高数4.2洛必达法则
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0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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例7 求 lim x x .
x 0
00 型
x ln x
解: 原式 lim e
x 0
e
x 0
lim x ln x
e
ln x lim x 0 1 x
e
1 lim x x 0 1 x2
0、、00、1、0
小结与作业 思考与练习 备用题
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0
－
0 0
回忆极限的四则运算法则:
如果 lim f ( x ) A, lim g( x ) B 且 B 0
f ( x) A 则 lim g( x ) B f ( x) 如果B 0, A 0, 则 lim 不存在 g( x )
型
n( n 1) x n 2 n！ lim lim 0 x x x x e e
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
取倒数 转化
0
取对数 转化
e
1 lim x x 1 1
e 1 .
例9 求 lim (cot x )
x 0
1 ln x
.
( 0 )
1 ln x
解:
取对数得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
,
1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x 1 x 0 ln x x 0 x x 原式 e 1 . 1, lim x 0 cos x sin x
如果 B A 0
四则运算法则不能用！
洛必达法则
0 一、 0
百度文库
型未定式
定理 1
2) f ( x) 与F ( x) 在U (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 x a F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim x a F ( x ) x a F ( x )
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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0 一、 0
型未定式
0 型 0
洛
例1. 求
解: 原式
3x 3 2 3x 2 x 1
2
洛
3 2
注意:
不是未定式不能用洛必达法则 !
0 0
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小结与作业
解:原式
洛
0 0
型
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
00
取倒数 转化
0
取对数 转化
1
0
【00,1∞,∞0】
型——幂指函数类
00 0 ln 0 【步骤】 取对数 1 ln 1 0 . 0 ln 0
00
1
0
例5. 求 lim x n ln x (n 0).
x0
0 型
解: 原式
洛
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
00
取倒数 转化
0
取对数 转化
1
0
例6. 求
例2. 求
洛 解: 原式
型
思考: 如何求 lim
0 0
π 2
arctan n
1 n
思考与练习
n
小结与作业
( n 为正整数) ?
备用题
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0、、00、1、0
x 2x 1 练习(1) 求极限 lim 2 x 1 x 1
2
x sin x (2) 求极限 lim 3 x 0 x
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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二、
型未定式
定理 2.
存在 (或为∞) (洛必达法则)
说明: 定理中x a 换为 x a , x a ,
x , x , x 之一, 定理仍然成立.
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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二、
型未定式
型
例3.求 解: 原式
xn 例4. 求极限 lim x x e
n
0
(n N )
n 1 nx x 解: lim x lim x e x x e
e 1.
0
【实质】 先化为复合函数： uv e vln u 利用复合函数的外层函数的连续性： 极限符号与函数符号交换位置，结合 洛必达法则求极限.
x 例8 求 lim x 1
1 1 x
.
( 1 )
1 ln x 1 x
解:
原式 lim e
x 1
e x 1
lim
ln x 1 x
§4.2 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
二、 型未定式 三、其它未定式
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
备用题
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上节主题:
微分中值定理
函数的性态 导数的性态
本节主题:
函数之商的极限 转化 未定式:
(
或
型)
洛必达法则 求极限.
导数之商的极限
在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大 那 0 么极限可能存在 也可能不存在这种限称为未定式 记为 －或 还有其它类型的未定式 0、、00、1、0
思考与练习
备用题
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6x 【注意】 （1） 上式中 lim 已不是未定式， x 1 6 x 2 不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
0 一、 0
型未定式
0 型 0
0 0
)
(洛必达法则)
备用题
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0、、00、1、0
小结与作业
思考与练习
0 一、 0
型未定式
推论1 定理 1 中 x a 换为下列过程之一: 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
0、、00、1、0
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例7 求 lim x x .
x 0
00 型
x ln x
解: 原式 lim e
x 0
e
x 0
lim x ln x
e
ln x lim x 0 1 x
e
1 lim x x 0 1 x2
0、、00、1、0
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回忆极限的四则运算法则:
如果 lim f ( x ) A, lim g( x ) B 且 B 0
f ( x) A 则 lim g( x ) B f ( x) 如果B 0, A 0, 则 lim 不存在 g( x )
型
n( n 1) x n 2 n！ lim lim 0 x x x x e e
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
取倒数 转化
0
取对数 转化
e
1 lim x x 1 1
e 1 .
例9 求 lim (cot x )
x 0
1 ln x
.
( 0 )
1 ln x
解:
取对数得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
,
1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x 1 x 0 ln x x 0 x x 原式 e 1 . 1, lim x 0 cos x sin x
如果 B A 0
四则运算法则不能用！
洛必达法则
0 一、 0
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型未定式
定理 1
2) f ( x) 与F ( x) 在U (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 x a F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim x a F ( x ) x a F ( x )
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型未定式
0 型 0
洛
例1. 求
解: 原式
3x 3 2 3x 2 x 1
2
洛
3 2
注意:
不是未定式不能用洛必达法则 !
0 0
0、、00、1、0
小结与作业
解:原式
洛
0 0
型
0、、00、1、0
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
00
取倒数 转化
0
取对数 转化
1
0
【00,1∞,∞0】
型——幂指函数类
00 0 ln 0 【步骤】 取对数 1 ln 1 0 . 0 ln 0
00
1
0
例5. 求 lim x n ln x (n 0).
x0
0 型
解: 原式
洛
0 0
0、、00、1、0
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三、其它未定式
解决方法:
通分 转化
0 0
00
取倒数 转化
0
取对数 转化
1
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例6. 求
例2. 求
洛 解: 原式
型
思考: 如何求 lim
0 0
π 2
arctan n
1 n
思考与练习
n
小结与作业
( n 为正整数) ?
备用题
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0、、00、1、0
x 2x 1 练习(1) 求极限 lim 2 x 1 x 1
2
x sin x (2) 求极限 lim 3 x 0 x
0 0
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二、
型未定式
定理 2.
存在 (或为∞) (洛必达法则)
说明: 定理中x a 换为 x a , x a ,
x , x , x 之一, 定理仍然成立.
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型未定式
型
例3.求 解: 原式
xn 例4. 求极限 lim x x e
n
0
(n N )
n 1 nx x 解: lim x lim x e x x e
e 1.
0
【实质】 先化为复合函数： uv e vln u 利用复合函数的外层函数的连续性： 极限符号与函数符号交换位置，结合 洛必达法则求极限.
x 例8 求 lim x 1
1 1 x
.
( 1 )
1 ln x 1 x
解:
原式 lim e
x 1
e x 1
lim
ln x 1 x
§4.2 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
二、 型未定式 三、其它未定式
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微分中值定理
函数的性态 导数的性态
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函数之商的极限 转化 未定式:
(
或
型)
洛必达法则 求极限.
导数之商的极限
在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大 那 0 么极限可能存在 也可能不存在这种限称为未定式 记为 －或 还有其它类型的未定式 0、、00、1、0
思考与练习
备用题
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6x 【注意】 （1） 上式中 lim 已不是未定式， x 1 6 x 2 不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
0 一、 0
型未定式
0 型 0
0 0
)
(洛必达法则)
备用题
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型未定式
推论1 定理 1 中 x a 换为下列过程之一: 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则