方向导数与偏导数
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系
数学学习与研究2014.14【摘要】本文通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,从而使学习者更加认清三者之间的联系.【关键词】偏导数;全微分;方向导数对于偏导数、全微分、方向导数三者之间的内在联系一直是学生难以理解和容易混淆的内容,本文以二元函数为例,通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,以便加深学生对上述内容的理解.一、偏导数存在与全微分存在之间的关系定理一如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )可微分,则该函数在点(x ,y )的偏导数∂z ∂x 、∂z ∂y存在.反之不成立.例1函数f (x ,y )=xy x 2+y2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{在点(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0,但是lim ρ(Δx=Δy )→0Δz -(f x (0,0)Δx +f y (0,0)Δy )ρ=limρ(Δx=Δy )→0Δx ·Δx (Δx )2+(Δx )2=12,并不是比ρ高阶的无穷小,因此,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.定理二如果函数z =(x ,y )的偏导数∂z ∂x ,∂z ∂y 在点(x ,y )连续,则函数在该点可微分.二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系首先,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )两个偏导数存在,只能说明该函数在点(x ,y )沿=(1,0)(或=(-1,0))及=(0,1)(或=(0,-1)),(x ,y ).例2设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{函数f (x ,y )在(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0.设l 是以(0,0)为始点、=cos π4,cosπ4()的一条射线,则limρ→0+f ρcos π4,ρcosπ4()-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos π4cos π4ρ3=12lim ρ→0+1ρ,此极限显然不存在,所以∂f∂l (0,0)不存在.其次,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在点(x ,y )偏导数存在.例3设f (x ,y )=x 2+y 2√,则f (x ,y )在点(0,0)沿任意射线l(=(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l(0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+(ρcos α)2+(ρcos β)2√ρ=1.但是,f x (0,0),f y (0,0)显然不存在.所以函数z =f (x ,y )在点(x ,y )处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点(x ,y )处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系定理三如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )全微分存在,则该函数在点(x ,y )沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.例4设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{则f (x ,y )在点(0,0)沿任意方向l(=l =(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l (0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos αcos βρ2=cos αcos β.但由例1可知,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.上述定理的证明,可参考同济大学数学系编的《高等数学》,在此不再赘述.【参考文献】[1]同济大学数学系编.高等数学[M ].北京:高等教育出版社,2009.[2]刘玉琏,傅沛仁,林玎等.数学分析讲义[M ].北京:高等教育出版社,2010.偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系◎徐志敏(大连交通大学116028). All Rights Reserved.。
直观理解梯度，以及偏导数、方向导数和法向量等（转载）
直观理解梯度，以及偏导数、⽅向导数和法向量等（转载）写在前⾯梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使⽤的数学⼯具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及⼏何解释还是值得深挖⼀下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌⽣⼈”，仅仅“记住就完了”在⽤时难免会感觉不踏实，为了“⽤得放⼼”，本⽂将尝试直观地回答以下⼏个问题，梯度与偏导数的关系？梯度与⽅向导数的关系？为什么说梯度⽅向是上升最快的⽅向，负梯度⽅向为下降最快的⽅向？梯度的模有什么物理意义？等⾼线图中绘制的梯度为什么垂直于等⾼线？全微分与隐函数的梯度有什么关系？梯度为什么有时⼜成了法向量？闲话少说，书归正传。
在全篇“作⽤域”内，假定函数可导。
偏导数在博⽂《单变量微分、导数与链式法则 | | 》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，导数是⼀元函数的变化率（斜率）。
导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。
如果是多元函数呢？则为偏导数。
偏导数是多元函数“退化”成⼀元函数时的导数，这⾥“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留⼀个变量，依次保留每个变量，则NN元函数有NN个偏导数。
以⼆元函数为例，令z=f(x,y)z=f(x,y)，绘制在3维坐标系如下图所⽰，在分别固定yy和xx的取值后得到下图中的⿊⾊曲线——“退化”为⼀元函数，⼆维坐标系中的曲线——则偏导数∂z∂x∂z∂x和∂z∂y∂z∂y分别为曲线的导数（切线斜率）。
由上可知，⼀个变量对应⼀个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着⾃变量坐标轴⽅向上的导数（切线斜率）。
⽅向导数如果是⽅向不是沿着坐标轴⽅向，⽽是任意⽅向呢？则为⽅向导数。
如下图所⽰，点PP位置处红⾊箭头⽅向的⽅向导数为⿊⾊切线的斜率，来⾃链接⽅向导数为函数在某⼀个⽅向上的导数，具体地，定义xyxy平⾯上⼀点(a,b)(a,b)以及单位向量u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)，在曲⾯z=f(x,y)z=f(x,y)上，从点(a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b))出发，沿u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)⽅向⾛tt单位长度后，函数值zz为F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，则点(a,b)(a,b)处u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)⽅向的⽅向导数为：=====ddtf(a+tcosθ,b+tsinθ)∣∣∣t=0limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b)tlimt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b+tsinθ)t+limt→0f(a,b+tsinθ)−f(a,b)t∂∂xf(a,b)dxdt+∂∂yf(a,b)dydtfx(a,b)cosθ+fy(a,b)sinθ(fx(a,b),fy( (fx(a,b),fy(a,b))⋅(cosθ,sinθ)上⾯推导中使⽤了链式法则。
方向导数和偏导数
⽅向导数和偏导数1.⽅向导数定义设开集D⊂R n,f:D→R,→u是⼀个⽅向，如果极限limt→0f x0+tu−f x0t存在，那么这个\boldsymbol{极限}称为函数\boldsymbol{f}沿⽅向\overrightarrow{u}的⽅向导数，记作\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{u}}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)2.Notice and comments2.1与⼀维导数不同⽐较值得注意的是此处与⼀元导数的定义完全不同的⼀点是，按照这个定义，f(x)的⽅向导数在考察相反⽅向时，⽅向导数正负号相反。
\displaystyle\frac{f\left(x_{0}+t(-u)\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}=-\frac{f\left(x_{0}+(-t) u\right)-f\left(x_{0}\right)}{-t}这⾥对⽐⼀维情况失去了⼀种对称性（即相反⽅向的⽅向导数相同），这是由于对于⼀维的情况，两点的”距离“可以简单的⽤⼀个有正负的数字表⽰，但是对于⾼纬度，两个点的距离没有正负的概念（当然可以强⾏定义，根据他们之间差向量的分量有多少正多少负来定义），这样，定义⽅向导数时，分母的正负是没有办法确定正负的。
所以失去的对称性可以认为是⾼维时难以⽤正负表⽰两个点的⽅向关系。
2.2⼆元代换在考察⼆元函数时，⽐较普遍的⼀种⽅法是，借助三⾓代换u=(\cos \theta, \sin \theta)3。
偏导数和偏微分算⼦仍使⽤上个subsection的空间，考察这个空间的⼀组标准基：\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{1} &=(1,0,0, \cdots, 0) \\ \boldsymbol{e}_{2} &=(0,1,0, \cdots, 0) \\ & \cdots \cdots \\\boldsymbol{e}_{n} &=(0,0, \cdots, 0,1) \end{aligned}则f在x_0处沿e_{i}的⽅向导数称为，f在x_0处的第i个偏导数，简记为：\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right) \quad or \quad D_{i} f\left(x_{0}\right)并称D_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}为第i个偏微分算⼦\在偏导数这⾥我们发现，偏导数由于没有规定和考虑反向，是⼀个确定的值。
方向导数,可微,偏导存在的基本关
方向导数,可微,偏导存在的基本关系!!
f(x,y)在(0,0)偏导数存在说明沿x,y轴的正,负方向导数存在.
那么(x,y)在任意点处偏导数存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?
那么偏导数不存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?
那么方向导数和可微的关系又是什么?
2李的新东方2004考研flash 29-2节说
f(x,y)在某点可微===》f(x,y)在某点沿任何方向存在方向导数==》f(x,y)在某点存在偏导数
但是660（2006版）题210页407题
函数z=(x^2+y^2)^(1/2)在点（0，0）
这个函数在(0,0)偏导不存在， 但是在这点处任意方向的方向导数存在（答案这么说的）
那么跟f(x,y)在某点沿任何方向存在方向导数==》f(x,y)在某点存在偏导数 是否矛盾，哪个对？
2.以二元函数为例,f(x,y)在(x,y)处关于x(或y)可偏导的充要条件是:f(x,y)沿着x轴的正方向和负方向的方向导数都存在且为相反数.
1.这只是我个人的想法哦,仅供参考:
"沿任何方向的方向导数存在"的条件虽然很强,但并不能保证沿着某个方向及其相反方向的方向导数互为相反数,因此不能保证偏导数存在;同样偏导数存在也不能保证在任何方向上方向导数都存在.
1.在M0点沿任何方向的方向导数存在 不能推出M0点偏导数存在
2.M0点偏导数存在 不能推出在M0点沿任何方向的方向导数存在
3.在M0点沿坐标轴方向的方向导数存在 不能推出M0点偏导数存在
4.M0点偏导数存在 一定有在M0点沿坐标轴方向的方向导数存在
1，3的反例 f(x,y)=|x|
2的反例 f(x,y)=xy/(x^2+y^2)^2。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中重要的概念，用于研究多变量函数的变化规律。
它们在各个学科领域中都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将详细介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及实际应用。
一、偏导数偏导数是多元函数中对某一变量的导数，保持其他变量不变。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以对其中的任意一个变量进行求导，得到对应的偏导数。
用符号∂表示偏导数。
1.1 定义对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) –f(x,y))/Δx类似地，我们可以计算f(x, y)对y的偏导数：∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x, y+Δy) –f(x,y))/Δy1.2 计算方法偏导数的计算与求常导数类似，只需将其他变量视为常数。
对于高阶偏导数的计算，可逐个变量进行求导。
1.3 应用举例偏导数的应用非常广泛。
举几个例子：例1：经济学中的边际效应在经济学中，边际效应描述了某一变量的微小变化对整体效果的影响。
偏导数可以用来计算边际效应，帮助经济学家进行政策制定和预测。
例2：物理学中的速度与加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
对于复杂的多变量函数，通过求偏导数可以得到速度和加速度的具体数值。
二、方向导数方向导数可以理解为多元函数在给定方向上的变化率。
与偏导数类似，方向导数可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化情况。
2.1 定义设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，方向向量为u=(a, b)，则函数f(x, y)在P点沿u的方向导数为：∂f/∂u = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b2.2 计算方法方向导数的计算需要使用向量运算。
可以根据给定的方向向量和偏导数，按照一定的公式计算得到方向导数。
2.3 应用举例方向导数的应用非常广泛，尤其在优化问题和最优化算法中常常用到。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
偏导存在但方向导数不存在的例子
偏导存在但方向导数不存在的例子例子1: 二元函数f(x, y) = |x| + |y|考虑二元函数f(x, y) = |x| + |y|，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。
首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为：∂f/∂x = sgn(x)，其中sgn(x)为x的符号函数∂f/∂y = sgn(y)，其中sgn(y)为y的符号函数我们可以看到，无论在原点(0, 0)处，x和y的偏导数都不存在。
这是因为在原点(0, 0)处，x和y的值都是0，而符号函数在0处的导数不存在。
接下来我们来看方向导数的计算。
方向导数可以通过梯度向量和方向向量的点积来计算。
对于方向向量(α, β)，其中α和β为实数，方向导数为：Df = ∇f · (α, β)其中∇f为梯度向量。
对于函数f(x, y) = |x| + |y|，梯度向量为：∇f = (sgn(x), sgn(y))将其代入方向导数的计算公式，得到方向导数为：Df = (sgn(x), sgn(y)) · (α, β) = αsgn(x) + βsgn(y)我们可以看到，无论方向向量(α, β)的取值如何，由于在原点(0, 0)处，x和y的符号函数的值都是0，方向导数都会变成0。
所以，在原点(0, 0)处，方向导数不存在。
例子2: 二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)考虑二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。
首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为：∂f/∂x = (y(x^2 + y^2) - xy(2x))/(x^2 + y^2)^2 = y^3/(x^2 + y^2)^2∂f/∂y = (x(x^2 + y^2) - xy(2y))/(x^2 + y^2)^2 = x^3/(x^2 + y^2)^2我们可以看到，在原点(0, 0)处，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y都为0，因为分子为0，分母为常数。
方向导数
x = x0 处求导数。因此，求二元函数的偏导数就变成了
求一元函数的导数。
●同理可叙述
f ( x, y )在 P0 ( x0 , y 0 )处关于y的偏导数
∆y → 0
′ ( x 0 , y 0 ) = lim f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) fy
∆y
●可推广至n元函数在某一点的偏导数问题 ●若函数z
f ( x, y ) 就变成了变量t的一元函数g (t ) = f ( x0 + tv1 , y 0 + tv 2 )
且g (0) = f ( x0 , y0 )
若
dg dt
t =0
f ( x0 + tv1 , y 0 + tv 2 ) − f ( x0 , y 0 ) g (t ) − g (0) = lim = lim t →0 t →0 t t
在点(2,1)处的全微分
∂z yexy , = ∂x ∂z 2 =e , ) ∂x (2,1
∂z xexy = ∂y ∂z 2 = 2e ) ∂y (2,1
例2. 计算函数 解: du=
1 cos y + (2 2
的全微分
yz ) d y ze
内容小结
1. 微分定义:
∆z =
+o(ρ) ρ = (∆x)2 + (∆y)2
解:
=0 =0
在之前已说明过 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! !
注意事项：
●对于一元函数来说
∂z 也可理解为“微商” ； 但对于二元函数而言， 或 ∂x ∂z 则只能看成整体记号，不能理解为商。 ∂y
●一元函数中，可导必定连续；但是对于二元函数
偏导数与方向导数
设函数uf(x, y)在点p0(x0, y0)的某一邻域U(P0)内有 定义, v是以P0(x0, y0)为始点的一条射线, 与v同方向 的单位向量为ev(cos, cos)=(cos,sin)。则其 方向导数为：
例2 (2）求多元函数 u x2 sin(xy) 的高阶偏导数
解：输入命令
>> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y);%给出函数 >> dx2=diff(u,x,2);%对x求2 阶偏导 >> dy2=diff(u,y,2);%对y求2 阶偏导 >> dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对x求偏导， 再对y求偏导
解：输入命令
>> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y); %给出函数 >> dx=diff(u,x)；%对x求偏导 >> dy=diff(u,y)；%对y求偏导
结果： dx =2*x*sin(x*y) +x^2*y*cos(x*y) dy =x^3*cos(x*y)
f f f
x y z
g g g
x h
x
y h
y
z h
z
结果：du_dl =(8*x*sin(x*y))/5+(3*x^3*cos(x*y))/5 +(4*x^2*y*cos(x*y))/5
函数 在点 可微、连续、偏导数存在、偏导数连续、方向导数之间的关系.
在数学中，对于多变量函数，以下是函数在某一点可微、连续、偏导数存在、偏导数连续以及方向导数之间的关系：
可微性与连续性的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点必然是连续的。
可微性是连续性的一个更强的条件。
可微性与偏导数存在的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点的偏导数必然存在。
可微性确保了函数在某一点处对每个自变量的偏导数都存在。
偏导数存在与偏导数连续的关系：
如果函数在某一点的偏导数都存在，并且这些偏导数在该点连续，那么函数在该点是可微的。
偏导数存在且连续是可微性的一个必要条件。
方向导数与可微性的关系：
如果函数在某一点可微，那么它在该点沿任意方向的方向导数都存在。
可微性保证了函数在某一点沿任意方向的变化率都存在。
总结起来，可微性是一个更强的条件，它包含了连续性、偏导数存在和偏导数连续的要求。
方向导数的存在与可微性也有关系，可微性保证了函数在某一点沿任意方向的变化率都存在。
这些关系反映了函数在点的各个性质之间的相互依存关系。
多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考
本篇文章，探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。
包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。
初学这些知识的时候，学生会明显觉得这些概念不难掌握，而且定义及计算公式也很容易记住，但总觉得差那么点东西，说又不知道从何说起。
反正笔者是这种感觉。
其实最根本的原因是没有理清这些知识间的关系，对这些知识并没有本质的理解。
不妨现在就跟笔者一起再重新认识下它们，看看是否解开了你内心得些许疑惑。
一、导数和微分到底是什么，以及为什么会有这些概念关于导数和微分到底是个什么玩意，笔者在探讨一元函数微分的时候有清晰的描述，现在再复述一遍，如下：导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具，是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。
说白了，就是每次描述函数图像变化，不用再画图了，有了这个，直接用算式算算就行了。
因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。
而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势，是一个变化的速率，微分描述的是函数从一点（移动一个无穷小量）到另一点的变化幅度，是一个变化的量。
我们知道在一元函数中，函数从一点到另一点的变化只有一个方向，就是沿着函数曲线移动就行了。
而且函数在某一点处的切线也只有一条，因此函数的变化快慢只由这个切线（的斜率）决定。
然而多元函数就不同了，多元函数往往是一个面，这也是为什么多元函数的微分学会多出那么多东西，催生那么多概念。
但是不要怕，其实多出的东西只是一元函数微分的拓展，本质都是一样的，不信请跟着笔者往下看，不难的，万变不离其宗。
我们来看图1。
现在跟着笔者，咱们一起像数学家一样来思考（其实学会从数学家的角度来思考问题，往往最能达到理解知识的本质的目的）。
描述函数的变化，一个是描述函数的变化快慢，一个是描述函数变化多少。
比如图1中，类似于一元函数的探讨，我想知道函数在A点变化的快慢趋势，以及从A点到B点变化的幅度是多少。
另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题，就是函数可以固定一个变量，让另一个变量来变化，那么这又是与一元函数的十分不同的变化了，其实这是一个变化维度的问题。
偏导数几何意义
偏导数几何意义偏导数是多元函数微积分中的一个重要概念，它用来描述函数在某个方向上的变化率。
偏导数的几何意义主要包括以下几个方面：1. 偏导数的定义偏导数是指在多元函数中，固定其他变量不变，仅对某个变量进行微小的变化时，函数的变化率。
如果函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在$x_i$处的偏导数存在，那么它的偏导数可以表示为$f_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)$。
对于二元函数$f(x,y)$，$f_x$表示函数在$x$轴方向上的变化率，$f_y$表示函数在$y$轴方向上的变化率。
2. 偏导数与方向导数偏导数描述了函数在某个方向上的变化率，因此它与方向导数密切相关。
方向导数是指函数在某个方向上的变化率，可以表示为$\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{u}}$，其中$\boldsymbol{u}$是方向向量。
在某个点上，如果函数在所有方向上的变化率都存在，那么这些变化率就构成了一个向量，称之为梯度向量。
3. 偏导数与曲面偏导数可以用来描述曲面的性质。
对于任意的曲面，如果它在某个点处的偏导数存在，那么这个曲面在这个点处有一个唯一的切平面。
这个切平面与$x_i$轴的夹角就是$f_{x_i}$的值，它描述了曲面在这个方向上的变化率。
使用偏导数可以求解曲面的最大值和最小值。
对于一个具有偏导数的函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，可以使用偏导数方法求得$f$的最值点，即令所有$n$个偏导数都等于零，然后求解方程组。
最大值和最小值点就是$f$的极值点。
偏导数还可以用来描述曲线的性质。
考虑一个函数$f(x,y)$和一条曲线$C$，如果曲线$C$落在$f=0$的等高线上，那么曲线$C$在这个点处的斜率等于$f$在这个点处的梯度向量在曲线$C$方向的投影，即$\nabla f(x,y)\cdot\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}$。
2 偏导数 方向导数
z f z 数，记作 ， ， y 或 f y ( x , y ) . y y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
如图
几何意义:
偏导数 f x ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0
x 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0Tx 对 轴的
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x 0
y 所截得的曲线在点M 0 处的切线M 0T y 对 轴的
斜率.
二、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f xx ( x , y ), 2 f yy ( x , y ) x x x y y y
解
| x0|0 0 f y (0,0). f x (0,0) lim x 0 x
xy 2 2 例 5 设 f ( x, y) x y 0 求 f ( x , y )的偏导数.
( x , y ) ( 0,0 ) ( x , y ) ( 0,0 )
解
当( x , y ) (0,0)时, 按定义可知：
f ( x ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, x 0 x 0 x x f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0, y 0 y 0 y y
高数第七节、方向导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
f y ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
( x0 , y0 )
结论2：偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数 存在。 思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否 保证偏导数一定存在？ 例1：z x 2 y 2 , P0 (0, 0 ), el (cos , cos ) y x t cos 解： , y t cos
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (1, 0) :
f l
f x ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
问题1：方向导数与偏导数的关系？ 假设 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 偏导数存在 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x x 0 y （1）在 x 轴的正方向上， t x P ( x0 x, y0 ) el (cos , cos ) (1, 0) P0 ( x0 , y0 ) el ( 1, 0) t | PP0 | x, 0 x f f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x l ( x0 , y0 ) x 0
导数和偏导数
导数和偏导数我们常听到“导数”和“偏导数”这两个词，不知道它们的来历，今天我就来跟大家讲讲它们的来历吧。
一、导数的概念所谓“导数”是一个与我们生活有着密切关系的物理概念。
可以说在我们的生活中处处都会用到导数。
例如：我们买东西付钱时要写账单、或是买食品、用水要记录时也会使用导数，我们坐车、走路、乘飞机、打车等等，都离不开导数。
只要把你学过的定义带入到上面的例子中，就会发现，导数就是一个与我们生活有着密切联系的物理概念。
二、偏导数的概念如果再给导数下一个定义，也就是说导数是一个连续的函数，那么偏导数就是指方向与变化趋势相反的导数，也叫做反函数。
举个例子，比如说在初中数学里所学到的洛必达法则，就是一种偏导数。
三、导数与偏导数的应用在我们的生活中，不论是大到国家领导人出访，还是小到普通百姓生活，甚至各个地区人们之间的交流，都需要使用导数来解决问题，甚至可以说没有导数，我们就不能很好地去生活。
当然，不光只有我们的生活才使用到导数，其实我们在解答数学问题时也经常使用到导数，因为解答数学问题必须借助于函数图像，函数图像就是由一些点构成的。
所以，我们要想准确地计算出一个数学问题的答案，我们就要先了解一些数学问题中的一些概念，如函数的表示法、导数的概念及其计算法则等。
因此，我们可以得出结论：导数与偏导数就是对于一些具体问题而提出的一种解决方法，它们在一定程度上更能让我们从根本上了解问题，认识问题的本质。
四、导数与偏导数在教学中的意义1、加深对导数和偏导数含义的理解，明白导数和偏导数的重要性，能自觉利用导数和偏导数解决有关问题。
2、体会数形结合的思想，理解导数和偏导数与函数概念的联系，会画函数图象。
3、体会解析几何研究问题的思想方法，培养分析问题的能力。
4、了解并掌握一些基本的数学思想方法，逐步提高观察能力、运算能力、推理能力、空间想象能力和抽象概括能力，逐步养成良好的学习习惯。
那么，什么是“平均数”？什么又是“方差”呢？我们在平时的学习生活中经常接触到“平均数”这个名词，可是却从来没有真正仔细地了解过，其实“平均数”和“方差”就是反映总体中两个数值之间离散程度的一个统计量，只是在数学上称之为“均值”和“方差”而已。
二元函数连续,偏导数,可微分与方向导数之间的关系及举例
二元函数连续,偏导数,可微分与方向导数之间的关系及举例
二元函数连续、偏导数、可微分与方向导数之间是十分密切的联系，这关系建立在高等数学中本质上是一些重要的概念之上。
首先，关于二元函数连续性。
什么是连续？通常情况下，连续就是指曲线的图像没有断点，即从定义域的拉长的端点连接起来的都是完整的连续的曲线，比如抛物线y=x^2就是一个连续的函数，因为其任何一点都可以接到抛物线的曲线上，不会存在断点的情况。
其次，偏导数的概念。
偏导数就是指一元函数对其自变量求导所得的导数，为研究函数形式意义上的微小变化、函数图像上特定坐标点处的微小变动而产生的导数，可以为形式学习过程中找到函数本身的行为特征提供帮助，比如
f(x)=x^2+2πx+1，其偏导数就是f′(x)=2x+2π。
接下来，可微分与方向导数也是不可或缺的概念，可微分就是指函数在一定的定义域内若存在极限时，就可以求导的函数为可微分函数，比如函数y=1/x，其有限的极限除以0得到无穷大，所以它就可以微分。
而方向导数则是函数泰勒级数发展的一个概念，它的定义是在点(x_1,x_2)处的函数f(x_1,x_2)的点p沿某一特定方向v发展时其梯度向量一阶导数分量，可以使用函数f(x_1,x_2-tl)和
f(x_1,x_2+t2)来求得，比如f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2，其具有特定方向导数
f^′_v(x_1,x_2) =2x_1v_1+2x_2v_2。
以上三者即是介绍的二元函数连续性、偏导数的可微分与方向导数的概念，都构成了高等数学中的重要概念，这三者之间有着密切的联系，对于学习与理解函数及其特性有十分重要的作用。
方向导数知识点
方向导数知识点方向导数•方向导数的定义•方向导数的计算方法•方向导数与偏导数的关系•方向导数的几何意义方向导数的定义方向导数是指函数在某个给定点沿着某个方向的变化率。
具体而言，如果有一个函数f(x,y)，在点(x0,y0)处沿着一个单位向量u=[a b]的方向上的导数，那么这个导数就是f在(x0,y0)处沿着方向u的方向导数D u f(x0,y0)。
方向导数的计算方法方向导数可以通过求函数在给定点的梯度向量与方向向量的点积来计算。
假设函数f(x,y)在(x0,y0)处可微分，那么其梯度向量为∇f(x0,y0)，方向向量为u=[ab]，则方向导数D u f(x0,y0)的计算公式为：D u f(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u其中，⋅表示向量的点积。
注意，∇f(x0,y0)表示函数f(x,y)在(x0,y0)处的梯度向量，u=[ab]表示方向向量。
方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数之间存在一定的关系。
事实上，当方向向量u=[1]时，方向导数D u f(x0,y0)就是函数f(x,y)在(x0,y0)处关于x的偏导数∂f∂x (x0,y0)；当方向向量u=[01]时，方向导数D u f(x0,y0)就是函数f(x,y)在(x0,y0)处关于y的偏导数∂f∂y(x0,y0)。
方向导数的几何意义方向导数的几何意义可以从梯度向量的方向来理解。
梯度向量∇f(x,y)表示函数f(x,y)在某点的最大变化方向。
当方向向量与梯度向量的方向相同时，方向导数达到最大值；当方向向量与梯度向量的方向垂直时，方向导数为0；当方向向量与梯度向量的方向相反时，方向导数达到最小值。
因此，方向导数可以用来描述函数在某点沿着某个方向的变化率及变化方向。
以上就是关于方向导数的相关知识点的整理和详解。
方向导数的定义、计算方法、与偏导数的关系以及几何意义都非常重要，对于理解多元函数的变化规律具有重要意义。
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¶l
t® 0
x0
t
t® 0
t
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方向导数的定义
定义: 设
单位向量为
r e
xr0
.
Î R2, 是平面上一向量，与l 同向的
二元函数
在
内让自变量x
l
由
xr0
沿与
r e
l
平行的直线变到
从而对应的函数值有改变量
lim f (xr0 + terl
f(
)-
xr0
f
r (+xr0t)el
第五章
3.1 方向导数与偏导数
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r l
引例: 设 xr0 Î 其单位向量记为
R2
r
,
e
,
是平面上某一向量，
r el
是一个二元函数.
l
现讨论
f
在点xr0
处沿l
L r x0
方向的变化率.
解：过点 作与l 平行的直线 L,它的方程为
f (x)在点xr0 处沿方向l 的变化率，就是当点x 在直线 L 上变化时f (x)在点xr0 处的变化率.
zx (x0 , y0 ) ;
即:
x0 x
x0
x
同理给出 f 对 y 的偏导数的记号和定义式.
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定义 设函数 z f (x, y)在区域D 内有定义，
则f 对x 及 y 的偏导函数分别定义为
及
其中 (x, y) ? D,(x Dx, y) ? D,(x, y Dy) ? D.
(1) 定义中的 t 的绝对值是两点 xr0 与xr0 + terl 之间的距离d .
(2)
方向导数实际上是函数 f
在
r x0
沿
l
方向
关于距离的变化率.
(3)
若方向导数 ¶ f > 0(< 0),
¶ l xr0
则
f
在
r x0
处
沿 l 方向增加(减少).
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方向导数的几何意义
f 对 x 的偏导函数简记为 f 对 y 的偏导函数简记为
抖f z
fx , zx , 抖x ,
. x
f
y
,
z
y
,
抖f 抖y
,
z. y
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例3.2
设函数 z = arctan y ,
x
求
抖z 抖x
,
z y
及 ¶z .
¶ x (1,1)
解： 把 y 看作常数，对x求导得
把 x 看作常数，对y求导得
)
-
f (xr0 ). 若
t® 0
t
存在，则称此极限值为f 在点x0处沿 l 方向的方向导数.
记作
¶f ,
¶ l xr0
或 ¶ f (xr0 ) ,
¶l
即
r
r
¶ f = lim f (x0 + tel ) -
r f (x0 ) .
¶ l xr0
t® 0
t
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关于方向导数的几点说明
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(2) 当t <0,
uuur P0 P
的方向与l
的方向相反，
rr
r
f (x0 + tel ) - f (x0 )
t = f (xr0 ) - f (xr0 + terl )
-t
表示
uuur PP0
(关于 l 的方向)的斜率.
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当 t ® 0,
的斜率，即
fx (x0, y0 ) = tan a ,
同理，
f y (x0 , y0 ) = tan b .
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n元函数的方向导数与偏导数
二元函数的方向导数的定义及偏导数定义可直 接推广到n元函数中.
方向导数定义为
¶ f = lim f (x0 + tel ) - f (x0 )
¶ l x0 t® 0
t
偏导数定义为
其中
¶f 禗xi
x0
=
lim
Dxi? 0
f (x0 +
D xiei ) xi
f (x0 )
x0 = (x0,1, x0,2 ,L , x0,n ).
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过直线
L : xr =
r x0 +
r tel
作平行于z
轴的平面л，
平面与曲面相交的曲线为C.
(1) 当t >0,
uuur P0 P
的方向与l
的方向相对应，
f (x0 + tel ) - f (x0 ) t
表示曲线C的割线
uuur P0 P
与向量 l
交角的正切值, 即
uuur P0 P
(关于 l 的方向)的斜率.
从而 ¶ f (0,0) = 0.
¶l
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偏导数的定义
定义3.2 设函数 z f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 的邻域 U (x0, y0) 内定义，若 f 在点 (x0 , y0 ) 处沿 x 轴( y 轴)
正向的方向导数存在，则称此方向为 f 在点 (x0, y0) 处对x ( y )的偏导数. f 对x的偏导数，记为
解：当 cosq ¹ 0 时，有
? f (0,0) = lim f (t cos q,t sin q) f (0,0)
¶l
t® 0
t
cosq×sin2 q sin2 q
=
lim
t® 0
cos2
q
+
t2 sin4 q
=
; cos q
当 cosq = 0 时，由于
f (t cosq,t sin q) - f (0,0) = 0,
x®
r x0 ,
割线转化为切线.
如果极限 lim f (xr0 + terl ) - f (xr0 )
t® 0
t
存在，那么曲线C 在点 P0 仅有唯一的切线T，
它关于
l 方向的斜率是方向导数
¶f ¶l
.
xr0
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例3.1. 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向
的方向导数.
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在
xr0与
r e
l
固定的情况下，当点x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在直线L
上变化时，函数
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t) = f (xr0 + terl ).
因此，f (x)在xr0 处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0
处的导数，即
¶ f = lim F (t) - F (0) = lim f (xr0 + terl ) - f (xr0 ) .
由
¶z ¶x
得
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二元函数偏导数的几何意义
由方向导数的意义知，z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 处
对x 的偏导数就是曲面 z = f (x, y) 与平面 y = y0 的交线
C
:
ìïïíïïî
z
= y
f =
(x, y0
y)
在点 M (x0, y0, f (x0, y0 )) 处切线 Tx