(优选)离散数学图论版
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孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
在有向图中,上式也可写成:
n
n
deg (i ) deg (i ) 2m
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
仅有的边。
图 8.1―6
两图同构的必要条件:(1)结点数相等;(2)边数相等;(3)度 数相同的结点数相等。
但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以 上3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次 数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b) 中的y仅与一个次数为1的点w邻接。
是同构的。 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一对 应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图 是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实 际上代表同样的组合结构。
例2 (a)、(b)两图是同构的。因为可作映射:g(1)=v3, g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈 v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中
向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。 每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的关系 图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无 向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向 边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,
且V(G)和E(G)限于有限集合。
约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向 边又表示无向边时用［a,b］。
在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同 终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图 中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这
几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数 称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重
数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。 非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。
(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简
单图,关系图都是线图。
图 8.1―3
定义 8.1―3 赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重 组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边的集合,f 是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。
右图给出一个赋权图。
V={v1,v2,v3};
第8章 图论
（优选）离散数学图论版
图 8.1-1
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若
边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。有 向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端 点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无
(1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实际意 义是删去结点v和与v关联的所有边。
有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条 边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向 图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无 向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤 立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为 自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论 的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回 路。
E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
图 8.1―7
8.1.4 图的运算
图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下:
定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉
(1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。
(2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。
前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项 之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。
wenku.baidu.com
定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各
结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。
图 8.1―5
8.1.3 图的同构
定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图, 若存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V, ［a,b]∈E当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且 ［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］有相同的重数,则称G和G′
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
在有向图中,上式也可写成:
n
n
deg (i ) deg (i ) 2m
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
仅有的边。
图 8.1―6
两图同构的必要条件:(1)结点数相等;(2)边数相等;(3)度 数相同的结点数相等。
但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以 上3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次 数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b) 中的y仅与一个次数为1的点w邻接。
是同构的。 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一对 应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图 是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实 际上代表同样的组合结构。
例2 (a)、(b)两图是同构的。因为可作映射:g(1)=v3, g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈 v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中
向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。 每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的关系 图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无 向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向 边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,
且V(G)和E(G)限于有限集合。
约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向 边又表示无向边时用［a,b］。
在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同 终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图 中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这
几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数 称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重
数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。 非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。
(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简
单图,关系图都是线图。
图 8.1―3
定义 8.1―3 赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重 组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边的集合,f 是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。
右图给出一个赋权图。
V={v1,v2,v3};
第8章 图论
（优选）离散数学图论版
图 8.1-1
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若
边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。有 向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端 点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无
(1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实际意 义是删去结点v和与v关联的所有边。
有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条 边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向 图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无 向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤 立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为 自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论 的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回 路。
E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
图 8.1―7
8.1.4 图的运算
图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下:
定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉
(1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。
(2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。
前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项 之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。
wenku.baidu.com
定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各
结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。
图 8.1―5
8.1.3 图的同构
定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图, 若存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V, ［a,b]∈E当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且 ［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］有相同的重数,则称G和G′