连续自然数的立方和

连续自然数立方和的公式

“图形法“

早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非

常简单的方法推导过这个公式。

奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证：

请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端：

第1个等式左端，结束于第1个奇数；

第2个等式左端，结束于第3个奇数；

第3个等式左端，结束于第6个奇数；

第4个等式左端，结束于第10个奇数；

第5个等式左端，结束于第15个奇数；

……

结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连

续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5

项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。

然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和：

右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。

左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。

这样就得到求连续自然数立方和的公式：

这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的

宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。

“列表法”

这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。

第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。

第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。

显然，所有乘积的和等于

这5块依次是：