工程电磁场模拟电荷法

模拟电荷法应用
在工程电磁场课程中学习了模拟电荷法计算空间静电场的方法。

基于静电场的唯一性定理，在被求解的场域以外，用一组虚设的模拟电荷来等效代替电极表面的连续分布的电荷，并应用这些模拟电荷的电位或电场强度的解析计算公式来计算电场。

一、题目
如上图，大地上方h=10m 处有一无限长半圆柱形导体，半径R=0.05m ，电位U=100v ，试求场域空间的电场强度。

二、设置模拟电荷
如图，设置四个模拟线电荷的坐标(X2,Y2)分别为:
(0,10.001) (-0.045,10.01) (0,10.04) (0.045,10.01)
在导体表面选取匹配点，坐标(X1,Y1)：
(0,10) (-0.05,10) (0,10.05) (0.05,10)
三、计算线电荷带电量
根据公式
1122... (1, 2, ..., )k k k kn n P Q P Q P Q k m ϕ=+++=
其中
22222211(')(')1
ln 4(')(')
x x y y P x x y y πε-+-=-+- 用Matlab 编程并计算Q 矩阵，程序及计算结果如下： x/m
y/m
0 0.05 h=10
R=0.05 U=1
· · · ·
X1=[0 -0.05 0 0.05];
X2=[0 -0.045 0 0.045];
Y1=[10 10 10.05 10];
Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01];
X3=X2; Y3=-Y2;
V=[100;100;100;100];
for i=1:4
for j=1:4
P(i,j)=(1/(1/9*10^(-9)))*log(((X1(i)-X3(j))^2+(Y1(i)-Y3(j))^2)/((X1(i)-X2(j))^2+(Y1(i) -Y2(j))^2));
end
end
N= inv(P)
Q=N*V
Q =
1.0e-009 *
0.0371
0.3345
0.1811
0.3345
如上则为所设置的四个点电荷的带电量
四、检验
选取导体表面检验电荷，坐标(JX,JY)，计算有模拟电荷在检验电荷处的电位，程序及结果如下：
>> X2=[0 -0.045 0 0.045];
Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01];
X3=X2; Y3=-Y2;
JX=[0.01 0.02 0.03 0.04];
for k=1:4
JY(k)=sqrt(0.0025-JX(k)^2)+10;
end
Q =1.0e-009*[0.0371;0.3345;0.1811;0.3345];
for i=1:4
for j=1:4
P(i,j)=(1/(4*pi*8.854*10^(-12)))*log(((JX(i)-X3(j))^2+(JY(i)-Y3(j))^2)/((JX(i)-X2(j))^ 2+(JY(i)-Y2(j))^2));
end
end
V=P*Q
V =
97.8125
96.8993
96.7855
98.1978
由计算结果可知，最大误差为3.1007%，符合要求。

五、分析
模拟电荷位置及数量的选取具有极大的随意性，可根据经验具体选择。

上例中，实际做的时候根据检验结果进行了调整，最终选取了如上的坐标使误差较小。

可进一步增加模拟电荷的数量进行计算，如另加四个线电荷，坐标(-0.03,10.03) (0.03,10.03) (-0.04,10.003) (0.04,10.003)，结果如下：
X1=[0 -0.05 0 0.05 -0.04 0.04 -0.03 0.03];
X2=[0 -0.045 0 0.045 -0.03 0.03 -0.04 0.04];
Y1=[10 10 10.05 10 10.03 10.03 10.04 10.04]
Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01 10.03 10.03 10.003 10.003];
X3=X2; Y3=-Y2;
V=[100;100;100;100;100;100;100;100]
for i=1:8
for j=1:8
P(i,j)=(1/(1/9*10^(-9)))*log(((X1(i)-X3(j))^2+(Y1(i)-Y3(j))^2)/((X1(i)-X2(j))^2+(Y1(i)-Y2(j ))^2));
end
end
N=inv(P);
Q= N*V
Q=
1.0e-009 *
-0.0027
-0.0820
0.1361
-0.0820
0.1291
0.1291
0.3335
0.3335
检验结果：
>> X2=[0 -0.045 0 0.045 -0.03 0.03 -0.04 0.04];
Y2=[10.001 10.01 10.04 10.01 10.03 10.03 10.003 10.003];
X3=X2; Y3=-Y2;
JX=[0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045];
for k=1:8
JY(k)=sqrt(0.0025-JX(k)^2)+10;
end
Q =1.0e-009*[-0.0027;-0.0820;0.1361;-0.0820;0.1291;0.1291;0.3335;0.3335]
for i=1:8
for j=1:8
P(i,j)=(1/(4*pi*8.854*10^(-12)))*log(((JX(i)-X3(j))^2+(JY(i)-Y3(j))^2)/((JX(i)-X2(j))^2+(J Y(i)-Y2(j))^2));
end
end
V=P*Q
V =
99.3846
99.1409
99.1003
99.3313
99.8779
100.4113
99.8785
99.0716
可见，增至八个模拟电荷后，最大误差只有0.9284%，已经非常理想。

六、总结
通过本次实验，深刻理解了模拟电荷法的应用方法，体会到其在计算相对复杂的静电场中的方便，以此扩展，可计算高压传输线对大地物体如居民房的影响。

以后将积累经验，选取更好的模拟电荷的类型、位置和数量，以求达到更好的计算结果。

七、扩展
如图，高压传输线图中，单相高压输电线离地距离h=12m，等效半径为R=0.0158m。

取输电线与其镜像连线与地的交点为坐标原点。

在距地面y=2m 处有一与地绝缘的金属伞骨，假设长为0.5 m，宽为0(只感应出线电荷，推广到面电荷计算方法是一样的)，高为0.02m的金属条。

但是不知道该怎样选取模拟电荷，是在导体的上下表面选取多个点电荷还是上下表面各一个0.5m长的线电荷，如果是点电荷该怎样设置其位置，由于时间紧迫还没来得及算，留待暑假完成。