,2和 p 的值，使得公式具有 2阶精度！！
•3
由泰勒公式展开，要使公式具有 2 阶精度，只需
龙格库塔法介绍
h 0.005稳定.
2) 改进欧拉法(预测 — 校正，即二阶R K法)：
yn
1
yn
h
k1 2
k2 2
,
k1
f (xn, yn ) yn,
k2 f (xn h, yn hk1) ( yn hyn )，
即yn1 故
yn
当初值准确即e0 0时，整体误差为en O(h p ).
证明
考察单步法的收敛性归结为验证增量函数(x, y,h)是否
满足Lipschitz条件.
欧拉法 : (x, y,h) f (x, y)，L L.
改进的欧拉法：
yn1
yn
h[ 2
f
(xn, yn )
f
( xn 1,
xn
f
( x,
y ( x))dx
r
h ci
i 1
f
( xn
ih,
y ( xn
ih)).
yn1 yn h(xn, yn, h),
(3.4)
其中
r
(xn, yn, h) ciki ,
(3.5)
i 1
k1 f (xn, yn )，
欧拉法r 1, p 1.改进 欧拉法r 2, p 2.
k1)
k3）
k3 f (xn h, yn hk1 2hk2 )
称为库塔三阶方法.
阶数p和段数r（计算函数值次数）的关系
r12 p1 2
3 4 5 6 7 r≥8 3 4 4 5 6 r-2
常用的经典四阶龙格 库塔方法:
四阶龙格-库塔方法的程序设计与应用
—科教导刊（电子版）·2019年第24期/8月（下）—259四阶龙格-库塔方法的程序设计与应用罗丽珍吴庆军（玉林师范学院数学与统计学院广西·玉林537000）摘要本文通过介绍四阶龙格-库塔方法，通过预报斜率和泰勒展开式推导出龙格—库塔格式。
了解它的基本思想与算法步骤、MATLAB 语言编写的程序。
列举一些例子，运用四阶龙格-库塔方法的MATLAB 程序在软件中运行，求解出常微分方程的数值解，同时将求解出的数值解与精确解进行比较。
关键词龙格-库塔方法常微分方程数值解中图分类号：TP337文献标识码：A 0引言从17世纪以来国内外数学家对常微分方程的研究取得了很多的成果.欧拉在研究中指出常微分方程存在唯一解和无数解，他用近似值求解微分方程，发现用积分因子求解微积分方程的特殊算法。
拉格朗日建立了一阶微分方程理论，他将参数变法应用到四阶非齐次方程的求解。
我们生活中许多问题的解决都运用到常微分方程，常微分方程的数值解法中经常使用的方法是四阶龙格-库塔方法。
各个领域和工程问题中的原理和演变规律都是用常微分方程来描述的，如在物理方面的电路中电流变化的规律、航天航空方面卫星运转问题、经济方面物品供给以及需求与物价的之间的关系、军事方面研究深水炸弹在水下的运动等。
对这些事物、现象变化规律的描述、认知和分析，需要运用常微分方程来解决。
人们使用常微分方程数值解法的四阶龙格-库塔方法去研究这些问题很实用，而且具有很重要的应用价值。
目前，常微分方程在解决我们生活中的问题很实用，许多问题都运用常微分方程来求解。
中国科学技术大学学者倪兴在常微分方程的研究中写了关于欧拉法、方法等几种方法，他运用常微分计算卫星运动的初轨，把方法运用到卫星轨道改进的例子中；扬州大学学者冯建强和孙诗一研究四阶方法的推导，他写出了如何推导的过程。
在高校数值分析、数值计算方法与实验等教材中，许多作者都出版关于常微分方程初值问题数值解法的教材书，欧拉方法、改进欧拉法和方法等，同时在教材书中写入各种实际问题的例子，运用这些方法去解决常微分方程的初值问题。
并行算法3-4阶龙格库塔法
将其命名为:t3_Rungek.m
在编辑窗口输入下列程序段，然后执行该程序 x0=0,b=1.1;y0=1;h=0.1;[X,Y]=t3_Rungek(@funfcn,x0,b,y0,h) 四阶龙格—库塔公式的Matlab程序代码：
function x=x0; y=y0;
[Xy0,h)
K1 f ( xn , yn ) K 2 f ( xn h , yn h K1 ) 2 2 K 3 f ( xn h, yn hK1 2hK 2 ) h yn 1 yn ( K1 4 K 2 K 3 ) 6
和四阶 Rugge-Kutta 格式
准确解 y ( xn ) 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
函数运行时需要调用下列函数：
建立 M 文件 funfcn.m function z=fun(x,y) z=y-2*x/y;
三阶龙格—库塔公式的Matlab程序代码：
5、实验总结 1、本次实验实现了常微分方程初值问题数值解法中的三阶、四阶龙哥库塔法 2、 通过实验发现龙哥库塔法比欧拉方法、 后退的欧拉方法及其改进的算法精确度更高。 3、比较了其数值解与精确解之间的误差。可以发现无论是三阶还是四阶龙哥库塔法 都非常接近精确解,但四阶龙哥库塔法比三阶龙哥库塔法更精确。
function x=x0; y=y0; n=fix((b-x0)/h); i=1;X=zeros(n,1);Y=zeros(n,1); X(i)=x0;Y(i)=y0; for i=2:n k1=feval(funfcn,x,y); k2=feval(funfcn,x+h/2,y+h*k1/2); k3=feval(funfcn,x+h,y-h*k1+2*h*k2); y=y+h/6*(k1+4*k2+k3); Y(i)=y; x=x+h; X(i)=x; end X, Y1=sqrt(1+2.*X) grid legend('?????¡Á?¨²?????????¡§????????????','??????y(x)');%???????¡Â wcha=abs(Y-Y1), plot(X,wcha,'mh') %»æͼ grid %?????? %¡ã????¨²??-???????¡§?????¨®?? %?????? %?¨®???? [X,Y]=Rungek(funfcn,x0,b,y0,h)
四阶龙格——库塔法
四阶龙格——库塔法2013-2014（1）专业课程实践论文题目：四阶龙格—库塔法一、算法理论由定义可知，一种数值方法的精度与局部截断误差()po h有关，用一阶泰勒展开式近似函数得到欧拉方法，其局部截断误差为一阶泰勒余项2()o h，故是一阶方法，完全类似地若用p阶泰勒展开式2'''()11()()()......()()2!!pp p n n n n n h h y y x hy x y x y x O h p ++=+++++ 进行离散化，所得计算公式必为p 阶方法，式中'''''()(,),()(,)(,)(,)....x y x f x y y x f x y f x y f x y ==++由此，我们能够想到，通过提高泰勒展开式的阶数，可以得到高精度的数值方法，从理论上讲，只要微分方程的解()y x 充分光滑，泰勒展开方法可以构造任意的有限阶的计算公式，但事实上，具体构造这种公式往往相当困难，因为符合函数(,())f x y x 的高阶导数常常是很烦琐的，因此，泰勒展开方法一般不直接使用，但是我们可以间接使用泰勒展开方法，求得高精度的计算方法。
首先，我们对欧拉公式和改进欧拉公式的形式作进一步的分析。
如果将欧拉公式和改进的欧拉公式改写成如下的形式：欧拉公式{111(,)n n n n y y hK K f x y +==+改进的欧拉公式11211()22n n y y h K K +=++， 1(,)n n K f x y =，21(,)n n K f x h y hK =++。
这两组公式都是用函数(,)f x y 在某些点上的值的线性组合来计算1()n y x +的近似值1n y +，欧拉公式每前进一步，就计算一次(,)f x y 的值。
另一方面它是1()n y x +在n x 处的一阶泰勒展开式，因而是一阶方法。
改进的欧拉公式每前进一步，需要计算两次(,)f x y 的值。
四阶龙格——库塔法
2013-2014（1）专业课程实践论文题目：四阶龙格—库塔法一、算法理论由定义可知，一种数值方法的精度与局部截断误差()po h 有关，用一阶泰勒展开式近似函数得到欧拉方法，其局部截断误差为一阶泰勒余项2()o h ，故是一阶方法，完全类似地若用p 阶泰勒展开式2'''()11()()()......()()2!!pp p n n n n n h h y y x hy x y x y x O h p ++=+++++ 进行离散化，所得计算公式必为p 阶方法，式中'''''()(,),()(,)(,)(,)....x y x f x y y x f x y f x y f x y ==++由此，我们能够想到，通过提高泰勒展开式的阶数，可以得到高精度的数值方法，从理论上讲，只要微分方程的解()y x 充分光滑，泰勒展开方法可以构造任意的有限阶的计算公式，但事实上，具体构造这种公式往往相当困难，因为符合函数(,())f x y x 的高阶导数常常是很烦琐的，因此，泰勒展开方法一般不直接使用，但是我们可以间接使用泰勒展开方法，求得高精度的计算方法。
首先，我们对欧拉公式和改进欧拉公式的形式作进一步的分析。
如果将欧拉公式和改进的欧拉公式改写成如下的形式：欧拉公式{111(,)n n n n y y hK K f x y +==+改进的欧拉公式11211()22n n y y h K K +=++， 1(,)n n K f x y =，21(,)n n K f x h y hK =++。
这两组公式都是用函数(,)f x y 在某些点上的值的线性组合来计算1()n y x +的近似值1n y +，欧拉公式每前进一步，就计算一次(,)f x y 的值。
另一方面它是1()n y x +在n x 处的一阶泰勒展开式，因而是一阶方法。
改进的欧拉公式每前进一步，需要计算两次(,)f x y 的值。
数值计算方法后退欧拉法,龙格库塔法(三阶,四阶方法)
数值计算方法实验课测验作业——微分方程求解的后退欧拉法,龙格库塔法（三阶，四阶方法）日期：2011-06-17一、实验目的1.学习matlab的使用方法。
2.掌握常微分方程的几种数值解法：后退欧拉法，龙格库塔法三阶方法，龙格库塔法四阶方法。
3.比较各方法的数值解及误差，了解各方法的优缺点。
二、实验题目给定的初值问题y′=-y+x+2,0≤x≤1y(0)=-1,取精确解y(x)=exp(-x)+x按(1)后退欧拉法，步长h=0.003, h=0.1;(2)龙格库塔法三阶方法，步长h=0.1;(3)龙格库塔法四阶方法，步长h=0.1;求在节点x k=1+0.1k (k=1,2,3……10)处的数值解及误差比较各方法的优缺点。
三、实验原理1.对于后退欧拉法：利用Yn+1 = Yn + 1/2*K1 + 1/2*K2①n = 1, 2, 3……K1 = hf（Xn, Yn）②K2 = hf（Xn + h, Yn + K1）③三式可以完成计算需要将微分方程表达式和精度计算表达式作为两个函数保存在m文件里并在程序中调用：①微分方程（oulei_wf）function z=oulei_wf(x,y)z=-y+x+2end②精确解计算(ouleij_q)function z=ouleij_q(x)z=exp(-x)+xend2.对于龙哥库塔三阶：利用Yn+1 = Yn + h/6(K1 + 4K2 + K3 ) ①K1 = f（Xn, Yn）②K2 = f（Xn + 1/2*h, Yn +( h/2)*K1）③K3= f（Xn + h, Yn - K1+2*h*k2）④四式可以完成计算3.对于龙哥库塔四阶：利用Yn+1 = Yn + 1/6(K1 + 2K2 + 2K3 +K4) ①K1 = hf（Xn, Yn）②K2 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K1）③K3 = hf（Xn + 1/2*h, Yn + 1/2*K2）④K4 = hf（Xn + h, Yn + K3）⑤四式可以完成计算四、实验内容由上述实验原理叙述的后退欧拉法，龙哥库塔三阶，龙哥库塔四阶几种常微分方程数值解法分别对已给定的初值问题进行求解，比较各方法的数值解及误差，了解各方法的优缺点。
四阶龙格库塔法求解微分方程组
四阶龙格库塔法求解微分方程组四阶龙格-库塔法（RK4）是一种常用的数值求解微分方程组的方法。
它通过将微分方程转化为差分方程，通过逐步迭代来求得方程的近似解。
首先，考虑一个一阶微分方程组：dx/dt = f(x,t)其中，x是一个向量，f是一个向量函数，t是时间。
我们的目标是求解x(t)。
RK4法的基本思想是，在每个步骤中，通过预测下一个时间点的解并进行修正来逼近实际的解。
具体步骤如下：1.给定初始条件x(t0)和步长h，计算t=t0+h。
2. 计算k1 = hf(x(t0),t0)，即利用初始点(x(t0),t0)计算出的斜率。
3. 计算k2 = hf(x(t0)+k1/2,t0+h/2)，即利用中间点(x(t0)+k1/2,t0+h/2)计算出的斜率。
4. 计算k3 = hf(x(t0)+k2/2,t0+h/2)，同理得到另一个中间点的斜率。
5. 计算k4 = hf(x(t0)+k3,t0+h)，即利用最后一个中间点(x(t0)+k3,t0+h)计算的斜率。
6.根据k1，k2，k3和k4计算下一个点的值：x(t1)=x(t0)+(k1+2k2+2k3+k4)/67.重复步骤2到6，直到达到所需的终止时间。
接下来，让我们通过一个具体的例子来说明RK4方法的应用。
假设我们要求解如下的一阶微分方程组：dx/dt = f(x,y,z)dy/dt = g(x,y,z)dz/dt = h(x,y,z)其中f，g和h是已知的向量函数，我们需要找到x(t)，y(t)和z(t)。
首先，我们需要将该微分方程组转化为差分方程组。
我们将离散时间点t0，t1，t2，...，tn代入微分方程，得到：x(t0+h)=x(t0)+h*f(x(t0),y(t0),z(t0))y(t0+h)=y(t0)+h*g(x(t0),y(t0),z(t0))z(t0+h)=z(t0)+h*h(x(t0),y(t0),z(t0))然后，我们通过逐步迭代的方式来求解方程组。
龙格-库塔方法
8.2 龙格-库塔方法8.2.1 二阶龙格-库塔方法常微分方程初值问题：做在点的泰勒展开：这里。
取，就有(8.11) 截断可得到近似值的计算公式，即欧拉公式：若取，式（8.11）可写成：或（8.12）截断可得到近似值的计算公式：或上式为二阶方法，一般优于一阶的欧拉公式（8.2），但是在计算时，需要计算在点的值，因此，此法不可取。
龙格-库塔设想用在点和值的线性组合逼近式（8.12）的主体，即用（8.13）逼近得到数值公式：（8.14）或更一般地写成对式（8.13）在点泰勒展开得到：将上式与式（8.12）比较，知当满足时有最好的逼近效果，此时式（8.13）－式（8.14）。
这是4个未知数的3个方程，显然方程组有无数组解。
若取，则有二阶龙格-库塔公式，也称为改进欧拉公式：（8.15）若取，则得另一种形式的二阶龙格-库塔公式，也称中点公式：（8.16）从公式建立过程中可看到，二阶龙格-库塔公式的局部截断误差仍为，是二阶精度的计算公式。
类似地，可建立高阶的龙格-库塔公式，同时可知四阶龙格-库塔公式的局部截断误差为，是四阶精度的计算公式。
欧拉法是低精度的方法，适合于方程的解或其导数有间断的情况以及精度要求不高的情况，当解需要高精度时，必须用高阶的龙格-库塔等方法。
四阶龙格-库塔方法应用面较广，具有自动起步和便于改变步长的优点，但计算量比一般方法略大。
为了保证方法的收敛性，有时需要步长取得较小，因此，不适于解病态方程。
8.2.2 四阶龙格-库塔公式下面列出常用的三阶、四阶龙格-库塔计算公式。
三阶龙格-库塔公式（1）（8.17）（2）（8.18）(3)（8.19）四阶龙格-库塔公式（1）（8.20）（2）（8.21）例8.3用四阶龙格-库塔公式（8.20）解初值问题：解：取步长，计算公式为：计算结果列表8.3中。
表8.3 计算结果8.2.3 步长的自适应欧拉方法和龙格-库塔方法在计算时仅用到前一步的值，我们称这样的方法为单步法。
四阶龙格库塔法原理
四阶龙格库塔法原理四阶龙格库塔法是一种常用的数值解微分方程的方法，它是龙格-库塔法的一种改进版本。
在数值计算中，我们经常会遇到微分方程，而微分方程的解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法来近似求解。
四阶龙格库塔法作为一种高阶精度的数值方法，被广泛应用于科学计算和工程领域。
四阶龙格库塔法的原理基于泰勒级数展开，通过不断迭代来逼近微分方程的解。
其基本思想是将微分方程中的导数用差分来代替，然后通过一系列计算步骤来逼近真实解。
这种方法的优点在于可以通过控制步长来控制误差，同时具有较高的数值稳定性和精度。
具体来说，四阶龙格库塔法的计算步骤如下：1. 根据微分方程，确定初始条件和求解区间。
2. 将求解区间等分为若干小步长，确定每一步长上的近似解。
3. 利用龙格-库塔法的迭代公式，依次计算每个步长上的近似解。
4. 将每个步长上的近似解进行加权平均，得到整个求解区间上的近似解。
四阶龙格库塔法通过多步迭代和加权平均的方式，能够显著提高数值解的精度和稳定性。
相比于低阶龙格-库塔法，四阶龙格库塔法在保持计算效率的同时，能够显著减小误差，更加准确地逼近微分方程的解。
在实际应用中，四阶龙格库塔法常常用于求解常微分方程和偏微分方程，特别是对于一些复杂的非线性方程，其数值稳定性和精度优势更加明显。
此外，四阶龙格库塔法也被广泛应用于模拟仿真、控制系统、物理建模等领域，为工程技术和科学研究提供了重要的数值计算手段。
总的来说，四阶龙格库塔法作为一种高阶精度的数值方法，具有较高的数值稳定性和精度，能够有效地解决复杂微分方程的数值求解问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点和求解精度的要求，选择合适的数值方法进行求解，而四阶龙格库塔法无疑是一个重要的选择之一。
就得到四阶龙格库塔法
1.00000000000000 0.96078943915232 0.85214378896621 0.69767632607103 0.52729242404305 0.36787944117144 0.23692775868212
2-3-3 梯形法（RK2） 用梯形面积代替曲边梯形的面积。
2-3 数值积分法的稳定性 三、用测试方程考察欧拉法的稳定性 1. xn 1 xn hxn ) (1 h ) xn (1 h ) n 1 x0
当|1+h |<=1时，计算稳定。 2、求其稳定边界 设h =x+jy, 由|1+h |<=1 得:|1+x+jy|<=1 稳定边界为：(1+x)2+y2=1 当为负实数时，步长的 稳定区间为：0<h<|2/ |
我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为 主。 线性系统满足叠加性和齐次性。
1. 微分方程建立的一般步骤 采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步 骤是： （1）确定系统或元部件的输入、输出变量。 （2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守 恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式， 按照工作条件忽略一些次要因素。 （3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。 （4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输 出的微分方程式。 （5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各 项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时 将各系数化为具有一定物理意义的形式。
3、状态空间表达式
AX BU X Y CX DU
一阶微分方程组
2.1.2 描述控制系统常用的数学模型
龙格库塔法的基本原理
龙格库塔法的基本原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠龙格库塔法的基本原理。
咱就说啊，这龙格库塔法就像是一个超级厉害的解题高手！它能帮我们在面对那些复杂得让人头疼的数学问题时找到答案。
你想想，有时候那些数学式子就像一团乱麻，让你无从下手。
但龙格库塔法呢，它就有办法一点点地把这团乱麻给解开。
它通过巧妙地计算和推测，一步一步地接近问题的真相。
就好比你要去一个陌生的地方，你不知道该怎么走。
龙格库塔法就像是一个聪明的向导，它能给你指出一条清晰的路。
它不是那种随随便便指个方向就完事儿的，而是经过深思熟虑，考虑了各种因素之后才做出的决定。
龙格库塔法在很多领域都大显身手呢！比如在物理、工程这些地方，那可真是立下了汗马功劳。
没有它，好多难题都没法解决，好多伟大的工程可能都没法实现。
它的原理其实也不复杂，就是通过一系列的计算步骤来逼近真实的答案。
但可别小看这些步骤哦，它们就像一个个小小的拼图，组合起来就能呈现出一幅完整的画面。
比如说，它会在不同的点上进行计算，就像在不同的地方观察一样，然后把这些观察到的信息综合起来，得出一个比较准确的结果。
这是不是很神奇？而且啊，龙格库塔法还特别灵活。
它可以根据不同的问题进行调整和优化，就像一个武林高手能根据对手的情况随时改变招式一样。
你说，这么厉害的龙格库塔法，咱能不好好了解了解吗？咱得知道它是怎么工作的，怎么帮我们解决问题的呀！不然岂不是浪费了这么好的一个工具？总之，龙格库塔法就是数学世界里的一颗璀璨明星，照亮了我们解决难题的道路。
它让那些看似不可能的问题变得有可能，让我们在知识的海洋里能更加自由地航行。
所以啊，大家可别小瞧了它哟！。
龙格库塔积分算法
龙格库塔法龙格库塔法是常用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家C. Runge和M.W. Kutta于1900年左右发明。
由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
龙格库塔法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，可以应用在物理、工程、控制、动力学中，如模糊控制、弹道分析以及分析光纤特性等，在系统仿真中得到广泛应用。
龙格库塔法源自于相应的泰勒级数方法，在每一插值节点用泰勒级数展开,其截断误差阶数也是，根据可省略更高阶的导数计算, 这种方法可构造任意阶数的龙格库塔法。
其中4 阶龙格库塔法是最常用的一种方法。
因为它相当精确、稳定、容易编程。
在计算中一般不必使用高阶方法, 因为附加的计算误差可由增加精度来弥补。
如果需要较高的精度, 可采取减小步长的方法即可。
4 阶龙格库塔法的精度类似4 阶泰勒级数法的精度。
1、初值问题对于一阶常微分方程的初值问题根据常微分方程的理论可知，此初值问题的解在区间[a，b]上存在，且唯一。
2、离散化取步长h=(b-a)/n，将区间[a , b]分成n个子区间：a=<=b在其中任意两点的曲线段上，根据积分中值定理，一段光滑曲线上至少有一点，它的斜率与整段曲线的平均斜率相同，得=y’() (0<<1)其中，=可以将上式改写成y()=y()+h*K (2.1)其中K为平均斜率，K=f()公式（2.1）表明，如果能够确定平均斜率K，就可以根据（2.1）式得到y()的值。
欧拉法和龙格库塔法就是用不同方法确定不同精度的平均斜率K，从而求得y()的近似值。
3、Euler法欧拉法虽然精度低，但它是最简单的一种显式单步法，也是龙格库塔法的基础。
首先，令、为y() 及y()的近似值，并且令平均斜率K=f()，即以点的斜率作为平均斜率K，便得到欧拉公式=+h* f() （3.1）4、改进的欧拉法此种方法是取、两点的斜率的平均值作为平均斜率K，即K= ,其中、均为y()以及y()的近似值，就得到改进后的欧拉公式（4.1）其中、分别为、两点的斜率值，即= ,=在上面的（4.1）式中，k2是未知的，采用一种叫预报法的方法来求解。
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表 1. R-K 格式的数值结果
xn
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 3、详细设计
三阶 R-K 格式 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4833 1.5492 1.6125 1.6734 1.7321
四阶 R-K 格式 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
将其命名为:t3_Rungek.m
在编辑窗口输入下列程序段，然后执行该程序 x0=0,b=1.1;y0=1;h=0.1;[X,Y]=t3_Rungek(@funfcn,x0,b,y0,h) 四阶龙格—库塔公式的Matlab程序代码：
function x=x0; y=y0;
[X,Y]=Rungek(funfcn,x0,b,y0,h)
K1 f ( xn , yn ) K 2 f ( xn h , yn h K1 ) 2 2 h h K 3 f ( xn , yn K 2 ) 2 2 K 4 f ( xn h, yn hK 3 ) yn 1 yn h ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
K1 f ( xn , yn ) K 2 f ( xn h , yn h K1 ) 2 2 K 3 f ( xn h, yn hK1 2hK 2 ) h yn 1 yn ( K1 4 K 2 K 3 ) 6
和四阶 Rugge-Kutta 格式
程序代码，取步长 h 0.1 ，分别计算下列常微分方程从 x 0 到 x 1 的数值解，将计算结 果列于表 1，并绘制误差对比图，给出相应的结论。
y ' y 2x / y y (0) 1
(0 x 1)
准确解 y 1 2 x ，步长取 h 0.1 。
微分方程数值解实验报告
实验序号：2 班级 实验名称 实验所用软件及版本 xxxxx 姓名 Maltab2008 xxxxxx Rugge-Kutta 格式 日期：xxx 年 xx 月 xxx 日 学号 xxxxxxxx
1、实验目的 进一步理解 Rugge-Kutta 格式的设计思路和算法流程，培养动手实践能力和分析能力。 2、实验内容 编写三阶 Rugge-Kutta 格式
准确解 y ( xn ) 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321
函数运行时需要调用下列函数：
建立 M 文件 funfcn.m function z=fun(x,y) z=y-2*x/y;
三阶龙格—库塔公式的Matlab程序代码：
在编辑窗口输入下列程序段，然后执行该程序
x0=0,b=1.1;y0=1;h=0.1;[X,Y]=Rungek(@funfcn,x0,b,y0,h)
4、实验结果与分析
三阶龙哥库塔法和精确解对比
四阶龙哥库塔法和精确解对比
三阶龙哥库塔法和精确解对比
wcha =1.0e-004 * wcha X wc ha
n=fix((b-x0)/h); i=1;X=zeros(n,1);Y=zeros(n,1); X(i)=x0;Y(i)=y0; for i=2:n k1=feval(funfcn,x,y); k2=feval(funfcn,x+h/2,y+h*k1/2); k3=feval(funfcn,x+h/2,y+h*k2/2); k4=feval(funfcn,x+h,y+h*k3); y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); Y(i)=y; x=x+h; X(i)=x; end X, Y1=sqrt(1+2.*X) grid %¾«È·½â
0.1 0.0055 0.2 0.0105 0.3 0.0373 0.4 0.0712 0.5 0.1111 0.6 0.1573 0.7 0.2105 0.8 0.2721 0.9 0.3439 1 0.4279
四阶龙哥库塔法和精确解对比
wcha =1.0e-005 * wcha X wcha
0.0417 0.0789 0.1164 0.1567 0.2016 0.2525 0.3114 0.3800 0.4606 0.5558 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
5、实验总结 1、本次实验实现了常微分方程初值问题数值解法中的三阶、四阶龙哥库塔法 2、 通过实验发现龙哥库塔法比欧拉方法、 后退的欧拉方法及其改进的算法精确度更高。 3、比较了其数值解与精确解之间的误差。可以发现无论是三阶还是四阶龙哥库塔法 都非常接近精确解,但四阶龙哥库塔法比三阶龙哥库塔法更精确。