平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用

对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(,的充要条件是：存在唯一的实数

，使b

a 由该定理可以得到平面内三点共线定理：

三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点

的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB uu u v u v u uu v

且1x y 。特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0

x

y

当点P 在线段AB 之外时，0xy

笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点

共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第

7题）已知等差数列

{a n }的前n 项和为S n ，若

1200OB

a OA a OC u u u r

u u u r u uu r

，且A 、B 、C 三点共线，

（设直线不过点O ），则S 200=（）

A ．100

B ．101

C ．200

D ．201

解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200

200()

1002

a a S ,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y

x AC y AB x AP .,，则

y

x 41

的最小值是

解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上B ，P,C 三点共线

AP xAB yAC

uu u r uu u r u uu r

Q 1x y 且x>0,y>014141444()1

()()1

4

5

y x y x x

y x

y

x

y x

y x

y

x

y

　Q x>0,y>0

40,

y x x

y

由基本不等式可知：

4424y x y x x y x y

，取等号时

4y x x y 2

2

4y

x

2y x 0,0x y Q 2y x 1x y Q 12,3

3

x

y

，符合

所以

y

x

41的最小值为9

点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起，较综合考查了学生基本功.

例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图

2，在△ABC 中，

13

AN

NC u u u r u u

u r ，点P 是BC 上的一点，若211

AP mAB

AC u u u r u uu r uu

u r ，则实数m 的值为（）A ．

911

B.

511

C.

311

D.

211解：,,B P N Q 三点共线，又Q 228411

11

11

AP mAB

AC mAB

AN

mAB

AN uu u r

u uu r uu u r u uu r uu u r u uu r u uu

r 81

11

m

311

m

，故选C

例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直

线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB u u u r

＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n

的值为．

解：Q 因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：

1()

2

AO AB AC u u u r

u u u r uu u r m AB AM uu u r uu uu r Q ＝，AC nAN

uu u r u u u r 1()2

AO mAM

nAN uu u r u u u u r u u u r 2

2

m n AO

AM AN uu u r u u u u r u u u r 又,,M O N Q 三点共线，由平面内三点共线定理可得：

1

2

2

m n 2

m n 例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图

5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q

分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP

，OB y OQ ，证明：

y

x

11是定值；

图3

图4

图2