二次函数及三角形周长,面积最值问答
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
二次函数求三角形面积最大值的典型题目
二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一：哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。
这可咋整？我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。
我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。
老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。
”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。
我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。
我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！经过一番折腾，我终于有点明白了。
原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。
你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！篇二：哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。
当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？我就开始在草稿纸上乱画，心里想着：“这咋这么难呢？”同桌小明凑过来，瞅了瞅我的草稿纸，说：“你这算的啥呀，思路都不对！”我瞪了他一眼，回道：“那你行你上啊！”然后我俩就你一句我一句地争论起来。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
专题05 二次函数线段、周长、面积的最大值(解析版)
五、二次函数线段、周长、面积最值问题知识导航求最大值1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x+2交x轴于A、B，交y轴于点C．（1）求△ABC的面积；（2）D为抛物线的顶点，连接BD，点P为抛物线上点C、D之间一点，连接CP，DP，过点P作PM∥BD交直线BC于点M，连接DM，求四边形CPDM面积的最大值以及此时P点的坐标；【解答】解：（1）令，解得x1＝1，x2＝4，∴A（1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴C（0，2），∴S△ABC＝AB×OC＝；（2）设CD与x轴交于F，连接BP、过P作y轴平行线，交CD于G，交BD延长线于H，如图：∵y＝＝，∴顶点D（，﹣），∵C（0，2），B（4，0），∴直线CD解析式为y＝﹣x+2，直线BD解析式为y＝x﹣3，在y＝﹣x+2中，令y＝0得x＝，∴F（，0），∴BF＝，∴S△BCD＝BF•|y C﹣y D|＝××（2+）＝，设P（t，），则G（t，），H（t，），∴GP＝，PH＝∴S△CPD＝GP•|x D﹣x C|＝，S△PDB＝PH•|x B﹣x D|＝＝∴S四边形CPDB＝S△CPD+S△BCD＝﹣t2+t+，∵PM∥BD，∴S△MDB＝S△PDB，∴S△MDB＝t2﹣t+，∴S四边形CPDM＝S四边形CPDB﹣S△MDB＝（﹣t2+t+）﹣（t2﹣t+）＝﹣t2+4t ＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S四边形CPDM最大＝4，此时P（2，﹣1）；2．如图1，在直角坐标系中，批物线C1：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A 在B的左侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．（1）求抛物线C1的表达式；（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），OC＝3，∵tan∠CAO＝2，∴，∴AO＝，∴，∵B（4，0），∴设，将C（0，3）代入得：，∴，即，（2）过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，如图：∵PE∥x轴，PF∥y轴，∴∠PEF＝∠CBO，∠EFP＝∠BCO，∴△CBO∼△FEP，∴，∴，∴，设，由B（4，0）、C（0，3）得直线BC解析式为：，∴，∵PF＝y P﹣y F，∴，∴＝﹣（m﹣2）2+，∴，此时；3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B 左侧）．一次函数y＝x+b与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上任意一点，过点E作EF⊥y轴于点F，过点E作EP⊥AD交抛物线于点P．点P位于直线AD下方，求PE+EF的最大值及相应的P点坐标；【解答】解：（1）令y＝0得：x2﹣x﹣＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将A（﹣1，0）代入y＝x+b得：0＝﹣+b，∴b＝，∴AD的解析式为y＝x+，联立，解得x＝﹣1（舍），x＝4，∴；（2）过P作PG∥y轴，交FE延长线于G，如图：∵E在线段CD上，∴设E（m，m+），0≤m≤4，∴EF＝m，∵PE⊥AD，∴∠GEP＝90°﹣∠CEF＝∠ECF＝∠ACO，且∠G＝∠AOC＝90°，∴△AOC∽△PGE，∴＝，由AD的解析式为y＝x+知OC＝，OA＝1，∴OA＝2OC，∴PG＝2EG，PE＝EG，设EG＝a，则PG＝2a，∴P（m+a，m+﹣2a），代入y＝x2﹣x﹣得：m+﹣2a＝（m+a）2﹣（m+a）﹣，解得：a＝﹣m﹣1﹣或a＝﹣m﹣1+，∵点P在AD下方，∴a＝﹣m﹣1+，∴P（﹣1+，+﹣2）∴PE＝a＝﹣m﹣+5，∴PE+EF＝﹣5m﹣5+5+m＝﹣m﹣5+5，设＝t，则m＝﹣1，∴PE+EF＝﹣（﹣1）﹣5+5t＝﹣t2+5t﹣＝﹣（t﹣）2+，∴t＝即m＝时，PE+EF的最大值为，此时P（，﹣）；4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣），B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C．M 为直线AB下方抛物线上一点，过点M作PC平行线交BP于点N，求MN最大值；【解答】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣由于抛物线经过点B（﹣2，0），∴a（﹣2﹣1）2﹣＝0，解得：a＝，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）易知：D点坐标为（0，﹣4），可求得直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣4，由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y＝﹣x+b，又BP经过点B，得：﹣×（﹣2）+b＝0，解得：b＝﹣1，从而BP的解析式为y＝﹣x﹣1，∴该直线与抛物线的交点P的坐标为（3，﹣），又可求得点C（4，0），∴PC＝＝，过点M作ME∥x轴交直线BP于点E，设点M的坐标为（m，n），则点E的纵坐标为n，∴点E的横坐标为﹣2n﹣2，∴ME＝﹣2n﹣2﹣m，∵ME∥BC，MN∥PC，∴∠E＝∠PBC，∠MNE＝∠BPC，∴△MNE∽△CPB，∴，MN＝PC＝﹣（m+2n+2）＝﹣（m+m2﹣2m﹣8+2）＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，MN有最大值，5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；【解答】解：（1）如答图1所示，作AE∥y轴交BC的延长线于点E．令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；令y＝x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，则得点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）．∴BO＝OC＝3，OA＝1．∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝．又OC∥AE，∴，即，解得：CE＝，故线段BE＝BC+CE＝＝．（2）如答图2，在答图1基础上，作PF∥AE交BC于F．设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣3，0）、C（0，﹣3），，解得：．则直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点P坐标为（a，a2+2a﹣3），点F坐标为（a，﹣a﹣3），点E坐标为（1，﹣4），则PF＝﹣a﹣3﹣（a2+2a﹣3）＝﹣a2﹣3a，AE＝4．由PF∥AE，可得△DFP∽△DEA，∴＝＝．又△BDP与△ABD的底可分别看成是DP、DA，而高相等，故＝．∵，∴当a＝时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，）．6．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C．直线l：y＝﹣x+b交y轴于点E，交抛物线于A，D两点．P为直线l下方抛物线上一动点，点M，点N为直线l上的两个动点．（1）求S△ACD；（2）如图2，当PM∥x轴，PM∥y轴时，求PM+PN的最大值及对应的点P的坐标；【解答】解：（1）如图，连接AC，CD，抛物线解析式：y＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2），∵直线l：y＝﹣x+b过点A，把点A（﹣1，0）代入l的解析式，得+b＝0，∴b＝﹣，∴l：y＝﹣x﹣，由，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴D（2，﹣2），∴CD∥x轴，∴S△ACD＝•CD•OC＝＝2．（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），∵PN∥y轴，PM∥x轴，点M、N在直线l上，∴N（a，﹣a﹣），M（﹣a2+2a+2，a2﹣a﹣2），∴PM＝﹣a2+2a+2﹣a＝﹣a2+a+2，PN＝﹣a﹣﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2+a+，∴PM+PN＝﹣a2+a+2+（﹣a2+a+）＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣）2+，∴a＝时，（PM+PN）max＝，此时，P（，﹣）．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．（1）求抛物线的解析式．（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接P A，PB，PC，求当S△PBC﹣S有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．△P AC【解答】解：（1）∵C（﹣6，0），∴OC＝6，∵AC＝4，∴OA＝2，即A（﹣2，0），∵点A（﹣2，0），C（﹣6，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣6上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣6；（2）过点P作x轴的垂线，交x轴于点D，交BC于点E，如图，由（1）中抛物线的解析式可得B（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x﹣6，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣4m﹣6）（﹣6＜m＜0，且m≠0），∴D（m，0），E（m，﹣m﹣6），∴PE＝﹣m2﹣4m﹣6﹣（﹣m﹣6）＝﹣m2﹣3m，|PD|＝|﹣m2﹣4m﹣6|，∴S△PBC﹣S△P AC＝•PE•（x B﹣x C）﹣×|PD|•AC＝•（﹣m2﹣3m）×6﹣×|﹣m2﹣4m﹣6|×4＝﹣m2﹣9m﹣|﹣m2﹣4m﹣6|，当﹣6＜m＜﹣2时，﹣m2﹣4m﹣6＞0S△PBC﹣S△P AC＝﹣m2﹣9m﹣（﹣m2﹣4m﹣6）＝﹣m2﹣5m+6＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC﹣S△P AC的最大值为，P（﹣，）；当﹣2＜m＜0时，S△PBC﹣S△P AC＝﹣m2﹣9m﹣（m2+4m+6）＝﹣2m2﹣13m﹣6＝﹣2（m+）2+＜，∵＜，综上，当P（﹣，）时，S△PBC﹣S△P AC的最大值为；8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E 作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，AC＝3，∵AC∥直线m，∴△ACH的面积是定值，∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，∴E（﹣，）．。
二次函数与三角形面积(周长最小与面积最大问题2)
1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点A （1，0），C （0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 得面积为10，请写出所有点P 的坐标．2、（2016秋·新泰市月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=212x -+bx+c 经过点A （-2,0），C （4,0）两点，和y 轴相交于点B ，连接AB ，BC.（1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC 上方的抛物线上，找一点D ，使S △BCD ：S △ABC =1:4，并求出此时点D 的坐标.3、（永州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（-1，0）、（0点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长；（3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．4．（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2011•茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．6．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点A、C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．7．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．8、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0,4），B（1,0），C（5,0）,对称轴与x轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由.9、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2017春·新泰市校级月考）如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.11、（2016泰安）28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ．（1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；12、已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其中点A 在x轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA<OC ）是方程2540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含问题详解
成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点
实用标准文案
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）点 D 和点 C关于抛物线的对称轴对称，点你 F 在直线 AD上方的抛物线上， FG⊥AD于 G， FH∥ x 轴交
直线 AD于 H，求△ FGH的周长的最大值；
（ 3）点 M是抛物线的顶点，直线 l 垂直于直线 AM，与坐标轴交于 P、 Q两点，点 R 在抛物线的对称轴上，
1．如图所示，抛物线
实用标准文案
y=ax 2+bx﹣ 3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C．
（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）如图所示，直线 BC下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PE⊥ BC于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC
于点 F，求△ PEF周长的最大值；
大值．
（ 3）在满足第②问的条件下，在线段 BD上是否存在一点 P，使∠ DFP=∠ DBC．若存在，求出点 P 的坐标；
若不存在，说明理由．
6．如图，抛物线 y=﹣ x2+（m﹣ 1） x+m（ m＞ 1）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于
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点 C（ 0， 3）．
5．已知：如图，直线 y=﹣ x+2 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点， A点坐标为（﹣ 1， 0）．
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（ 1）求过 A、 B、 C三点的抛物线的解析式．
实用标准文案
（ 2）在直线 BC上方的抛物线上有一点 D，过 D作 DE⊥ BC于 E，作 DF∥ y 轴交 BC于 F，求△ DEF周长的最
8．如图，抛物线 y=﹣ x 2﹣ x+3 与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴与点 D，已知点
二次函数的周长与面积(含最值问题)
【知识梳理】一．二次函数之周长因为平面直角坐标系中点的坐标的几何意义为点到轴的距离，即横平竖直的线段长，所以处理二次函数压轴题的核心思想即为斜线段转化为横平竖直的线段（“斜转直”）．“斜转直”的几种处理思路：①斜线段转化为横平或竖直的线段；②计算有关周长或面积的问题其本质一般也可转化为计算线段，所以同样可利用“斜转直”来处理；③出现斜放的角时，一般也可根据该角构建直角三角形，来实现“斜转直”．二．二次函数之面积割补求面积——铅垂法：12APB B A S PM x x =⋅⋅- 12APB B A S PM x x =⋅⋅- Tips ：①过动点作铅垂线；②铅垂线平行于y 轴或垂直于x 轴．二次函数之周长与面积（含最值问题）【经典例题】【例一】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =（x ﹣2）2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，过点A 作AD ∥y 轴，交BC 于点D ，点P 在BC 下方的抛物线上（P 不与B ，C 重合），连结PC ，PD ，则△PCD 面积的最大值是．2．已知直线经过点A （0，2），B （2，0），点C 在抛物线2y x 的图象上，则使得ABC S =2的点有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1【例二】1.如图，抛物线2(3)3(0)y ax a x a=+++≠与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若126 5CC=，求m的值；（3）求△PBA面积的最大值以及此时点E的坐标．2.如图，二次函数()2302y ax x c a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点Q ，使△ACQ 周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上的一个动点，求△BCM 面积的最大值以及此时点M 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（-4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．求S 的最大值.4.如图，抛物线2=-++与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与y x bx c抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RMP与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【能力训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =-++与y 轴交于点A ，过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上一动点，过A 作AC x ⊥轴交抛物线222y x x =++于点C ，以AC 为边作等边ABC ∆，高AD 的最小值为．3．如图，P 是抛物线22y x x =-++在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为．4．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME y ⊥轴于点E ，连结BE 交MN 于点F ．（1）求F 的坐标．（2）求EMF ∆与BNF ∆的面积之和．5.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3）在抛物线上是否存在点G ，使得AEG S =3？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．。
二次函数之三角形面积最大值专题
432y 2+-=x x 1221y 2++-=x x =max y 21ah S ABC 21=∆专题一：二次函数与面积问题------类型1：三角形面积的最大值一、知识点睛1.点P 是抛物线 上一动点。
若设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标可表示为： ，∴点P 的坐标可表示为：2.如右图，AB ∥x 轴，BC ∥y 轴。
则线段BC= ，AB=故：“竖直方向”上的线段长 = —“水平方向”上的线段长 = —3.二次函数的一般式为： ，顶点式为： 例如：将 化为顶点式为： ，开口向 ，顶点坐标： ∴当x= 时，二、铅垂法（割补求面积） 坐标系中三角形面积公式：S= •一点引铅垂线段的长•另两点的水平宽锐角三角形中过点C 引的铅垂线 钝角三角形中过点C 引的铅垂线锐角三角形中过点B 引的铅垂线 ah S ABC 21=∆ 铅垂法的优点： 1.任何一点引铅垂线都可以 2.任何形状的三角形都适用 3.与三角形在第几象限无关 4.与三角形在不在坐标系无关 ah S ABC 21=∆三、典例讲解例1.已知二次函数62343y 2++-=x x 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 。
点P 是第一象限抛物线上一动点。
连结BC ，BP 和CP 。
当△BCP 面积最大时，求P 点坐标。
四、小试牛刀例2.如图，已知抛物线经过两点A(-3,0)，B(0,3)且其对称轴为直线x= -1（1）求此抛物线的解析式（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A 点B ）求△PAB 的面积最大值，并求出此时点P 的坐标。
五、能力提升1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线34383y 2--=x x 与x 轴交于点A(-2,0)，B(4,0)，与直线323y -=x 交于点C(0,-3)，直线323y -=x 与x 轴交于点D ，点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD 。
当△PCD 面积最大时，求点P 坐标.2. 如图，已知抛物线c bx ++-=2x y 过(1,4)与(4,-5)两点，且与一直线1x y +=相交于A,C 两点，(1)求该抛物线解析式.(2)求A,C 两点的坐标.(3)若P 是抛物线上位于直线AC.上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值.B C A O M N xy3.如图，抛物线经过A (-1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B 、C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接MB 、MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．4.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A (0, 4), B(1, 0), C(5, 0),其对称轴与x 轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴.（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）连接AC,在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N,使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标:若不存在，请说明理由.。
(完整版)二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案解析-推荐文档
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析 1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈4.03＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=1.5．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．可得F′（m ，m），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；。
二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN 的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x 轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM 重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈4.03＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN 的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=1.5．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．.可得F′（m ，m），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m ﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m ﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；可编辑。
难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题之三大考点(解析版)
难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题之三大考点【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最值问题】【考点二利用二次函数求周长最值问题】【考点三利用二次函数求线段最值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最值问题】1(2022春·九年级单元测试)如图，抛物线y =ax 2+bx +5经过点A -5,0 ,B -4,-3 ，与x 轴的另一个交点为C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线上一动点(与点B ，C 不重合)，设点P 的横坐标为t ，连接PB ，PC ，若点P 在直线BC 的下方运动，当△PBC 的面积最大时，求t 的值．【答案】(1)y =x 2+6x +5(2)t =-52【分析】(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线，求解即可得出其解析式；(2)首先求出直线BC 解析式，然后设点G t ,t +1 ，则点P t ,t 2+6t +5 ，利用△PBC 面积构建二次函数，即可求出最值．【详解】(1)由题意，得将A -5,0 ,B -4,-3 代入抛物线，得25a -5b +5=016a -4b +5=-3解得a =1,b =6，∴该抛物线的解析式为y =x 2+6x +5；(2)令y =0，0=x 2+6x +5，解得：x =-1或x =-5，即点C -1,0 ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，如图所示：设直线BC 的解析式为y =kx +c ，将B 、C 的坐标代入一次函数表达式，得-4k +c =-3-k +c =0 ，解得k =1,c =1，直线BC 为y =x +1，设点G t ,t +1 ，则点P t ,t 2+6t +5则PG =-t 2-5t -4，∴S △PBC =12x C -x B PG =32-t 2-5t -4 =-32t +52 2+278∴当t =-52时，其最大值为278．【点睛】此题主要考查求二次函数解析式以及三角形面积的最值问题，要求熟练掌握二次函数的图象和性质．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx -3a ≠0 的图象与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于C 点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点P 运动到什么位置时，使四边形ACPB 的面积最大，求出此时四边形ACPB 的面积最大值和P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3；(2)当m =32时，四边形ABCP 的最大值是758，P 32,-154．【分析】对于(1)，直接将点A ，B 的坐标代入关系式，即可求出答案；对于(2)，分别求出各线段的长，再表示出点P 的坐标，然后根据S 四边形ACPB =S △AOC +S △COP +S △BOP 列出二次函数，整理为顶点式，再讨论极值即可得出答案．【详解】(1)∵二次函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴交于A (-1,0),B (3,0)两点，∴a -b -3=09a +3b -3=0 ，解得：a =1b =-2 ，∴这个二次函数的表达式为：y =x 2-2x -3；(2)当x =0时，y =-3，∴点C (0,-3)．∵A (-1,0)，B (3,0)，∴AO =1，BO =3，CO =3．设点P 的坐标为m ,m 2-2m -3 ，S四边形ACPB =S △AOC +S △COP +S △BOP=12×1×3+12×3×m +12×3×(-m 2+2m +3)，=-32m 2+92m +6=-32m -32 2+758．∵a =-32<0，∴当m =32时，四边形ACPB 的最大值是758，此时点P 的坐标为32,-154．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求特殊图形的面积，求二次函数的极值等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和是解题的关键．2(2022秋·天津滨海新·九年级校考期中)如图，已知抛物线y =x 2-2x +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为-1,0 ．(1)求D 点的坐标；(2)连接BC 、CD ，说明∠BCD =90°；(3)若点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，当点P 位于何处时，△PBC 的面积最大？求出此时点P 的坐标．【答案】(1)D (1,-4)(2)见解析(3)P 32,-154 【分析】(1)将(-1,0)代入求出抛物线表达式，化为顶点式可得结果；(2)求出点B ，点C 坐标，分别求出BC 2，BD 2，CD 2，得到BC 2+CD 2=BD 2，即可证明结果；(3)过点P 作PR ⊥x 轴，垂足为R ，与BC 交于点Q ，求出BC 的解析式，设P a ,a 2-2a -3 ，则Q a ,a -3 ，得到PQ ，表示出△PBC 的面积，再根据二次函数的最值求解即可．【详解】(1)解：将(-1,0)代入y =x 2-2x +c ，则1+2+c =0，解得：c =-3，∴y =x 2-2x -3=x 2-2x +1-4=(x -1)2-4，∴D (1,-4)；(2)连接BD ，如图，∵y =x 2-2x -3，令x =0，则y =-3，即C 0,-3 ，∵A -1,0 ，D (1,-4)，∴B 1×2--1 ,0 ，即B 3,0 ，∵BC 2=32+32=18，BD 2=3-1 2+42=20，CD 2=12+12=2，∴BC 2+CD 2=BD 2，∴∠BCD =90°；(3)如图，过点P 作PR ⊥x 轴，垂足为R ，与BC 交于点Q ，设BC 的解析式为y =mx +n ，将B 3,0 ，C 0,-3 代入，得0=3m +n -3=n，解得：m =1n =-3 ，∴BC 的解析式为y =x -3，设P a ,a 2-2a -3 ，则Q a ,a -3 ，∴PQ =a -3-a 2-2a -3 =-a 2+3a ，∴△PBC 的面积为12×PQ ×x B -x C =12×-a 2+3a ×3=-32a -322+278，∵点P 在BC 下方，∴0<a <3，∴当a =32时，△PBC 的面积最大，此时，P 32,-154．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，正确表示出△PBC 的面积是解题关键．3(2023年辽宁省营口市中考模拟考试(一模)数学试卷)已知直线l 与x 轴、y 轴分别相交于A (1,0)、B (0,3)两点，抛物线y =ax 2-2ax +a +4(a <0)经过点B ，交x 轴正半轴于点C ．(1)求直线l 的函数解析式和抛物线的函数解析式；(2)在第一象限内抛物线上取点M ，连接AM 、BM ，求△AMB 面积的最大值及点M 的坐标．(3)抛物线上是否存在点P 使△CBP 为直角三角形，如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)一次函数解析式为：y =-3x +3，二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3(2)258，52,74(3)存在，点P 的坐标为(-2，-5)或(1，4)或1+52，5+52或1-52，5-52．【分析】(1)先利用待定系数法求得直线l 的函数解析式，求得点B 的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得点A 的坐标，然后根据题意和图形可以用含m 的代数式表示出S ，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；(3)分三种情况讨论，分别当BC 、PC 、PB 为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．【详解】(1)解：设y =kx +b ，把A (1,0)，B (0,3)代入得：k +b =00+b =3 ，∴k =-3，b =3，∴一次函数解析式为：y =-3x +3，把B (0,3)代入y =ax 2-2ax +a +4，∴3=a +4，∴a =-1，∴二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3；(2)解：连接OM ，把y =0代入y =-x 2+2x +3得，0=-x 2+2x +3，∴x =-1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，设点M (m ,-m 2+2m +3)，∵M 在抛物线上，且在第一象限内，∴0<m <3，∵A 的坐标为(1,0)，∴S =S △OBM +S △OAM -S △AOB=12×m ×3+12×1×(-m 2+2m +3)-12×1×3=-12m -522+258，∴当m =52时，S 取得最大值258．此时M 的坐标为52,74；(3)解：设点P (n ，-n 2+2n +3)，则BC 2=32+32=18，PC 2=n -3 2+-n 2+2n +3 2，PB 2=n 2+-n 2+2n 2，当PC 为斜边时，则n 2+-n 2+2n 2+18=n -3 2+-n 2+2n +3 2，解得n =0(舍去)或n =1，∴点P (1，4)；当PB 为斜边时，则n -3 2+-n 2+2n +3 2+18=n 2+-n 2+2n 2，解得n =3(舍去)或n =-2，∴点P (-2，-5)；当BC 为斜边时，则n -3 2+-n 2+2n +3 2+n 2+-n 2+2n 2=18，解得n =3(舍去)或n =0(舍去)或n =1+52或n =1-52，∴点P 的坐标为1+52，5+52 或1-52，5-52 ；综上，点P 的坐标为(-2，-5)或(1，4)或1+52，5+52或1-52，5-52．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．4(2023·广东佛山·统考三模)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 交直线y =-x +4于坐标轴上B ,C 两点，交x 轴于另一点A ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为线段BC 上一点，过点D 作直线l ∥AC ，交x 轴于点E ．连接AD ，求△ADE 面积的最大值；(3)若在直线l 上存在点P ，使得以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，求点P 的坐标．【答案】(1)y =-x 2+3x +4(2)52(3)342-1,-342 或(4,5)【分析】(1)根据直线y =-x +4，求出B (4,0)，C (0,4)，再代入二次函数解析式即可．(2)根据二次函数解析式，得到A (-1,0)，从而得出y AC =4x +4，再根据直线l ∥AC ，设y DE =4x +n ，将D(m ,-m +4)代入得n =-5m +4，得出y DE =4x -5m +4，则E 54m -1,0 ，从而得出S △ADE =-58(m -2)2+52，得出面积最大值．(3)根据菱形的性质进行分类讨论，①AC =CD ，根据D (m ,-m +4)，C (0,4)得出CD =2m =17，求出m 的值从而求解；②AC =AD ，D (m ,-m +4)，A (-1,0)，得出AD =2m 2-6m +17=17，求出m 的值从而求解．【详解】(1)∵直线y =-x +4于坐标轴上B ,C 两点，∴B (4,0)，C (0,4)，∵抛物线y =-x 2+bx +c 的图象过B ,C 两点，代入得，0=-16+4b +c4=c，解得b =3c =4，∴抛物线的解析式为：y =-x 2+3x +4；(2)如图，∵抛物线的解析式为：y =-x 2+3x +4，当y =0时，-x 2+3x +4=0，解得：x 1=-1,x 2=4，∴A (-1,0)，∵C (0,4)，∴y AC =4x +4，∵直线l ∥AC ，设y DE =4x +n ，∵点D 为线段BC 上一点，设D (m ,-m +4)，代入得，n =-5m +4，∴y DE =4x -5m +4，∴E 54m -1,0 ，∴AE =54m ，∴S △ADE =12∙54m (-m +4)=-58m 2+52m =-58(m -2)2+52，当m =2时，S △ADE 有最大值52．(3)存在，理由如下：∵A (-1,0)，C (0,4)，∴AC =12+42=17，∵以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，①AC =CD ，∵D (m ,-m +4)，C (0,4)，∴CD =m 2+m 2=2m 2=17，∴m =±342，∵点D 为线段BC 上一点，∴m =342，∵直线l ∥AC ，以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，∴AC =DP ，∵D (m ,-m +4)，∴P (m -1,-m )∴P 342-1,-342②AC =AD∵D (m ,-m +4)，A (-1,0)，∴AD =(m +1)2+(m -4)2=2m 2-6m +17=17，∴m 1=0,m 2=3，当m =0时，D (0,4)与点C (0,4)重合，不符合题意，舍去，当m =3时，D (3,1)，∵直线l ∥AC ，以点A ,C ,D ,P 为顶点的四边形为菱形，∴AC =DP ，∵D (m ,-m +4)，∴P (m +1,-m +8)∴P (4,5)综上所述：P 的坐标为342-1,-342或(4,5)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、面积最值、平面直角坐标系中两点之间的距离等相关知识点，知晓两直线平行，斜率相等是解决本题的关键．【考点二利用二次函数求周长最值问题】1(2023秋·河南周口·九年级统考期末)已知抛物线y =a (x -1)2-3(a ≠0)的图象与x 轴交于点A 、B (A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C 0，-2 ，顶点为D ．(1)试确定a 的值，并直接写出D 点的坐标．(2)试在x 轴上求一点P ，使得△PCD 的周长取最小值．【答案】(1)a =1，D (1，-3)(2)点P 的坐标为25，0；△PCD 的周长最小值为26+2．【分析】(1)将点C 坐标代入抛物线解析式中，求出a ，直接写成顶点坐标D ，即可得出结论；(2)利用对称性即可得出结论．【详解】(1)解：∵抛物线过点C 0，-2 ，∴a -3=-2，∴a =1，∴y =(x -1)2-3，∴顶点D 的坐标为(1，-3)；(2)解：如图，∵CD 是定值，△PCD 的周长要最小，∴PC +PD 最小，作点C 关于x 轴的对称点C 连接C D ，交x 轴于P ，即：点P 为所求作的点；∵C 0，-2 ，∴C 0，2 ，设直线C D 的解析式为y =kx +2，把(1，-3)代入得-3=k +2，解得k =-5，∴直线C D 的解析式为y =-5x +2，令y =0，则x =25，∴点P 的坐标为25，0；∵C △PCD =PC +CD +PD ，∵PC +PD min =PC +PD =C D =12+2+3 2=26，CD =12+3-1 2=2，∴C △PCD min =26+2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，求出点P 的坐标是解本题的关键．【变式训练】1(2022春·全国·九年级专题练习)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A -3，0 ，B 1，0 ，与y 轴交于点C 0，3 ，点D 为抛物线的顶点．(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使得△BCF 周长最小，若存在求点F 坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)y =-x 2-2x +3(2)存在，F -1,2 ；C ΔCBF =32+10【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出抛物线的对称轴x =-1，即可得出C 1-2,3 ，设直线BC 1的解析式为：y =kx +b ，求出解析式，把x =-1代入，求出F -1,2 ，再求出CF =2，CB =10，FB =22，即可求出周长．【详解】(1)将A -3，0 ，B 1，0 ，C 0，3 代入y =ax 2+bx +c 得:0=9a -3b +c 0=a +b +c 3=c,解得:a =-1b =-2c =3所以抛物线的函数表达式：y =-x 2-2x +3(2)存在；∵抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3，∴抛物线的对称轴x =-1，C 0,3 ，∴C 1-2,3 ，设直线BC 1的解析式为：y =kx +b ，∵B 1，0 ，∴3=-2k +b 0=k +b解得k =-1b =1 ，∴直线BC 1的解析式为：y =-x +1，把x =-1代入直线BC 1的解析式y =-x +1，得y =2，∴F -1,2 ；∴CF =3-22+0+1 2=2CB =1-02+3-0 2=10FB =-1-1 2+2-0 2=22∴C ΔCBF =CF +CB +FB =32+10【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解(2)题的关键．2(2023秋·浙江温州·九年级期末)如图，抛物线y =12x 2+bx -2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A -1,0 ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM 周长最小时，求点M 的坐标及△ACM 的最小周长；(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点P ，使得△CPB 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为：y =12x 2-32x -2；D 32,-258(2)△ACB 是直角三角形(3)M 32,-54，△ACM 的最小周长为：35(4)存在，P 2,-3【分析】(1)根据点A -1,0 在抛物线y =12x 2+bx -2上，解出b ，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点D 的坐标；(2)根据(1)得抛物线的解析式，求出点B 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；(3)当点M 在BC 与对称轴的交点上，根据点A ，点B 是对称点，连接AM ，则AM =BM 且A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，设BC 的解析式为：y =kx +b k ≠0 ，求出BC 的解析式，则得到点M 的坐标，即可；(4)以BC 为底，则S △CPB =12BC ∙h ，当点P 到BC 的距离最远时，△CPB 的面积最大如图所示，作直线l ∥BC ,当直线l 与抛物线y =12x 2-32x -2仅有一个交点时，h 最大，交点即为点P ．【详解】(1)∵点A -1,0 在抛物线y =12x 2+bx -2上，∴0=12-b -2，∴b =-32，∴抛物线的解析式为：y =12x 2-32x -2；∵顶点坐标公式为：-b 2a ,4ac -b 24a ，∴点D 32,-258．∴抛物线的解析式为：y =12x 2-32x -2；D 32,-258 ．(2)∵抛物线y =12x 2-32x -2与y 轴交于点C ，∴x =0，y =-2，∴OC =2，∵抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于点A ，点B ，∴0=12x 2-32x -2，∴x =-1，x =4，∴点B 4,0 ，∴OA =1，OB =4，AB =5，∵AC 2=OA 2+OC 2=5；BC 2=OC 2+OB 2=22+42=20；AB 2=25，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)∵点A ，点B 是对称点，点M 在BC 与对称轴的交点上，∴AM =BM此时A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，C △ACM =AC +BC =5+25=35；设BC 的解析式为：y =kx +b k ≠0 ，∴0=4k +b -2=b ，解得：k =12b =-2 ，∴y =12x -2当x =32时，y =12×32-2=-54，∴点M 32,-54 ；∴点M 的坐标为M 32,-54，△ACM 的最小周长为：35．(4)存在，理由如下：∵以BC 为底，∴S △CPB =12BC ×h ，当点P 到BC 的距离最远时，△CPB 的面积最大，作直线l ∥BC ，且与y =12x 2-32x -2仅有一个交点，设直线l 的解析式为y =kx +b ，∵l ∥BC ，∴k =12，即y =12x +b ，∵直线l 与y =12x 2-32x -2仅有一个交点，∴12x 2-32x -2=12x +b 仅有一个实数根，∴4-4×12×-2-b =0，解得b =-4，∴直线l 的解析式为：y =12x -4，由y =12x -4y =12x 2-32x -2，解得x =2y =-3 ，∴点P 2,-3 ．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离．3(2022秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 的对称轴为直线x =-1，且抛物线经过A 1,0 ，C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为点B ，其顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ．使△MAC 的周长最小，求出点M 的坐标．(3)在(2)的条件下，连接MD ，点E 是直线BC 上的一个动点，过点E 作EF ∥MD 交抛物线于点F ，以M ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)y =-x ²-2x +3(2)M (-1,2)(3)能；E 点坐标为(-2,1)或-3+172,3+172或-3-172,3-172 【分析】(1)由对称轴得到a 、b 的关系，再将A (1,0)，C (0,3)代入y =ax 2+bx +c 即可求解析式；(2)作点C 关于直线x =-1的对称点C '，连接AC '，与直线x =-1交点M ，当A 、M 、C '三点共线时，△MAC 的周长最小，求出直线AC '解析式即可求M ；(3)求出直线BC 的解析式y =x +3，设E (t ,t +3)，F (t ,-t 2-2t +3)，只需EF =MD =2即可求E 点坐标．【详解】(1)∵对称轴为直线x =-1，∴-b 2a=-1，∴b =2a ，∴y =ax 2+bx +c 为y =ax ²+2ax +c ，将点A (1,0)，C (0,3)代入y =ax ²+2ax +c ，得c =3a +2a +c =0，∴a =-1c =3 ，∴y =-x ²-2x +3；(2)令x =0；则y =3，∴C (0,3)，如图1，作C 点关于直线x =-1的对称点C '，连接AC '，与直线x =-1交点M ，∵CM =C 'M∴C △MAC =MA +MC +AC =MC '+AM +AC ≥AC '+AC ，∴当A 、M 、C '三点共线时，△MAC 的周长最小，∴C '(-2,3)，设直线AC '的解析式为y =kx +b ，得k +b =0-2k +b =3 ，∴k =-1b =3 ，∴y =-x +3，当x =-1时，y =2，∴M (-1,2)；(3)如图2，以M 、D 、E 、F 为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：∵y =-x 2-2x +3的顶点为D (-1,4)，∴MD =2，∵EF ∥MD ，∴当EF =MD 时，以M 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，令y =0，则-x 2-2x +3=0，∴x =1或x =-3，∴B (-3,0)，设直线BC 的解析式为y =k 1x +b 1，∴-3k 1+b 1=0b 1=3 ，∴k 1=1b 1=3 ，∴y =x +3，∵点E 是直线BC 上的一个动点，设E (t ,t +3)，∵EF ∥MD ，∴F (t ,-t 2-2t +3)，∴EF =t 2+3t ，∴2=t 2+3t ，解得t =-1(舍)或t =-2或t =-3+172或t =-3-172，∴E (-2,1)或E -3+172,3+172 或E -3-172,3-172 ，综上所述：以M 、D 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，E 点坐标为(-2,1)或-3+172,3+172或-3-172,3-172．【点睛】本题考查二次函数与四边形的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题关键．4(2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为3,0 ，(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标．(3)点E 为抛物线在第一象限上的一个点，连接BE ，CE ，当△BCE 的面积最大时，求出△BCE 的最大面积和点E 的坐标；【答案】(1)m =2， 抛物线的顶点坐标为(1，4)；(2)P 点坐标为(1，2)；(3)△BCE 的最大面积为278，点E 的坐标为：32,154 ．【分析】(1)将点B 的坐标为3,0 代入解析式中，即可求得m 的值，然后利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标；(2)根据A 、B 关于抛物线的对称轴对称，先连接BC 交抛物线对称轴于点P ，则此时PA +PC +AC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，从而求出P 点坐标；(3)过E 点作ED ⊥x 轴交BC 与点D ，利用E 、D 所在的图像设出坐标，再利用“铅垂高水平宽”求出面积与坐标的关系，最后利用顶点坐标求最值即可得解．【详解】(1)解：将点B 的坐标为(3，0)代入解析式y =-x 2+mx +3中得：0=-32+3m +3解得：m =2∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3顶点坐标的横坐标为：x =-b 2a =-22×-1=1，代入解析式中得y =-12+2+3=4，∴抛物线的顶点坐标为：(1，4)；(2)解：将x =0代入到y =-x 2+2x +3中，得：y =3，∴∴点C 的坐标为(0，3)，令y =-x 2+2x +3中y =0，得0=-x 2+2x +3，解得x =-1，或x =3，∴A -1，0 ，∴OA =1，OC =3，∴AC =OA 2+OC 2=12+32=10，∵根据A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 交抛物线对称轴于点P ，则此时PA +PC 的值最小，即△PAC 的周长PA +PC +PC 最小，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将B 、C 的坐标分别代入得：0=3k +b 3=b解得：k =-1b =3所以直线BC 的解析式为：y =-x +3将x =1代入到y =-x +3得：y =2∴P 点坐标为(1，2)；(3)解：过E 点作ED ⊥x 轴交BC 与点D ，设E 的坐标为x ,-x 2+2x +3 ，D 的坐标为x ,-x +3 ，C 到ED 的距离为h 1，B 到ED 的距离为h 2，由图可知h 1+h 2=OB =3，∴ED =-x 2+2x +3 --x +3 =-x 2+3x∴S △BCE =S △DC △+S △BDE =12ED ⋅h 1+12ED ⋅h 2=12ED h 1+h 2 =-32x 2+92x =-32x -32 2+278，∵-32<0∴当x =32时，△BCE 的面积最大，最大面积为278，将x =32代入y =-x 2+2x +3中，得：y =154，故当△BCE 的面积最大时点E 的坐标为：32,154 ．【点睛】此题考查的是①待定系数法求二次函数的解析式；②求两条线段之和最小时确定动点的位置问题；③利用“铅垂高水平宽”求面积最值问题．解决此题的关键是掌握如何确定两条线段之和最小时动点的位置和把面积最值问题转化成二次函数最值问题．5(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O 0,0 ，E 10,0 ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧)，点C ，D 在抛物线上，设B t ,0 ，当t =2时，BC =4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】(1)y =14x 2-52x (2)当t =1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ，求出点C 的坐标，将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ，则AB =10-2t ，再得出BC =-14t 2+52t ，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；(3)连接AC ，BD 相交于点P ，连接OC ，取OC 的中点Q ，连接PQ ，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形，则PQ =CH ，PQ =12OA ．求出t =2时，点A 的坐标为8,0 ，则CH =12OA =4，即可得出结论．【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ．∵当t =2时，BC =4，∴点C 的坐标为2,-4 ．将点C 坐标代入表达式，得2a 2-10 =-4，解得a =14．∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x ．(2)解：由抛物线的对称性得：AE =OB =t ，∴AB =10-2t ．当x =t 时，BC =-14t 2+52t ．∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412．∵-12<0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为412．(3)解：连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ．∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P．．由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ=CH．∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点．OA．∴PQ=12当t=2时，点A的坐标为8,0，OA=4．∴CH=12∴抛物线平移的距离是4．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．【考点三利用二次函数求线段最值问题】1(2023·上海·九年级假期作业)如图，已知抛物线F1：y=-x2+5，抛物线F2与F1关于点1，0中心对称，F1与F2相交于A，B两点，点M在抛物线F1上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线F2上，也位于点A 和点B之间，且MN⊥x轴．(1)求抛物线F2的表达式；(2)求线段MN长度的最大值．【答案】(1)y=(x-2)2-5(2)8【分析】(1)先求出抛物线F1：y=-x2+5的顶点坐标为0，5对称后的点，然后求出点0，5关于1，0坐标为2，-5，再抛物线F2的解析式为：y=(x-2)2-5；(2)先求出A、B两点横坐标分别为-1和3，设M(a,-a2+5)，N a,(a-2)2-5其中-1<a<3，则MN= -2a-12+8，求出最大值即可．【详解】(1)解：抛物线F1：y=-x2+5的顶点坐标为0，5，点0，5，对称后的点坐标为2，-5关于1，0∵抛物线F 2与抛物线F 1关于1，0 成中心对称，∴抛物线F 2的解析式为：y =(x -2)2-5．(2)解：∵抛物线F 1：y =-x 2+5与F 2：y =(x -2)2-5交于A 、B ，∴令-x 2+5=x -2 2-5，解得：x =-1或x =3，则A 、B 两点横坐标分别为-1和3，设M (a ,-a 2+5)，N a ,(a -2)2-5 ，其中-1<a <3，则MN =-a 2+5-[(a -2)2-5]=-2a 2+4a +6=-2(a -1)2+8，∴当a =1时，MN 最大为8．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．【变式训练】1(2023·四川巴中·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点A (-1,0)和B (0,3)，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x =m 与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN +MN 有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)当m =32时，AN +MN 有最大值为254(3)能，Q 1-12,154 、Q 272,-334 、Q 3-32,74【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；(2)设M m ,-m 2+2m +3 ，进而分别表示出MN ,AN ，得出关于m 的二次函数，根据二次函数的性质，0<m <3，即可求得最大值；(3)由(1)知，y =-x 2+2x +3向左平移后的抛物线为y =-x 2+4，由(2)知M 32,154,A (-1,0)，设P 1,y P ,Q x Q ,y Q ，假设存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以AM 为对角线时，②当以AQ 为对角线时，③当以AP 为对角线时．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点横坐标为1∴对称轴为x =1∵A (-1,0)∴与x 轴另一交点为(3,0)∴设抛物线为y =a (x +1)(x -3)∵B (0,3)∴a =-1∴y =-(x +1)(x -3)∴抛物线的表达式为y =-x 2+2x +3(2)∵M 在抛物线上∴设M m ,-m 2+2m +3∵M 在第一象限∴MN =-m 2+2m +3AN =m +1∴AN +MN =-m 2+2m +3+m +1=-m 2+3m +4∵0<m <3∴当m =32时，AN +MN 有最大值为254(3)由(1)知，y =-x 2+2x +3向左平移后的抛物线为y =-x 2+4由(2)知M 32,154 ,A (-1,0)设P 1,y P ,Q x Q ,y Q ，假设存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形．①当以AM 为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分∴x A +x M 2=x Q +x P 2，即-1+322=1+x Q2∴x Q =-12∵Q 在抛物线y =-x 2+4上∴y Q =154∴Q 的坐标为-12,154②当以AQ 为对角线时同理可得x A +x Q 2=x P +x M 2，即-1+x Q 2=1+322∴x Q =72则y Q =-334∴Q 的坐标为72,-334③当以AP 为对角线时x A +x P 2=x Q +x M 2，即-1+12=x Q +322∴x Q =-32则y Q =74∴Q 的坐标为-32,74综上所述：存在以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形．Q 的坐标为Q 1-12,154、Q 272,-334 、Q 3-32,74【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2-12x -2(2)存在，12PK +PD 的最大值为258，P 32,-3516 (3)1,6 或1,-4 【分析】(1)将A 、B 、C 代入抛物线解析式求解即可；(2)可求直线AB 的解析式为y =12x -2，设P m ,14m 2-12m -2 (0<m <4)，可求K 12m 2-m ,14m 2-12m -2 ，从而可求12PK +PD =-12m 2+32m +2，即可求解；(3)过A 作AM 2⊥AB 交抛物线的对称轴于M 2，过B 作BM 1⊥AB 交抛物线的对称轴于M 1，连接AM 1，设M 11,n ，可求AM 12=n 2+4n +5，BM 12=n 2+9，由AB 2+BM 12=AM 12，可求M 1，进而求出直线BM 1的解析式，即可求解．【详解】(1)解：由题意得16a +4b +c =04a -2b +c =0c =-2，解得：a =14b =-12c =-2，∴抛物线的解析式为y =14x 2-12x -2．(2)解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则有4k +b =0b =-2 ，解得：k =12b =-2 ，∴直线AB 的解析式为y =12x -2；设P m ,14m 2-12m -2 (0<m <4)，∴12x -2=14m 2-12m -2，解得：x =12m 2-m ，∴K 12m 2-m ,14m 2-12m -2 ，∴PK =m -12m 2-m =-12m 2+2m ，∴12PK =-14m 2+m ，PD =-14m 2-12m -2 =-14m 2+12m +2，∴12PK +PD =-14m 2+m -14m 2+12m +2=-12m 2+32m +2=-12m -32 2+258，∵-12<0，∴当m =32时，12PK +PD 的最大值为258，∴y =14×32 2-12×32-2=-3516，∴P 32,-3516 ．故12PK +PD 的最大值为258，P 32,-3516．(3)解：存在，如图，过A 作AM 2⊥AB 交抛物线的对称轴于M 2，过B 作BM 1⊥AB 交抛物线的对称轴于M 1，连接AM 1，∵抛物线y=14x2-12x-2的对称轴为直线x=1，∴设M11,n，∴AM12=12+n+22=n2+4n+5，AB2=22+42=20，BM12=4-12+n2=n2+9，∵AB2+BM12=AM12，∴n2+9+20=n2+4n+5，解得：n=6，∴M11,6；设直线BM1的解析式为y=k1x+b1，则有k1+b1=64k1+b1=0，解得k1=-2 b1=8 ，∴直线BM1解析式为y=-2x+8，∵AM2∥BM1，且经过A0,-2，∴直线AM2解析式为y=-2x-2，∴当x=1时，y=-2×1-2=-4，∴M21,-4；综上所述：存在，M的坐标为1,6或1,-4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．3(2023·海南海口·海师附中校考三模)如图，抛物线y=ax2+3x+c a≠0与x轴交于点A-2,0和点B，与y轴交于点C0,8，顶点为D，连接AC，CD，DB，P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；(3)M 为直线BC 上一点，求MO +MA 的最小值；(4)过P 点作PE ⊥x 轴，交BC 于E 点．是否存在点P ，使得△PEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：y =-12x 2+3x +8(2)当t =4时，△PBC 的面积最大，最大面积为32(3)241(4)存在，P 点的坐标为P 6,8 ，P 4,12 ，P 8-22,102-4【分析】(1)利用待定系数法求解析式；(2)利用抛物线的解析式求出点B 的坐标，得到直线BC 的解析式，过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点F ，交BC 于点G ，利用S △PBC =12×PG ×OB 求出解析式，利用函数性质解答即可；(3)作O 关于直线BC 的对称点为O ，得到四边形COBO 为正方形，则O 8,8 ，则MO +MA =MO +MA ，当A 、M 、O 三点共线时，MO +MA 最小，即为线段AO 的长，勾股定理求出AO 即可．(4)分三种情况：当CE =PE 时，当PE =PC 时，当CE =CP 时，分别求出点P 的坐标【详解】(1)解：由题意得：4a -6+c =0c =8 ，解得：a =-12c =8 ，∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+3x +8；(2)当-12x 2+3x +8=0时，得x =-2或x =8，∴B 8,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则8k +b =0b =8，解得k =-1b =8∴直线BC 的解析式为y =-x +8．如图，过点P 作PG ⊥x 轴，交x 轴于点F ，交BC 于点G ．设点P t ,-12t 2+3t +8 ，G (t ,-t +8)．∴PG =-12t 2+4t ．∴S △PBC =12×PG ×OB =12×-12t 2+4t ×8=-2t 2+16t =-2(t -4)2+32，∴当t =4时，△PBC 的面积最大，最大面积为32；(3)作O 关于直线BC 的对称点为O ，连接O C 、O B 、OO 、OM ，如图，∵∠CBO =45°，OB =OC ，∴四边形COBO 为正方形，则O 8,8 ，则MO +MA =MO +MA ，当A 、M 、O 三点共线时，MO +MA 最小，即为线段AO 的长，∴MO +MA 最小值为O A =AB 2+O B 2=102+82=241．(4)∵P t ,-12t 2+3t +8 ，∴E t ,-t +8 ，∵OB =OC =8，∴BC =2OB =82，∠OBC =∠BEF =∠CEP =45°∵BF =EF =8-t∴BE =2BF =28-t ，∴CE =CB -BE =82-28-t=2t ，PE =-12t 2+3t +8--t +8 =-12t 2+4t ，PC 2=t 2+-12t 2+3t +8-8 2=14t 4-3t 3+10t 2，当CE =PE 时，-12t 2+4t =2t ，解得t =0或t =8-22，∴P 8-22,102-4 ；当PE =PC 时，则PE 2=PC 2，∴-12t 2+4t 2=14t 4-3t 3+10t 2，解得t =0(舍去)或t =6，∴P 6,8 ；当CE =CP 时，则CE 2=PC 2，∴2t 2=14t 4-3t 3+10t 2，解得t =4或t =8(舍去)，∴P 4,12 ，综上，P 点的坐标为P 6,8 ，P 4,12 ，P 8-22,102-4 ．【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．。
二次函数动点三角形面积最值问题
当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入，令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时，SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C （即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切）,此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。
(完整word版)二次函数面积和周长最值问题
二次函数面积和周长最值问题15、［淮南市洞山中学第四次质量检测，21，12分]（本题12分）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (1，0)、B （5，0）、C （0,5)三点。
(1)求这个二次函数的解析式；(2）过点C 的直线y =kx +b 与这个二次函数的图象相交于点E （4，m )，请求出△CBE 的面积S 的值。
16、（2012深圳市龙城中学质量检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4，0)，B （0，一4），C （2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(3分） （2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值;(4分)(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.(3分）25．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0)与双曲线k y=x相交于点A ，B ，且抛物线经过坐标原点，点A 的坐标为（﹣2,2)，点B 在第四象限内，过点B 作直线BC∥x 轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点,已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E ． (1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D,使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．yxECB A O F CBA O Mxy12．(山东省临沂市）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2)三点．（1）求此抛物线的解析式；(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA2。
求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编
，解得 m=﹣2．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函
数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意伴随直线的定义 的理解，在（2）①中分别求得 A、B、C、D 的坐标是解题的关键，在（2）② 中用 x 表示出△PBC 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较 强，难度适中．
2
y a x h k .例如：抛物线 y 2 x 1 3 的伴随直线为 y 2 x 1 3 ，即
2
y 2 x 1.
（1）在上面规定下，抛物线 y x 1 4 的顶点为
2
.伴随直线
为 和
；抛物线 y x 1 4 与其伴随直线的交点坐标为
1 2
8分
24（ 海南）.抛物线 y ax 2 bx 3 经过点 A 1, 0 和点 B 5, 0 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线 y
3 x 3 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且 5
1 2 1 ∴ OM AC ． 4
分别表示出线段的长，可得到关于 P 点坐标的方程，可求得 P 点坐标． 【解答】解： （1）∵抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0）， ∴ ，解得 ，
∴该抛物线对应的函数解析式为 y= x2﹣
x+3；
（2）①∵点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方， ∴可设 P（t， t2﹣ t+3）（1＜t＜5），
B M O N C x y A
4a 2b 4 0 ， 64a 8b 4 0
1 4
3 2
1 4
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求， 故选：A ． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值 【详解】解： 直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1； 当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选B ． 【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。
二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案
1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C （0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P 的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T 为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C （0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P 的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T 为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．百度文库- 让每个人平等地提升自我可得F′（m ，m ），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；3131。
中考二次函数面积最值问题(含答案)
For personal use only in study and research; notf o r c o m m e r c i a l u s e膅二次函数最值问题羄例 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x( 单位： cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积2S( 单位： cm) 随 x( 单位： cm)的变化而变化．荿(1) 请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 ( 不要求写出自变量 x 的取值范围 ) ；芇(2) 当 x 是多少时，这个三角形面积S 最大 ?最大面积是多少 ?袅解：（1）S1 x220x21<0∴S 有最大值螁（2）∵ a= -2b2020螂∴ x12a2（）2蚆∴ S 的最大值为S1******* 2002蚅∴当 x 为 20cm时，三角形面积最大，最大面积是2 200cm。
袃2. 如图，矩形 ABCD的两边长 AB=18cm， AD=4cm，点 P、Q分别从 A、 B 同时出发， P 在边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2cm的速度匀速运动， Q在边 BC上沿 BC方向以每秒 1cm的速度匀速运2动．设运动时间为x 秒，△ PBQ的面积为 y（cm） .袀（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；肆（2）求△ PBQ的面积的最大值 .莆解：（1）∵ S△PBQ= 1PB·BQ,2袄PB=AB－AP=18－ 2x，BQ=x，羈∴y= 1（18－ 2x）x，即 y=－ x2 +9x（0<x≤4）; 22蝿（2）由（ 1）知： y=－x +9x，膆∴y=－(x －9）2+81, ∵当 0<x≤9时， y 随 x 的增大而增大，2422蚁而 0<x≤4，∴当 x=4 时， y 最大值 =20，即△ PBQ的最大面积是 20cm.莁3．如图，在矩形 ABCD中， AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB边向点 B 以腿1cm/s 的速度移动，同时点 Q从点 B 出发沿 BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动，如袇果 P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．2螃（1）设运动开始后第t 秒钟后，五边形APQCD的面积为 Scm，写出 S 与 t 的函数关葿系式，并指出自变量t 的取值范围．蚈（2）t 为何值时， S 最小？最小值是多少？莃袄解：（1）第 t 秒钟时， AP=tcm，故 PB=（6﹣t ）cm， BQ=2tcm，袂故 S△PBQ= ?（ 6﹣t ）?2t= ﹣ t 2+6t肇∵S矩形 ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；肃（2）∵ S=t2﹣6t+72= （t ﹣3）2+63，∴当 t=3 秒时， S 有最小值 63cm．蚂4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园羀的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为 x（m）花园2蒇的面积为 y（ m）袄（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求自变量的x 的范围．蚃（2）当 x 取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？肈羆解：（ 1）∵四边形 ABCD是矩形，薄∴AB=CD， AD=BC，螄∵BC=xm， AB+BC+CD=40m，∴ AB=，蒁∴花园的面积为： y=x?=﹣ x2+20x（0＜x≤15）；莅∴y与 x 之间的函数关系式为： y=﹣ x2+20x（0＜x≤15）；莄（2）∵ y=﹣x2+20x=﹣（ x﹣ 20）2 +200，薂∵a=﹣＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，蕿∴当 x=15 时， y 最大，最大值 y=187.5 ．聿∴当 x 取 15 时花园的面积最大，最大面积为187.5 ．肅 5. 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1．薃试在 AB上求一点 P，使矩形 PNDM有最大面积．羂解：设矩形 PNDM的边 DN=x， NP=y，蒈则矩形 PNDM的面积 S=xy（2≤x≤4）袅易知 CN=4-x，EM=4-y．莀过点 B作 BH⊥PN于点 H肀则有△ AFB∽△ BHP袈∴AFBH ，即 24 x ， BFPH 1 y 3薆∴ y1 x 5 ，2蒂Sxy1 x25x( 2 x 4) ，2膈此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5，∴当 x ≤5时，函数值 y 随 x 的增大而增大，莇 对于2 x 4 来说，当 x=4 时， S 最大1 42 5412．2莆6．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．蒃(1) 要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？薁(2) 如果中间有 n( n 是大于 1 的整数 ) 道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多 少米？比较 (1)(2) 的结果，你能得到什么结论？螆肆解： (1) ∵长为 x 米，则宽为50x米，设面积为 S 平方米．3芀S x50 x1(x 250x)331 25)2 625虿( x33膆∴当 x25 时， S max625( 平方米 ) 即：鸡场的长度为 25 米时，面积最大．3螇(2) 中间有 n 道篱笆，则宽为50x米，设面积为 S 平方米．n 2则： S 50x1 ( x2 50 x)莂xn 2n 2肁1( x 25)2625n2n 2衿∴当 x25 时， S max 625( 平方米 ) n 2芃由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25 米．蒃即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．膀7．如图，矩形 ABCD的边 AB=6cm，BC=8cm，在 BC上取一点 P，在 CD边上取一点 Q，使∠ APQ 成直角，设 BP=x cm，CQ=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式．A DQB C芈P肃解：∵∠ APQ=90°,芁∴∠ APB+∠ QPC=90°.芈∵∠ APB+∠ BAP=90°,螈∴∠ QPC=∠ BAP，∠ B=∠ C=90°∴△ ABP∽△ PCQ.AB BP6x1x24螄,, ∴ y x ．PC CQ 8x y63节8. 小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米 ) 随矩形一边长x( 单位：米 ) 的变化而变化．蚀（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；膇（ 2）当 x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？蒄解：（1）根据题意，得S 60 2x x x230x 2莃自变量的取值范围是蝿（2）∵a 1 0，∴ S 有最大值薇芅膁当时，答：当为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225 平方米．肁羆9. 较难如图， A、B 两点的坐标分别是（ 8， 0）、（0，6），点 P 由点 B 出发沿 BA方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q由 A 出发沿 AO（O为坐标原点）方向向点 O作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0＜t ＜）秒．解答如下问题：羅（1）当 t 为何值时， PQ∥B O？膂（2）设△ AQP的面积为 S，膀①求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；虿螅解：（1）∵ A、 B 两点的坐标分别是（ 8，0）、（0，6），则 OB=6， OA=8，芄∴AB===10．莈如图①，当 PQ∥BO时， AQ=2t，BP=3t，则 AP=10﹣3t ．，解得t=，腿∵PQ∥BO，∴ ，即蒆∴当 t= 秒时， PQ∥BO．肁（2）由（ 1）知： OA=8，OB=6，AB=10．蚀①如图②所示，过点P 作 PD⊥x轴于点 D，则 PD∥BO，薈∴，即，解得PD=6﹣t ．芆 S= AQ?PD=?2t? （ 6﹣t ）=6t ﹣ t 2=﹣（t﹣）2+5，肂∴S与 t 之间的函数关系式为： S=﹣（t ﹣）2 +5（0＜t ＜），蝿当 t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．。
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二次函数与三角形周长，面积最值问题
知识点：1、二次函数线段，周长问题
2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题
3、二次函数面积最大值问题
【新授课】
考点1：线段、周长问题
例1.(2018·宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），
如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。
练习
1、如图，已知二次函数24
=-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
y ax x c
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
y
x
O
A
B
2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2. (2018•莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
练习
1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y=
2
0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．
（4）过点F作FG垂直X轴，并与直线BC交于点H，求FH的最大值。
2、 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =
-与抛物线21
4
y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．
考点2：二次函数面积最大值
1. (2018•泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
2.(2018•东营)如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)（a>0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习
1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC
课后练习
1、（2017·衢州）定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。
(1)直接写出抛物线的勾股点的坐标；
(2)如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件的点Q（异于点P）的坐标
2、如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =
++经过B 点，且顶点在直线52
x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断
点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴
交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．。