矩阵特征值的估计

解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
= 设A Ri =
( aij )
∑a
j =1 j ≠i n ij
i =1 4
6i
′ G4
G1′
′ G2
′ G3
2 3
10
O
Remark
A的n个盖尔圆中不一定都有特征值.
0 −0.4 如A = , 则A的盖尔圆为： 1 0.9
G1 : z − 0 ≤ 0.4, G2 : z − 1 ≤ 0.9,
A的特征值λ ∈ Gi ,
i =1
2
G2
1≤i , j ≤ n n
F
= tr ( AH A ) , A 1 max ∑ aij ,
1≤ j ≤ n i =1
A∞
= max ∑ aij , A 2 σ max ( 最大奇异值 )
1≤i ≤ n j =1
n
定理2
设A ∈ C
n×n
,λ是A的任意特征值，则
m∞
(1) λ ( 2) ( 3)
证
≤ A
λ ∈ Gi =
n
{z ∈ C
n
z − aii ≤ Ri } ,
或
i 1= i 1 =
λ ∈ Gi′=
{z ∈ C
n
z − aii ≤ Ri′},
即A的全部特征值都在它的n个盖尔圆的并集中.
证
设λ为A
a ) 的任一特征值，x (ξ , ξ , , ξ ) (=
ij n×n 1 2 n
n×n
∈ Cn×n ,记
= ai1 + + ai ,i −1 + ai ,i +1 + + ain ,
i = 1, 2, , n.
R′j =
∑a
i =1 i≠ j
n
ij
= a1 j + + a j −1, j + a j +1, j + + anj ,
j = 1, 2, , n. 称复平面上的圆域 Gi ={ z ∈ C z − aii ≤ Ri } ( i =1, 2, , n ) 为A的第i个 ( 行 ) Gerschgorin圆（盖尔圆） . 称Ri 为盖尔圆 Gi的半径.
G3 : z − 3 ≤ 2.
定理3
设A ∈ R n×n ,λ是A的任一特征值，则 n − 1 A − AH Im λ ≤ 2n 2 .
m∞
证明略.
n −1 Remark. n ≥ 1时， < 1. 因此用定理3的结论可 2n 得到特征值λ的虚部的更好的一个界.
2 1 0 例1 设A= −2 0 2 , 估计A的特征值的界. −1 −2 0
G1
λ1
1
事实上A的特征值
O
1 ± 0.44i λ1,2 = , 2 如图所示：有一个盖尔圆中有两个特征值.
λ2
定义2
在矩阵A的盖尔圆中，相交在一起的盖尔圆构成的 最大连通区域称为一个连通部分，孤立的一个盖尔 圆也是一个连通部分.
定理2（圆盘定理2）
设A ∈ Cn×n ,A的k 个盖尔圆形成一个连通区域D, 则在 D内恰有A的k 个特征值（按重数计算）；或A的k 个 列盖尔圆形成一个连通区域D′，则在D′内恰有A的k 个特征值.
= n max aij = A 1≤i , j ≤ n
m∞
.
3. 矩阵特征值界的估计 定理1 设A ∈ Cn×n ,λ是A的任意特征值，则
λ ≤ min A m , A m , A F , A 1 , A ∞ .
1 ∞
{
}
其中
A A
m1
= i 1= j 1
= a , A ∑∑
ij m∞
n
n
n max aij ,
H H y Ay y A y, = ( ) H
ห้องสมุดไป่ตู้
λ λ = = yH y
= Re λ
y H Ay ≤ A
H H
m∞
,
,
λ +λ
λ −λ
= 2
A+ A y = y 2
H A − A yH = y 2
y H By ≤ B
m∞
Im λ =
= 2
y H Cy ≤ C
m∞
.
推论1
Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵 的特征值为零或纯虚数.
n n n n 2 1 2 max aij ∑∑ ηi + ∑∑ η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1 i 1= j 1 =
n n n n 2 1 2 max aij ∑ ∑ ηi + ∑ ∑ η j j 1= 2 1≤i , j ≤ n = = = i i j 1 1 1
;
m∞
1 H Re λ ≤ A + A 2 1 Im λ ≤ A − AH 2
Bm ; =
∞
m∞
Cm . =
∞
设A ∈ Cn×n ,λ是A的任意特征值，x是A属于λ的特征向 量，x ≠ 0, 且Ax = λ x,
= 令 y
x ,= 则 y 2 1, = 且Ay λ y. x2
H H H
y y y Ay 于是 = λ λ = = , λ
证
当AH = A时， Im λ =
λ −λ
= 2
H λ −λ y = y 2
A− A = y y 0， 2
H H
即λ为实数.
当A = − A时，
H H λ +λ Re λ = = y = y 2 2 即λ为零或纯虚数.
λ +λ
H + A A = yH y 0， 2
{z ∈ C = {z ∈ C = {z ∈ C
z − 1 ≤ 0.13 ,
} z − i ≤ 0.15} , }
R3 = 0.03
R1 = 0.13
0.5
1
z − 0.5 ≤ 0.03 .
2. 圆盘定理 定理1（圆盘定理1）
设A =
( aij )
n
n×n
∈ Cn×n ,λ是A的任一特征值，则
i 1= i 1 =
则B H = B, C H = −C , 即B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵,且 A = B + C.
2. 一个基本引理 引理1
H 设A ∈ Cn×n , y ∈ Cn ,且 y= 则 y Ay ≤ A 1, 2 m∞
.
η1 η2 n×n n H a y y y y= 1, 设A = C , C , 且 ∈ = ∈ = ( ij )n×n 2 η n = 则 y H Ay
G4
6i
A的四个盖尔圆为： G1 : z − 2 ≤ 3; G2 : z − 3 ≤ 3; G3 : z − 10 ≤ 2; G4 : z − 6i ≤ 2. A的特征值λ ∈ Gi .
i =1 4
G1
G2
G3
2 3
10
A的4个列盖尔圆为： ′ : z − 3 ≤ 2; G1′ : z − 2 ≤ 3; G2 ′ : z − 10 ≤ 4; G4 ′ : z − 6i ≤ 1. G3 A的4个特征值都在 Gi′ 中.
二、Schur不等式 定理4
设A ∈ C
n×n n
,λ1 ,λ2 , ,λn是A的n个特征值，则
2 2 F
∑ λi ≤ A
i =1
= tr ( AH A ) .
证
设A ∈ Cn×n ,λ1 ,λ2 , ,λn是A的n个特征值，则由 Schur分解定理知，存在酉矩阵U 使得
λ1 r12 r1n r λ 2 2n H A URU = , 其中 R , λn
的圆心都在实轴上，所以每个都关于实轴对称.由于 它们是孤立的，所以Gi中有且仅有A的一个特征值.