简谐振动22简谐振动的合成
简谐振动的合成
x
A1
2
o
A A1 A2
o
相互削弱
A
A2
3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
21
2.n个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
19
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
x
o
A1
A2
A
A A1 A2
相互加强
20
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
dt 2
J ml 2
d 2
g
2 g
l 2
dt 2 l
cos(t ) m
g
l
T 2π l g
转
A
动
l
正 向
FT m
O
P
10
复摆
M l F
转动正向
O
M mgl sin J J d2
dt 2
l
*C
24
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
mgl J d2
dt 2
P
令 2 mgl
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成剖析
A 2R sin N
2
P
R
N
Q
/2
由OPa可看出
A0
2R sin 2
A合
sin N
A A0
2
请大家自行练习！
O
a A0 B
b C
X
sin
2
当N=2k 时的合振幅为零。请记住这个结论！
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
两个同方向频率相近的简谐振动的合成 为合振幅随时间作缓慢变化的准简谐振动（拍）
合振幅变化的频率即拍频 拍 | 2 1 |
两个振动方向垂直频率相同的简谐振动的合成可能仍 为直线振动（而且是谐振动）也可能是圆运动，和椭 圆运动。
课后实验：
1. 请你测量一根吉他琴弦的振动频率。
2. 敲击盛水的玻璃酒杯能产生清晰的音调.试用 音叉把这些音调校准到你所需要的频率看看是否 能把他们排列起来构成一个八度音阶。
简谐运动的合成
ν 2 −ν 1
2
t ) cos 2 π
ν 2 +ν1
2
t
振幅部分 振动频率 ν = (ν 1 + ν 2 ) 2 振幅 A = 2 A1 cos 2 π
合振动频率
ν 2 −ν 1
2
振 动
Amax = 2A1
t
Amin = 0
15
第九章
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
y
ϕ （1） 2 −ϕ1 = 0或 2 π ） A2 y= x A1
A2
A1
o
x
ϕ （2） 2 − ϕ1 = π ） A2 y=− x A1
第九章 振 动
y
A2
A1
o
x
7
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
x 2 y 2 2 xy 讨 + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 论 A12 A2 A1 A2
A
ϕ1
ϕ
A 1
O
x2
x1
xx
两个同方向同频率简谐运动合成后仍 两个同方向同频率简谐运动合成后仍 合成 频率的简谐 简谐运动 为同频率的简谐运动
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5
简谐运动的合成
（1）相位差 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2k π (k = 0，1，2,⋯ ） ± ± )
x
ϕ
A2
x
o
y = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
椭圆方程） 质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy + 2− cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 A1 A2 A1 A2
第三节 简谐运动的合成
2 1 2k k 0,1,2,
A1
A A1 A2 合振动加强
A2
若两分振动反相:
2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A1 A2
合振动减弱
若 A1=A2 , 则 A=0
A2
A1
课堂练习：
两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为
x1
6102 cos(5t )m，
2
x2
2102 sin(
t
)
A
ω2t
O
ω2
2
ω1
ω1t
A
(ω 2
A1
ω1)
t
2
2
A
A2 1
A2 2
2A1A2cos(2
1)t
x2 x
x1x1
x2
x
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2
当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
合振动振幅的频率为: (ω2 ω1) 2π
(2) 0, ,2 (或 )时,退化为直线;
(3) , 3 (或 ) 时,为正椭圆,若A1=A2,则退化
为圆.2 2
2
(4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5)0 时,椭圆顺时针方向转;
0(或 2 ) 椭圆逆时针方向转.
四、相互垂直但频率不同的简谐振动的合成
5t)m
则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：
（1）0 ；
（2）4cm；
（3）4 5cm ；
2
（4）8 cm。
二、同方向不同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
第2节_简谐振动的合成
x = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt − ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) sinωt = A cos ϕ ⋅ cos ωt − A sin ϕ ⋅ sin ωt = A cos(ωt + ϕ ) ∴ x = A cos(ωt + ϕ )
两个同方向、 两个同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是一个 简谐振动，且频率不变。 简谐振动，且频率不变。 由
若 A1 = A2 , A = 2A1
= A1 + A2
合振动振幅最大。 合振动振幅最大。
（ ） 2.当 ∆ϕ=ϕ2 −ϕ1 = 2k +1 π ( k = 0,±1,±2,⋯) 时, 当
2 2 A = A1 + A2 + 2A1A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
A2
=| A1 − A2 |
A
A2 A1
2 2
ϕ 2 − ϕ1 = π / 2
2 2
x y + =1 A1 A2
•当 当
16
A1 = A2 ,
x +y =A
2
为圆方程
2.
∆ϕ = π / 2
y
8
1 2
y
7 6 5
4
7 6 5
4
8
1 2 2 1
x
3
3
4
播 放 动 画
17
3
5 6 7
x
8
4.
3π (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2
9
由于余弦函数绝对值的周期为π。 ω 2 − ω1 t ) 的频率的两倍。 所以， 的频率的两倍。 所以，拍频是振动 cos( 2 即拍频为： 即拍频为：
简谐振动的合成实验
简谐振动的合成实验一、实验目的1.掌握谐振动的表达与合振动的分析2.掌握信号的相位、幅度、频率等参数的物理含义3.掌握用示波器观察波形以及测量电压、周期和频率的方法。
4.掌握使用信号发生器。
5.利用李萨茹图分析待测信号的相位频率等信息二、实验仪器Waveace1012型数字示波器1台、DG4062型数字信号发生器一台、传输线2条等。
三、示波器的使用（三四节的内容在实验报告中仅需概述即可）示波器就是显示波形的机器，它还被誉为“电子工程师的眼睛”。
它的核心功能就是为了把被测信号的实际波形显示在屏幕上，以供工程师查找定位问题或评估系统性能等等。
它的发展同样经历了模拟和数字两个时代，如图1和图2所示。
图1 模拟示波器图2 数字示波器模拟示波器采用的是模拟电路（示波管，其基础是电子枪）电子枪向屏幕发射电子,发射的电子经聚焦形成电子束,并打到屏幕上。
屏幕的内表面涂有荧光物质,这样电子束打中的点就会发出光来。
而数字示波器则是数据采集，A/D转换，软件编程等一系列的技术制造出来的高性能示波器。
数字示波器一般支持多级菜单，能提供给用户多种选择，多种分析功能。
还有一些示波器可以提供存储，实现对波形的保存和处理。
模拟示波器显示的波形是连续的，是信号真实的波形，而且反应速度特快。
而数字示波器显示的波形是经过数字电路采样得来的点组成的，是个不连续的波形，采样率越高的示波器，越与真实波形接近，但显示速度没有模拟机快。
反应速度快是模拟示波器最大的优点之一，是数字机很难取代的，比如，在测试某一信号时，模拟示波器能在瞬间显示波形，几乎没有延时，而数字机还需要将测试的信号进过数字电路处理后，再显示出模拟的波形，在显示时间上落后模拟示波器。
在此，我们仅介绍数字示波器的使用情况。
示波器可以将输入的波形在屏幕上显示出来，waveace1012型示波器具有两个输入通道，可以同时测量并显示2路信号的变化波形。
示波器的屏幕可以设置成横坐标为时间t，纵坐标为输入信号的电压量的大小，称为“Y-T”时基，如图所示。
医用物理学教学课件 第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2[cos01 cos02 sin01 sin02]
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
t4 t3
t2
t1 Y超前π /2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π /2
左旋振动
例七
一质点同时参与相互垂直的两个振动：
X
8c
os(
t
)
cm
36
Y 6cos( t ) cm
33
请你画出合振动运动轨迹图。
解：
36
2
2B ∵Y落后π/2，左旋振动
2
2
A0
cos
2
O
X
2 A0
cos 2
1
2
t
注： 2t 1t
1 2
(1
cos
)
cos
2
从角度可分析：
t
2
1
2
t
1t
AA
2 1 t
2
O
X
将A与ωt表达式代入 x Acost
x
2
A0
cos 1
∴画一个2A*2B的矩形，内切
画椭圆，标出左旋箭头即可
2A
（2） 2 m 的情况： 1 n
若频率不相等，但是整数比，则合振动的轨迹 是有规则的稳定的闭合曲线-------李萨如图形。
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
大学物理-12第十二讲简谐振动的合成、阻尼、受迫振动（001）
解得 ω = ωr = ω02 − 2β 2
则
A=
2mβ
F0
ω02 − β 2
= Amax
A
β2 β3
β1
ω
β1 > βω2 0> β3
23
2.速度共振—使速度振幅达最大值的状态
v = dx = − Aω sin(ωt − δ )
dt
速度振幅 vm = Aω
而 Aω =
F0ω
m (ω02 − ω2 ) + 4β 2ω2
●合振幅A的大小由两个分振动的初相差决定。
当 Δϕ = ϕ2 − ϕ1 = ±2kπ
(k = 0，1，2") 同相
Y ωK
A2
ωK
A ωK
A = A1 + A2 = Amax
θ2
Δθ θ1
A1
合振动加强
x2 θ x1 x x
4
当 Δϕ = ϕ2 −ϕ1 = ±(2k +1)π 反相
(k = 0，1，2")
ϕ =0
t
19
2. β =ω0（临界阻尼） x = e −βt (C1 + C 2t)
●在临界阻尼时，质点到达平衡位置时速度即减为 零，振动不可能发生。
◆原理常用于阻尼天平等，以减少摆动时间.
3. β >ω0（过阻尼）
x = e − βt (C 1e ω1t + C 2 e −ω1t )
●过阻尼时，质点的速度 x
F强 = F0 cosωt
v = dx = Aω cos ωt v与强迫力同位相。
dt
●在整个周期内外力的方向和物体运动方向一致， 不断对物体作正功，使振动最强。 ◆外力的周期性变化与物体的固有振动“合拍”。
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
同方向不同频率的简谐振动的合成
同方向不同频率的简谐振动的合成好，今天咱们就来聊聊同方向不同频率的简谐振动合成。
别急，听我慢慢说，保证你一听就明白。
你得知道，简谐振动就像是一个物体在做上下左右那种规律性的摆动，感觉就像小孩子在秋千上摇来荡去那样，一来一回，一直不带停的。
你看过钟摆摆动吧？就那种感觉，越来越平稳，越过越规律，跟着一个固定的节奏跑。
但是，今天我们不光是讲单一的那种振动，我们要聊的可是两种频率不同的振动合成，它们在一起会怎么样呢？想象一下，两个人在同一个舞池跳舞，他们的舞步却不完全一致。
一个跳得慢，一个跳得快，开始的时候，大家还好像能勉强跟上，但过了一会儿，慢的那个开始觉得有点跟不上节奏，快的那个又有点等不及了。
是不是有点儿这种意思？没错，这就像两种不同频率的简谐振动，如果它们方向相同，但频率不同，合成出来的效果就有点复杂了。
你可以这样想：其中一个振动快得像飞一样，另一种则慢得像老牛拉破车，结果它们俩在同一个方向上“跑”来跑去。
它们的振动轨迹会不断交错，甚至会出现“合成振动”的现象，你可以理解成两者互相“纠缠”的结果。
要是它们的频率差别特别大，你会看到，快的那个有时候走得远了，慢的还在原地打转，合成的波形看上去就有点像一张波浪形的图，忽高忽低，像是过山车一样的刺激。
但是，有趣的地方就在这了！你看，两个不同频率的振动合成之后，它们的频率不单单是快的和慢的，而是产生了一种新的频率，这个频率叫做“合成频率”。
它就像是你听到两首歌，分别有各自的节奏，但一旦合并在一起，突然间你听到了一个新的旋律，乍一听挺陌生，但又有点儿奇妙的和谐感。
这个合成频率一般是由两种原始振动的频率差所影响的，也就是说，快的那个和慢的那个在一起后，调皮地产生了一种“中间”频率，所有的节奏似乎变得更有韵律了。
再说到合成的幅度，那更是有趣！幅度就像是你跳舞时的力度和气势。
你跳得越用力，别人就能感受到你那个震撼。
而在这两种不同频率的振动合成中，幅度也不是那么简单的加和，而是依赖于它们之间的相对位置。
第三十二讲：简谐振动的合成
第三十二讲 §8.2 简谐振动的合成一、两个同方向同频率简谐振动的合成1、合振动仍然为简谐振动简谐振动1：()111cos ϕω+=t A x 简谐振动2：()222cos ϕω+=t A x合振动：()()()ϕωϕωϕω+=+++=+=t A t A t A x x x cos cos cos 2211212、合振动的振幅：()()22211222112sin sin cos cos A ϕϕϕϕA A A A +++=()1212212221sin sin cos cos 2ϕϕϕϕ+++=A A A A ()12212221cos 2ϕϕ-++=A A A A 3、合振动的初相位：22112211cos cos sin sin tan ϕϕϕϕϕA A A A ++==邻边对边 4、合振动的最大值，相长的条件：两分振动相位相同，相位差：() 3,2,1,0212=±=-=∆k k πϕϕϕ⇒()1cos 12=-ϕϕ ⇒ 212122212A A A A A A A +=++=5、合振动的最小值，相消的条件：两分振动相位相反，相位差：() 3,2,1,01212=+±=-=∆k k πϕϕϕ）（ ⇒()1cos 12-=-ϕϕ ⇒ 212122212A A A A A A A -=-+= 其他值：2121A A A A A +-练习题1. 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：)212c o s (04.01π+π=t x (SI), )2cos(03.02π+π=t x (SI) 求此物体的振动方程．解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 )cos(φω+=t A x则 )c o s(2122122212φφ-++=A A A A A ①以 A 1 = 4 cm ，A 2 = 3 cm ，π=π-π=-212112φφ代入①式，得5cm 3422=+=A cm 2分又 22112211c o s c o s s i n s i n a r c t gφφφφφA A A A ++= ② ≈127°≈2.22 rad 2分 ∴)22.22cos(05.0+π=t x (SI) 1分练习题2. 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 )4310cos(10521π+⨯=-t x (SI), )4110cos(10622π+⨯=-t x (SI) 求合振动方程．解：依合振动的振幅及初相公式可得φ∆++=c o s 2212221A A A A A 22210)4143cos(65265-⨯π-π⨯⨯⨯++= m 21081.7-⨯= m 2分)4/c o s (6)4/3c o s (5)4/s i n (6)4/3s i n (5a r c t gπ+ππ+π=φ = 84.8°=1.48 rad 2分则所求的合成振动方程为 )48.110cos(1081.72+⨯=-t x (SI)1分练习题3. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为x 1 = 4×10-2cos2π)81(+t (SI), x 2 = 3×10-2cos2π)41(+t (SI) 求合振动方程．解：由题意 x 1 = 4×10-2cos)42(π+πt (SI)x 2 =3×10-2cos)22(π+πt (SI) 按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为22210)4/2/cos(2434-⨯π-π++=A m= 6.48×10-2 m 2分)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctgπ+ππ+π=φ=1.12 rad 2分 合振动方程为 x = 6.48×10-2 cos(2πt +1.12) (SI) 1分练习题4. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．解： x 2 = 3×10-2 sin(4t - π/6)= 3×10-2cos(4t - π/6- π/2)= 3×10-2cos(4t - 2π/3)．作两振动的旋转矢量图，如图所示． 图2分由图得：合振动的振幅和初相分别为A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3． 2分合振动方程为 x = 2×10-2cos(4t + π/3) (SI)1分小结：简谐振动的合成，与旋转矢量的解法作业：P33 8—16；8—17；预习：§8—2二、两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍频三、相互垂直的简谐振动的合成1、同频率的相互垂直的简谐振动的合成2、不同频率的相互垂直的简谐振动的合成第三十二讲 §8.2 简谐振动的合成 8-16 解：设两质点的振动表达式分别为：)cos()cos(2211ϕωϕω+=+=t A x t A x 由图题可知，一质点在21A x =处时对应的相位为： 32/arccos 1πϕω==+A A t 同理：另一质点在相遇处时，对应的相位为：352/arccos2πϕω==+A A t 故相位差)()(12ϕωϕωϕ∆+-+=t t πππϕϕ3433512=-=-= 若21υυ与的方向与上述情况相反，故用同样的方法，可得：πππϕϕϕ∆32)3(312=--=-= 8-17 解：由图题8-17(图在课本上P 200)所示曲线可以看出，两个简谐振动的振幅相同，即m 05.021==A A ,周期均匀s 1.0=T ，因而圆频率为：ππω202==T 由x -t 曲线可知，简谐振动1在t=0时，,010=x 且010>υ，故可求得振动1的初位相πϕ2310=. 同样，简谐振动2在t=0时，πϕυ==-=202020,0,05.0可知m x 故简谐振动1、2的振动表达式分别为： mt x t x )20cos(05.0)2320cos(05.021ππππ+=+=因此，合振动的振幅和初相位分别为：m A A A A A 210202122211025)cos(2-⨯=-++=ϕϕ 2021012021010cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++= ππ4541a r c t a n 或== 但由x-t 曲线知，t=0时，πϕ45,05.021应取因此-=+=x x x . 故合振动的振动表达式：m t x )4520cos(10252ππ+⨯=-习题8-16图。
简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成 质点同时参与两个同方向同频率的谐振动:
x1(t) A1 cos(t 1)
A
x2 (t) A2 cos(t 2 )
A2
x x1 x2 Acos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2
tg A1 sin1 A2 sin2
1 2
r A
X
合振动初相位
1 2
两分振动相互加强
A1 X A2
o
x=x1+x2
t
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动反相位：
2 1 (2k 1) k 0,1, 2, r
合振幅最小
r A1
A A1 A2 合振动初相位
r 2 A
A2 o
1
X
若A1>A2 1 若A1<A2 2
A1 cos1 A2rcos2
O
1
x2
A1
x1
x
x
结论 ①合矢量 A即为合振动所对应的旋转矢量。
②合振动仍为简谐振动，振动角频率仍为ω。
分析 A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
若两分振动同相位：
2 1 2k k 0,1, 2,
合振幅最大
A A1 A2
o
r
A2
r
A1
4
求合振动的振动方程。
解：
2
T
20
x(cm) 5
x1 x2
A1 A2 5cm
0.1
o 0.05
且 t 时0
-5
r
A2
x10 0, v10 f 0; x20 5cm
简谐振动合成与分解
通过将复杂振动分解为简单的简谐振动，可以更好地理解和分析振动的本质。
实际应用中的振动分解
信号处理
在信号处理领域，傅里叶变换被 广泛应用于将时域信号转换为频 域信号，从而分析信号的频率成 分。
机械振动分析
在机械工程中，通过对机械振动 的分析，可以了解机械系统的动 态特性和振动规律，为优化设计 提供依据。
实验验证与实际应用
未来可以通过实验验证和实际应用来 检验简谐振动合成与分解的理论，推 动其在解决实际问题中的应用。
THANKS
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ERA
两个同频率简谐振动的合成
合成结果仍为同频率简谐振动，振幅 和相位由两个简谐振动的振幅和相位 决定。
当两个简谐振动的相位差为0或π时，合 成振动的振幅为两者之和；相位差为 π/2或3π/2时，合成振动的振幅为两者 之差。
两个不同频率简谐振动的合成
合成结果为非简谐振动，其频率为两个简谐振动频率的线性 组合。
地震学
在地震学中，通过分析地震波的 频谱，可以研究地球内部的结构 和性质。
04
合成与分解的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在物理学中的应用
01
波动合成
简谐振动合成与分解是研究波动 的重要基础，如声波、光波等的 合成与分解。
电磁波
02
03
原子振动
电磁波的合成与分解是研究电磁 波性质的关键，如无线电波、可 见光等。
能量守恒
简谐振动的能量是守恒的， 即振幅不变。
简谐振动的表示方法
三角函数表示法
简谐振动的位移、速度和加速度可以用三角函数来表示，如正弦函数或余弦函 数。
相图表示法
一同频率同一直线上的简谐振动的合成
一.同频率、同一直线上的简谐振动的合成 分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 )
合振动： x= x1+x2 = Acos( t+ )
A A1 A2 2 A1 A2cos( 2 1 )
2
2
A1sin1 A2sin 2 tg A1cos1 A2cos 2
x y 2 1 2 A1 A2
y
2
2
合振动不再是谐振动。
y
x
x 左旋
右旋
2 -1=/2
2 -1=-/2
21
两个频率相同、 振幅不同的互
相垂直简谐
Δ=0 Δ=/4 Δ=/2 Δ=3/4
振动的合成
Δ=
Δ=5/4
Δ=3/2
Δ=7/4
22
四.不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形 x =A1cos(1 t+1 ) y =A2cos(2 t+2 )
2， = 0 （临介阻尼）
x e t C1 C 2 t
3， < 0 （欠阻尼）
xe
e
t
t
C cos
1
C e
1
i 0 2 2 t
C2 e
2
i 0 2 2 t
2 2
0 t C2 sin 0 t
2
2 2
( 2 1 )
2
o
x
10
例题4.17 求同方向、同频率、同振幅、依次间相 位差均为的N个谐振动的合振动方程。 光的衍射 解
选择适当的计时起点，使某个简谐振动的初 相为零，则有
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A 的长度
振幅A
ω
M
A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
旋转矢量
x Acos t
返回10
四、简谐振动的能量
k
m
k m
0
x
X
m2 k
势能
Ep
1 kx2 2
1 2
kA2
cos2 ( t
)
动能
Ek
1 mv2 2
1 mkA22A2
2
sin 2
t
E
Ek
Ep
1 kA2 2
1mm 2 A2
2
惯性质量
单摆的能量
LC 电路 的能量
能量随空间变化
能量随时间变化
E
x
E
E
E p Ek
A
Ep
xA
6
a 0.12 2 cos 1.03m / s 2
6
返回10
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
x
At
平衡 位置
A0 At
振幅矢量旋转角度 5 32 6
A0 问题转化为：已知旋转2需要T 时
间，问旋转 5 /6 需要多少时间？
2 5 / 6
T2
t
t 5 0.83s 6
还可以求“第二次……”——旋转角度11 /6
ax
X
X
O
1
2
A1
A2
两个同频率的简谐运动：
相位之差为 采用旋转矢量直观表示为：
(t 2 ) (t 1) 2 1. x2 A2 cos(t 2 ) x1 A1 cos(t 1)
x
A1
t
A2
t
x
A1
A2
同相
t
x
x
A1
A1t A2 t
A2
反相
t
例题1
已知简谐振动表达
x0
mg k
物体受的合力：
x
x0
0
x
FR mg k(x0 x) k x
x 2x 0 2 k g
m x0
T 2
f
mg
x0 g
例、单摆
1、细线质量不计
约 定 2、 50 sin
0
3、阻力不计
质点 m 受力如图重力矩：M mgl sin mgl
l
根据质点的动量距定理 dL M
t
1
0
t
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 A2
a 2 Acos t x(t)
t
1
0
t
2
例：物体的质量为 m , 弹簧的劲
度系数为 k 。其静止变形 x0
手拉物体后无初速地释放，确定物
体的运动规律 。
l0
建立如图坐标系，以平衡位置为坐标 原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回 复力为 f 和重力 mg
在平衡位置处 mg k x0 0
研究目的 —— 利用、减弱 或 消除
§2.1 简谐振动
一、描述简谐振动的特征量
质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质 量的物体，称此系统为 弹簧振子。
建 立 如 图的 坐 标系 物 体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F.
令 k
m
k
Fm
0
F kx
d2x F m
dt 2
x
X
d2x k x0
dt 2 m
d2x dt 2
2
x
0
此方程的通解为： x A cost
xt A cost
• 物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函 数描述，称之为简谐振动。
上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）
d2x dt 2
2
x
0
简谐振动的动力学特征方程
F kx 简谐振动的动力学条件
x Acos(t 2 )
3
试画出振动曲线
x
x
A
2
3
t
0
A(0)
例题2
一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0
时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。
求：（1）简谐运动表达式；
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
dt
T
d 2
dt 2
g
l
0
摆角在作简谐振动
m
0 cos t 0
mg
？ 固有
园频率
g 设初始条件 0 振幅和
l
v0 0 初相=
3. 简谐振动的矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在A纸平面内
绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频 率相等，这个矢量称为旋转矢量。
2
a
d2x dt 2
A 2
cost
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
am cos(t ) x 2
简谐振动的运动学特征方程
三、 振 动 曲 线 旋转矢量
1. 振 动 曲 线
A1 1
x Acos t x(t)
t
0
0.5
1
1.5
2
-A1 1 0
t
2
1 A
v Asin t x(t)
谐振动的特征量
1、 A 振幅
2、 T 周期
1
T
频率
x Acos t Acos (t T )
T 2 2 m
k
2
圆频率又称 固有圆频率
3、 t 相位 初相位
确定物体振动状态的物理量
二 、简谐运动的速度和加速度
xt Acos t
v dx A sint
dt
A cos t
§2-1 简谐振动 §2-2 简谐振动的合成 §2-3 波的描述 §2-4波的衍射和干涉 §2-5声波及超声波的生物效应
广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。
周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次
x(t) x(t T )
振动频率
1
T
机械振动：物体在某一位置附近往复运动
复杂振动 = 若干个简谐振动的合成
x
x
A0
A
t+ 相位
1
t
At
x( t )
0
振幅矢量
1
0
t
2
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量At ，
在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
v0 O
X
A
X
av,
v0 O
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
A
a t 0
沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、
M
加速度表达式。
vx
M 点:vm A am 2 A
X
E p Ek t
胡玉才：e-mail
hyc@
五、阻尼振动 受迫振动 共振
1.阻尼振动
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下 所作的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
解： （1） xx 0A.1c2ocsost t
x
x
3
3
＝ 2T?
A/2
t
０
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
x 0.12cos t
v
0.12
sin
t
3
a
0.12
2
cos
t
3
3
tT 1 42
x 0.12cos 1.04m
2 3
v 0.12 sin 0.189m / s