【初三数学一元二次方程基础知识点】初三数学一元二次方程知识点

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初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料习是一架保持平衡的天平，一边是付出，一边是收获，少付出少收获，多付出多收获，那么你们知道关于初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料大全，欢迎参阅。

初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

初三数学一元二次方程复习与总结江苏科技版

初三数学一元二次方程复习与总结某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程复习与总结学习目标：1. 加深理解一元二次方程的有关概念2. 熟练地应用不同的方法解方程3. 能应用方程的思想和方法解决实际问题4. 体会“降幂法”在解方程中的含义二. 重点、难点：重点：一元二次方程的解法与应用难点：一元二次方程的综合应用课堂教学（一）知识要点（1）本章知识结构（2）中考主要考点①利用一元二次方程的意义解决问题②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）④一元二次方程的解法⑤一元二次方程根的近似值⑥建立一元二次方程模型解决问题⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值⑧与一元二次方程相关的探索或说理题⑨与其他知识结合，综合解决问题【典型例题】例1. 写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1 _____________________________________________________解：答案不唯一，例如：x2＝0x2－x＝0例2. 用换元法解方程x 2－2x ＋xx 272-＝8，若设x 2－2x ＝y ，则原方程化为关于y 的整数方程是（） A. y 2＋8y －7＝0 B. y 2－8y －7＝0 C. y 2＋8y ＋7＝0D. y 2－8y ＋7＝0解：D 。

换元法的实质是整体思想的应用。

例3. 用配方法解方程：x 2－4x －1＝0解：利用配方法解一元二次方程的一般步骤是移项，二次项系数化为1，两边同时加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式、利用平方的意义求解。

例4.判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）一个解x 的X 围是（） A. 3＜x ＜3.23 B. 3.23＜x ＜3.24 C. 3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x解：一元二次方程根近似值是深层次地理解方程的重要概念，在实际应用中，作用很大。

一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)

一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（） A ．()2224x x -+= B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1x-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意；故选D ．【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程．【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值．【答案】2m =-．【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．【详解】根据题意得2220m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得22m m ⎧=±⎪⎨≠⎪⎩所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于的一元二次方程时，2m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．m 【答案】4【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【详解】解：由题意，得4022m m +≠⎧⎨-=⎩解|m|-2=2得m=±4，当m=4时，m+4=8≠0，当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m 的值为4．【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 32mx x x mx -=-+程，m 应满足什么条件？【答案】1m ≠【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案．【详解】解：2232mx x x mx -=-+，()()21320m x m x ∴-+--=结合题意得：10,m -≠ 1.m ∴≠【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．【答案】m=-1【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.【详解】解：由题意可得：12m +=且m -1≠0，解得：m=-1，∴当m=-1时，方程||1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

初三上册数学一元二次方程知识点公式法

初三上册数学一元二次方程知识点公式法一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为Ax^2 + Bx + C = 0的方程，其中A、B 和C都是已知的实数且A ≠ 0。

其中，A是二次项系数，B是一次项系数，C是常数项。

一元二次方程的解一元二次方程的解可以通过求根公式来求得。

求根公式为：x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)。

其中，“±”表示两个解，即正负两个值。

如果根的判别式D = B^2 - 4AC大于0，方程有两个不相等的实数根；如果D = 0，方程有两个相等的实数根；如果D < 0，方程没有实数根。

一元二次方程的性质1.一元二次方程的图像是抛物线。

当A > 0时，抛物线开口朝上；当A < 0时，抛物线开口朝下。

2.一元二次方程的对称轴是x = -B/2A。

对称轴将抛物线分成两个对称的部分。

3.一元二次方程的顶点坐标为(-B/2A, f(-B/2A))，其中f(x)为方程的解析式。

4.一元二次方程的解的个数与判别式D的大小相关。

当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；当 D = 0时，方程有两个相等的实数根；当D < 0时，方程没有实数根。

5.一元二次方程的解与方程的系数有关。

如果改变A、B、C的大小，方程的解也会相应改变。

公式法解一元二次方程的步骤1.将方程写成标准形式：Ax^2 + Bx + C = 0，其中A ≠ 0。

2.计算判别式D = B^2 - 4AC。

3.根据判别式的大小判断方程的解的个数：–当D > 0时，方程有两个不相等的实数根，可以使用求根公式直接计算。

–当D = 0时，方程有两个相等的实数根，可以使用求根公式直接计算。

–当D < 0时，方程没有实数根，无法使用求根公式计算。

4.如果方程有实数根，使用求根公式计算解：–x1 = (-B + √D) / (2A)–x2 = (-B - √D) / (2A)例题演示例题1：解一元二次方程 2x^2 - 5x + 2 = 0。

初三数学一元二次方程知识点

初三数学一元二次方程知识点一元二次方程知识点概述一、一元二次方程的定义一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

一般形式为：\[ ax^2 + bx + c = 0 \]其中，\( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是已知的实数，且 \( a \neq 0 \)。

二、解的性质1. 判别式：\[ \Delta = b^2 - 4ac \]- 当 \( \Delta > 0 \) 时，方程有两个不相等的实数根。

- 当 \( \Delta = 0 \) 时，方程有两个相等的实数根（重根）。

- 当 \( \Delta < 0 \) 时，方程没有实数根，有一对共轭复根。

2. 根与系数的关系- 和的关系：\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)- 积的关系：\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)三、解法1. 配方法- 将方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 通过配方，转化为 \( (x + h)^2 = k \) 的形式，进而求得方程的根。

2. 公式法- 使用一元二次方程的求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]其中，\( \Delta = b^2 - 4ac \)。

3. 因式分解法- 当方程能够分解为两个一次因式的乘积，即 \( (mx + n)(px + q) = 0 \)，可以通过设置 \( mx + n = 0 \) 和 \( px + q = 0 \) 来求解。

4. 完全平方法- 类似于配方法，但适用于更广泛的情况，通过将方程左边变为完全平方的形式求解。

四、实际应用1. 面积问题- 利用一元二次方程解决实际问题中的面积最值问题。

2. 速度与加速度问题- 在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体在一定加速度下的速度变化。

3. 几何图形的对称性- 通过一元二次方程分析抛物线的对称性等几何特性。

初三数学一元二次方程知识点总结

初三数学一元二次方程知识点总结一、一元二次方程 1、一元二次方程含有个未知数，并且未知数的次数是2的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式: 。

它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做 . 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时,b a x ±=+，b a x ±-=，当b 〈0时,方程实数根.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把移到方程的右边，再把的系数化为1，再同时加上一次项的的平方，最后配成平方公式。

3、公式法公式法是用公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的分别代入，二次项的系数为a ，一次项的系数为b,常数项的系数为c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤:把方程化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为的形式三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21,acx x =21。

九年级一元二次方程知识点

九年级一元二次方程知识点一元二次方程在九年级的数学学科中是一个重要的知识点，它不仅出现在数学课堂上，也有很多实际应用。

掌握一元二次方程的基本概念、求解方法以及应用技巧对学生来说至关重要。

本文将从不同的角度分析和探讨九年级一元二次方程的知识点。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。

这个方程中的未知数x的最高次数是2，因此被称为二次方程。

在一元二次方程中，系数a、b、c扮演着重要的角色。

系数a的正负决定方程的开口方向，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

系数b、c则影响方程的解。

二、一元二次方程的解法对于一元二次方程，我们通常使用因式分解法、配方法和求根公式来解方程。

其中，因式分解法适用于方程可以被分解成两个一次因子的情况。

配方法可以将方程转化为完全平方的形式，从而求得方程的解。

而求根公式是根据二次方程的一般形式推导出来的，可以直接求得方程的解。

不同的解法适用于不同的情况，学生们需要根据具体题目的要求和方程形式选择合适的解法。

熟练掌握这些解法，并能够灵活运用在实际问题中，对于学生的数学能力提高大有裨益。

三、一元二次方程的应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。

举个例子，我们可以通过一元二次方程来解决一些与运动相关的问题。

如一枚子弹射出后，它的轨迹可以用一元二次方程来表示。

又如，某个物体从一定高度自由落体，我们可以通过一元二次方程来确定它到达地面所需的时间。

除了运动问题，一元二次方程还可以用来解决一些与商业、经济相关的问题。

比如，某公司的产品售价和销量之间存在着一定的关系，我们可以通过一元二次方程来分析这个关系，进而制定合理的销售策略。

又如，某商店购进商品的成本和售价之间存在着一定的关系，我们可以通过一元二次方程来确定最大利润的售价。

四、解一元二次方程的常见错误在解一元二次方程的过程中，学生们可能会犯一些常见的错误。

9年级一元二次方程的所有知识点

9年级一元二次方程的所有知识点一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 判断一个方程是否为一元二次方程的步骤。

- 首先看方程是否是整式方程。

- 再看方程是否只含有一个未知数。

- 最后看未知数的最高次数是否为2。

例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程，而x^2+(1)/(x)-1 = 0不是一元二次方程（因为它不是整式方程），xy + x^2=1也不是一元二次方程（因为它含有两个未知数）。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的方程，解为x=±√(k)。

- 例如，方程x^2=9，解得x = 3或x=-3。

- 对于形如(ax + b)^2=k(k≥0)的方程，解为ax + b=±√(k)，然后进一步求解x，即x=(-b±√(k))/(a)。

例如(2x - 1)^2=4，则2x - 1=±2，当2x - 1 = 2时，2x=3，x=(3)/(2)；当2x - 1=-2时，2x=-1，x =-(1)/(2)。

2. 配方法。

- 步骤：- 把方程化为一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 移项，使常数项移到方程右边，得到ax^2+bx=-c。

- 二次项系数化为1，即方程两边同时除以a（x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)）。

- 在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。

- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=-(c)/(a)+frac{b^2}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。

初三数学-一元二次方程知识点

初三数学一兀二次方程1.一元二次方程的定义及一般形式：（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0）。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是 2 :③是整式方程。

2.一元二次方程的解法（1 ）直接开平方法：形如（x a）2 b（b 0）的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a . b或者x a b，x a 、上。

注意：若b<0，方程无解（2）因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3）配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（x m）2 n（n 0）的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当n 0时，方程无解（4）公式法：_2 2一元二次方程ax bx c 0(a 0)根的判别式： b 4ac0 方程有两个不相等的实根：x —- 4aC (b 2 4ac 0) 2a 像与x 轴有两个交点0 方程有两个相等的实根 f(x)的图像与x 轴有一个交点0 方程无实根 f (x)的图像与x 轴没有交点3. 韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式 ax?+bx+c = 0之后，设它的两个根是 x-i 和x 2，则方程的系数a , b , c 之间有如下关系:X i ? X 2 = a4. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似① “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；② “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③ “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式, 即方程。

初三数学一元二次方程知识点总结

初三数学一元二次方程知识点总结一、一元二次方程、一元二次方程1方程叫做2的含有个未知数，并且未知数的次数是一元二次方程。

: .2、一元二次方程的一般形式的二次多项式，等式右它的特征是：等式左边十一个关于未知数x叫做一次项，叫做二次项系数；边是零，其中叫做二次项，。

b叫做一次项系数；c叫做2ax二、一元二次方程的解法:1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接2b)?(x?a开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

a??x?b0?ba?x，的平方根，当是根据平方根的定义可知，b 时，x??a?b，当b<0时，方程实数根。

2、配方法:，把公式中的配方法的理论根据是完全平方公式222a?2ab?b?(a?b)a222x?2bx?b?(x?b)看做未知数x，并用x代替，则有。

配方法的步骤：先把移到方程的右边，再把的系数化为1，再同时加上一次项的的平方，最后配成平方公式。

3、公式法公式法是用公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

的求根公式：一元二次方程2ax?bx?c?0(a?0)公式法的步骤：就把一元二次方程的分别代入，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为的形式三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程2)(a?0?bx?c?0ax的根的判别式，通常用“”来表示，即22)?0bx?c?0(axa?ac??b4??四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么2xx，)a?0(?bx?c?ax021bc，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方?xx?x??x2211aa程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

初三数学一元二次方程的根与判别式

初三数学一元二次方程的根与判别式一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它的解法直接关系到方程的根以及判别式的理解与应用。

本文将详细介绍一元二次方程的根与判别式的概念、求解方法以及实际应用。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a ≠ 0。

方程中的x为未知数，我们的目标是求出方程的根。

二、一元二次方程的根1. 实数根与复数根一元二次方程的根可以分为实数根和复数根两种。

当判别式D大于等于0时，方程有两个实根；当D小于0时，方程没有实数根，但有两个复数根，一般表示为a + bi和a - bi。

2. 根的性质与联结一元二次方程的根有以下性质：- 根与系数的关系：方程ax^2 + bx + c = 0的根之和等于-b/a，根之积等于c/a。

- 根的联结与系数的关系：设x1和x2为方程的两个根，则方程可以表示为x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0。

三、一元二次方程的判别式1. 判别式的定义与求解公式一元二次方程的判别式D定义为D = b^2 - 4ac。

通过判别式可以判断方程的根的情况。

根据判别式D的正负和大小，有如下结论：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

2. 判别式与方程类型的关系判别式D还可以与方程的类型相联系：- 当D > 0时，方程为两个相异的实数根的情况，此时图像是一个开口向上的抛物线。

- 当D = 0时，方程有且仅有一个实数根，此时图像是一个与x轴相切的抛物线。

- 当D < 0时，方程没有实数根，此时图像是一个没有与x轴交点的抛物线。

四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法若一元二次方程可以因式分解，则可以直接通过因式分解得到方程的根。

2. 公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

初三数学一元二次方程解法整理,附全面解析

初三数学一元二次方程解法整理，附全面解析1一元二次方程详细的解法配方法(可解全部一元二次方程)如：解方程：x^2-4x+3=0把常数项移项得：x^2-4x=-3等式两边同时加1(构成完全平方式)得：x^2-4x+4=1因式分解得：(x-2)^2=1解得：x1=3,x2=1小口诀：二次系数化为一;常数要往右边移;一次系数一半方;两边加上最相当。

公式法(可解全部一元二次方程)首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b^2-4ac)}/2a来求得方程的根关于高三数学中一个二次方程的解法，我也更新了自己非常有效的学习经验，包括如何调动孩子的学习积极性，自主学习，思维提升等等。

欢迎来我的主页看更多分析！尤其是首页的第一篇文章，我花了很多时间总结整理！希望能帮到你！因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。

如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：(x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-1代数法(可解全部一元二次方程)ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错,应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X/y=±√[(b^2)/4+c]2初三数学学习方法提高数学思维在复习过程中，系统复习初中数学知识后，以反复练习和测试为主，充分发挥学生的主体作用，使学生掌握各种题型的解题方法和技巧，提高学生的综合解题能力。

九年级数学上册《一元二次方程》全章复习巩固(教师版)知识点+详细解析

《一元二次方程》全章复习—知识讲解【学习目标】1。

了解一元二次方程及有关概念;2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3。

掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1。

一元二次方程的概念：通过化简后,只含有一个未知数（一元),并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2。

一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数;②未知数的最高次数为2。

对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆"来表示,即ac b 42-=∆ (1）当△〉0时，一元二次方程有2个不相等的实数根; （2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根; （3）当△〈0时，一元二次方程没有实数根。

2。

一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，, 那么ab x x -=+21，a c x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.四、列一元二次方程解应用题1。

利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系。

2。

解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列（根据题目中的等量关系，列出方程);解（解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰); 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义)；答（写出答案，切忌答非所问)。

初三一元二次方程的解法

初三一元二次方程的解法一元二次方程是一个非常重要的数学概念，它是初中数学中的一个重要内容，也是数学学习的基础之一。

掌握一元二次方程的解法，对于理解更高层次的数学概念和解决更复杂的数学问题都有着非常重要的意义。

一、直接开平方法直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它的理论依据是等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

例：解方程x^2 - 4x + 4 = 0解：将方程左边配方得：(x - 2)^2 = 0∴x1=x2=2二、因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法。

例：解方程2x^2 - 8x + 8 = 0解：原方程可化为：(2x-4)^2 = 0 ∴x1=x2=2三、公式法公式法是解一元二次方程的一种简便方法，它的理论依据是用求根公式解方程。

例：解方程2x^2 - 8x + 8 = 0解：∵a=2，b=-8，c=8∴b^2-4ac=(-8)^2-4×2×8=0∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/2a=2±√(4-4×8)/4=±√(4-4×8)/4=(2±2√2)/2=±√2∴x1=√2，x2=-√2四、配方法配方法是一种通过配方来解一元二次方程的方法。

这种方法需要先对原方程进行配方，然后再进行求解。

例：解方程x^2 + 6x + 9 = 0解：将原方程配方得：(x+3)^2 = 0∴x1=x2=-3五、分解因式法与公式法的综合运用在解一元二次方程时，我们常常需要综合运用分解因式法和公式法。

通过将方程进行因式分解，我们可以找到方程的根，然后再利用公式法进行求解。

例：解方程5x^2 - 10x + 5 = 0解：将原方程分解因式得：(5x-5)^2 = 0∴x1=x2=1六、其他方法除了以上几种方法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。

(人教版)九年级数学上册：《一元二次方程》全章知识小结

《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2（2）一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0(a ≠ 0) ，，并且未知数的最高次其中 ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。

（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程* （ 4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是 : ①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为 1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（ mx+n）2=p 的形式；⑤如果 p≥ 0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。

（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式2－ 4ac≥ 0时， ? ax2+bx+c=0 ，当⊿＝ b将 a、 b、 c 代入求根公式x=bb2 4ac2≥ 0）就得到方程的根．2a（ b -4ac（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式22（1）⊿＝ b －4ac 叫一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的根的判别式。

初三数学公式法解一元二次方程

初三数学公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的基本概念说到一元二次方程，大家可能会觉得有点陌生，但其实它就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a, b, c ) 是常数，( x ) 是我们要找的未知数。

听上去有点复杂，其实它就像是生活中的一场寻宝游戏。

只要掌握了公式，解题就变得轻松无比，甚至像吃饼干一样简单。

想象一下，方程就像一个巨大的宝藏图，待我们一步步去揭开谜底。

1.1 一元二次方程的形式一元二次方程可以分为标准形式、配方形式和根的形式。

标准形式是最常见的，大家都知道的 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

配方形式，听起来有点高大上，其实就是把方程转换成 ( a(x p)^2 + q = 0 ) 的样子，方便我们找到根。

而根的形式就像是在告诉你方程的答案到底在哪里，直接给出 ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。

这公式简直是揭开谜底的钥匙，谁还怕解方程呢？2. 解一元二次方程的步骤那么，具体该如何解呢？首先，我们要先确认一下 ( a ) 不能等于零，要不然方程就成了一次方程，没意思。

接着，我们要计算判别式 ( D = b^2 4ac )。

这个 ( D ) 的作用可大了，直接关系到方程有几个解。

如果 ( D > 0 )，恭喜你，有两个不同的实数解；如果 ( D = 0 )，恭喜你，只有一个解，这个解就像是一个孤独的旅行者；如果 ( D < 0 )，哎，那就没有实数解了，只能留给虚数朋友们来聚会。

2.1 计算判别式接下来，我们来深入了解一下这个判别式。

假设我们有方程 ( 2x^2 4x + 2 = 0 )，那我们就得计算 ( D = (4)^2 4 times 2 times 2 = 16 16 = 0 )。

这时候，咱们就可以得知，它有一个重根，也就是两个相同的解。

我们可以直接套入公式，得到 ( x = frac{(4) pm sqrt{0{2 times 2 = frac{4{4 = 1 )。

数学九上一元二次方程

数学九上一元二次方程一元二次方程是数学九上的重要内容之一，它在数学中具有广泛的应用。

本文将围绕标题展开，详细介绍一元二次方程的定义、性质、解法以及实际应用。

一、一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

其中，x为未知数，²表示x的平方。

二、一元二次方程的性质1. 一元二次方程的次数为2，即方程中最高次项的指数为2。

2. 一元二次方程的解可以是实数或复数。

3. 一元二次方程的图像是抛物线，开口方向由a的正负决定。

4. 一元二次方程的解的个数与判别式Δ=b²-4ac的正负有关。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解的方法求解。

例如，对于方程x²-5x+6=0，可以因式分解为(x-2)(x-3)=0，从而得到x=2或x=3。

2. 公式法：一元二次方程的解可以通过求根公式得到。

求根公式为x=(-b±√Δ)/(2a)，其中Δ=b²-4ac为判别式。

根据判别式的正负，可以得到方程的解的情况。

a) 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解。

b) 当Δ=0时，方程有两个相等的实数解。

c) 当Δ<0时，方程没有实数解，但可以有复数解。

四、一元二次方程的实际应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 物体自由落体运动：当物体自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用一元二次方程来表示。

例如，一个物体从高度h0自由落下，经过t秒后的高度h可以用方程h=h0-1/2gt²来表示，其中g为重力加速度。

2. 抛体运动：抛体运动是指物体在一定初速度和抛射角度下的运动轨迹。

抛体运动的轨迹可以用一元二次方程来表示。

例如，一个物体以初速度v0和抛射角度θ抛出，其水平方向的位移x和垂直方向的位移y可以分别用方程x=v0cosθt和y=v0sinθt-1/2gt²来表示。

初三数学九年级上册知识点——一元二次方程

九年级数学上册知识点一元二次方程一、一元二次方程1.一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法适用于解形如(x+a)²=b的一元二次方程。

当b≥0时，当b＜0时，方程没有实数根。

2.配方法一般步骤：（1）方程ax²+bx+c=0(a≠0)两边同时除以a，将二次项系数化为1。

（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。

（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方。

（4）配方，化成(x+a)²=b。

（5）开放，当b≥0时，当b＜0时，方程没有实数根。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式：4.因式分解法一元二次方程的一边为0，一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。

三、补充：一元二次方程根的判别式1.定义：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。

2.性质：当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程没有实数根。

四、补充：一元二次方程根与系数的关系如果方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x2，那么。