工程电磁场模拟电荷法

模拟电荷法应用

在工程电磁场课程中学习了模拟电荷法计算空间静电场的方法。基于静电场的唯一性定理，在被求解的场域以外，用一组虚设的模拟电荷来等效代替电极表面的连续分布的电荷，并应用这些模拟电荷的电位或电场强度的解析计算公式来计算电场。

一、题目

如上图，大地上方h=10m 处有一无限长半圆柱形导体，半径R=0.05m ，电位U=100v ，试求场域空间的电场强度。

二、设置模拟电荷

如图，设置四个模拟线电荷的坐标(X2,Y2)分别为:

(0,10.001) (-0.045,10.01) (0,10.04) (0.045,10.01)

在导体表面选取匹配点，坐标(X1,Y1)：

(0,10) (-0.05,10) (0,10.05) (0.05,10)

三、计算线电荷带电量

根据公式

1122... (1, 2, ..., )k k k kn n P Q P Q P Q k m ϕ=+++=

其中

22222211(')(')1

ln 4(')(')

x x y y P x x y y πε-+-=-+- 用Matlab 编程并计算Q 矩阵，程序及计算结果如下： x/m

y/m

0 0.05 h=10

R=0.05 U=1

· · · ·

X1=[0 -0.05 0 0.05];

X2=[0 -0.045 0 0.045];

Y1=[10 10 10.05 10];

Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01];

X3=X2; Y3=-Y2;

V=[100;100;100;100];

for i=1:4

for j=1:4

P(i,j)=(1/(1/9*10^(-9)))*log(((X1(i)-X3(j))^2+(Y1(i)-Y3(j))^2)/((X1(i)-X2(j))^2+(Y1(i) -Y2(j))^2));

end

end

N= inv(P)

Q=N*V

Q =

1.0e-009 *

0.0371

0.3345

0.1811

0.3345

如上则为所设置的四个点电荷的带电量

四、检验

选取导体表面检验电荷，坐标(JX,JY)，计算有模拟电荷在检验电荷处的电位，程序及结果如下：

>> X2=[0 -0.045 0 0.045];

Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01];

X3=X2; Y3=-Y2;

JX=[0.01 0.02 0.03 0.04];

for k=1:4

JY(k)=sqrt(0.0025-JX(k)^2)+10;

end

Q =1.0e-009*[0.0371;0.3345;0.1811;0.3345];

for i=1:4

for j=1:4

P(i,j)=(1/(4*pi*8.854*10^(-12)))*log(((JX(i)-X3(j))^2+(JY(i)-Y3(j))^2)/((JX(i)-X2(j))^ 2+(JY(i)-Y2(j))^2));

end

end

V=P*Q

V =

97.8125

96.8993

96.7855

98.1978

由计算结果可知，最大误差为3.1007%，符合要求。

五、分析

模拟电荷位置及数量的选取具有极大的随意性，可根据经验具体选择。上例中，实际做的时候根据检验结果进行了调整，最终选取了如上的坐标使误差较小。可进一步增加模拟电荷的数量进行计算，如另加四个线电荷，坐标(-0.03,10.03) (0.03,10.03) (-0.04,10.003) (0.04,10.003)，结果如下：

X1=[0 -0.05 0 0.05 -0.04 0.04 -0.03 0.03];

X2=[0 -0.045 0 0.045 -0.03 0.03 -0.04 0.04];

Y1=[10 10 10.05 10 10.03 10.03 10.04 10.04]

Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01 10.03 10.03 10.003 10.003];

X3=X2; Y3=-Y2;

V=[100;100;100;100;100;100;100;100]

for i=1:8

for j=1:8

P(i,j)=(1/(1/9*10^(-9)))*log(((X1(i)-X3(j))^2+(Y1(i)-Y3(j))^2)/((X1(i)-X2(j))^2+(Y1(i)-Y2(j ))^2));

end

end

N=inv(P);

Q= N*V

Q=

1.0e-009 *

-0.0027

-0.0820

0.1361

-0.0820

0.1291

0.1291

0.3335

0.3335

检验结果：

>> X2=[0 -0.045 0 0.045 -0.03 0.03 -0.04 0.04];

Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01 10.03 10.03 10.003 10.003];

X3=X2; Y3=-Y2;

JX=[0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045];

for k=1:8

JY(k)=sqrt(0.0025-JX(k)^2)+10;

end

Q =1.0e-009*[-0.0027;-0.0820;0.1361;-0.0820;0.1291;0.1291;0.3335;0.3335]

for i=1:8

for j=1:8

P(i,j)=(1/(4*pi*8.854*10^(-12)))*log(((JX(i)-X3(j))^2+(JY(i)-Y3(j))^2)/((JX(i)-X2(j))^2+(J Y(i)-Y2(j))^2));

end

end

V=P*Q

V =

99.3846

99.1409

99.1003

99.3313

99.8779

100.4113

99.8785

99.0716

可见，增至八个模拟电荷后，最大误差只有0.9284%，已经非常理想。

六、总结

通过本次实验，深刻理解了模拟电荷法的应用方法，体会到其在计算相对复杂的静电场中的方便，以此扩展，可计算高压传输线对大地物体如居民房的影响。以后将积累经验，选取更好的模拟电荷的类型、位置和数量，以求达到更好的计算结果。

七、扩展