第四章 正交试验设计

将某一列中的各数码作对换或轮换，结果仍然是正 交表
可以考察两个因子间交互作用的正交表
二水平正交表: L4(23) ， L8(27) L16(215) ，L32(231)… 三水平正交表: L9(34) ， L27(313)… 四水平正交表: L16(45)， L64(421)… 五水平正交表: L25(56)…
4
1
试验 指标y
2 3 3 1 2 2 3 1

试验计划表及试验结果
试验号 A(温度) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(800C) 1(800C) 1(800C) 2(850C) 2(850C) 2(850C) 3(900C) 3(900C) 3(900C) B(时间) 1(90分) 2(120分) 3(150分) 1(90分) 2(120分) 3(150分) 1(90分) 2(120分) 3(150分) C(催化剂) 1(甲) 2(乙) 3(丙) 2(乙) 3(丙) 1(甲) 3(丙) 1(甲) 2(乙) y(转化率) 31 54 38 53 49 42 57 62 64

分组后再将每个品种（处理）随机地指派给每一 个区组的设计就是随机化区组设计 试验数据采用无交互作用的方差分析

随机化区组设计-例题分析

试验数据：
因子设计

感兴趣的因素有两个

如：小麦品种和施肥方式

假定有甲、乙两种施肥方式，这样三个小麦品种和两种施肥 方式的搭配共有3×2=6种。如果我们选择30个地块进行实验， 每一种搭配可以做 5 次试验，也就是每个品种 ( 处理 ) 的样本 容量为5，即相当于每个品种(处理)重复做了5次试验

这类正交表的自由度不一定等于各列自由度之和或 试验次数n不是水平数的幂次
正交表的表头设计原则

选定正交表后，把因子放到正交表的列上 去，称为表头设计
一列只能放一个因子或者一组交互作用

试验设计与实施
明确试验目的，确定因子及其水平 根据因子、水平数选用合适的正交表 进行表头设计，不能有混杂现象

在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的， 因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使 得数据可以按照因素如何影响变量来获取

对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析
完全随机化设计-例题分析

【 例】一家种业开发股份公司研究出三个新的小
麦品种：品种 1 、品种 2 、品种 3 。为研究不同品 种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地 块种上不同的品种，然后获得产量数据进行分析。 这一过程就是试验设计的过程

来自百度文库

Ｆ检验 由偏差平方和的分解:
ST S A SB SC Se
构成F统计量，进行F检验
当 F F 时，拒绝原假设，检验显著。
偏差平方和的计算
列号 试验号 1 2 3 4 试验指 标y 31 54
A 1 1(800C) 2 1(800C) 3 1(800C) 4 2(850C) 5 2(850C) 6 2(850C) 7 3(900C) 8 3(900C) 9 3(900C) SA 偏差平方和
B
1(90分) 2(120分)
C
1(甲) 2(乙) 1 2
3(150分) 1(90分) 2(120分) 3(150分) 1(90分) 2(120分) 3(150分) SB
3(丙) 2(乙) 3(丙) 1(甲) 3(丙) 1(甲) 2(乙) SC
3 3 1 2 2 3 1 Se
38 53 49 42 57 62 64
ST ( yi y )2 yi2 CT S A S B Sc Se
i 1 i 1
9
9
其中
CT
( yi ) 2
i 1
9
9
T2 , 9
T yi
i 1
9
2 2 2 1 1 S1 3(1 y ) 2 3(1 y ) 2 3(1 y ) 2 1 CT 3 2 2 2 2 2 S 2 3( 2 y ) 2 3( 2 y ) 2 3( 2 y ) 2 2 CT 3 2 2 2 3 3 S3 3( 3 y ) 2 3( 3 y ) 2 3( 3 y ) 2 3 CT 3 2 2 2 4 4 S 4 3( 4 y ) 2 3( 4 y ) 2 3( 4 y ) 2 4 CT 3
S A S1 (第1列偏差平方和) S B S 2 (第2列偏差平方和) SC S3 (第3列偏差平方和) Se S 4 (第4列偏差平方和)
正交表每一列的自由度
f列 q 1
利用正交表进行方差分析的关键是计算每列的偏差平方和！
y1 y2 y3 1 2 3 1 1 1 3 3 3 4 5 6 1 y4 y5 y6 1 2 3 3 3 7 8 9 1 y7 y8 y9 1 3 3 3 3 y
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
3
1 2 3 2 3 1 3 1 2
4
1 2 3 3 1 2 2 3 1

L:正交表记号 9:该表有9行，可以做九个不同条件的试验 4:该表有4列，最多只能考虑四个因子 3:这张表的主体中仅有三个不同的数字，每个因子取三个水平
L9(34)正交表安排三因子三水平试验选点示意图


正交试验设计能既方便，又有效地解决多个多 水平的因子的试验设计问题
什么是正交试验设计

研究多因素多水平的又一种设计方法，并进 一步分析对所研究对象的指标的影响程度
它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有 代表性的点进行试验 是一种高效率、快速、经济的实验设计方法， 并可以得到基本令人满意的结果 应用场合：改进产品质量、采用新工艺、试 验新产品、改进技术管理
3 3 3
y6 a2 b3 c1 6 y7 a3 b1 c3 7
i～N (0, )且相互独立， i 1,2,...,9
y8 a3 b2 c1 8 y9 a3 b3 c2 9
要检验假设 H01: a1 = a2 =a3= 0 H02: b1 = b2 =b3= 0 H03: c1 = c2 =c3= 0是否成立 讨论各因子的不同水平的效应是否可以 忽略不计的问题



正交试验设计的特点

用正交表安排试验 正交表是一整套规则的设计表格
利用正交表的特点对试验结果进行分析 正交试验设计所具有的“均匀分散性”和“综 合可比性”是使试验次数减少，试验效果完美 的两个特点 有可能从众多的处理组合中选出最优的处理组 合


例：L9(34)
试验号
列号
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3

这里的“小麦品种”就是试验因子或因素，品种 1 、 品种2、品种3就是因子的三个不同水平，称为处理 假定选取 3个面积相同的地块，这里的“地块”就是 接受处理的对象或实体，称为试验单元 将每个品种随机地指派给其中的一个地块，这一过程 就是随机化设计过程

完全随机化设计的“可重复性”原则

每个试验条件下试验可重复进行 如，在上面例子中，由于只抽取3个地块，只能获 得3个产量的数据，也就是对应于每个处理的样本 容量为1；为获得每个品种的更多数据，必须重复 基本试验步骤。假定不是抽取3个地块，而是12个 地块，然后将每个品种之一随机地指派给其中的4 个地块，这就相当于重复做了4次试验。
完全随机化设计-例题分析
因子
水平
A(反应温度℃)
B(反应时间min) C(催化剂)
1
2 3
80
85 90
90
120 150
甲
乙 丙

问题： 1. 用正交表安排试验 2. 根据正交表设计的试验得到的结果，找 出三个因子的三个水平的各种不同搭配中 使转化率为最高的生产条件
选用正交表: L9(34) 表头设计

表头设计 列号
A B C 1 2 3 4
正交表的计算机实现:
SPSS
DATA Orthogonal Design
Generate
正交表L9(34)
列号 试验号
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1 A 1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 B 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 C 1 2 3 2 3 1 3 1 2

试验数据：
随机化区组设计


先按一定规则将试验单元划分为若干同质组，称 为“区组（block） ” 再将各种处理随机地指派给各个区组


比如在上面的例子中，首先根据土壤的好坏分成几个 区组，假定分成四个区组：区组 1 、区组 2 、区组 3 、 区组4，每个区组中有三个地块 在每个区组内的三个地块以抽签方式决定所种的小麦 品种

这类正交表的一般代号：Ln(m k )，且满足：
n m k , m 2,3, 4, n 1 k m 1
正交表的自由度=n-1 每一列的自由度 =m-1 正交表的自由度= 各列自由度之和
不能考察两个因子间交互作用的正交表
二水平正交表: L12(211)， L20(219)… 三水平正交表: L18(37) ， L36(313)… 混合水平正交表: L18(2×37) ， L36(23×313)…
正交试验设计
化工产品转化率提高问题
为了提高某化工产品的转化率，需要进行试验，根据以往 的经验可知，影响转化率的主要因素有三个：反应温度、 反应时间和催化剂。试验的目的是在这三个因子的下述三 个水平的各种不同搭配中找出是转化率最高的生产条件。
什么是试验设计

方差分析方法是根据已取得的数据资料有效 地分析一个或两个因子对所研究对象的指标 的影响程度 试验设计是研究如何科学地安排各种试验因 素，使我们能够严格控制试验误差，用较小 的人力、物力和时间，最大限度获得丰富而 可靠的资料

试验设计与方差分析
试验设计
完全随机化 设计
随机化 区组设计
因子 设计
单因素 方差分析
无交互作用的 方差分析
有交互作用的 方差分析
完全随机化设计

“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计

“处理”是指可控制的因素的各个水平 “试验单元 (experiment unit)” 是接受“处理”的对 象或实体
3
6 2 5 8 9 B2
B3
7
C2 A3 C1
B1 C3
1
A1 A2
4
正交表的特点

每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次， 这就是正交性 每一列中，不同数字出现的次数相等---均匀分散性 任意两列中，将同一横行的两个数字看成有序数对 时，每种数对出现的次数相等---综合可比性 将正交表中的任两行交换，或任两列交换，仍然还 是正交表
数据分析

数学模型:
μ为一般平均
a i ,b j ,c k 分别为A i ,B j ,C k 水平的效应 y为试验结果

y1 a1 b1 c1 1 y2 a1 b2 c2 2 y3 a1 b3 c3 3 y4 a2 b1 c2 4 ai 0， b j 0， ck 0 i 1 j 1 k 1 y5 a2 b2 c3 5 2


列出试验计划，并按试验计划进行试验， 取得试验结果
正交试验的统计分析

明确对指标有显著影响的因子
找出最优生产条件，即最佳的因子水平的 组合 最优生产条件下指标的点估计和区间估计

无交互作用的试验设计

【例4.1】三因子三水平无交互作用正交试验

为了提高某化工产品的转化率，需要进行试验，根据 以往的经验可知，影响转化率的主要因素有三个：反 应温度、反应时间和催化剂。试验的目的是在这三个 因子的下述三个水平的各种不同搭配中找出使转化率 最高的生产条件。



考虑两个因素(可推广到多个因素)的搭配试验设计称 为因子设计 该设计主要用于分析两个因素及其交互作用对试验结 果的影响 试验数据采用有交互作用的方差分析
因子设计-例题分析

试验数据：
正交试验设计

多个因素多水平的因子的研究，会遇到试验次 数太多的具体困难
如，三个四水平的因子，则全部不同水平的搭配 共有64（43）个，需做64次试验，成本较高。有时 全因子试验甚至无法实施。 问题：能否从全部搭配中应该挑几个组合来做试 验？若能的话，从全部搭配中具体挑选哪几个组 合来做试验？