平面直角坐标系中的全等三角形(供参考)
专题：平面直角坐标系与全等三角形
专题：平面直角坐标系与全等1、如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B 的坐标为（3，1），求点M的坐标．2、平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA 上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．3、已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG 与∠FCA之间有和数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM，以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证:5、如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N．(1)求证：CM+CN=AB;(2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．图①图②6、如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).(1)如图①，求BD的长；(2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;(3)如图③，若点P为OB上一个动点（不与0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.图①图② 图③7、如图，已知B（-1，O），D(O，2)，经过点C(3，0)的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD=AE．(1)求证：AB=AC；(2)△ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD=CF，求证：OG长度不变．图①图②。
2020最新名校课堂小专题4：构造全等三角形的常用方法
小专题4：构造全等三角形的常用方法方法1 利用“角平分线”构造全等三角形模型构建已知点P是MON⊥于⊥于点A，可以过点P作PB ON ∠平分线上一点，若PA OM点B，则PB PA=.1.感知：如图，AD平分18090，，，易知：.∠∠+∠=︒∠=︒=BAC B C B DB DC探究：如图，AD平分18090∠∠+∠=︒∠<︒，，，求证：BAC ABD ACD ABD=.DB DC模型构建若AOP BOP=，∠=∠，且点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB OA 连接PB，构造OPB OPA≌.∆∆2.如图，//∠，点E在AD上，求证：AB CD，BE平分ABC∠，CE平分BCD=+.BC AB CD方法2 利用截长补短法构造全等三角形方法指导截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种方法适用于证明线段的和差、倍、分等题目.3.问题背景：如图，在四边形ABCD中，12090AB AD BAD B ADC=∠=︒∠=∠=︒，，.点E，F分别是BC，CD上的点，且60EAF︒∠=.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG BE=，连接AG.先证明ABE ADG∆∆≌，再证明AEF AGF∆∆≌，可得出结论，他的结论应是______; （2）如图，若在四边形ABCD中，180AB AD B D=∠+∠=︒，.E，F分别是BC，CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？并说明理由.方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形方法指导将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.4.如图，AB AE AB AE AD AC AD AC=⊥=⊥，，，，点M为BC的中点，求证：2DE AM=.方法4 利用“三垂直”构造全等三角形模型构建如图，若AB AC AB AC，，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线=⊥构造ABD CAE≌.在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴.∆∆5.已知在△ABC中，90，，将△ABC放在平面直角坐标系中，如BAC AB AC∠=︒=图所示.（1）如图，若A（1，0），B（0，3），求C点坐标；（2）如图，若A（1，3），B（10-，），求C点坐标；（3）如图3，若B（40，），求A点坐标.-，），C（01-参考答案1.证明：过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F . AD 平分90BAC DE AB DF AC DE DF F DEB ∠⊥⊥∴=∠=∠=︒，，，，. 180180EBD ACD ACD FCD EBD FCD ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，.在△DFC 和△DEB 中,,,,F DEB FCD EBD DF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DFC DEB ∴∆∆≌（AAS ）.DC DB ∴=.2.证明：在BC 上截取BF AB =，连接EF . BE 平分ABC ∠，CE BCD ∠平分，ABE FBE FCE DCE ∴∠=∠∠=∠，.在△ABE 和△FBE 中，,,,AB FB ABE FBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE FBE ∴∆∆≌（SAS ），A BFE ∴∠=∠.//180.180AB CD A D BFE D ∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒，. 180BFE CFE CFE D ∠+∠=︒∴∠=∠，.在△FCE 和△DCE 中，,,,CFE D FCE DCE CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩FCE DCE ∴∆∆≌（AAS ）..CF CD BC BF CF AB CD ∴=∴=+=+.3.解：（1）EF BE FD =+（2）EF BE FD =+仍然成立.理由：延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，180180B ADC ADC ADG B ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，，.在△ABE 和△ADG 中，,,,BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ADG ∴∆∆≌（SAS ）.AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，.12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠.在△AEF 和△AGF 中，,,,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEF AGF ∴∆∆≌（SAS ）.EF FG ∴=.FG DG DF BE DF EF BE DF =+=+∴=+，.4.证明：延长AM 至N ，使MN AM =，连接BN .点M 为BC 的中点，BM CM ∴=.在△AMC 和△NMB 中，,,,AM NM CMA BMN CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AMC NMB ∴∆∆≌（SAS ）.AC BN AD C NBM ∴==∠=∠，.180ABN ABC NBM ABC C BAC EAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=∠.在△ABN 和△EAD 中，,,,AB EA ABN EAD BN AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABN EAD ∴∆∆≌（SAS ）.2DE NA AM ∴==.5.解：（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D .则90CAD ACD ∠+∠=︒. 9090.BAC BAO CAD BAO ACD ∠=︒∴∠+∠=︒∴∠=∠，.在△ABO 和△CAD 中，,,,AOB CDA BAO ACD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABO CAD ∴∆∆≌（AAS ）.BO AD OA CD ∴==，.A （1，0），B （0，3）1 3.31OA OB AD CD ∴====，，，. 4.OD OA AD ∴=+=∴C （4，1）.（2）过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E .同（1）可证ACE BAD AE BD CE AD ∆∆∴==≌，，.A （1，3），B （10-，），2 3.3 1.BD AD CE DE AD AE ∴==∴==-=∴，，C （4，1）.（3）过点A AD x AE y ⊥⊥作轴，轴，垂足分别为D ，E .同（1）可证BAD CAE ∆∆≌，CE BD AE AD OE ∴===，. B （40-，），C （01-，），4 1.OB OC ∴==， 3.AE OB BD OB CE OB OC OE AE ∴=-=-=-+=-（）333(,)222AE A ∴=⋅∴-。
三角形全等模型详细专题 初中数学
全等三角形中辅助线的添加主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。
（位置关系和数量关系）学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。
学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。
学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。
一、知识精讲1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。
（三角形具有稳定性）2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。
6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。
EDFCBADCB A二、典型例题： 考点一倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等条件：△ABC 中AD 是BC 边中线方法一： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式 方法二：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE方法三： 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN【例题1】 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.【例题2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.【变式训练】1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.【练习题】1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。
一次函数和全等三角形
一次函数和全等三角形一次函数是指函数的最高次数为1的函数，即表达式为y = ax + b的函数形式，其中a和b为常数。
一次函数在代数学中有着重要的应用，也是数学中最基础的函数类型之一全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长和对应角度都相等。
全等三角形是几何学中的重要概念之一，它可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题。
在很多数学问题中，我们可以运用一次函数和全等三角形的概念来求解。
下面将结合具体的例子来说明一次函数和全等三角形的应用。
首先，我们来看一个关于一次函数的问题：假设一个人的学费每年增加1000元，第一年学费为5000元，问经过n年后，这个人的学费是多少？这个问题可以用一次函数来解决。
设第n年的学费为f(n)，由题意可知f(1)=5000，且每年增加1000元，即f(n)=1000n+b。
我们只需要找出b的值即可。
将已知条件带入到一次函数的表达式中，可以得到5000=1000×1+b，从而得出b=4000。
所以，经过n年后的学费可以表示为f(n)=1000n+4000。
接下来，我们来看一个关于全等三角形的问题：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(4,6)，C(8,4)，求与三角形ABC全等的三角形的顶点坐标。
要求与三角形ABC全等的三角形，意味着对应的边长和角度都相等。
所以我们可以将两个三角形的对应边长和角度进行比较来求解。
首先，我们可以计算出三角形ABC的边长和角度。
由于ABC是直角三角形，我们可以通过勾股定理求得三条边的长度。
AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(9+16)=√25=5BC=√((8-4)²+(4-6)²)=√(16+4)=√20=2√5AC=√((8-1)²+(4-2)²)=√(49+4)=√53接下来，我们需要找到与ABC的对应边长相等的三条边，同时保持相应的位置关系不变。
2023年中考数学重难点训练——全等三角形的应用
2023年中考数学重难点训练——全等三角形的应用一、综合题1．如图①，C 、F 分别为线段AD 上的两个动点，BC ⊥AD ，垂足为C ，EF ⊥AD ，垂足为F ，且AB==DE ，AF=CD ，点G 是AD 与BE 的交点.（1）求证∶ BG=EG;（2）当C 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.2．在平面直角坐标系中，已知点()03A ，、()60B ，，点A 关于x 轴对称点为F ，连接BF ，作DAK BAO ∠=∠，连接DO 交BF 延长线于点C ．（1）①直接写出点F 的坐标 ▲ ；②证明：AOD ≌FOC ；（2）动点P 从F 出发，以每秒1个单位长度的速度沿F O B --运动，到B 点停止运动；动点Q 从B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿B O F --，到F 停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止运动．过点P 作PG CD ⊥于点G ，过点Q 作QH CD ⊥于点H ，问：当P 点运动多少时间时，POG 与QOH 全等？3．（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角 ACB ∆ 的直角顶点 C 在原点，将其绕着点 O 旋转，若顶点 A 恰好落在点 ()1,2 处．则①OA 的长为 ；②点 B 的坐标为 （直接写结果）（2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角 如图放置，直角顶点 ()1,0C - ，点 ()0,4A ，试求直线 AB 的函数表达式．（3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点 ()4,3B ，过点 作 BA y ⊥ 轴，垂足为点 ，作 BC x ⊥ 轴，垂足为点 ,C P 是线段 BC 上的一个动点，点 Q 是直线 26y x =- 上一动点．问是否存在以点 P 为直角顶点的等腰直角 APQ ∆ ，若存在，请直接写出此时 点的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AB=16cm ，BC=12cm ，D 为AB 的中点．若点P 在线段BC 上以4cm/s 的速度由B 向C 运动，同时，点Q 在线段CA 上以a(cm/s)的速度由C 向A 运动，设运动的时间为t(s)(0≤t≤3)（1）用关于t 的代数式表示PC 的长度。
专题19 全等三角形(原卷版)
专题19全等三角形【考查题型】【知识要点】知识点1全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。
全等图形的性质：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
④周长、面积相等。
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。
书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
考查题型一全等三角形的性质典例1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ，若65BCE ∠=︒，则CAF ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒变式1-1．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（）A ．AC ＝DEB ．∠BAD ＝∠CAEC ．AB ＝AED ．∠ABC ＝∠AED变式1-2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③变式1-3．（2020·天津·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．AC DE =B ．BC EF =C ．AEFD ∠=∠D ．AB DF⊥变式1-4．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在ABC 和ADC △中，AB AD =，BC DC =，130B ︒∠=，则D ∠________º．知识点2：全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等、周长、面积相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。
1期末复习(平面直角坐标系、等腰三角形、全等三角形)
期末专题复习（直角坐标系）一、概念复习1、直角坐标系：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点。
直角坐标系的平面叫直角坐标平面。
2、点的坐标：点P 对应的有序数对叫点的坐标，P （a,b ）a 叫横坐标，b 叫纵坐标。
3、平面直角坐标系把平面分成四个象限：x 轴、y 轴不属于任何象限。
第一象限（＋，＋）、第二象限（－，＋）、第三象限（－，－）、第四象限（＋，－） 4、经过点P （a ，b ）且垂直于x 轴（或平行于y 轴）的直线表示为：直线x = a 经过点P （a ，b ）且垂直于y 轴（或平行于x 轴）的直线表示为：直线y = b 5、平行于坐标轴的直线上的两点间的距离：平行于x 轴的直线上的两点A （x 1，y ）、B （x 2，y ）的距离是 21x x AB -= 平行于x 轴的直线上的两点C （x ，y 1）、D （x ，y 2）的距离是 21y y CD -= 6、点P （a ，b ）沿着坐标轴（沿与x 轴或y 轴）平行的某一方向平移m （m>0）个单位 则；向右平移所对应的点的坐标为（a+ m ，b ）； 向左平移所对应的点的坐标为（a- m ，b ） 向上平移所对应的点的坐标为（a ，b+ m ）；向下平移所对应的点的坐标为（a ，b- m ） 7、对称点的坐标特征 直角坐标平面内有点M （a ，b ） 与点M （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标是（a ，- b ） 与点M （a ，b ）关于 y 轴对称的点的坐标是（- a ，b ） 与点M （a ，b ）关于原点对称的点的坐标是（- a ，- b ）二、典型例题1、点A （-3，2）向左平移4个单位到B ，则B 点的坐标是___________2、点N （3，-4）沿x 轴翻折与M 重合，那么点M 的坐标是___________3、将点Q （10，2）绕原点O 旋转180°后落到P 处，则P 点的坐标是___________4、直角坐标平面内，点A （-2，3）向____平移______个单位后就和点B （2，3）重合5、点P 在第三象限，且点P 到x 轴和到y 轴的距离都是3，则点P 坐标是_______________6、如果点M （3a-1,5+b ）与点（b -2，a ）关于原点对称，则a=_______,b=__________7、在x 轴上有A 、B 两点，AB =10，若点A 的坐标是（2，0），那么点B 的坐标是___________ 8、在直角坐标平面内，设点P （x,y ）,若xy>0,则点P 在_________象限。
人教八年级数学上册《全等三角形》、《轴对称》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理 1、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
2、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理A B C D E F 中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEAB DEF(SSS) ABC ∆∆∴≌ A B C D EF中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB DEF(SAS) ABC ∆∆∴≌ AB CDE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：①全等三角形问题中，找准对应点，对应边，对应角。
（突出对应） ②题中已知平移、翻折、旋转相当已知全等；③判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
④要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
⑤要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
其中：一般三角形有四 种判定方法 。
直角三角形有五 种判定方法。
3、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上DEF(ASA)ABC ∆∆∴≌ A B C DE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A DEF(AAS)ABC ∆∆∴≌ A C BEFD中和在DEF Rt ABC Rt ∆∆⎩⎨⎧==DF AC DE AB )HL (DEF Rt ABC Rt ∆∆∴ ≌ ·ADP COB角平分线的性质）平分PD(PC OAPD OB PC AOB OP =∴⊥⊥∠ ·ADP CBAOB∠∠=∠∴=⊥⊥平分或：角平分线的判定）OP BOP(AOP PD PC OA PD OB PC注：①性质与判定都是由三个条件推出一个结论，要正确应用； ②会用尺规做一个角的平分线，依据为“边边边”。
江西萍乡市八年级数学上册第十二章【全等三角形】复习题(答案解析)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n2．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．93．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等4．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 5．下列说法正确的是（ ）A ．两个长方形是全等图形B ．形状相同的两个三角形全等C ．两个全等图形面积一定相等D ．所有的等边三角形都是全等三角形 6．如图，AD 是ABC 的角平分线，:4:3AB AC = ，则ABD △与ACD △的面积比为（ ）．A ．4:3B ．16:9C ．3:4D ．9:167．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 8．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF 9．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°10．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等11．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．13．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．14．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．15．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．16．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．18．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上．若125∠=︒，230∠=︒，则3∠=______．19．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．20．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①120EDF ∠=︒；②DM 平分EDF ∠；③DE DF AD +=；④2AB AC AE +>；其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．21．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．三、解答题22．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．23．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．24．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．25．如图，一条河流MN 旁边有两个村庄A ，B ，AD ⊥MN 于D ．由于有山峰阻挡，村庄B 到河边MN 的距离不能直接测量，河边恰好有一个地点C 能到达A ，B 两个村庄，与A ，B 的连接夹角为90°，且与A ，B 的距离也相等，测量C ，D 的距离为150m ，请求出村庄B 到河边的距离．一、选择题1．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 3．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．35．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒ 6．下列说法正确的是（ ）A ．两个长方形是全等图形B ．形状相同的两个三角形全等C ．两个全等图形面积一定相等D ．所有的等边三角形都是全等三角形 7．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 8．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．EB=DFC ．AD=BCD ．AE=CF 9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 11．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．3二、填空题12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．13．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝8，则四边形ABCD 的面积是____．14．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．15．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，AB=10cm,则S △ABD =______．17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．18．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．19．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．20．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．21．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．三、解答题22．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．23．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 24．（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：试一试如图，AOB ∠为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB ∠的平分线.第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使0;OD E =第二步：分别以点D 和点E 为圆心，适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；第三步：作射线OC .射线OC 就是所要求作的AOB ∠的平分线（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________________．（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作AOB ∠的角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ON =． ②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为AOB ∠的平分线．请根据小明的作法，求证OP 为AOB ∠的平分线．25．如图，BC ⊥AD 于C ，EF ⊥AD 于F ，AB ∥DE ，分别交BC 于B ，交EF 于E ，且BC =EF ．求证：AF =CD ．一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或33．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 4．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = 5．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等6．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 7．如图，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于，且OD=2，△ABC 的面积是（ ）A ．20B ．24C ．32D ．408．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL9．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 10．如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD ，CD 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，E ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 11．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°二、填空题12．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．13．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．14．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）15．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．16．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第____块去，这利用了三角形全等中的____原理．17．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________18．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．19．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上的一个动点，PE AD ⊥交直线BC 于点E ．若35B ∠=︒，85ACB ∠=︒，则E ∠的度数为______．20．如图，在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，AD BD ⊥于点D ，CE BD ⊥于点E ，若7CE =，5AD =，则DE 的长是______．21．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．三、解答题22．已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，AOP α∠=（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠=____________︒（2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．23．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．24．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且BD 是∠ABC 的角平分线．求证：AE ＝12BD ． 25．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，D 是AC 上一点，E 在BC 的延长线上，且CE CD =，BD 的延长线与AE 交于点F ．求证：BF AE ⊥．。
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习(五)
第十二章?全等三角形?判定与性质培优练习(五)1 .如图(1),在平面直角坐标系中,工轴于8,4C_Ly轴于C,点C (0, m) , 46,m),且(m-4) 2+存一8.=-16,过C点作N 厂分别交线段OB干E、(2)假设O8BE=AB,求证：CF=CE;(3)如图(2),假设/氏万=45.,给出两个结论：的值不变；OAA&EF的值不变,其中有且只有一个结论正确,请你判断出正确的结论,并加以证实和求出其值.2.如图1,我们定义：在四边形中,假设且//.8+/6.1=180°,那么把四边形ABCD叫做互补等对边四边形.(1)如图2,在等腰△工命中,AE= BE,四边形是互补等对边四边形,求证：Z ABD= z BAC^A AEB.(2)如图3,在非等腰中,假设四边形S8C.仍是互补等对边四边形,试问= N84C=^NS昆是否仍然成立？假设成立,请加以证实；假设不成立,请说明理由.乙43.如图①4、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E尸分别作.£L/C BFLAC.假设AB= CD.(1)图①中有对全等三角形,并把它们写出来.(2)求证：G是8.的中点.(3)假设将aA?尸的边R尸沿G4方向移动变为图②时,其余条件不变,第(2)题中的结论是否成立？如果成立,请予证实.4.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你和他们一起活动吧.【探究与发现】(1)如图］,工.是的中线,延长小.至点£使直?=/.,连接写出图中全等的两个三角形【理解与应用】(2)埴空：如图2,"是△.炉的中线,假设斤=5, DE=3、设e=x,那么x的取值范围是.(3)：如图3,工.是△R6C的中线,N84C=N/C8,点Q在8c的延长线上, QC=BC,求证：AQ=2AD.5.如图,/8//C.,点万在8c上且6E=C.,AB=CE, EF平自乙AED.(1)求证：4ABEXECD,,(2)猜测宁与工.的位置关系,并说明理由；(3)假设DF=±AE,请判断屹的形状,并说明理由.乙6.如图1,工(0, a) , B (b, 0),且.、b满足4s20 = 8b-炉.(1)求力、8两点的坐标；(2)如图2,连接S8,假设.(0, -6) , 0&LS6于点£8、C关于y轴对称,M是线段.E上的一点,旦邮=/8,连接4K 试判断线段/C与Z例之间的位置和数量关系,并证实你的结论；(3)如图3,在(2)的条件下,假设N是线段.河上的一个动点,尸是/VM延长线上的一点,&DN=AP,连接取交y轴于点Q,过点收作轴于点〞当N点在线段.〃上运动时,△例Q/7的面积是否为定值？假设是,请求出这个值；假设不是,请说明理由.7.在中,Z/4C5=90° , /R = 30° , 8.是△工8c的角平分线,DELAB于E.(1)如图1,连接求证：△8OF是等边三角形；(2)如图2,点加为CE上一点,连结BM,作等边ABMN,连接EN、求证：ENII BC\(3)如图3,点尸为线段工.上一点,连结8片作N6产Q=60° ,产Q交.回延长线于Q,探究线段月.,OQ与工.之间的数量关系,并证实.8.如图,在△/8C中,AB=AC9.、/、下在直线"7上,( ADB= (AEC= (BAC.(1)求证：DE=DB+EC;(2)假设284C=120° , 工尸平分N84C,且工厂二48,连接力、FE,请判断△/?宁的D AE m9.教学实验：画/工.8的平分线OC.(1)将一块最够大的三角尺的直角顶点落在OC的任意一点尸上,使三角尺的两条直角边分别于04 OB交于E,尸(如图①).度量产E可的长度,PE PF (埴> ,< ,=)；(2)将三角尺绕点尸旋转(如图②)：①在与尸尸相等吗？假设相等请进行证实,假设不相等请说明理由；②假设.尸=6,请直接写出四边形.日夕的面积：.10. (1)如图(1)在△R8C中,(ACB=2(B, ZC= 90°f/.为/84C的平分线交8c于.,求证：AB^AC+CD.(提示：在上截取连接假(2)如图(2)当NC#90°时,其他条件不变,线段工8、工C、〞又有怎样的数量关系,直接写出结果,不需要证实.(3)如图(3)当N/C8W90.,力.为△/WC的外角/C4尸的平分线,交8c的延长线于点.,那么线段/从工C、C.又有怎样的数量关系？写出你的猜测,并加以证实.参考答案1.解：(1) (m-4) 2+/r-8n= - 16,即(/77-4) 2+ (/7-4) JO,贝IJ 777-4 = 0,4 二0,解得：/77=4, 77=4.那么工的坐标是(4, 4);⑵轴,/Cly轴,/ (4, 4),.\AB = AC= OC= OB, Z ACO- / COB= Z ABO- 90° ,又•..四边形的内角和是360° ,/.Z/4 = 90° ,•：O丹BE=AB=B8AE,.\AE= OF, 'AE=UF.•.在△CO尸和△CXE中,＜Zx\=ZC0F. AC=OC :.4CO2XCAE、得CF= CE\(3)结论正确,值为0.证实：在x轴负半轴上取点〞OH= AE,'0H = AE•.•在和△OC"中,,NC0H=NA, AOOC・•.△/4C做△OCX.・./】=/2, CH=CE,又•： 2 EOF= 45：/. z HCF= 45° , "CH=CE.•.在尸和△氏:尸中,, ZHCF=ZE0F, CF=CF:.XHC24ECF、・・.HF= EF,,•,OHAE — EF=0.2.解：(】),:AE=BE,/. Z EAB= / EBA,.•・四边形S8C.是互补等对边四边形,/. AD= BC,在△工8.和△84C中,"AD 二BC, ZDAB=ZCBA ,AB 二BA：.4AB"4BAC〈SAS),Z ADB = / BCA,又・・・/478+N8d=】80° ,：.£ADB= £BCA = 9h、在△工8万中,•.•/&8=/郎=^.皿E =90.乙乙・・・/工8.=90.-ZE45=90° - (90°=,£AEB,乙乙同理：/_BAC=^-/_AEB.乙/.Z ABD= Z.BAC=^-/_ AEB\乙(2)仍然成立；理由如下：如图③所示：过点工、8分别作8.的延长线与工C的垂线,垂足分别为G、・・,四边形工6.是互补等对边四边形,・・.AD=BC, Zz4D5+Z5C4= 180° ,又N/O8+4?G=180° ,Z BCA = N ADC,又,：AGtBD, BF1AC,:‘乙AGD= (BFC=Qb ,在△/GZ?和48尸C中, r ZAGD=ZBFC, ZBCA=ZADGAD=BC：.2AG"XBFC,.\AG= BF,在△/8G和△84尸中,「AB二BA< AG=BF:.△AB2XBAF,・•.々ABD= £BAC,\^ADB+^BCA= 180° ,/-Z£D5+Z5G4= 180° ,,2AEB+NDHC=、8U：••,々DHC+乙BHC=\8h ,：.£AEB= (BHC.•・• LBHC= LBAC+乙ABD,乙ABD= (BAC, ：./_ ABD= Z BAC=杂AEB. 3.解：(1)图①中全等三角形有：4AB24CDE, XAB2XCDG、XBF2XDEG. 故答案是：3;(2)•：AE=CF,:.AF=CE、"RR=「口」.在直角△工8尸和直角△<?£?万中,,即_比, I:.XAB24CDE、・•. BF= DE,「/GED = NGFB在△.旧G和48尸G中,< NDGE=NBGF, DE=BF：.4DE24BFG、-- BG= DG,即G是8.的中点；(3)结论仍成立.理由是：「AE=CF,：.AF= CE, r AD-r»n在直角△/W尸和直角△ CO旧中,< ,hF=CE:AAB24CDE、・•. BF= DE, '/GED二NGFB在和48尸G 中, /DGE二/EGF, DE=BF:.XDE2XBFG、：.BG= DG,即G是6.的中点.4. (1)证实：在△4Z?C与△£D8中,< ZADC=ZBDE, CD 二BD：.4AD84EDB;故答案为：&ADC94EDB;(2)解：如图2,延长小至点Q,使尸.=尸£连接尸Q,在△尸,正与△尸Q尸中,'PE 二PQ< ZEPD=ZQPF, PD=PF:.△PEMXQFP,:.FQ=DE=3,在△&Q 中,EF- FQvQEvERFQ,即5 - 3 v 2x< 5+3,・・.x的取值范围是1 vx<4;故答案为：lvx<4;(3)证实：如图3,延长力.到例,使用.=/.,连接碗,.・./"= 24.,■.•工.是4工8.的中线,BD= CD,在△6M.与△C4.中,"MD=AD< ZBDx\=ZCDA, BD=CD：.4BMD^4CAD,：, BM= CA, CAD,/.Z BAC= Z 5/444+Z CAD= ZZ ACB= / Q+•/ CAQ y AB = BC,・・・//CQ=180° - (Z6^ZG4(9) , Z445/4= 180°一(/8/W/+/M ・・・//CQ= N/V®4,・「QC= BC yQC= AB,在△/4CQ与△例84中,< ZACQ=ZMBA,,QC=AB:.XACQ^XMBA,：.AQ=AM=2AD.图25. (1)证实：・・・/8// CD,/ 6= / C,"AB 二CE 在与△&?£;中, ZB=ZC, BE=CD：,4AB也XECD;(2)EFL AD,理由：,: XABEXECD,:.AE=DE,,: EF淬仇人AED、：.EFLAD\(3)是等边三角形,,: AE=DE,,: EF平货(AED、：.DF=^AD,•； DF 弓AE, 乙：,AD=AE=DE,△工中是等边三角形.6.解：(1) vcr-4oH-20 = 8d-Zr1・•.(a-2) 2+ (6-4) 2 = 0,/.o= 2, b= 4,.•乂(0, 2) , B (4, 0);(2) \'AD= CM+(9D=8, BC=2OB=8,AD= BC、在△C48 与△4V/.中,< ZABO=ZMDA,AD 二BC•••△C4 丝△4VQ,.\AC- AM y / ACO- / MAD^•・・ N/CY>N 00=90° ,/.ZA^/4Z>ZG4O= ZA4/4C=90° ,：.AC-AM, ACLAM\(3)过尸作尸Gly轴于G,在4PGA与赳DHN中, “/PAG =/MDH ,AG=DH ,/AGP=/DHN：.4PG4XDHN、••.PG=HN、AG=HD,.\AD= GH=8,在△尸QG与△M/Q中,■ZPGQ=ZNHQ=9Q°•ZPQG=ZHQN , PG=NH•,APQG^XNHQ,QG= QH = GH = 4,7. (1)证实：・・・//C8=90° , /4 = 30° ,/.Z^5C=60° ,■/8.是△S8C的角平分线,：./_DBA = ^-/_ABC=2>^ , 乙Z /4 = Z DBA,AD- BD,DELAB..\AE= BE,：.CE=^-AB=BE, 乙」.△66是等边三角形；(2)证实：.・.△86与△例N8都是等边三角形,:.BC=BE, BM=BN,( EBC= (MBN=6G0 ,AZ CBM= Z EBN,在△C8M和△出7中,'BC 二BE- ZCBM=ZEBN,BM=BN:、4CBM^4EBN〈SAS],••.(BEN= 々BCM=6D0 ,/. Z BEN= Z EBC,：.ENH BC\(3)解：DQ=AADP;理由如下：延长6.至尸,梗DF=PD、连接尸尸,如下图：・・・/月.氏=/6.(？=//+/.必=300 +30° =60° , .•・△尸.尸为等边三角形,・•.PF=PD=DF, /尸=60° ,・・・/月.Q=90° -ZZ = 60° ,・・・/尸=/月/"?=60° ,・・・/8..=180°一( BDC—( PDQ=60°、・•.(BPQ= (BDQ=3 ,.t Z Q= Z PBF,在和△尸.Q中,'NQ二/PBF, ZPDQ=ZF,PF=PD:.4PFB9XPDQ,・・. DQ= BF= BADF= BADP,・:乙A =乙ABD,AD- BD,:・DQ=AADP./. Z /4D5+Z ^5Z>Z BAD= Z BAOBAC+A EAC= 180° , Z ABD= / EACy在△工8.与△/C£中, "/ADB 二/AEC, ZABD=ZEt\C, AB=AC:•XABUXAE C、・・.BD= AE.•/ DE= Al>AE y••,DE=DB+EC.(2)结论：△.&为等边三角形理由：连接8尸,CF.D AE・/工尸平分N8/4C, Z,BAC= 120° ,:.人FAB= /_FAC=^Q ,-：FA = AB=AC,△4?尸和△工C尸均为等边三角形：.BF=AF=AB=AC=CF, z BAF= Z CAF= Z ABF= 60° ,・・・N80/4=N/4£C=NMC=12O° ,•• •( DBA+ 乙DAB=( CAN ( DAB= 60.,/ DBA = N CAE.在△84.和△/4CE 中,,/BDA :/AEC< /DBA=/CAE,BA 二AC:.HAD&2XCEA (AAS),:.BD=AE, Z DBA = Z CAE.••• £ABF= (CAF=6D0 ,AZ DBA+ Z ABF= Z C4m Z CAF,AZ DBF= Z FAE.在△8.尸和△工&中,FB=FA• /DBF=/FAE,BD=AE：.ADB24EAF (SAS),DF= EF, /_BFD= /.AFE,：.(DFE= /_DFA+/_AFE= /_DFA+/_BFD=60° ,乐为等边三角形.9. (1)解：PE= PF\故答案为：=；(2)解：QPE= PF;理由如下：把三角尺绕点尸顺时针旋转,使三角尺的两条直角边分别与.工,.8垂直于从、N,如图所示：那么/加£=/尸7尸=90°,四边形0M产N是矩形:.产平分NSO8,,PM= PN,・・・四边形0M产N是正方形,(AOB= (PME= (PNF=90° ,・・・/〃尸/V=90° ,・LEPF^ 90° ,AZ MPE= Z FPN、'/PRE二/PM在△呻4和△尸/加中( PM=PMZ MPE=Z NPF,,.△PEM94PFN (ASQ ,・・.PE= PF.②由①得：四边形OM/W是正方形,4PEM94PFN、/. OM= ON=®OP= 1 ,四边形.小尸的面积=正方形.〃尸7的面积=.状=1; 210.解：(1)如图1所示,在49上截取/E=/C,连接.£・.・/.平分N34C,Z 1 = Z2.在和中,AC=AE< Z1=Z2, AD 二AD：.^ACD^^AED (SAS).・・・//£/?=/C=90, CD=ED,又£ACB=2£B, ZC= 90° , /.Z5=45° .・••LEDB= 々B=45° .・・.DE= BE,・•. CD= BE.,.,AB=A&BE,/. AB = A C+ CD.(2)证实：在48取一点E使4在△/c.和中,,AGE,/BAD=/EAD,AD 二AD:.XACgXAED,Z C= Z AED, CD= DE,又,「NC=2/8,:•乙AED=2 匕B,是的外角,Z EDB = N 8,•••ED=EB,••.CD=EB,/. AB = A C+ CD\(3)AB=CD-AC证实：在BA的延长线工尸上取一点E,使得AE= AC,连接DE,在△/CO和中,AC=AE< /CAD=/E却,AD 二AD：,^ACD^^AED (SAS),:,乙ACD= (AED, CD=DE,/. Z ACB= Z FED,又・."RC8=2/8, :•乙FED=2( B,又•・,(FED=々B+乙EDB,/ EDB = N 8,・・.DE= BE,・・.BE= CD,AB = CD— AC .。
1专题一 全等三角形的基本模型
第一节 全等三角形的基本模型全等三角形是初中数学中非常重要的几何部分，它在几何证明、平面直角坐标系中的计算和函数动点探究题中都是常客。
既然全等三角形在初中几何中有如此重要的地位，那么我们就必须熟悉全等三角形的常见模型，掌握一些构造全等三角形的辅助线方法。
这一专题，我们将抓住全等三角形的几何证明部分，逐步认识“一线三等角”模型、“手拉手”模型、对角互补模型和半角模型，熟能生巧 ．【例1】已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//EA FB ，EA FB =，AB CD =．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40A ∠=︒，80D ∠=︒，求E ∠的度数．【例2】如图，AB AD =，25BAC DAC ∠=∠=︒，80D ∠=︒．求BCA ∠的度数．【例3】如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，连结AD 并延长到点E ，使DE AD =，连结CE ．（1）求证：ABD ECD ∆≅∆；（2）若ABD ∆的面积为5，求ACE ∆的面积．【例4】如图，ABC∆，使∆中，D为BC边上的一点，AD AC=，以线段AD为边作ADE得AE AB=，BAE CAD=．∠=∠．求证：DE CB【例5】如图，AB AE=，//∠=︒．∠=︒，40EAB DE，70DAB（1）求DAE∠的度数；（2）若30=．B∠=︒，求证：AD BC【同步训练】1．如图，点O是线段AB的中点，//OD BC且OD BC=．（1）求证：AOD OBC∆≅∆；（2）若35∠的度数．∠=︒，求DOCADO2．如图，AC平分BAD∠，AB AD=．求证：BC DC=．3．如图，已知AD BC =，BD AC =．求证：ADB BCA ∠=∠．4．如图，AB AC =，AB AC ⊥，AD AE ⊥，且ABD ACE ∠=∠．求证：BD CE =．5．如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 异侧，//AB CD ，AE DF =，A D ∠=∠．（1）求证：AB CD =；（2）若AB CF =，40B ∠=︒，求D ∠的度数．6．如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =．求证：（1）ABF DCE ∆≅∆；（2）//AF DE ．7．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，且DE DF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．8．已知，如图：AC 与BD 相交于点O ，OBC OCB ∠=∠，A D ∠=∠，求证：AO DO =．9．如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB CD =，A FBD ∠=∠，//CE DF ，求证：CE DF =．10．如图，AC 是BAE ∠的平分线，点D 是线段AC 上的一点，C E ∠=∠，AB AD =．求证：BC DE =．第二节一线三等角构造全等三角形上一讲我们介绍了全等三角形的几个常见模型，但是我们在平常的练习和模拟中遇到的题有的并非如此简单，那么我们就需要去总结其中的题型和对应的解题策略，找出一套做辅助线的法则去解题。
2019年中考数学专题复习资料--全等三角形含答案(共11页)
全等三角形1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE CDBA BC DEF 2 1ADB CAB ACDF2 1 E6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCABCDP DAC B10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD+BC=AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD ，求证：∠C=2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
13已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。
求证：BE=CD ． PEDCBA D CBAMFECBACD F14在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
平面直角坐标系中的全等三角形(供参考)
平面直角坐标系中的全等三角形 一、典例精析 例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2),以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足条件的C 的坐标可以是 。
例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程）例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线 也经过A 点．(1) 求点A 的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习 1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）．（1）求证：h 1＝h 3；正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝( h 1＋h 2)2＋h 12；（2）设（3）若 3 2h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况． 2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线． （1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式； （2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；A●●B O ● A B O PC y x A B O P y x 备用图 x k y =CA DB h 1 h 2 h 3l 1l 2 l 3 l 42．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3． 在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x 轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。
全等三角形与平面直角坐标系综合题
全等三角形与平面直角坐标系综合题一、引言全等三角形是高中数学中重要的概念之一，它涉及到平面几何和坐标系的知识。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。
本文将深入探讨全等三角形的性质以及与平面直角坐标系的综合应用。
二、全等三角形的性质全等三角形是指两个三角形的所有对应的角相等，对应的边长相等。
在平面几何中，我们可以通过以下三种情况来判断两个三角形是否全等：2.1 SSS判据若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
这是最直观的判断方式，通过测量三边的长度即可确定。
2.2 SAS判据若两个三角形的一边和与其相对的两个角分别相等，则这两个三角形全等。
这种判据常用于实际问题中，通过测量一边的长度和两个角的大小即可确定。
2.3 ASA判据若两个三角形的两个角和与其相对的一边分别相等，则这两个三角形全等。
这种判据常用于实际问题中，通过测量两个角的大小和一边的长度即可确定。
三、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是指在平面上引入两个互相垂直的坐标轴，通过坐标点的位置来描述平面上的点。
在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。
3.1 坐标点的表示在平面直角坐标系中，我们使用有序数对(x, y)来表示一个点的位置，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A点在横坐标为2，纵坐标为3的位置。
3.2 坐标点的变换在平面直角坐标系中，我们可以通过平移、旋转和缩放等操作来对坐标点进行变换。
这些变换操作可以帮助我们判断两个三角形是否全等。
3.2.1 平移变换平移变换是指将一个点沿着指定的方向和距离移动。
在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别加上相同的常数来实现平移变换。
3.2.2 旋转变换旋转变换是指将一个点绕着指定的中心点按照一定的角度旋转。
在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别乘以旋转矩阵来实现旋转变换。
专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)(原卷版)
专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）【题型一：标准“K”型图】【题型二：做辅助线构造“K”型图】【题型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【题型四：特殊“K”型图】【方法技巧】模型一一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解【类型一：标准“K”型图】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；CD EBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE 之间的等量关系．【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE ．＝1，求S△BFC【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c的式子表示）【变式2-1】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【变式2-2】直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF 延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（4，7）D．（3，7）【变式3-4】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标．【变式3-5】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE 的长；（3）如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求点B坐标．【变式3-6】在直角坐标平面内，点A（3，0），点B是第二象限内任意一点（如图所示）．线段AB绕点A旋转90°后的图形为AC，连接BC．（1）当线段AB绕点A顺时针旋转时，①如果点B的坐标为（﹣1，2），过点B作BH⊥OA，垂足为点H，直接写出线段AH的长；②如果点B的横坐标为a，且BC∥OA，求点B的纵坐标；（用含a的代数式表示）（2）设点B的坐标为（m，n），直接写出点C的坐标．（用含m、n的代数式表示）【变式3-7】如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．【变式3-8】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4-1】如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD．【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【变式4-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．。
三角形全等作业设计优秀案例
三角形全等作业设计优秀案例三角形全等是初中数学中的重要知识点之一，涉及到了三角形的性质和判定方法。
在教学过程中，设计优秀的作业案例可以帮助学生巩固和应用所学知识，提高学生的问题解决能力和思维能力。
下面我将为大家分享一个优秀的三角形全等作业案例及其参考内容。
作业案例：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC和三角形DEF的顶点坐标分别如下：A(-2, 1)，B(3, 2)，C(-1, -3)D(4, 1)，E(9, 2)，F(3, -4)请判断三角形ABC和三角形DEF是否全等，如果全等，请写出全等的条件及理由。
参考内容：1. 三角形全等的条件在判断两个三角形是否全等时，我们可以利用以下条件进行判定：（1）三边对应相等的两个三角形是全等的；（2）两边与夹角对应相等的两个三角形是全等的；（3）两角和边对应相等的两个三角形是全等的。
2. 解题步骤（1）计算三角形ABC和三角形DEF的三边长度利用两点间距离公式，我们可以计算出三角形ABC的三边长度：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(3 - (-2))² + (2 - 1)²] = √[(5)² + (1)²] = √[25 + 1] = √26BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(-1 - 3)² + (-3 - 2)²] = √[(-4)²+ (-5)²] = √[16 + 25] = √41CA = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(-2 - (-1))² + (1 - (-3))²] =√[(-1)² + (4)²] = √[1 + 16] = √17同理，计算得出三角形DEF的三边长度：DE = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(9 - 4)² + (2 - 1)²] = √[(5)² + (1)²] = √[25 + 1] = √26EF = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(3 - 9)² + (-4 - 2)²] = √[(-6)²+ (-6)²] = √[36 + 36] = √72FD = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(4 - 3)² + (1 - (-4))²] = √[(1)² + (5)²] = √[1 + 25] = √26（2）判断三边长度是否满足全等的条件由于√26 ≠ √41 ≠ √17 ≠ √26 ≠ √72 ≠ √26，即三角形ABC和三角形DEF的三边长度不全等，所以不满足全等的条件，即三角形ABC和三角形DEF不全等。
初中数学全等三角形的知识点及应用
If you only treat work as an errand, or just focus on the work itself, then even if you are engaged in your favorite work, you still cannot maintain your enthusiasm for work for a long time.整合汇编简单易用（页眉可删）初中数学全等三角形的知识点及应用初中数学全等三角形的知识点应用同学们要知道，有时还需要画辅助线帮助解题。
常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点.求∠EBG的度数和CE的长.分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt △ABE;△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG.(2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得∠EBG等于160°.(3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得：CE=CA-AE=BA-AD=6.解：∵△ABE≌△ACD∠C= 20°(已知)∴∠ABE=∠C=20°(全等三角形的对应角相等)∴∠EBG=180°-∠ABE=160°(邻补角的意义)∵△ABE≌△ACD(已知)∴AC=AB(全等三角形对应边相等)AE=AD(全等三角形对应边相等)∴CE=CA-AE=BA-AD=6(等式性质)值得大家注意的是，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
等腰三角形、全等三角形及平面直角坐标系
等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、 能证明全等三角形2、 掌握等腰（等边）三角形的性质，会判定等腰（等边）三角形3、 掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想． 教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去2、 一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）、（-2，-1）、（2，1），则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3） 3、判断题：① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.（ ）② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.（ ） ③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. （ ） ④ 腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.（ ） ⑥ 两个等边三角形全等（ ）. ⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） ⑧ 腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑨ 腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（ ） ⑩ 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ）4、(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是(2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是5、点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ．6、已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．DCAB7、如图，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD 相等的线段？8、已知：如图，AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ． 求证：BD ＝CE ．9、如图，在△ABC 中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC 沿x 轴正方向平移2个单位长度，再沿y 轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG 。
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平面直角坐标系中的全等三角形
一、典例精析
例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。
例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程）
例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经
过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线 也经过A 点．(1) 求点A
的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
二、课堂练习
1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）． A
●
●
B O ●
A
B O P
C y
x
A
B O P y
x 备用图 x k y =
（1）求证：h 1＝h 3；
（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(
h 1＋h 2)2＋h 12；
（3）若 3
2
h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况．
2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由图中画出新抛物线的示意图计
三、课外作业
1、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上， ∠ABO ＝90°点A 的坐标为(1，2)． A
D
B
h 1 h 2 h 3
l 1 l 2 l 3 l 4
A y
将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点 C 恰好落在双曲线y ＝ k
x
(x ＞0)上，则k ＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3． 在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x
轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。
点E 为直线2l 上一点，反比例函数x
k
y （k ＞0）的图像过点E 与直线1l 相交于点F 。
⑴若点E 与点P 重合，求k 的值；
⑵连接OE 、OF 、EF 。
若k ＞2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的2倍，求E 点的坐标； ⑶是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求E 点坐标；若不存在，请说明理由。