抛物线中平行四边形存在性问题习题
中考数学抛物线与平行四边形题+答案
1、如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，解得：b=2，c=﹣3，则解析式为：y=x 2+2x ﹣3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x 2+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC=，CD=，AD=，由AC 2+CD 2=AD 2，所以△ACD 为直角三角形； (3)123(1,4),(3,12),(5,12)F F F --- 2、如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0），腰BC 所在直线的解析式为y ＝－14x ＋3．（1）求顶点B 的坐标；（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点E ，点O 关于直线l 的对称点为O ′，连接CO ′并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当CD ＝5时，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P 是直线l 上的动点，点Q 是直线OD 上的动点，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P 的坐标；如果不能，说明理由．解：（1）∵直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0）∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°，点C 在y 轴上 又∵A （4，0），∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－14x ＋3中，得y ＝2∴B （4，2） ····································································· 3分 （2）如图1，过C 作CF ⊥DA 于F由y ＝－14x ＋3，点C 在y 轴上，得C （0，3） ∵AB ∥OC ，∴∠OCE ＝∠DEC∵点O ′和点O 关于直线l 对称，∴∠DCE ＝∠OCE ∴∠DCE ＝∠DEC ，∴ DE ＝DC ＝5∵y ＝－14x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，∴OC ＝AF ＝3 ∵CF ＝OA ＝4，∴DF ＝DC 2－CF 2＝3 ∴FE ＝DE －DF ＝2，AE ＝AF －FE ＝1 ∴E （4，1）设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C 、E 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧3＝b1＝4k ＋b 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝3∴直线l 的解析式为y ＝－12x ＋3 ················································（3）∵DA ＝DE ＋AE ＝6，∴D （4，6）易得直线OD 的解析式为y ＝32x ①当BC 为边时，设P （x ，－12x ＋3）i ）如图2，∵B （4，2），C （0，3），∴Q （x －4，－12x ＋4） ∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋4＝32(x －4)，∴x ＝5∴P 1（5，12） ···································································· 9分 ii ）如图3，则Q （x ＋4，－12x ＋2）∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋2＝32(x ＋4)，∴x ＝－2∴P 2（－2，4） ·································································································· 10分②当BC 为对角线时，如图4，设P （a ，－12a ＋3），Q （b ，32b ），则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4－12a ＋3＋32b ＝5 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2 ∴P 3（2，2） ······································································································ 11分 综上，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能成为平行四边形，点P 的坐标为：P 1（5，12），P 2（－2，4），P 3（2，2） ··························································· 12分3、如图，抛物线y ＝13x 2－mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l ． （1）求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积为3，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标（使用图2）．解：（1）∵抛物线与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l∴⎩⎨⎧n ＝－1－－m 2×13＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23n ＝－1∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1 ·························· 2分 令13x 2－23x －1＝0，得：x 1＝－1，x 2＝3∴A （－1，0），B （3，0） ·········································· 4分（2）设在x 轴下方的抛物线上存在点D （x ，13x 2－23x －1）（0＜x ＜3），使四边形ABDC 的面积为3，过D 作DH ⊥AB 轴于H则S 四边形ABDC ＝S △AOC ＋S 梯形OCDH ＋S △BHD ＝12×1×1＋12[1－(13x 2－23x －1)]＋12(3－x )[－(13x 2－23x －1)]＝－12x 2＋32x ＋2由－12x 2＋32x ＋2＝3，解得：x 1＝1，x 2＝2当x ＝1时，13x 2－23x －1＝43；当x ＝2时，13x 2－23x －1＝－1图1图2∴D 1（1，43），D 2（2，－1） ·············································································· 8分 （3）①当AB 为边时，只要PQ ∥AB ，且PQ ＝AB ＝4即可又知点Q 在y 轴上，所以点P 的横坐标为4或－4，这时，符合条件的点P 有两个当x ＝－4时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝53∴P 1（－4，7），P 2（4，53） ············································································· 10分②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 所以点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个 当x ＝2时，y ＝－1 ∴P 3（2，－1）综上，满足条件的点P 有三个，其坐标分别为：P 1（－4，7），P 2（4，53），P 3（2，－1） ···················· 12分4．已知抛物线y ＝12x 2－mx ＋2m －72．（1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．解：（1）∵y ＝12x 2－mx ＋2m －72∴△＝(－m )2－4×12×(2m －72)＝m 2－4m ＋7＝(m －2)2＋3＞0 ∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点 （2）①∵抛物线的对称轴为直线x ＝3∴－－m2×12＝3，∴m ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－3x ＋52＝12(x －3)2－2 ∴顶点C 坐标为（3，－2）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝12x 2－3x ＋52得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7y 2＝6 ∴A （1，0）∵当x ＝3时，y ＝x －1＝3－1＝2，∴D （3，2）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，抛物线与x 轴的另一交点为P 则E （3，0），P （5，0）∴AE ＝PE ＝DE ＝CE ＝2，又DC ⊥AP ∴四边形ACPD 是正方形 ∴点P （5，0）即为所求②（Ⅰ）设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3＋n∴M （3＋n ，2＋n ），N （3＋n ，12n 2－2）∵D （3，2），C （3，－2），∴DC ＝4i ）当M 在N 上方时，MN ＝2＋n －(12n 2－2)＝－12n 2＋n ＋4∵MN ＝DC ，∴－12n 2＋n ＋4＝4 解得n 1＝0（舍去），n 2＝2∴直线CD 向右平移2个单位能使得四边形CDMN 是平行四边形ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2＋n )＝12n 2－n －4∵NM ＝DC ，∴12n 2－n －4＝4解得n 1＝1－17（舍去），n 2＝1＋17∴直线CD 向右平移(1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形（Ⅱ）设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3－n∴M （3－n ，2－n ），N （3－n ，12n 2－2）i ）当M 在N 上方时，MN ＝2－n －(12n 2－2)＝－12n 2－n ＋4∵MN ＝DC ，∴－12n 2－n ＋4＝4解得n 1＝0（舍去），n 2＝－2（舍去）ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2－n )＝12n 2＋n －4∵NM ＝DC ，∴12n 2＋n －4＝4解得n 1＝－1＋17，n 2＝－1－17（舍去）∴直线CD 向左平移(－1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形综上所述，直线CD 向右平移2或(1＋17)个单位或向左平移(－1＋17)个单位，能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形。
初三数学二次函数专题平行四边形存在性问题-
【详解】
解：（1）由题意得抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
∴△BD B 是等腰直角三角形，
∴yD = |BB |，
∴ = （t-1），
解得t=3，
∴B （3，0），
∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B 右边，则P在x轴上方，且CP∥B Q，
∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B 左边，
当B Q为边时，则CP∥B Q，
此时yP=yC=3，P点在y1上，
当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．Байду номын сангаас
九年级数学抛物线中平行四边形存在性问题习题
抛物线中平行四边形存在性问题习题1.如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．2.（2019·内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．3.（2019·广西中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.4.（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；5.（2019·四川中考真题）如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线③过点A作AM BCAM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．。
中考数学专题复习 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题
专题二二次函数背景下的平行四边形的存在性问题知识梳理平行四边形的存在性问题是分类讨论中的一大难点。
此类题目多在直角坐标平面内，辅以二次函数为背景.一般会根据两个或者三个定点,在某个特定的位置上找另两个顶点或者第四个顶点，这样的顶点往往不止一个,需要仔细考虑解题策略,如:若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线.如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点的位置，否则在分类时就容易漏解.【典型例题】【例1】如图.抛物线y= ax2 +bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)、B (4，0)，∠OCA=∠OBC.(1)求抛物线的解析式;(2)在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.[思路分析]本题在平行四边形分类讨论中已经有三个点是定点,则第四个顶点可利用平行四边形两组对边分别平行的方法去找，AC，AB，BC中任意两边可作为平行四边形的邻边，分别作这两邻边的平行线，它们的交点就是所求的平行四边形的第四个顶点.解：当CA和CB为平行四边形的邻边时，M在第四象限，BH=AO=1,M,=−2所以M3(5, −2)综上所述:M点的坐标为M1(3，2)或M2(−3，2)或M3(5， −2).[点评]M1，M2的坐标相对易求得，而M3的坐标利用平行四边形的性质:对角顶点到对角线距离相等或者三角形全等求得M3的坐标.【例2】如图，抛物线y=ax2+ 2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上)，cot∠OCA = 3.(1)求抛物线的解析式;(2)平行于x轴的直线l与抛物线交于点E, F(点F在点E的左边)，如果四边形OBFE是平行四边形,求点E的坐标.[思路分析]由题意得BO不可能是平行四边形的对角线,所以只可能OB = EF =3,又因为EF被对称轴平分,根据对称轴的方程便能求得点E的坐标[点评]本题借助于抛物线的一条重要性质：抛物线关于对称轴对称.因为EF // AB，所以E，F关于对称轴对称,同时线段EF被对称轴垂直平分.【例3】如图,抛物线y= ax2+ bx +3与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，tan∠OCA =1 3S△ABC = 6.(1)求点B的坐标;解：(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上,如果A, C, E, F 构成平行四边形,写出点E 的坐标。
二次函数平行四边形存在性问题例题.doc
二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9 小题）1．如图，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣ 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）．（ 1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（ 2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（ 3）试探究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y轴的交点分别为 A、 B 两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x 轴交于 F、 N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q到 E、N 两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y轴的交点分别为 A、 B，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H 落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT 上一点，直接写出 |QA ﹣ QO|的取值范围．v1.0可编辑可修改5．如图，Rt △OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x 轴重合，∠OAB=90°， OA=4，AB=2，把 Rt △OAB绕点 O逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、N四点构成以 OC为一边的平行四边形若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△ BEC面积最大时，请求v1.0可编辑可修改出点 E 的坐标和△ BEC面积的最大值（ 3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．如图，抛物线 y=ax +bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4，0）、C（﹣垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F 点对称，以 G为圆心，GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；（3）过 D点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△ DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取 M、 N 两点，并使 D、 H、 M、 N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1），与抛物线y= x2相交于 B、C 两4第4页（共 29页）点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（ m． n）（m＜0），过点 E（0．﹣ 1）的直线 l ∥ x 轴， BR⊥l 于 R，CS⊥ l 于 S，连接 FR、 FS．试判断△ RFS的形状，并说明理由．9．抛物线 y=x2 +bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E 同时从原点O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D的速度是每秒 2 个单位长度．（ 1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（ 2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）问几秒钟时， B、D、E 在同一条直线上2017 年 05 月 03 日 99 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9 小题）1．（2016? 安顺）如图，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax +bx+c（a≠0），∴，解得．∴抛物线的解析式为： y= x2﹣2x﹣；v1.0可编辑可修改（ 2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接 BC，如图 1 所示，∵ B（ 5， 0），C（0，﹣），∴设直线 BC的解析式为 y=kx+b（ k≠ 0），∴，解得，∴直线 BC的解析式为 y= x﹣，当x=2 时， y=1﹣ =﹣，∴ P（ 2，﹣）；（3）存在．如图 2 所示，①当点 N 在 x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴ N（4，﹣）；7第7页（共 29页）v1.0可编辑可修改②当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2D⊥x 轴于点 D，在△ AN2D 与△ M2CO中，∴△ AN2D≌△ M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣ = ，解得 x=2+ 或 x=2﹣，∴ N2（2+ ，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，﹣），（ 2+ ，）或（2﹣，）．2．（ 2016? 十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点B（点 B 在点 A 右侧）．（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（3）试探究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣ 3x﹣3=0， x=﹣1 ∴ A（﹣ 1，0）当x=0 时， y=﹣ 3，∴ C（ 0，﹣ 3），∴∴，抛物线的解析式是： y=x2﹣ 2x﹣3．当y=0 时， x2﹣2x﹣3=0，解得： x1=﹣1，x2=3∴ B（ 3， 0）．（2）由（ 1）知 B（ 3， 0），C（0，﹣ 3）直线 BC的解析式是： y=x﹣3，设 M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则 E（ x， x2﹣2x﹣3）∴ ME=（x﹣3）﹣（ x2﹣ 2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（ x﹣）2+ ；∴当 x= 时， ME的最大值为．（3）答：不存在．由（ 2）知 ME取最大值时 ME= ，E（，﹣），M（，﹣）∴ MF= ，BF=OB﹣ OF= ．设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥ MF，BF∥ PM．∴ P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当 P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴ P1不在抛物线上．当 P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴ P2不在抛物线上．综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形．3．（ 2016? 义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x 轴交于 F、 N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q到 E、N 两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接 CH由轴对称得 CH⊥ AB，BH=BO，CH=CO∴在△ CHA中由勾股定理，得22 2AC=CH+AH∵直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为A、B 两点∴当 x=0 时， y=6，当 y=0 时， x=8∴B（ 0， 6），A（8，0）∴OB=6， OA=8，在 Rt△ AOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a，0），∴ OC=a∴CH=a， AH=4， AC=8﹣a，在 Rt△ AHC中，由勾股定理，得（ 8﹣ a）2=a2 +42解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c，由题意，得解得：∴抛物线的解析式为：∴（ 2）由（ 1）的结论，得D（）∴DF=v1.0可编辑可修改设 BC的解析式为： y=kx+b，则有解得直线 BC的解析式为： y=﹣2x+6设存在点 P 使四边形 ODAP是平行四边形， P（ m， n）作PE⊥ OA于 E， HD交 OA于 F．∴∠ PEO=∠AFD=90°， PO=DA，PO∥ DA∴∠ POE=∠DAF∴△ OPE≌△ ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当x= 时，y=﹣2×+6=1≠∴点 P 不再直线 BC上，即直线 BC上不存在满足条件的点P．（ 3）由题意得，平移后的解析式为：∴对称轴为： x=2，当x=0 时， y=﹣当y=0 时， 0=解得：∵ F 在 N的左边v1.0可编辑可修改F（，0），E（0，﹣），N（，0）连接 EF 交 x=2 于 Q，设 EF的解析式为： y=kx+b，则有解得：∴EF的解析式为： y=﹣ x﹣∴解得：∴ Q（ 2，）．4．（ 2016? 深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B，将∠ OBA对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT 上一点，直接写出 |QA ﹣ QO|的取值范围．【解答】解：（1）点 C 的坐标为（ 3，0）．（1 分）∵点 A、B 的坐标分别为 A（8，0），B（0，6），∴可设过 A、B、 C 三点的抛物线的解析式为y=a（ x﹣ 3）（x﹣8）．将x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为．（3 分）（ 2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为 G．直线 BC的解析式为 y=﹣2x+分）设点 P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6）．解法一：如图，作OP∥ AD交直线 BC于点 P，连接 AP，作 PM⊥x 轴于点 M．∵OP∥AD，∴∠ POM=∠GAD，tan ∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点 P 的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边 OP与 AD平行但不相等，∴直线 BC上不存在符合条件的点 P（ 6 分）v1.0可编辑可修改解法二：如图，取OA的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PN⊥x 轴于点N．则∠ PEO=∠DEA， PE=DE．可得△ PEN≌△ DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=， ON=OE﹣NE= ， NP=DG= ．∴点 P 的坐标为．（5分）∵ x=时，，∴点 P 不在直线 BC上．∴直线 BC上不存在符合条件的点P．（6 分）（ 3） |QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当 Q在 OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点 K 处），此时 OK=AK，则 |QA ﹣ QO|=0，当 Q在 AH的延长线与直线BC交点时，此时 |QA﹣ QO|最大，直线 AH的解析式为： y=﹣x+6，直线 BC的解析式为： y=﹣ 2x+6，联立可得：交点为（ 0，6），∴OQ=6， AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是： 0≤|QA﹣QO|≤ 4．v1.0可编辑可修改5．（2016? 山西模拟）如图， Rt △OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O逆时针旋转90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（ 3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、N四点构成以 OC为一边的平行四边形若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为 OA=4， AB=2，把△ AOB绕点 O逆时针旋转 90°，可以确定点 C 的坐标为（ 2， 4）；由图可知点 A 的坐标为（ 4， 0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2 +bx 把（ 2，4），（ 4， 0）代入，v1.0可编辑可修改得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（ 2）四边形 PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点 P 的坐标为 P（a，﹣ a2 +4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣ 2a，PE=MF=﹣a2+4a，2 2则矩形 PEFM的周长 L=2[4 ﹣2a+（﹣ a +4a）]= ﹣2（a﹣ 1） +10，（3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点）、C、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形，理由如下：∵ y=﹣x2+4x=﹣（ x﹣2）2 +4 可知顶点坐标（ 2，4），∴知道 C 点正好是顶点坐标，知道 C 点到 x 轴的距离为 4 个单位长度，过点 C 作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过 y=﹣ 4 作 x 轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N 点坐标所以有﹣ x2+4x=﹣4 解得 x1=2+，x2=2﹣∴ N点坐标为 N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．v1.0可编辑可修改6．（2015? 葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，2抛物线 y=ax + x+c 经过 B、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△ BEC面积最大时，请求出点 E 的坐标和△ BEC面积的最大值（3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，∴点 B 的坐标是（ 0， 3），点 C 的坐标是（ 4， 0），∵抛物线 y=ax2 +x+c 经过 B、 C 两点，∴解得∴y=﹣ x2+ x+3．（ 2）如图 1，过点 E 作 y 轴的平行线 EF 交直线 BC于点 M，EF 交 x 轴于点 F，v1.0可编辑可修改，∵点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，∴设点 E 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则点 M的坐标是（ x，﹣x+3），∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣ x2+ x）× 4 =﹣ x2+3x=﹣（ x﹣ 2）2+3，∴当 x=2 时，即点 E 的坐标是（ 2， 3）时，△ BEC的面积最大，最大面积是 3．（ 3）在抛物线上存在点P，使得以 P、 Q、 A、 M为顶点的四边形是平行四边形．①如图 2，，∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∴ AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＜ 0，∴点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣）．②如图 3，，∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∴ AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＞ 0，∴点 P 的坐标是（ 5，﹣）．③如图 4，，由（ 2），可得点 M的横坐标是 2，v1.0可编辑可修改∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得，∴点 P 的坐标是（﹣ 1，）．综上，可得在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣）、（5，﹣）、（﹣ 1，）．7．（2015? 梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2 与坐标轴交于A、B、C三点，其中B （4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作 DE⊥ x 轴，垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F 点对称，以 G为圆心，GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；（3）过 D点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△ DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取 M、 N 两点，并使 D、 H、 M、 N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．v1.0可编辑可修改【解答】解：（1）∵ B，C两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上，∴，解得：．∴所求的抛物线为： y= ．（ 2）抛物线 y= ，则点 A 的坐标为（ 0，2），设直线 AB的解析式为 y=kx+b，∴，解得：．∴直线 AB的解析式为 y=﹣x+2，设 F 点的坐标为（ x，x+2），则 D点的坐标为（ x，），∵ G点与 D点关于 F 点对称，∴ G点的坐标为（ x，），若以 G为圆心， GD为半径作圆，使得⊙ G与其中一条坐标轴相切，①若⊙ G与 x 轴相切则必须由 DG=GE，即﹣ x2+ x+2﹣（）= ，解得： x= ，x=4（舍去）；②若⊙ G与 y 轴相切则必须由DG=OE，v1.0可编辑可修改即解得： x=2， x=0（舍去）．综上，以 G为圆心， GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时， G点的横坐标为 2 或．（ 3） M点的横坐标为 2± 2，N点的横坐标为± 2．8．（2015? 资阳）已知直线y=kx+b（ k≠ 0）过点 F（ 0， 1），与抛物线 y=x2相交于 B、C 两点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（ m． n）（m＜0），过点 E（0．﹣ 1）的直线 l ∥ x 轴， BR⊥l于R，CS⊥ l 于 S，连接 FR、 FS．试判断△ RFS的形状，并说明理由．【解答】解：（1）因为点 C 在抛物线上，所以 C（ 1，），又∵直线 BC过 C、F 两点，v1.0可编辑可修改故得方程组：解之，得，所以直线 BC的解析式为： y=﹣x+1；（ 2）要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图 1 所示，设 M（x，﹣x+1），则 D（ x，x2），∵MD∥y 轴，∴MD=﹣ x+1﹣ x2，由MD=OF，可得 | ﹣ x+1﹣ x2 |=1 ，①当﹣ x+1﹣ x2=1 时，解得 x1=0（舍）或 x1 =﹣3，所以 M（﹣ 3，），②当﹣ x+1﹣ x2，=﹣1 时，解得， x= ，所以 M（，）或 M（，），综上所述，存在这样的点 M，使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（﹣ 3，）或（，）或（，）；（ 3）过点 F 作 FT⊥ BR于点 T，如图 2 所示，∵点 B（m，n）在抛物线上，2∴ m=4n，在Rt△ BTF中，BF=v1.0可编辑可修改===，∵n＞ 0，∴ BF=n+1，又∵ BR=n+1，∴ BF=BR．∴∠ BRF=∠BFR，又∵ BR⊥ l ， EF⊥l ，∴ BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠ RFE=∠BFR，同理可得∠ EFS=∠CFS，∴∠ RFS= ∠BFC=90°，∴△ RFS是直角三角形．v1.0可编辑可修改9．（2015? 百色）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2）， B（ 3， 2）两点，若两动点D、E 同时从原点 O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度．（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时， B、D、E 在同一条直线上【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为： y=x2﹣3x+2，令y=0，则 x2﹣3x+2=0，解得： x1=1，x2 =2，∴抛物线与 x 轴的交点坐标是（ 1， 0），（2，0）；v1.0可编辑可修改（2）存在，由已知条件得 AB∥x 轴，∴ AB∥CD，∴当 AB=CD时，以 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形，设 D（m，0），当 C（1，0）时，则 CD=m﹣1，∴ m﹣ 1=3，∴ m=4，当 C（2，0）时，则 CD=m﹣2，∴ m﹣ 2=3，∴ m=5，∴ D（ 5， 0），综上所述：当 D（ 4， 0）或（ 5，0）时，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形；（3）设 t 秒钟时， B、D、E 在同一条直线上，则 OE=t，OD=2t，∴E（ 0， t ），D（2t ， 0），设直线 BD的解析式为： y=kx+b，∴，解得 k=﹣或k=（不合题意舍去），∴当 k=﹣，t=，∴点 D、E 运动秒钟时，B、D、E在同一条直线上．29第29 页（共 29页）。
专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题【考点精讲】(解析版)
若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点E的坐标.以其中一个已知点(如:点B)作为起点，列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可.题型一：平行四边形存在性问题【例1】（2021·湖南）将抛物线2(0)y ax a=≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k=-+．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知(3,0)A-，点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD AB⊥，垂足为D，PD交AC于点E．作PF AC⊥，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题知识导航题型精讲方法技巧得以点A ，P ，C ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2）PEF 的面积最大值为8164；（3）点P 的坐标为()4,5--或2,5或()2,3-． 【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线H 的表达式为()214y a x =++，然后把点A 的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得()0,3C ，则有△AOC 是等腰直角三角形，△CAO =△ACO =45°，进而可得直线AC 的解析式为3yx ，设点()2,23P a a a --+，则(),3E a a +，然后可得△AED和△PEF 都为等腰直角三角形，过点F 作FT △PD 于点T ，则有12FT PE =，由三角形面积公式可得21124PEFSPE FT PE =⋅=，要使面积最大则PE 的值为最大即可，最后问题可求解； （3）由题意可知当以点A 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，则可分△当以AC 为平行四边形的边时，△当以AC 为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线H 的表达式为()214y a x =++，则把点()30A -,代入得：()23140a -++=，解得：1a =-，△抛物线H 的表达式为()214y x =-++，即为223y x x =--+； （2）由（1）可得抛物线H 的表达式为223y x x =--+，则有()0,3C ， △3OA OC ==，△△AOC 是等腰直角三角形， △△CAO =△ACO =45°， △PD AB ⊥， △△AED =△CAO =45°， △△AED =△PEF =45°， △PF AC ⊥，△△PEF 是等腰直角三角形，过点F 作FT △PD 于点T ，如图所示：△12FT PE =， △21124PEFSPE FT PE =⋅=， △要使面积最大则PE 的值为最大即可，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入点A 、C 的坐标得：303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩，△直线AC 的解析式为3yx ，设点()2,23P a a a --+，则(),3E a a +，△22239233324PE a a a a a a ⎛⎫=--+--=--=-++ ⎪⎝⎭， △-1＜0，开口向下，△当32a =-时，PE 有最大值，即为94PE =，△△PEF 面积的最大值为219814464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭；（3）存在以点A 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得()0,3C ，()30A -,，△CAO =△ACO =45°，抛物线的对称轴为直线1x =-， △32AC =，△CAO =△ADQ =45°，△当以AC 为平行四边形的边时，如图所示：过点P 作PG △l 于点G ， △四边形APQC 是平行四边形， △32PQ AC ==，AC △PQ ， △△ADQ =△PQG =45°， △△PQG 是等腰直角三角形， △3PG QG ==， △点P 的横坐标为-4， △()4,5P --；△当以AC 为平行四边形的边时，如图所示：同理△可得点P的横坐标为2，P；△2,5△当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：△四边形AQCP是平行四边形，△,AN CN PN QN ==，设点()()2,23,1,P m m m Q b --+-，△由中点坐标公式可得：13m -=-， △2m =-， △()2,3P -；综上所述：当以点A 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为()4,5--或2,5或()2,3-．题型二：菱形存在性问题【例2】（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ． △当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；△是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）△32m =；△不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）△设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解； △分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）△抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），△10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，△b =2-，c =3-；（2）△由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --， 设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ）， △0<m <3，△PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214，△-1<0， △当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； △△抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3， △C （0，-3）， △OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ）， △PQ △OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3， 当点Q 在点P 上方时，△PQ =2333m m -++=，即230m m -+=， △()30m m -=， 解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC =232OC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时， 若点Q 在第三象限，如图，△△COQ =45°，根据菱形的性质△COQ =△POQ =45°，则点P 与点A 重合， 此时OA =1≠OC =3，菱形不存在， 若点Q 在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形． 题型三：矩形存在性问题【例3】（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24y ax bx =+-交x 轴于()1,0A -，()4,0B 两点，交y 轴于点C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接PB ，过点C 作//CQ BP 交x 轴于点Q ，连接PQ ，求PBQ △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线24y ax bx =+-向右平移经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，得到新抛物线2111y a x b x c =++，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F ，使得以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点()111,P x y 、()222,P x y ，则线段12PP 的中点0P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭． 【答案】（1）该抛物线的表达式为：2y 34x x =--；（2）PBQ △面积最大值为8，此时P 点的坐标为：P （2，-6）；（3）()2,35F --+或()2,35F ---或()6,4F -或10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）将两个点分别代入抛物线可得关于a ，b 的二元一次方程组，可解得a ，b ； （2）设出P 、Q 两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；（3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E 、F ，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案． 【详解】解：（1）将A （-1,0），B （4,0）代入抛物线24y ax bx =+-可得：4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：13a b =⎧⎨=-⎩，△该抛物线的表达式为：234y x x =--； （2）过点P 作PN △x 轴于点N ，如图所示：设()11,P x y 且11(04,0)x y <<<，()2,0Q x ， △2OQ x =，114,BN x PN y =-=-，4OC =， △//CQ BP ， △COQ PNB ∽，△OQ OCBN PN =，即21144x x y =--，△121416x x y -=， △114164x BQ y -=-， △()11111422416BPQy SB P y x y Q ⎛⎫=⋅=⨯-⨯- ⎪⎝⎭-， △点()11,P x y 在抛物线上， △211134y x x =--， △21128BPQSx x =-+，()104x <<，根据抛物线的基本性质：对称轴为()182222b x a =-=-=⨯-在104x <<内， △BPQS在12x =取得最大值，代入得：8BPQS =，当12x =时，2123246y =-⨯-=-，△PBQ △面积的最大值为8，此时点P 的坐标为：()2,6P -．（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为234y x x =--，将抛物线向右平移经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，可知抛物线向右平移了32个单位长度， △可得：2333422y x x ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得平移后的抛物线：21164y x x =-+， 对称轴为：63221b x a -=-=-=⨯， 由（2）得：A （-1，0），()26P -，，点E 在对称轴上， △设E （3，e ），点F （m ，n ），矩形AEPF ，当以AP 为矩形的对角线时，则AP 的中点坐标为：1206,22-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF 的中点坐标为：3,22m e n++⎛⎫⎪⎝⎭，根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：123220622m e n-++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得：26m e n =-⎧⎨+=-⎩①②△矩形AEPF ，△AEF 为直角三角形，△222AE AF EF +=，△()()222130AE e =--+-，()()()22210AF m n =--+-，()()2223EF m n e =-+-，代入△化简可得：4en =，△△将△代入△可得：()64n n --=，化简得：2640n n ++=，根据判别式得：22464140b ac -=-⨯⨯>，△135n =-+，235n =--△()2,35F --+或()2,35F ---；当以AP 为矩形的边时，如图所示：过点P 分别作PG △x 轴于点G ，PH △x 轴，过点F 作PH 的垂线，垂足为H ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ，如图，△3,6AG PG ==，90AGP EMA FHP ∠=∠=∠=︒，AM =4，△tan 2GP GAP AG ∠==， △四边形APFE 是矩形， △90EAP APF ∠=∠=︒，AE =PF ，△90GAP APG GAP EAM APG GPF FPH GPF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，△EAM APG FPH ∠=∠=∠，△()AME PHF AAS ≌，△4,AM PH EM FH ===，△90EAM AEM ∠+∠=︒，△AEM GAP ∠=∠，△tan tan 2AEM GAP ∠=∠=，△2tan AM EM AEM==∠， △FH =2，△点()2,6P -，△()6,4F -，当以AP 为矩形的边时，如图所示：同理可得10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上所述：以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，()2,35F --+或()2,35F ---或()6,4F -或10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭ 题型四：正方形存在性问题【例4】（2020•牡丹江）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程x 2﹣7x ﹣18＝0的一个根，OB =12OA ．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，OE ＝6，反比例函数y =k x 图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD △OE ，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据OB =12OA 可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图象上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可．【解析】（1）△线段 的长是方程 的一个根，解得：x ＝9或﹣2（舍），而点A 在x 轴正半轴，△A （9，0），△OB =12OA ，△B （0，92）， （2）△OE ＝6，△E （﹣6，0），设直线AB 的表达式为y ＝kx +b ，将点A 和B 的坐标代入，得：{0=9k +b 92=b ，解得：{k =−12b =92， △AB 的表达式为：y =−12x +92，△点C 是EF 的中点，△点C 的横坐标为﹣3，代入AB 中，y ＝6，则C （﹣3，6），△反比例函数y =k x 经过点C ，则k ＝﹣3×6＝﹣18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，△M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y ＝x +3上，联立：{y =x +3y =−12x +92，解得：{x =1y =4， △M （1，4），△P 3（1，0），同理可得：P 2（9，﹣12），P 4（﹣7，4），P 5（﹣15，0）．故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．1．（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即提分训练可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【解析】（1）△抛物线的顶点为（1，﹣4），△设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，△a＝1，△抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，△x＝﹣1或x＝3，△B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，△C（0，﹣3），△AC=√10，设点E（0，m），则AE=√m2+1，CE＝|m+3|，△△ACE是等腰三角形，△△当AC＝AE时，√10=√m2+1，△m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），△E（0，3），△当AC＝CE时，√10=|m+3|，△m＝﹣3±√10，△E（0，﹣3+√10）或（0，﹣3−√10），△当AE＝CE时，√m2+1=|m+3|，△m=−4，3△E（0，−4），3）；即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+√10）、（0，﹣3−√10）、（0，−43（3）如图，存在，△D（1，﹣4），△将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，△点Q 的纵坐标为4，设Q （t ，4），将点Q 的坐标代入抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3中得，t 2﹣2t ﹣3＝4，△t ＝1+2√2或t ＝1﹣2√2，△Q （1+2√2，4）或（1﹣2√2，4），分别过点D ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，△抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的右边的交点B 的坐标为（3，0），且D （1，﹣4）， △FB ＝PG ＝3﹣1＝2，△点P 的横坐标为（1+2√2）﹣2＝﹣1+2√2或（1﹣2√2）﹣2＝﹣1﹣2√2，即P （﹣1+2√2，0）、Q （1+2√2，4）或P （﹣1﹣2√2，0）、Q （1﹣2√2，4）．2．（2021·广东）已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，且对任意实数x ，都有22412286x ax bx c x x -≤++≤-+．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）存在，()1,0或()5,0或()72,0-或()27,0-- 【分析】（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，可得函数2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，再结合2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-得出2b a =-，3c a =-，即可得到223y ax ax a =--，再根据242123x ax x a a --≤-，可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方，可得0a >，242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根，再根据0∆=，可解得a 的值，即可求出二次函数解析式．（2）结合（1）求出点C 的坐标，设()2,23,(,0)M m m m N n --，△当AC 为对角线时，△当AM 为对角线时，△当AN 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，当3x =时，24122860x x x -=-+=，△2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，又△2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-，△029303a b c b a a b c c a ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩， △223y ax ax a =--，即242123x ax x a a --≤-，即可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方△0a >，∴242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根∴0∆=△2(24)4(123)0a a a +--=，△2(1)0a -=，△1a =，△2b =-，3c =-，△223y x x =--．（2）由（1）可知：(3,0)A ，(0,3)C -，设()2,23,(,0)M m m m N n --， △当AC 为对角线时，A C M N A Cn N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ △2300(3)230m n m m +=+⎧⎨+-=--+⎩，解得10m =（舍），22m =， △1n =，即1(1,0)N ．△当AM 为对角线时，A M C N A MC N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ △23002330m n m m +=+⎧⎨+--=-+⎩，解得10m =（舍）22m =， △5n =，即2(5,0)N ．△当AN 为对角线时，A N C M AN C M x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩△23000323n m m m +=+⎧⎨+=-+--⎩，解得1217,17m m =+=-， △72n =-或27n =--，△43(72,0),(27,0)N N ---．综上所述：N 点坐标为()1,0或()5,0或()72,0-或()27,0--． 3．（2021·内蒙古）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2y x 2x 3=-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆的周长最小值为1032+；(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(4，17)或(4，17-)或(2-，314+)或(2-，314-)【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【详解】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中， △093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩， △二次函数的表达式为：2y x 2x 3=-++；(2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ，△BP +CP =AP +CP ， BCP C BP CP BC PA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ， 此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ， △0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩， △直线AC 的解析式为：3y x =-+，二次函数的对称轴为12b x a =-=，代入3y x =-+，得到2y =， △P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC ； (3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )， 分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点， 由菱形对角线互相垂直知：1AC PQ k k ，△30103111mt nn tm⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221mnt=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，同理有：310030312mt nt nm⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得417317mnt=⎧⎪=⎨⎪=+⎩或417317mnt=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，△P点坐标为(1，317+)或(1，317-)，对应的Q点坐标为(4，17)或(4，17-)；情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，()3,0,(0,3)A C设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，同理有：3010303131mn tn tm⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得231414mnt=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩或231414mnt=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，△P点坐标为(1，14)或(1，14-)，对应的Q点坐标为(-2，314+)或(-2，314-)；纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，17)或(4，17-)或(2-，314+)或(2-，314-)．4．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）△P AB 面积S =12×PH ×（x B ﹣x A ）=12（x ﹣1﹣x 2﹣4x +1）×（0+3）=−32x 2−92x ，即可求解；（3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{−4=9−3b +c c =−1，解得{b =4c =−1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+4x ﹣1；（2）设直线AB 的表达式为：y ＝kx +t ，则{−4=−3k +t t =−1，解得{k =1t =−1，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣1， 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P （x ，x 2+4x ﹣1），则H （x ，x ﹣1），△P AB 面积S =12×PH ×（x B ﹣x A ）=12（x ﹣1﹣x 2﹣4x +1）×（0+3）=−32x 2−92x ， △−32＜0，故S 有最大值，当x =−32时，S 的最大值为278；（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2+4x ﹣1＝（x +2）2﹣5， 则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2﹣5，联立上述两式并解得：{x =−1y =−4，故点C （﹣1，﹣4）；设点D （﹣2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）； △当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即﹣2+1＝s 且m +3＝t △或﹣2﹣1＝s 且m ﹣3＝t △，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2+（t +1）2＝12+32△， 当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22+（m +1）2＝12+32△， 联立△△并解得：s ＝﹣1，t ＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E （﹣1，3）； 联立△△并解得：s ＝1，t ＝﹣4±√6，故点E （1，﹣4+√6）或（1，﹣4−√6）； △当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：﹣1＝s ﹣2且﹣4﹣1＝m +t △， 此时，BD ＝BE ，即22+（m +1）2＝s 2+（t +1）2△， 联立△△并解得：s ＝1，t ＝﹣3， 故点E （1，﹣3），综上，点E 的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+√6）或（﹣3，﹣4−√6）或（1，﹣3）． 5．（2021·黑龙江中考真题）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C ，D 两点之间的距离是__________；（3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ．求BCE 面积的最大值； （4）点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）215222y x x =-++；（2）22；（3）12516；（4）(7,4)或7(3,)2--或3(3,)2或(3,4)． 【分析】（1）先根据对称轴可得a 的值，再根据1OA =可得点A 的坐标，代入抛物线的解析式即可得；（2）利用抛物线的解析式分别求出点,C D 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得； （3）过点E 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设点E 的坐标为215(,2)22E t t t -++，从而可得05t <<和F 的坐标，然后根据BCE CEF BEF S S S =+△△△可得BCES关于t 的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；（4）设点P 的坐标为(2,)P m ，分△当BC 为矩形BCPQ 的边时，△当BC 为矩形BCQP 的边时，△当BC 为矩形BPCQ 的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得． 【详解】解：（1）抛物线2()20y ax x c a =++≠的对称轴为222x a=-=， 12a ∴=-，2122y x x c ∴=-++，1OA =，且点A 在x 轴负半轴上，(1,0)A ∴-，将点(1,0)A -代入2122y x x c =-++得：1202c --+=，解得52c =，则抛物线的解析式为215222y x x =-++；（2）215222y x x =-++化成顶点式为219(2)22y x =--+，则顶点D 的坐标为9(2,)2D ，当0x =时，52y =，即5(0,)2C ，则抛物线上,C D 两点之间的距离是2295(20)()2222-+-=，故答案为：22；（3）如图，过点E 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，(1,0)A -，抛物线的对称轴为2x =， (5,0)B ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点(5,0),5(0,)2C B 代入得：5052k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则直线BC 的解析式为1522y x =-+，设点E 的坐标为215(,2)22E t t t -++，则05t <<，15(,)22F t t -+，221515152()222222EF t t t t t ∴=-++--+=-+，22115115()(5)()222222BCECEFBEFSSSt t t t t t ∴=+=-++--+， 255125()4216t =--+，由二次函数的性质得：在05t <<内，当52t =时，BCES 取最大值，最大值为12516， 即BCE 面积的最大值为12516； （4）设点P 的坐标为(2,)P m ， 由题意，分以下三种情况：△当BC 为矩形BCPQ 的边时，则CP BC ⊥， 设直线CP 的解析式为2y x n =+，将点5(0,)2C 代入得：52n =， 则直线CP 的解析式为522y x =+， 将点(2,)P m 代入得：5132222m =⨯+=，即13(2,)2P ， ∴将点C 先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P ，四边形BCPQ 是矩形，∴点C 平移至点P 的方式与点B 平移至点Q 的方式相同，(5,0)B ，(52,04)Q ∴++，即(7,4)Q ；△当BC 为矩形BCQP 的边时，则BP BC ⊥， 同（4）△的方法可得：点Q 的坐标为7(3,)2Q --；△当BC 为矩形BPCQ 的对角线时，则BP CP ⊥，222CP BP BC ∴+=，即22222255(20)()(25)(0)(50)(0)22m m -+-+-+-=-+-，解得4m =或32m =-，(2,4)P ∴或3(2,)2P -，当点P 的坐标为(2,4)P 时，则将点P 先向左平移2个单位长度，再向下平移32个单位长度可得到点C ， 四边形BPCQ 是矩形，∴点P 平移至点C 的方式与点B 平移至点Q 的方式相同，3(52,0)2Q ∴--，即3(3,)2Q -；同理可得：当点P 的坐标为3(2,)2P -时，点Q 的坐标为(3,4)Q ，综上，点Q 的坐标为(7,4)或7(3,)2--或3(3,)2或(3,4)．6．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE 绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段'OE ，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'AE ，'BE ，求13''BE AE +的最小值． （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）223y x x =--+；（2）823；（3）存在，N 点的横坐标分别为：2，1-，152-+或152--． 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为2y x bx c =-++将()1,0C ，()0,3B 两点代入求得b ，c 的值即可；（2）胡不归问题，要求13''BE AE +的值，将折线化为直线，构造相似三角形将13'AE 转化为13'DE ，再利用三角形两边之和大于第三边求得13''BE AE +最值； （3）分2种情形讨论：△AB 为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N 点的坐标;△AB 为矩形的对角线，设R 为AB 的中点,RN =12AB ,利用两点距离公式求解方程可得N 点的坐标． 【详解】解：（1）△2y x bx c =-++过()1,0C ，()0,3B△103b c c -++=⎧⎨=⎩△2b =-，3c =△抛物线的解析式为：223y x x =--+（2）在OE 上取一点D ，使得13OD OE =，连接'AE ，BD△11'33OD OE OE ==对称轴3112x -+==-． △()1,0E -，1OE ='1OE OE ==，3OA = △'1'3OE OD OA OE ==，''DOE E OA ∠=∠ △''DOE E OA ∆∆∽ △1''3DE AE =△1''''3BE AE BE DE +=+当B ，'E ，D 三点在同一点直线上时，''BE DE +最小为BD ． 在Rt BOD ∆中，13OD =，3OB =△2222182333BD OB OD ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭ 即13''BE AE +最小值为823．（3）情形△如图，AB 为矩形的一条边时，联立223y y x x =⎧⎨=--+⎩得31,00x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ (3,0),3A OA ∴-=3OB =ABO ∴是等腰Rt ，45BAO ∠=︒分别过,A B 两点作AB 的垂线，交223y x x =--+于点12,N N ， 过12,N N 作1N Q y ⊥轴，2N P x ⊥轴,1245QBN PAN ∴∠=∠=︒∴ 1BN Q △,2AN P △也是等腰直角三角形设QB m =，则1N Q m =，所以1(,3)N m m -+代入223y x x =--+，解得11m =,20m =（不符题意，舍）∴1(1,4)N -同理，设OP n =，则=3PN n + ，所以2(,3)N n n -- 代入223y x x =--+，解得1n 2=,23n =-（不符题意，舍）2(2,-5)N ∴△ AB 为矩形的对角线，设R 为AB 的中点,则12RN AB =()3,0,()0,3A B -33(,)22R ∴-，223332AB =+=13222RB AB ∴==12RN AB = 32=2RN ∴ 设2(,23)N x x x --+ ，则 22223332()(2)()222x x x +++-=整理得：2(3)(1)0x x x x ++-=解得：1=0x （不符题意，舍），23x =-（不符题意，舍）， 315=2x -+ ， 415=2x --∴ 综上所述：N 点的横坐标分别为：2，1-，152-+或152--．。
2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题
2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点C，连接 BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．【解析】解：（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,∴ y＝-2/3 x2+ 4/3 x + 2，（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），尚老师数学【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！【对点法求坐标】Xp = 1/2（Xm + Xb）= 1/2（Xc + Xn）, （坐标中点公式）①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 + x）/ 2，∴ x＝﹣2，∴ M（-2，-3/10）；②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 + x）/ 2，，∴ x＝2，∴ M（2，2）；③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 + 3）/2 = x/ 2，∴ x＝4，∴ M（4，-3/10）；综上所述：M（2，2）或 M（4，-3/10）或 M（-2，-3/10）；（3）解【转化数学思想】通过转化构造出直角三角形，问题迎刃而解，作出辅助线是解题的关键！如何作辅助线？一定要结合已知条件（∠PCB＝∠BCO）！过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点．∵ BH∥OC，∴ ∠OCB＝∠HBC，又∠OCB＝∠BCP，∴ ∠PCB＝∠HBC，∴ HC＝HB，又∵ OC⊥OB，∴ HB⊥OB，故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m，过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N，在Rt△HCN 中，则 m2＝3^2 +（m﹣2）2，解得 m = 13/4 ,∴ H（3,13/4），由点 C、P 的坐标可得，设直线 CP 的解析式为：y = 5/12 x + 2 , 故有 -2/3 x2+ 4/3 x + 2 = 5/12 x + 2 ,解得 x1＝0（舍去），x2 = 11/8 ,即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。
专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结P A，PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN ＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
探究平行四边形的存在性问题——以2016_年安顺市中考的一道抛物线题为例
探究平行四边形的存在性问题以２０１６年安顺市中考的一道抛物线题为例刘利果(河北省邢台市沙河市第三中学ꎬ河北邢台０５４１００)摘㊀要:抛物线中的动点问题ꎬ尤其是与存在性有关的动点问题ꎬ是中考的一个难点.文章以２０１６年贵州省安顺市的一道中考题为例ꎬ借助网络画板ꎬ从试验探究㊁思路分析㊁一题多解的角度来进行深度探究.关键词:抛物线ꎻ动点ꎻ平行四边形ꎻ存在性ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００９２－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:刘利果(１９８１.１０－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ本科ꎬ中小学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀抛物线中平行四边形的存在性问题ꎬ是中考的一个难点ꎬ也是热点ꎬ常常以压轴题的形式出现.如何突破这一类试题呢?笔者以２０１６年安顺市一道中考题为例进行探究.１试题呈现抛物线经过Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(５ꎬ０)ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷三点.(１)求抛物线的解析式.(２)在抛物线的对称轴上有一点Ｐꎬ使ＰＡ＋ＰＣ的值最小ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)若Ｍ为ｘ轴上一动点ꎬ在抛物线上是否存在一点Ｎꎬ使ＡꎬＣꎬＭꎬＮ四点构成的四边形为平行四边形?若存在ꎬ求点Ｎ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由[１].２思路分析第(１)(２)问略.第(３)问:①如图１所示ꎬＡＣ为对角线时ꎬ取ＡＣ中点Ｏᶄꎬ连接Ｍ４Ｏᶄꎬ交抛物线于点Ｎ４ꎻ如图２所示ꎬ若ＡＣ为边ꎬ平移ＡＣ得到另外三种情况.过四边形顶点作横平坚直线(平行于坐标轴)构造全等三角形解决问题.图１㊀ＡＣ为对角线②设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬ分别以ＡＣꎬＡＭꎬＡＮ为对角线ꎬ分三种情况根据平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等ꎬ纵坐标之和也相等ꎬ表示出点Ｎ的坐标ꎬ代入抛物线解析式求解即可.③如图３所示ꎬ从路径(轨迹)角度分析.假设以ＡꎬＣꎬＭꎬＮ为顶点的平行四边形存在.在ｘ轴上任取一动点Ｍꎬ把Ｍ看作定点ꎬ然后分别以ＡＭꎬＡＣꎬＣＭ为对角线作出三个平行四边形ꎬ设第四个顶点分别为Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３.若拖动动点Ｍ可以发现ꎬ动点Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３运动的路径均为与ｘ轴平行的直线.易得Ｎ１ꎬＮ３到ｘ轴的距离等于ＯＣ＝５２ꎬ到ｘ轴的距离为２９５２的直线有两条.易知ꎬ点Ｎ１的路径为直线ｙ＝５２ꎬ点Ｎ２ꎬＮ３的路径为直线ｙ＝－５２.所以求点Ｎ的坐标就可以转化为由抛物线的解析式与点Ｎ的路径解析式组成的方程组的解的问题.图２㊀ＡＣ为边３一题多解解㊀(１)ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２.(２)点Ｐ的坐标是２ꎬ－３２æèçöø÷.过程略.(３)解法１㊀存在点Ｎꎬ使ＡꎬＣꎬＭꎬＮ四点为顶点构成的四边形为平行四边形.①当ＡＣ为边时ꎬ如图２所示ꎬ若点Ｎ在ｘ轴下方.图３㊀让Ｍ运动又对称轴为直线ｘ＝２ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ所以点Ｎ１４ꎬ－５２æèçöø÷.当点Ｎ在ｘ轴上方时ꎬ过点Ｎ２作Ｎ２Ｄʅｘ轴于点Ｄ.ȵＡＣ＝Ｍ２Ｎ２ꎬøＣＡＯ＝øＮ２Ｍ２ＤꎬøＣＯＡ＝øＮ２ＤＭ２ꎬʑәＡＯＣ≅әＭ２ＤＮ２ꎬʑＮ２Ｄ＝ＯＣ＝５２ꎬ即Ｎ２点的纵坐标为５２.ʑ１２ｘ２－２ｘ－５２＝５２ꎬ解得ｘ＝２＋１４或ｘ＝２－１４ꎬʑＮ２２＋１４ꎬ５２æèçöø÷ꎬＮ３２－１４ꎬ５２æèçöø÷.②如图１所示ꎬ当ＡＣ为对角线时ꎬ由四边形ＡＭ４ＣＮ４为平行四边形ꎬ知ＣＮ４ʊＡＭ４ꎬ所以点Ｎ４的纵坐标为－５２ꎬʑＮ４４ꎬ－５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷或２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法２㊀设Ｍ(ｘꎬ０)ꎬＮｘＮꎬｙＮ().①若ＡＣ为对角线ꎬ则有－１＋０＝ｘ＋ｘＮꎬ０－５２＝０＋ｙＮꎬìîíïïï即ｘＮ＝－１－ｘꎬｙＮ＝－５２.ìîíïïï将Ｎ－１－ｘꎬ－５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ得１２(－１－ｘ)２－２(－１－ｘ)－５２＝－５２ꎬ解得ｘ＝－１或－５ꎬ即ｘＮ＝０或ｘＮ＝４ꎬ所以Ｎ０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ４ꎬ－５２æèçöø÷.②若ＡＮ为对角线ꎬ则有－１＋ｘＮ＝ｘ＋０ꎬ０＋ｙＮ＝０－５２ꎬìîíïïï即ｘＮ＝ｘ＋１ꎬｙＮ＝－５２.ìîíïïïꎬ将Ｎｘ＋１ꎬ－５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ即１２(ｘ＋１)２－２(ｘ＋１)－５２＝－５２ꎬ解得ｘ＝－１或３ꎬ即ｘＮ＝０或ｘＮ＝４ꎬ所以Ｎ０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ４ꎬ－５２æèçöø÷.③若ＡＭ为对角线ꎬ则有－１＋ｘ＝ｘＮ＋０ꎬ０＋０＝ｙＮ－５２ꎬìîíïïï即ｘＮ＝ｘ－１ꎬｙＮ＝５２.ìîíïïï将Ｎｘ－１ꎬ５２æèçöø÷代入抛物线表达式ꎬ即１２(ｘ－１)２－２(ｘ－１)－５２＝５２ꎬ解得ｘ１＝３＋１４３９或ｘ２＝３－１４ꎬ即ｘＮ＝２＋１４或ｘＮ＝２－１４ꎬ所以Ｎ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或Ｎ２－１４ꎬ５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷或２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法３㊀如图４所示ꎬ在ｘ轴上任取一点Ｍꎬ连接ＣＭꎬ分别过点ＡꎬＣꎬＭ作ＣＭꎬＡＭꎬＡＣ的平行线ꎬ得平行四边形ＡＣＭＮ１ꎬ四边形ＣＭＡＮ２ꎬ四边形ＡＣＮ３Ｍꎬ分别过Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３作ｘ轴的垂线ꎬ垂足分别为ＦꎬＧꎬＥ.过点Ｍ作ＭＨʅＮ２Ｎ３于点Ｈ.易证明Ｎ１Ｆ＝Ｎ２Ｇ＝Ｎ３Ｅ＝ＯＣ＝５２.图４㊀探究点Ｎ的路径所以Ｎ１运动的路径为直线ｙ＝５２ꎬＮ２ꎬＮ３运动的路径为直线ｙ＝－５２.因为Ｎ１ꎬＮ２ꎬＮ３在抛物线ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２上ꎬ所以Ｎ的坐标满足ｙ＝５２ꎬｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２ìîíïïïï或ｙ＝－５２ꎬｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２ꎬìîíïïïï解得ｘ１＝２＋１４ꎬｙ１＝５２ꎬìîíïïïｘ２＝２－１４ꎬｙ２＝５２ꎬìîíïïïｘ３＝０ꎬｙ３＝－５２ìîíïïï(舍去)ꎬｘ４＝４ꎬｙ３＝－５２.ìîíïïï综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.解法４㊀如图３所示ꎬ因为Ａ(－１ꎬ０)ꎬＣ０ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ所以ＡꎬＣ两点间的水平距离为１ꎬ坚直距离为５２.设点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ将点Ｍ按ＣңＡ方向平移ꎬ得到点Ｎ１ｍ－１ꎬ５２æèçöø÷ꎬ将点Ｃ按ＭңＡ方向平移ꎬ得到点Ｎ２－ｍ－１ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ将点Ｍ按ＡңＣ方向平移ꎬ得到点Ｎ３ｍ＋１ꎬ－５２æèçöø÷.将点Ｎ１ｍ－１ꎬ５２æèçöø÷ꎬＮ２－ｍ－１ꎬ－５２æèçöø÷ꎬＮ３ｍ＋１ꎬ－５２æèçöø÷分别代代入抛物线的解析式ｙ＝１２ｘ２－２ｘ－５２得①１２(ｍ－１)２－２(ｍ－１)－５２＝５２ꎬ解得ｍ＝３－１４或ｍ＝１４＋３ꎬʑＮ１２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或Ｎ１２－１４ꎬ５２æèçöø÷.②１２(－ｍ－１)２－２(－ｍ－１)－５２＝－５２ꎬ解得ｍ＝－１或ｍ＝－５ꎬʑＮ２０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ２４ꎬ－５２æèçöø÷.③１２(ｍ＋１)２－２(ｍ＋１)－５２＝－５２ꎬ解得ｍ＝－１或ｍ＝３ꎬʑＮ３０ꎬ－５２æèçöø÷(与Ｃ重合ꎬ舍去)或Ｎ３４ꎬ－５２æèçöø÷.综上所述ꎬ符合条件的点Ｎ的坐标为４ꎬ－５２æèçöø÷ꎬ２＋１４ꎬ５２æèçöø÷或２－１４ꎬ５２æèçöø÷.对于平行四边形的存在性问题中已知两个定点ꎬ先虚拟一个动点ꎬ围成一个三角形ꎬ过三角形的每一个顶点画对边的平行线ꎬ三条直线两两相交ꎬ就可以确定平行四边形的第四个顶点.按照虚拟的第三个点ꎬ第四个顶点存在三种情况.但是第四个点到底有几个ꎬ要具体问题具体分析.参考文献:[１]董红凤.有效解决函数中动点型综合题教学探究[Ｊ].数学学习ꎬ２０１６(０１):２５－３０.[责任编辑:李㊀璟]４９。
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则 点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2） 直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。
抛物线上平行四边形的存在性问题（可编辑）
抛物线上平行四边形的存在性问题1、(2009?烟台)如图,抛物线yax2+bx-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且经过点(2,-3a),对称轴是直线x1,顶点是M.(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设直线y-x+3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,试判断△AEF的形状,并说明理由;(4)当E是直线y-x+3上任意一点时,(3)中的结论是否成立(请直接写出结论).2、(2009?湖州)已知抛物线yx2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y x-a分别与x轴,y轴相交于B,C两点,并且与直线AM相交于点N.(1)试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标;(2)如图,将△NAC沿y轴翻折,若点N的对应点N′恰好落在抛物线上,AN′与x轴交于点D,连接CD,求a的值和四边形ADCN的面积;(3)在抛物线yx2-2x+a(a<0)上是否存在一点P,使得以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.3、(2009?抚顺)已知:如图所示,关于x的抛物线yax2+x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.4、如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2,与y轴交于点C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-120的两个根.(1)求抛物线的解析式;(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN‖BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标,若不存在,请说明理由.。
中考数学各类计算题型：二次函数存在性问题(平行四边形)
中考数学| 各类计算题型二次函数存在性问题：平行四边形【一】已知抛物线y=−mx2+4x+2m与x轴交于点A,B 与y轴交点C(0,2).(1)抛物线的解析式。
(2)抛物线的对称轴为l，顶点为D，点C关于直线l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小?若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D. E. P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标。
【二】如图，抛物线y= -x2+2x+n经过点M（-1，0）顶点为C.（1）求点C的坐标；（2）设直线y=2x与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）.①在抛物线的对称轴上是否存在点G，使∠AGC=∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；②点P在直线y=2x上，点Q在抛物线上，当以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.【三】已知抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）经过点A （-3，-7），B（3.5），顶点为E，抛物线的对称轴与直线AB交于C。
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式（2）在抛物线上两点AE之间的部分（不包含A，E 两点），是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCE？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标。
【四】如图,直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A. B两点,抛物线y=1/3x2+bx+c经过A. B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45∘时，求点M的坐标；(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C. D. P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由。
与抛物线有关的平行四边形存在性问题(两动两定)
2
8
2
8
ii)当DE ∥QP, EP ∥ DQ时，则点P的坐标为(4m 2,3m 7).
把P点坐标代入抛物线的解析式中，得- 1（4m 2）2 (4m 2) 3 3m 7
4
解得m1
-
7 4
, m2
-1（舍去）. 因此，点Q的坐标为（- 7,-
9 ）. 4
（2）DE为平行四边形的对角线 ，则点P的坐标为（ - 6 - 4m,1 3m）.
xA, yA
xB, yB
xD, yD
xC , yC
xA xC xB xD , yA yC yB yD
2
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
即xA xC xB xD , yA yC yB yD.
有xD xA xC xB , yD yA yC yB.
二、用我们熟悉的知识解决不太熟悉的问题，……
（1）DE为平行四边形的一边，
i)当DE ∥QP, EQ ∥ DP时，则点P的坐标为(4m 2,3m 1).
把P点坐标代入抛物线的解析式中，得- 1（4m 2）2 (4m 2) 3 3m 1 4
解得m1
3 8
89
, m2
3 8
89
因此，点 Q的坐标为（ - 3 89 ,15 3 89 ）或（ - 3 - 89 ,15 - 3 89 ）.
2
8
2
8
4
4
三、再看看下面的问题，……
四、想想今天所学，你有何收获？
1.今天是研究什么问题？ 2.在研究这个问题的过程中，你熟悉了哪些知识？ 3.这类问题通常是可以怎么解决的呢？
与抛物线有关的平行四边形存在性问题
两动两定 两定—— 两个坐标确定的点. 两动—— 一个是在抛物线上的动点，另一个在一条直线（X轴 / Y轴 / 对称轴 / 一次函数的图象 ）上的动点.
专题7 二次函数图象抛物线中特殊四边形存在性问题(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优
专题7 二次函数图象抛物线中特殊四边形存在性问题（原卷版）第一部分典例剖析+针对训练类型一二次函数与平行四边形典例1（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；类型二二次函数与矩形典例2（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．1．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型三二次函数与菱形典例3（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．1．（2023•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2023•锦州）如图，抛物线y=−√3x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和B，交y轴于点C（0，3√3），顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7√3，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，2），对称轴是直线x＝2．（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当△BCM是等边三角形时，求出此三角形的边长；（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为（1，﹣1）是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．类型四二次函数与正方形典例4（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；针对训练1．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy 内，抛物线y ＝﹣ax 2+5ax +2（a ＞0）交y 轴于点C ，过点C 作x 轴的平行线交该抛物线于点D ．（1）求点C ，D 的坐标；（2）当a =13时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为直线AD 上方抛物线上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点M （4，0），求点P 的坐标；（3）坐标平面内有两点E （1a ，a +1），F （5，a +1），以线段EF 为边向上作正方形EFGH ． ①若a ＝1，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52时，求a 的值．2．（2023•长沙）我们约定：若关于x 的二次函数y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1与y 2＝a 2x 2+b 2x +c 2同时满足√a 2−c 1+（b 2+b 1）2+|c 2﹣a 1|＝0，（b 1﹣b 2）2023≠0，则称函数y 1与函数y 2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x 的二次函数y 1＝2x 2+kx +3与y 2＝mx 2+x +n 互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；（2）对于任意非零实数r ，s ，点P （r ，t ）与点Q （s ，t ）（r ≠s ）始终在关于x 的函数y 1＝x 2+2rx +s 的图象上运动，函数y 2与y 1互为“美美与共”函数．①求函数y 2的图象的对称轴；②函数y 2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与它的“美美与共”函数y 2的图象顶点分别为点A ，点B ，函数y 1的图象与x 轴交于不同两点C ，D ，函数y 2的图象与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD ＝EF 时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．第二部分专题提优训练1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．3．（2023•自贡）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；4．（2023•南充）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．5．（2023•辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．6．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．7．（2023•广安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝1；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D 的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．。
中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案
中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2,m).(1)求抛物线的解析式；(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.2．如图，已知直线AB与抛物线C：y=ax2+2x+c相交于点A(−1,0)和点B(2,3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C上是否存在点P，P到对称轴的距离等于到直线y＝17的距离？若存在，求出点4P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E(8,0)，抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P(m,0)是线段OE上一动点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连接BC和AD．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标（用含m的代数式表示）；(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交y轴正半轴于点C，交x轴分别于点A(−2,0)点B(8,0)，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，交BC于点F，设点P的横坐标为t．①求t为何值时，四边形PFOC是平行四边形；②连接PA，当∠APF+∠ABC=90°时，求点F的坐标；x2+bx+c与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,3)，点M(m,0)为5．如图，抛物线y=−34线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P,N,B,O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；6．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为__________，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m(0<m<8)，当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为(1,0)．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为(−2,−3)．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？x2+3x与x轴交于O，A两点，过点A的直线y= 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−34x+3与y轴交于点C，交抛物线于点D．−34(1)直接写出点A、C、D的坐标；(2)如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的3时，求m的值．4(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，点C与点D关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD、PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得▱PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由；(3)点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．12．如图，抛物线y=−x2−bx+c与x轴交于A(−4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，−4)，作直线AC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．①求证：四边形OCPD是平行四边形：①连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP=∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(−2，0)，抛物线的对称轴直线x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求直线BC的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．x2+bx+c经过点A(−4,0)，点B在y轴上，14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，连接OC．(1)求抛物线的表达式及线段AB,AC的长；(2)若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1:2两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；(3)点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)y=x2−2x−3(2)存在，满足条件的点F的坐标为(0,−3)或(1+√7,3)或(1−√7,3)2．(1)y=−x2+2x+3；(2)274M(12,154)；(3)存在(32,154)或(12,154)．3．(1)y=14x2−2x(2)点C坐标是C(m+4,4−m)(3)点P的坐标为(−2+2√5,0)或(−2+2√13,0)4．(1)y=−14x2+32x+4(2)①t=4；①F(6,1)5．(1)抛物线y=−34x2+94x+3；抛物线的对称轴为直线x=32，顶点坐标为(32,7516)(2)2 6．(1)(0,5)(2)点P到直线AC距离为25√28，此时P(−52,354)(3)点M的坐标为(−3,8)或(−7,−16)或(3,−16)7．发现：(−2,0)，直线BC的解析式为y=12x−4；拓展：P(4,−6)；探究：当m=5时，四边形PMED为平行四边形8．(1)y=x2+2x−3y=x−1(2)t=0(3)−129．(1)A(4,0)C(0,3)D(1,94)(2)8132；(3)N1(2,0)N2(6,0)N3(−√7−1,0)10．(1)y=−84x2+32x+6(2)m=3(3)M的坐标为(2,0)或(√17−1,0)或(−√17−1,0)或(6,0)11．(1)y=−x2+2x+3；(2)存在，tan∠BDN=1或12；(3)点Q坐标为(125,5125)或(4,−5)．12．(1)y=−x2−5x−4(2)①见解析；①存在，Q(−3+√5，−3+√5)或Q(−4，0)13．(1)y =−x +4(2)当点F 的坐标为(2，4)，三角形BFC 的面积最大，最大值为4(3)(3，1)或(2+√7，2−√7)或(2−√7，2+√7)14．(1)抛物线的表达式为y =12x 2+2x AC =6√2(2)点P 坐标为(−2,2)或(0,4)(3)(6,6)或(−2,6)或(−6,−6)15．(1)A(−2，0) B(6，0) C(0，−6)(2)S △PBC 最大=272，此时P (3，−152)；(3)存在，F(4，−6)或(2+2√7，6)或(2−2√7，6)。
中考复习专题6二次函数与平行四边形存在性问题(含解析)
专题6二次函数与平行四边形存在性问题解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A C B D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣6与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，△PBC 的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE ∥AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；四边形PBOC（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），＝x P＝＝3m，∴S△POCS△BOP＝|y P|＝+2m+6），＝＝18，∵S△BOC＝S四边形PBOC﹣S△BOC∴S△PBC+S△POB）﹣S△BOC＝（S△POC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，＝；∴当m＝3时，S△PBC最大方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴S△PBC＝；∴当m＝3时，S△PBC最大（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【例2】．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，设点M（m，﹣m2+4m﹣3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：①当DE为边时，DE∥MN，则N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．【例3】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M 坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例4】（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线MN的解析式为y＝x，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，把x＝1代入y＝x，得y＝1，∴D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将C（0，﹣3），D（1，1）代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，4x﹣3＝0，∴x＝，∴E（，0），∴OE＝．方法二：由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，∵BC∥MN，∴△DEO∽△CEB，∴，设OE＝x，则BE＝3﹣x，∴，解得x＝，∴OE＝．②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），∵BC∥MN，∴∠OBC＝∠DOB，∵GD∥x轴，∴∠GDF＝∠DOB，∴∠OBC＝∠GDF，又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，∴△DGF≌△BOC（AAS），∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，∴t﹣1＝3，∴t＝4，∴D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，同理可证△DKF≌△COB（AAS），∴KD＝OC，∵KD＝1﹣t，OC＝3，∴1﹣t＝3，∴t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），∴DH＝BP，HC＝PF，∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，∴，∴，∴D（2，2），F（1，﹣5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．1．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y 轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；，利用二次函数求最值；（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，（2）作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，＝＝﹣，∴S△BEP最大为2．当t＝﹣时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．2．（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM ⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN 由面积S△BCP有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B与点C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，∴S△BCP∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝8，∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，∴PN＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PN有最大值，∴P（2，）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵抛物线沿着射线CB设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，∵新抛物线y'过原点，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D（3，2），∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，∴E点的横坐标为，∵点F为新抛物线y'上一动点，设F点横坐标为n，①当AE与DF为平行四边形的对角线时，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．3．（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．（2）存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣2），B（4，0），设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝或，当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，∴E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或±．4．（2021•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）填空：△ABC的形状是直角三角形．（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，解得：c＝，将c的值代入③式并解得x＝，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），①当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝（舍去）或2或；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝（舍去）或0，综上，m＝0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．5．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF ＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P（2，﹣3）在抛物线上，即P（2，﹣3）；（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．6．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵OG﹣OB＝3，∴B坐标为（3，0），∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为（﹣1，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵Q为线段PB中点，＝S△CPB，∴S△CPQ面积最大时，△CPQ面积最大．当S△CPB设P坐标（a，﹣a2+2a+3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，H坐标为（a，﹣a+3），∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝•PH•（x B﹣x C）＝•PH•3＝PH＝（﹣a2+3a）＝﹣（a2﹣3a+﹣）＝﹣（a﹣）2+，当a＝时，即P坐标为（，）时，＝S△CPB＝，最大S△CPQ∴P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），∵＝，∴＝，∴y D＝1，则1＝﹣（x﹣3）2+2﹣1＝﹣（x﹣3）2，（x﹣3）2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴x D＝4或x D＝2，＝⇒＝，∴x N＝7，或＝，∴x N＝5，∴N坐标为（7，0）或（5，0），或＝⇒＝，得y D＝﹣1，则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，（x﹣3）2＝3，x＝±+3，∴x D＝3﹣或x D＝3+，即x N＝﹣或，N坐标为（﹣，0）或（，0）．7．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；求得P坐标，②当S△COP（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：：S△COP＝1：2，∵S△AOP：S△AOC＝1：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝1：3，而C（2，6），即CH＝6，∴PQ＝2，即y P＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：：S△AOP＝1：2，∵S△COP：S△AOC＝2：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即y P＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），∴AN的中点为（，），OC中点为（，），∴，解得，∴N（6，6），②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N（﹣2，6），③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N（﹣6，﹣6），综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．8．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；＝S△CEF+S△BEF （2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：．解得：．∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．∵点P（m，0），EF⊥x轴，∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B（3，0），∴OB＝3．＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，∵S四边形CEBF∴＝﹣．∵＜0，有最大值＝．∴当m＝时，S四边形CEBF即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．（3）存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．∵A（﹣1，0），∴OA＝1．过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，∵四边形ACMN为平行四边形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN（AAS）．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N（h﹣1，﹣h+4）．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．②当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N（h+1，﹣h+2）．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．9．（2021•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x ﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y 值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3（2）结论：四边形AMDN由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N 坐标为（3，4m﹣1），∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），∴AD与MN互相平分，∴四边形AMDN是平行四边形，又∵AD＝MN，∴▱AMDN是矩形．（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．解得：x＝，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．10．（2022•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E （x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵OB＝2OC，∴OB＝6，∴B（6，0），将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝x﹣3，∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴PQ＝﹣t2+3t，∵CO＝3，BO＝6，∴BC＝3，在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cos∠BCO＝，∵PQ∥CO，∴∠HQP＝∠OCB，∴sin∠HQP＝＝，cos∠HQP＝＝，∴HP＝PQ，HQ＝PQ，∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，∵点P是直线BC下方，∴0＜t＜6，∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，∴D（﹣3，﹣5），设M（m，﹣m2+m﹣5），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣3x﹣3，设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），①以EF为平行四边形的对角线时，．解得m＝或m＝，∴M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．11．（2022•平桂区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y ＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求该抛物线的表达式；（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：n＝3，∴C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，∴P（1，t），∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习10 平行四边形的存在性问题(学生版+解析版)
专题10平行四边形的存在性问题一、知识导航考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质(I)对应边平行且相等，(2)对角线互相平分这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中(I)对边平行且相等可转化为｛X A 一入．s =Xo -Xe Y A 一）I B =)I D 一）／c可以理解为点8移动到，点A,点C移动到点D,移动路径完全相同:D , yv·yc____ JC xo •x cB炉．8X A +JrC =＇\．8 + X D (2)对角线互相平分转化为＼2 2 ,上＝y/J ＋ yD22可以理解为AC的中点也是BD的中点DB1小结）虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一{x A -x B = x D -d`．C -『A 十乙re = x D +..\：BY,, -Yn = Yo -Ye · lY . +Ye = Yo+ Yn'尸＝平＿:::::�飞-=－ {Y A+ Ye = Yo + Y。
2 2当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为A +C=B +D（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一1叶若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D",则四边形ABCD是否一定为平行四边形？反例如下：D之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论(I )四边形ABCD是平行四边形AC、BD一定是对角线(2)以A、B、C、D四个点力顶点是四边形是平行四边形，对角线不确定需要分类讨论．-平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动“两大类问题I.三定一动已知A (I, 2) B (5, 3) C (3, 5)，在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形yA b为。
专题19 平行四边形存在性问题巩固练习(提优)-冲刺2020年中考几何专项复习(解析版)
平行四边形存在性问题巩固练习（提优）1.如图，一次函数y＝x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两地，(1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.【解答】（1）y＝－x2＋72x＋2；（2）t＝2时，MN有最大值4；（3）D点坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4)【解析】(1)∵y＝12x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为:A(0，2)，B(4，0)，将x＝0，y＝2代y＝－x2＋bx＋c得c＝2.将x＝4，y＝0代y＝－x2＋bx＋c得0＝－16＋4b＋2，解得b＝7 2 .∴抛物线解析式为:y＝－x2＋72x＋2;(2)如图，设MN交x轴于点E，则E(t，0)，BE＝4－t，tan∠ABO＝2142 OAOB==，ME＝BE·tan∠ABO＝(4－t)×12＝＝2－12t又N点在抛物线上，且x N＝t，y N＝－t2＋72t＋2MN＝yN－ME＝－t2＋72t＋2－(2－12t)＝－t2＋4t当t＝2时，MN有最大值4.(3)由(2)可知，A(0，2)，M(2，1)，N(2，5)以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如图所示：(i)当D在y轴上时，设D的坐标为(0，a)由AD＝MN，得|a－1| ＝4，解得a1＝6，a2＝－2，从而D为(0，6)或D(0，－2)，(i i)当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y＝12-x＋6，D2M的方程为y＝32x－2由两方程联立解得D为(4，4)故所求的D点坐标为(0，6)，(0，－2)或(4，4).2.如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B，顶点为C.(1)对于任意实数m，点M(m，－2)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）P点的坐标为:(2，1)或(21).【解析】(1)假设存在，则将M点的坐标代入抛物线得:－2＝m2－4m＋3，化简得方程:m2－4m＋5＝0，因为△＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以该方程无解，故对于任意实数m，点M(m，－2)不在抛物线上.(2)如图所示，过点C作CH⊥x轴，交x轴与点H，连接CA、CB，如图所示：抛物线的表达式为y＝(x－2)2－1，所以抛物线与x轴的交点的坐标为A(1，0)和B(3，0)，抛物线的顶点坐标为C(2，－1)，以H点的坐标为(2，0).因为tan∠HAC＝HCAH＝1，tan∠HBC＝HCBH＝1，所以∠BAC＝∠ABC＝45°，AC＝BC，那么∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°，故△ACB为等腰直角三角形.(3)存在.若BD为平行四边形的边，则BD∥CP，因为C为抛物线上的顶点，所以抛物线上不存在点P使得CP∥x轴，即BD不能作为该平行四边形的边。
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对称轴为直线 l ，点 M 是线段 AB 的中点. （1）求抛物线的表达式； （2）写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式； （3）设动点 P ， Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A ， P ，Q ， M 为顶点的四边形是平行四边形 时，求 P ， Q 两点的坐标.
抛物线中平行四边形存在性问题习题 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2+2x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点，点 M 在这条抛物 线上，点 P 在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标．
2.（2019·内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点为 M (1,9) ，经过抛物 线上的两点 A(3, 7) 和 B(3, m) 的直线交抛物线的对称轴于点 C ． （1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式． （2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A, M , P,Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写 出满足条件的点 P 的坐标．
4.（2017·泰安）如图，是将抛物线 ri 平移后得到的抛物线，其对称轴为 r ，与 x 轴的一 个交点为 t i ， 体，另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C． t 体求抛物线的函数表达式； t 体若点 N 为抛物线上一点，且 t t，求点 N 的坐标； tt体点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 r t t的图象上一点，若四边形 OAPQ 为平行四边形， 这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 ， 的坐标；若不存在，说明理由．