北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线与角平分线的应用类型》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析

专训2线段垂直平分线与角平分线的应用类型名师点金：本章内容除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用它们的轴对称的性质可以求线段的长度、角的度数，说明数量关系等，还可以解决实际生活中的问题．

利用线段垂直平分线的性质求线段的长

1．如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．

(第1题)

利用线段垂直平分线的性质求角的度数

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE 交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数．

(第2题)

利用线段垂直平分线的性质解决实际问题

3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？

(第3题)

利用角平分线的性质解决面积问题

4．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3 cm，求△ABC的面积．

(第4题)

利用角平分线的性质说明线段的数量关系

5．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.试说明：PC＝PD.

(第5题)

答案

1．解：因为△ACD的周长是14 cm，

所以AD＋CD＋AC＝14 cm.

又因为DE是BC的垂直平分线，

所以BD＝CD.所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB.

所以AB＋AC＝14 cm.

因为AB－AC＝3 cm，所以AB＝8.5 cm，AC＝5.5 cm.

2．解：因为∠1∶∠2＝2∶5，

所以设∠1＝2x，则∠2＝5x.

因为DE是线段AB的垂直平分线，

所以AD＝BD.

所以∠B＝∠2＝5x.

所以∠ADC＝180°－∠ADB＝∠2＋∠B＝10x.

因为在△ADC中，2x＋10x＝90°，

解得x＝7.5°，所以∠ADC＝10x＝75°.

(第3题)

3．解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．点拨：解决作图选点类问题，若要找到某两个点的距离相等的点，

一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找．

4．解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为点E，F.

(第4题)

因为BO是∠ABC的平分线，

且OD⊥BC，OE⊥AB，

所以OE＝OD＝3 cm.

同理OF＝OD＝3 cm.

所以S△ABC＝S△BOC＋S△ABO＋S△ACO＝1

2BC·OD＋

1

2AB·OE＋

1

2

AC·OF＝1

2(BC＋AB＋AC)·OD＝

1

2×20×3＝30(cm

2)．

(第5题)

5．解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，所以∠PEC＝∠PFD＝90°.

因为OM是∠AOB的平分线，

所以PE ＝PF.

因为∠AOB ＝∠PEO ＝∠PFO ＝90°，

所以由平行线的判别条件和性质可推出∠EPF ＝90°. 所以∠EPF ＝∠CPD ＝90°.

所以∠CPE ＝∠DPF.

在△PCE 和△PDF 中，

⎩⎪⎨⎪⎧∠CPE ＝∠DPF ，PE ＝PF ，∠PEC ＝∠PFD ＝90°，

所以△PCE ≌△PDF(ASA)．

所以PC ＝PD.