岩土力学中应力计算
土力学3.土中应力计算
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
岩土力学中应力计算
的原因 附加应力 土 中
由于外荷（静的或动的） 在土体内部引起的应力， 记为σZ。
应 力
有效应力
土粒所传递的粒间应力， 记为σ′。
按其传
递方式
孔隙水压力
土中水传递的 孔隙应力， 记
孔隙应力 孔隙气压力
为u。
土中气传递的 孔隙应力。
土中应力计算的基本假定
假定地基土是均匀、连续、各向同性的半无限弹性体。
【解】
本例题天然地面下第一层粉质黏土厚6m，其中地下水位以 上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m；第二层为黏土层。依 次 计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重 应 力，计算过程及自重应力分布图一并列于下图中。
粉 质 黏 土
黏 土
习题2-1图
三、土中附加应力计算
上部 结构
应力矩阵
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
三维应力状态（轴对称应力状态）
应力条件
x y c
xy yz zx 0
水压 力c
应
c 0 0
力 矩
ij
0
c
0
阵
0 0 z
轴向力F
z
试 样
y
x
x y c
2、二维应力状态（平面应变状态）
o
y
z
x
1、当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由 水，计算时用土的浮重度。
2、当位于地下水位以下的土为坚硬黏土时（IL ≤ 0） ， 在饱和坚硬黏土中只含有结合水，对土体没有浮力 的作用，计算自重应力时应采用饱和重度。
3、地下水位以下黏土，当 IL > 1时，土处于流动状态， 土粒间存在大量的自由水，用土的浮重度。
4 土中应力计算
中心荷载基 底压力分布
F G p A
p——基础底面接触压力，kPa； F——上部结构传至基础顶面的竖向力值，kN； G——基础自重及其上回填土的总重，G＝γGAd，其中γG为 基础与回填土的平均重度，一般取20kN／m3，但在地下 水面以下部分应该取有效重度， d为基础埋深，从设计地 面或室内外平均设计地面算起； A——基础底面面积，m2。 如果为条形基础，长度大于宽度的10倍，则沿长度方向取 1.0m来计算。
• 压力为零的角点以下的 竖向应力：
z t p
l t 是n = 和 b z m= 的函数。 b
矩形面积上作用三角形 分布荷载时土中应力计 算
z t p
矩形面积受梯形荷载情况
• 把梯形荷载分成均布荷载和三角形荷载，分 别求解后，进行叠加即可。
例题 4.6
求荷载面上角点A、边 点E、中心点O以及 荷载面外F点及G点 各点下z=1m处的竖 向附加应力，并利用 计算结果说明附加应 力的扩散规律。
有地下水时自重应力分布
• 地下水位以 下的土受到 水的浮力作 用，水下部 分土的重度 按浮重度计 算。
有地下水时自重应力分布
• 不透水层及 层面以下的 自重应力应 按上覆土层 的水土总重 计算。
水平向自重应力计算
• 土的水平自重应力：
cx cy K0 cz
• 式中，K0称为侧压力系数，也称静止土 压力系数。
b 2 b 2
2 z pd
3
x z
2
2
2
均布条形荷载下土中应力计算
z u p
三角形分布条形荷载作用下土 中应力计算
b b 3 2z p 2 d z b 0 x 2 z 2 2 s p z x s f n , m b b dp
地层破裂压力计算公式
地层破裂压力计算公式地层破裂压力相关计算公式地层破裂压力是地层中发生裂缝或破裂的临界应力值，是岩土力学中的一个重要参数。
本文将列举几个与地层破裂压力相关的计算公式，并举例解释说明。
1. 维里准则(Von Mises Criterion)维里准则是地层破裂压力计算中常用的一个准则，其公式如下：维里应力= √[(σ₁ - σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)² + 6(τ₁₂² + τ₂₃² + τ₃₁²)]/ √2其中，σ₁、σ₂和σ₃为主应力，τ₁₂、τ₂₃和τ₃₁为主应力之间的切应力。
例子：假设某地层的主应力大小分别为σ₁ = 20 MPa，σ₂ = 15 MPa，σ₃ = 10 MPa，切应力大小分别为τ₁₂ = 5 MPa，τ₂₃ = 2 MPa，τ₃₁ = 3 MPa。
按照维里准则计算地层破裂压力：维里应力= √[(20 - 15)² + (15 - 10)² + (10 - 20)² + 6(5² + 2² + 3²)] / √2 = √[5² + 5² + (-10)² + 6(25 + 4 + 9)] /√2 = √[100 + 100 + 100 + 6(38)] / √2 = √[100 + 100 + 100 + 228] / √2 = √528 / √2 ≈ MPa因此，该地层的维里应力约为 MPa。
2. 摩尔—库伦准则(Mohr-Coulomb Criterion)摩尔—库伦准则是另一种常用的地层破裂压力计算准则，其公式如下：摩尔应力= (σ₁ - σ₃) / 2 + √[((σ₁ - σ₃) / 2)² + τ²]其中，σ₁和σ₃为主应力，τ为主应力之间的切应力。
例子：假设某地层的主应力大小分别为σ₁ = 20 MPa，σ₃ = 10 MPa，切应力大小为τ = 5 MPa。
土中应力计算概述
1、弹性力学法 2、数值计算方法，比如差分法、有限元法等。
第二节 土中自重应力计算
自重应力（geostatic stress）是由土体自重产生的
应力。
一、假定
1、土体表面为无限大的水平面。 2、土体在自重的作用下已压缩稳定。
二、竖向自重应力计算
1、成层土
n
cz ihi
式中
i1
1、假设：基底压力为线性分布。
2、轴心荷载作用
F G
p A
GGAd
式中：
F:上部结构传至基础顶面上的轴向力，kN； G:基础和其上覆土的总重量，kN；
G:基础及其上覆土的平均重度，初步设计时可取
20kN/m3；
d:基础埋深，从设计地面或室内外平均设计地面起算；
A:基础底面积，m2。
第三节 基底压力计算
二、习题
4.1，4.4，4.5，4.7
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
谢谢
基底压力(contact pressure of foundation base)：作用 于基础底面处土层单位面积上的压力。
一、影响基底压力分布的因素
1、荷载大小和分布。 2、地基土的性质和分布。 3、基础和上部结构与地基的相对刚度。 3、基础大小、形状和埋深。
第三节 基底压力计算
二、基底压力简化计算
式中： p0 pcd
土体中的应力计算
P 6e 1 A b
pmin
P 6e 1 A b
12
pmax
min
P 6e 1 A b
矩形面积单向偏心荷载
土不能承 受拉应力
P b e x y
p max
P b e
P b
压力调整
K e
L
x y
L
x
L
K=b/2-e
3K y pmin 0
L
y o b
L
b
L
pP A
P—集中力
P M y M yx p ( x, y ) x A Ix Iy
P’
P Pv Ph
P’
条 形
P’
b
b
b
p P b
P’—单位长 度上的荷载
P Mx p ( x) b I
P Pv Ph
14
§4.4竖直集中力作用下的附加应力计算
3
§4.2 地基中自重应力的计算
水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 侧限应变条件一维问题 计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
4
1.计算公式
均质地基
竖直向：
角点法
叠加原理
角点下垂直附加 应力的计算公式
地基中任意点的附加应 力
23
角点法计算地基附加应力
a.矩形面积内
C z ( aA aB a aD ) p
B
A
C
h
b.矩形面积外
1、土体中的应力计算
σ z α cp
z
M
m=L/B, n=z/B
（推倒公式见课本P18
z
查表1-3
L z c f ( B , L, z ) f ( , ) f ( m , n) B B
矩形面积垂直均布荷载角点下的应力分布系数αc
§1.3 地基附加应力 1.3.2 矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力
1.1.1 均质土中自重应力（σcz、σcx）
1.定义：自重应力—由土体自重在土中产生的力。 它是单位土体截面积上的平均应力。 2.计算: 基本假定:地面水平,地基是均质的各向同性的 半无限的直线变形体。
§1.1 土中自重应力
1.1.1 均质土中自重应力
σc z
A Z r rZ A
地面沉降使汛期河水外溢，全镇四周筑堤围堰形成“大包 围”，每年有半年时间靠排水站开泵排水，才能保证镇上 不被淹。 ——苏州东吴市盛泽镇
§1.1 土中自重应力 1.1.4 土质堤坝自身的自重应力
(有限构筑物的自重应力)
计算 面
计算 面
H γH1 H1 γH γH 0
地面
0
计算 面
§1 土中应力
3. 斜向偏心荷载下的基底压力
(参考其他土力学书籍)
将倾斜偏心荷载的合力分解成 竖向分量和水平分量。 竖向分量引起的基底压力按竖 直偏心荷载的计算公式计算 水平分量引起的基底压力按下 式计算 P Pv
Ph
矩形基础:
条形基础:
§1.2 基底压力 1.2.2 基底压力的简化计算
3. 斜向偏心荷载下的基压应力
M′
zm c p ( c1 c 2 )
（2）矩形荷载面边缘内一点的σz
土体中的应力计算
第三章土体中的应力计算学习指导内容简介建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。
在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形。
研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。
教学目标掌握土中自重应力计算、基底压力计算以及各种荷载条件下的土中附加应力计算方法。
学习要求1、掌握土中自重应力计算2、掌握矩形面积均布荷载、矩形面积三角形分布荷载以及条形荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方法3、掌握基底压力和基底附加压力分布与计算4、掌握太沙基的饱和土体的有效应力原理要点及完整表达式5、了解有效应力原理的工程应用基本概念自重应力、附加应力、有效应力、孔隙水压力、基底压力、基底附加压力、角点法、附加应力系数学习内容第一节概述第二节有效应力原理第三节地基中的自重应力第四节基底附加压力第五节地基中附加应力第六节应力路线学时安排本章总学时数：12学时第一节0.5学时第二节3学时第三节0.5学时第四节2学时第五节 3.5学时第六节 1.5主要内容第一节概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
土中应力的计算
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为 基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的 反作用力称为地基反力。 基础
F G
地基
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为 基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的 反作用力称为地基反力。
F
基础 基础
基底压 力
G
p
地基
第三节 基础底面压力
ZF
F
Z
s
cz
1 h1 2 h 2 3 h 3
i
hi
s
cz
i
hi w h
w
例题 2-1
某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位 在地表下1.0 m，计算土中自重应力并绘出分布
a 点： s cz h 0 b 点：
s
cz
1 h1
s
W F
ZF
F
cz
Z
式中 为土的重度，kN/m3 ； F 为土柱体的截面积m2。
自重应力σcz的分布:
随深度z线性增加，呈三角形分布。
s
cz
Z
均质土的自重应力
二、 成层地基土的自重应力
地基土通常为成层土。当地基为成层土体 时，设各土层的厚度为hi，重度为i，则在深 度z处土的自重应力计算公式
2、偏心荷载作用下基底压力:
p max p min F G A M W F G lb (1
p
F G A
6e b
)
Fk—作用在基础顶面形心的竖向力值. Gk-基础自重及台阶回填土总重，
Gk
G
Ad
土中应力的计算公式
2z3 pd
b 2
x
2
z2
p
arctan
1
2n'
arctan 1
2n'
2m
2m
4m 4n'2
4n2 4m2 1 4m2 1 2 16m2
u
p
土中应力计算
2) 计算土中任一点的主应力
取元素荷载宽度dx，可知
几种常见的基础底面形状及分布荷载
土中应力计算
作用时，土中应力的计算公式
圆形面积上作用均布荷载时
中点下
空间问题 矩形面积上作用均布荷载时 角点下
竖向分布荷载 作用下，土中 应力计算
任一点 矩形面积上作用三角形分布荷载时
均布线性荷载作用时
平面问题
任一点竖向应力
均布条形荷载作用时
任一点主应力
三角形分布条形荷 载作用时
1
2
3) 三角形分布条形荷载作用下的土中应力计算
土中应力计算
在地基表面作用三角形分布条形 荷载，其最大值为Pm，计算土中点 M(x，z)的竖向应力(如图所示)，可 按公式(4.17)在宽度范围内积分即得：
z
4.4.1 竖向集中力作用下的土中应力计算
法国数学家布西奈斯克 (J.Boussinesq)1885 年 给 出 了弹性力学的解答。
土中应力计算
α 是的(r/z)函数，可制成表 格查用。见表4-1。
4.4.2 竖向分布荷载作用下土中应力计算
土中应力计算
若在半无限土体表面作用一分
布荷载p(x,y) 。为了计算土中某
土中应力计算的方法
一、基底压力的实际分布规律
1．柔性基础 若一个基础作用着均布荷载，并假设基础是由许多小块组成， 如下图所示，各小块之间光滑而无摩擦力，则这种基础即为 理想柔性基础（即基础的抗弯刚度），基础上的荷载通过小 块直接传递到地基土上，基础随着地基一起变形，基底压力 均匀分布，但基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。
解出，故称为Flamant 解，是弹性力学中的一 个基本解。
采用极坐标时，Flamant解为
若采用直角坐标系，可根据弹性力学中的坐标变换公式，即
在地基基础工程中，最重要的附加应力分量是竖向附加应力 σz。由上图可见， 代入上式，可得 ，
则
式中： σz——地基中某点的竖向附加应力；
αl——线荷载作用下的竖向附加应力系数；
将侧限条件代入上式，得
令，称为土的侧压力系数或静止土压力系数，则
土的侧压力系数反映了水平应力与竖向应力的比值。不同的 土体，该值有所不同，一般情况下应采用实测法确定该值的
大小。无实测资料时，也可近似采用经验值，见P49表3－1。
从上面的分析可以看出，自重应力包括三个应力分量，但对
于地基自重应力场的分析与计算，主要针对竖向自重应力。
当上部荷载加大，基础边缘土中产生塑性变形区，边缘应力
不再增大，应力分布变为抛物线形。当荷载继续增加接近地 基的破坏荷载时，应力分布变成钟形。
从上面有分析可以看出，对于柔性基础在中心荷载作用下， 基底压力一般均匀分布。而对于刚性基础，基底压力一般不 是均匀分布，但为便于计算，一般也简化成均匀分布考虑。
应有一力距M=(F+G)e。此时，基底压
力分布应按左图所示，其最大值为pmax, 最小值为pmin。
根据材料力学公式有：
土力学2地基中应力计算
土力学2地基中应力计算土力学是研究土体力学性质的科学分支，其中地基中应力计算是土力学中的一个重要内容。
地基是建筑物的基础，承受着建筑物的重量和外部荷载的作用。
合理计算地基中的应力，对设计和施工都至关重要。
本文将介绍地基中应力计算的基本原理和方法。
地基中的应力可以分为两种类型：垂直应力和水平应力。
垂直应力是指垂直于地面方向的应力，也称为轴向应力。
水平应力是指平行于地面方向的应力，也称为环向应力。
地基的应力状态主要由建筑物的重力作用和地基外荷载共同决定。
首先要进行地基中垂直应力的计算。
垂直应力可以通过建筑物的重量和地基的承载力来计算。
一般情况下，建筑物的重量可以根据结构设计文件中的荷载参数进行估算。
而地基的承载力则需要根据土壤的性质和地基的几何形状来进行计算。
常用的计算方法有承载力极限平衡法和桩基承载力计算法。
通过这些方法可以计算出地基中的垂直应力分布。
接下来是地基中水平应力的计算。
水平应力的计算与地基的变形特点相关。
常见的地基变形包括沉降、倾斜和水平位移等。
根据土壤的弹性模量、剪切模量和地基的几何形状，可以利用弹性力学原理推导出地基中的水平应力。
对于直角边界条件的地基来说，可以通过弹性基础解法来进行计算。
而对于其它边界条件下的地基，需要使用有限元软件进行数值计算。
在进行地基中应力计算时，还需要考虑土体的强度特性。
土体的强度主要包括抗压强度、抗剪强度和抗拔强度等。
这些强度参数可以通过室内试验或现场试验来测定。
在计算地基中的应力时，需要按照土体的强度特性来确定土体的极限承载力和变形特性。
除了垂直应力和水平应力的计算，地基中的应力计算还需要考虑地下水的影响。
地下水可以对地基的应力产生很大的影响，特别是在饱和土的情况下。
地下水压力可以通过水文地质调查和现场测试来进行测定，并考虑到地基中的应力计算中。
总之，地基中应力的计算对于设计和施工都至关重要。
它直接影响到地基的稳定性和建筑物的安全性。
因此，在进行地基设计时，需要进行合理的应力计算，并结合实际情况进行工程应用。
土体中的应力计算
土体中的应力计算土体中的应力计算是土力学中的重要内容之一，应力是描述土体内部单元之间相互作用的物理量，应力计算可以帮助工程师了解土体行为，并为工程设计和分析提供依据。
本文将从应力的概念、计算方法和应力分析的应用等方面进行详细探讨。
一、应力的概念应力是描述物体内部受力情况的物理量，是单位面积上的力，通常用σ表示。
根据应力的作用方向，可以将应力分为正应力和剪应力两种类型。
正应力是指与应力面垂直的力，剪应力是指与应力面平行的力。
在土体中，通常将正应力分为垂直应力（垂直于土体中心轴线的应力）和水平应力（与土体中心轴线平行的应力）。
二、应力的计算方法土体中应力的计算可以通过静力平衡方程、弹性理论以及实验和数值模拟等方法进行。
1.静力平衡方程法：利用牛顿第二定律和力学平衡原理，根据土体受力平衡的条件来计算应力。
对于均匀土体来说，可以根据土体所受垂直和水平外荷载以及土体自重的大小来计算应力。
2.弹性理论：应力与应变之间的关系可以用弹性理论来描述。
在土壤力学中，常用的是弹性模量和泊松比来表示土体的弹性性质。
通过应变测量和加载试验，可以计算得到土体的应力应变关系。
3.实验和数值模拟法：通过设计合适的实验和进行数值模拟，可以直接或间接地测量土体中的应力。
例如，可以通过土钉或应变计等仪器来测量土体中的应力分布情况。
同时，通过数值模拟方法如有限元分析等，可以模拟土体中复杂的应力场分布。
三、应力分析的应用应力分析是土力学中的关键研究内容，它可以应用于工程设计和分析等方面。
1.基础工程设计：在土力学中，应力分析是基础工程设计的基础。
通过计算土体中的应力分布情况，可以确定土体中的强度和稳定性，从而指导基础工程的设计和施工。
2.土体力学性质研究：通过对土体中应力的分析，可以研究土体的力学性质和变形规律。
这对于土壤改良和地震灾害分析等方面具有重要意义。
3.岩土工程应用：应力分析可以应用于岩土工程相关的设计和分析。
例如，通过分析土体中的应力分布，可以确定边坡的稳定性和墙体结构的受力情况，从而指导工程设计和施工。
土木工程师-专业基础(水利水电)-岩土力学-土的应力分布及计算
土木工程师-专业基础（水利水电）-岩土力学-土的应力分布及计算[单选题]1.一地基中粉质黏土的重度为16kN/m3，地下水位在地表以下2m的位置，粉质黏土的饱和重度为18kN/m3（江南博哥），地表以下4m深处的地基自重应力是()。
[2017年真题]A.65kPaB.68kPaC.45kPaD.48kPa正确答案：D参考解析：自重应力计算公式为：σ＝γz。
式中，z为土层厚度；γ为土体重度。
计算时地下水位以上用天然重度，地下水位以下用有效重度（浮重度），即：γ′＝γsat－γw。
式中，γsat为粉质黏土的饱和重度；γw为水的重度。
故可得：γ′＝18－10＝8kN/m3，代入数据得：σc＝γh1＋γ′h2＝16×2＋8×2＝48kPa。
[单选题]2.引起土体变形的力是()。
[2013年真题]A.总应力B.有效应力C.孔隙水压力D.自重应力正确答案：B参考解析：有效应力是指通过颗粒接触点传递的力，直接与土的变形和强度相关，定义为饱和土体单位截面上由土颗粒承担的力。
对于饱和土体，可以推出土体中的总应力σ等于有效应力σ′与孔隙水压力u之和，即σ＝σ′＋u。
其中，有效应力决定着土体的变形和强度，一般需利用有效应力原理，通过确定总应力和孔隙水压力间接确定。
[单选题]3.均布载荷作用下，矩形基底下地基中同样深度处的竖向附加应力的最大值出现在()。
[2016年真题]A.基底中心以下B.基底的角点上C.基底点外D.基底中心与角点之间正确答案：A参考解析：当矩形基础底面受到竖直均布荷载作用时，基础的四个角点下任意深度z处的竖向附加应力均相同，计算公式为：σz＝Kcp0。
式中，p0表示基底附加压力，单位为kPa；Kc表示无因次附加应力系数。
对于非角点下地基中的应力可用角点法求得，即自计算点将荷载面分割为几个小矩形荷载面，计算点要位于各小荷载面的公共角点上，再利用角点公式计算各个小荷载面对计算点产生的附加应力，然后叠加。
土力学土体中的应力计算
自重应力分布规律
§4.2 自重应力
例4-1 某土层及其物理性质指标如
图4-5所示，计算土中自重应力。
解 第一层为细砂，地下水位以下的细 砂受到水的浮力作用，其浮重度为：
1 G （ （ 1 s1 G s-1 ） ） 2 1 .6 （ （ 9 9 2 1 .6 0 -.1 1 9 ） ） 8 1k N 0/m 3
土中的自重应力分布。
解 水下的粗砂受到水的浮力作用，其
浮重度为：
1 （ s- a t ） 1 .5 - 9 9 .8 9 1 .6 k N 9 /m 3
粘土层因为=20%<p=24%，则IL<0， 故认为土层不受水的浮力作用，土层面
图4-6
上还受到上面的静水压力作用。土中各
点的自重应力计算如下：
附加应力：是指土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、 堤坝荷载等）以及地下水渗流、地震等作用下附加产生的应 力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的 强度破坏和失稳的重要原因。
土中应力计算的目的和方法
§4.1 概述
1）碎散体
连续介质 （宏观平均）
线弹性
加载
2）非线性
线弹性体
弹塑性
（应力较小时）
b下点：z 10m, 但该点位于粘土层中，
a点：z 0,cz z 0
则 cz z h
b上点：z 10m,但该点位于粗砂层中，9.6910 9.8113 224.4kPa
cz z 9.691096.9kPa
c点：z 15m,cz
224.4 19.35 320.9kPa
自重应力算例
展而呈钟型分布，图c)桥梁墩台基础采用
钟 型
大块混凝土实体结构，其刚度很大，可认
第四章土体中的应力计算详解
土体中的应力计算
§4 土体中的应力计算
地基中的应力状态 应力应变关系 土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律 (2)侧限压缩试验
应力应变关系－以某种粘土为例
z p
非线性 弹塑性
1 Ee
1 Es
z
e0 (1 e0 )
侧限变形模量：
Es
z z
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
常规三轴试验与侧限压缩试验应力应变关系曲线的比较
z p
侧限压缩试验
常规三轴试验
z
e0 (1 e0 )
§4 土体中的应力计算 §4.1 应力状态及应力应变关系
三. 土的应力-应变关系的假定 1、室内测定方法及一般规律
变形模量 E 与侧限变形模量 Es 之间的关系
§4 土体中的应力计算 §4.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z
zx
y
xy
x
M
y yz
z
R2 r2 z2 x2 y2 z2 r / z tg
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x o y z
y yz
z xy x zx xz x
zx
• 垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 • 沿y方向有足够长度，L/B≧10 • 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
y 0 yx yz 0
xz
0 z
应力矩阵
x ij 0 zx
（一）基底压力
1、中心荷载下的基底压力 中心荷载下的基础，其所受荷载的合力通过基底形心。基
底压力假定为均匀分布，基底平均压力设计值按下式计算：
F G p A
G G Ad
G 20kN / m
A l b
3
a)内墙或内柱基础; b)外墙或外柱基础
图2-7 中心荷载下的基底压力分布
【习题2-1】 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于下图中。计
算地面下深度为 2.5m 、 5m 和 9m 处的自重应力，并绘出分布图。
【解】 本例题天然地面下第一层粉质黏土厚6m，其中地下水位以
上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m；第二层为黏土层。依次
计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重应 力，计算过程及自重应力分布图一并列于下图中。
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载
F+G
F G M pmax lb W min
M 偏心矩： e F G
x
l
e
b
y
F G 6e pmax 1 lb l min
p max
pmin
e l/6 e l /6 e l /6
pmin 0 pmin 0 pmin 0
地基中常见的应力状态
应力符号的规定
二、 土中的自重应力
均质土中竖向自重应力
G zA cz z A A
σcz 沿水平面均匀分布， 且与 Z 成正比，即随深度 线性增加，呈三角形分 布图形。
a)沿深度分布; b)任意水平面上的分布
图2-5 均质土中竖向自重应力
均质土中侧向自重应力及剪应力
2、有地下水时的基底附加压力
基础及其上回填土得总重：
G G Ad 201.5 2 1 101.5 2 1 90kN
基底平均压力：
F G 400 90 p 163 .3kPa A 1.5 2
基底处的土中自重应力：
ch md 181 (19.5 10) 1 27.5kPa
侧向自重应力：
cx cy K0 cz
u K0 1 u
静止侧压 力系数 土的泊松比
剪应力：
xy yx zx 0
注意
★ 对于成土年代长久，土体在自重应力作用下变形基本已 经稳定，土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效应力，为 了方便，将常用的竖向有效自重应力σcz简称为自重应力， 并改用符号σc表示。
P(1 ) xz x u (1 2 ) 3 2E R R( R z ) P(1 ) yz y v (1 2 ) 3 2E R R( R z ) P(1 ) z 2 1 w 3 (1 2 ) 2E R R
非线性 弹塑性
成层土 各向异性
均质各向同性体 （土层性质变化不大）
E、与位置和方向无关
土的应力-应变关系曲线
理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
地基土中的几种应力状态
1、三维应力状态（一般应力状态） 应力矩阵
x xy xz ij yx y yz zx zy z
成层土中自重应力
cz 1h1 2 h2 n hn
i hi
i 1 n
地面
1 h1 2 h2
地下水
1h1
cz
2h2 2h3
z
sat w
3 h3
cy
cz
cx z
在地下水位以下，如埋藏有隔水层,由于不透水层 中不存在水的浮力，所以其顶面及其以下的自重应力 应按上覆土层的水土总重计算。
三维应力状态（轴对称应力状态） 应力条件
轴向力F
x y c xy yz zx 0
水压 力 c
试 样
z
y
x
应 力 矩 阵
c 0 0 ij 0 c 0 0 0 z
x y c
2、二维应力状态（平面应变状态） z
注意
★ 若计算点在地下水为以下，应根据土的性质确定是否需 要考虑水的浮力作用;若受浮力的作用，水下部分土柱的重 度应采用土的浮重度计算。 1、当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由 水，计算时用土的浮重度。 2、当位于地下水位以下的土为坚硬黏土时（IL ≤ 0） ， 在饱和坚硬黏土中只含有结合水，对土体没有浮力 的作用，计算自重应力时应采用饱和重度。 3、地下水位以下黏土，当 IL > 1时，土处于流动状态， 土粒间存在大量的自由水，用土的浮重度。 4、若0＜IL ≤ 1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水 的浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土 体受到水浮力作用来考虑。 5、如果是介乎砂土和坚硬黏土之间的土，则要按具体 情况分析选用适当的重度。
pmin
lb
Wx
Wy
p1 F G M x M y p2 lb Wx Wy
为了减小地基应力不均匀而引 起过大的不均匀沉降，通常要求：
pmax 1.5 ~ 3.0 pmin
黏性土≤1.5，无黏性土≤3.0
图 2-9 矩形基础在双向偏心荷 载下的矩形基底压力分布图
（二）基底附加压力
0
y
0
3、侧限应力状态 指侧向应变为零的一种应力状态 • 水平地基半无限空间体 • 在地基同一深度处土单元 的受力条件均相同 • 土质点或土单元无侧向应 变只有竖向变形
x y 对称面
x 0 0 ij 0 0 y 0 0 z
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 线形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力
竖向集中力下的地基附加应力
Boussinesq解（1885年）
Valentin
Joseph
Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理学家 和数学家，对数学、 物理、流体力学和 固体力学都有卓越 贡献。
图2-6 成层土中竖向自重应力
分 布 特 点
1、同一土层自重应力按直线变化； 2、分布线的斜率是容重的倒数； 3、土的自重应力分布曲线是一条折线,拐点在土层交 界处和地下水位处； 4、自重应力随深度的增加而增加。
某场地的地质剖面土如下图所示。求各土层交界处 【例题2-1】 及地下水位处的竖向自重应力，并绘出其分布图。
xy yz zx 0
x y 0
x y K 0 z
应力矩阵
土力学中应力符号的规定
进行土中应力状态分析时，符号规定与材料力学相反 法向应力：压应力为正，拉应力为负 剪应力：逆时针方向为正
小
应力计算时的基本假定
结
• 连续 • 弹性 • 均质、各向同性 • • • • 三维应力状态 轴对称应力状态 平面应变状态 侧限应力状态
第二章 土中应力计算
土中自重应力的计算
土中附加压力的计算 土中附加应力的计算
有效应力原理
本章脉络
应力状态
渗流问题 强度问题 变形问题 稳定问题
应力应 变关系
线弹性体 自重应力计算 附加应力计算
有效应力原理 一维固结理论
基底压力计算
一、 概述
自重应力
土 体 受 到 自身 重 力 作 用而 产生的应力， 记为σCZ。
由于外荷（静的或动的） 在土体内部引起的应力， 记为σZ。 土粒所传递的粒间应力， 记为σ′。
按产生 的原因 土 中 应 力
按其传 递方式
附加应力
有效应力
孔隙水压力 孔隙应力 孔隙气压力
土中水传递的 孔隙应力， 记 为 u。 土中气传递的 孔隙应力。
土中应力计算的基本假定
假定地基土是均匀、连续、各向同性的半无限弹性体。 碎散体 连续介质 （宏观平均） 线弹性体 （应力较小时）
粉 质 黏 土
黏 土
习题2-1图
三、土中附加应力计算
基础结构 的外荷载
上部 结构
地面
基底反力
基底压力
基础
地基
基底接触压（应）力的产生 建筑物荷重 基础 地基在地基与基础 的接触面上产生的压（应）力。
附加应力
地基沉降、强度
基底压力：基础 作用于地基的荷载效
应，是在基础底面与地基之间产生的 接触压（应）力。
基底附加压力：
p0 p ch 163.3 27.5 135.8kPa
小
结
• 荷载条件 • 基础条件 • 地基条件
• 弹性地基 • 弹塑性地基
基底压力分布的
影响因素
基底压力的分布
形式
简化计算方法
假定基底压力按直线 分布的材料力学方法
（三）附加应力
基本假定 地基土是各向同性、均质、连续的半无限弹性体 计算类型 • 集中荷载作用下的附加应力 空间 问题 平面 应变 问题 基本解 叠加原理
x xy xz ij yx y yz zx zy z
R2 r 2 z 2 x2 y 2 z 2
a)半空间任意一点M b)M点处的微单元体