2_传输线方程及其解
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2.1 传输线分布参数、传输线方程及解
(2-9)
四、无耗传输线的边界条件
对于终端边界条件场合，我们常喜欢采用z’(终端出 发)坐标系z’，计及Euler公式
jz ' e cos z ' j sin z ' jz ' cos z ' j sin z ' e
最后得到
U ( z ') U (l )cos z' jZ0 I (l )sin z ' U (l ) I ( z ') j sin z ' I (l )cos z' Z0
(2-3)
式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
二、传输线方程
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u( z , t ) Re U ( z )e jt jt i ( z , t ) R I ( z ) e e
(2-4)
(2-4)式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处 的电压或电流的有效复值。
一、低频传输线和微波传输线
这时，使我们更加明确了Guide Line的含义，导线只 是起到引导的作用，而实际上传输的是周围空间 (Space)(但是，没有Guide Line又不行)。D和d是特 征尺寸，对于传输线性质十分重要。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
图 2-4
双导线
二、传输线方程
传输线方程也称电报方程。在沟通大西洋电缆 (海底电缆)时，开尔芬首先发现了长线效应：电报 信号的反射、传输都与低频有很大的不同。经过仔 细研究，才知道当线长与波长可比拟或超过波长时， 我们必须计及其波动性，这时传输线也称长线。 为了研究无限长传输线的支配方程，定义电压u 和电流i均是距离和时间的函数，即
第2章传输线理论
j z
1 2Z0
(U1
I1Z0 )e
j z
(2―2―14)
同样可以写成三角函数表达式
U (z)
U1 cos z
jZ0
sin z
I
(
z)
j
U1 Z0
sin
z
I1
cos
z
(2―2―15)
第2章 传输线理论
三、入射波和反射波的叠加 由式(2―2―5)和式(2―2―6)两式可以看出,传输线 上任意位置的复数电压和电流均有两部分组成,即有
U (z)
A1e j z
A2e j z
Ui(z) Ur(z)
I
(z)ຫໍສະໝຸດ 1 Z0A1e j z
1 Z0
A2e j z
Ii(z)
Ir(z)
(2―2―16)
第2章 传输线理论
根据复数值与瞬时值的关系,并假设A1、A2为实数, 则沿线电压的瞬时值为
u(z,t) Re[U (Z )e ji ] A1 cos(t z) A2 cos(t z)
式中v0为光速。由此可见,双线和同轴线上行波电
压和行波电流的相速度等于传输线周围介质中的光速,
它和频率无关,只决定周围介质特性参量ε,这种波称为
无色散波。
第2章 传输线理论
(三) 相波长λp
相波长λp是指同一个时刻传输线上电磁波的相位相 差2π的距离,即有
p
2
vp f
vpT
0 r
(2―3―5)
第2章 传输线理论
这种路的分析方法,又称为长线理论。事实上,“场” 的理论和“路”的理论既是紧密相关的,又是相互补充 的。有些传输线宜用“场”的理论去处理,而有些传输 线在满足一定条件下可以归结为“路”的问题来处理, 这样就可借用熟知的电路理论和现成方法,使问题的处 理大为简化。
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
传输线理论基础知识
1.2.2 分布参数
当高频信号通过传输线时，将产生如下分布参数效应： （ a ）由于电流流过导线，而构成导线的导体为非理想的 ，所以导线就会发热，这表明导线本身具有分布电阻；（单位 长度传输线上的分布电阻用 R1 表示。） （ b ）由于导线间绝缘不完善（即介质不理想）而存在漏 电流，这表明导线间处处有分布电导；（单位长度分布电导用 表示 G1 。） （ c ）由于导线中通过电流，其周围就有磁场，因而导线 上存在分布电感的效应；(单位长度分布电感用 L1表示。) （ d ）由于导线间有电压，导线间便有电场，于是导线间 存在分布电容的效应；(单位长度分布电容 C1 用表示。) R1为单位长度损耗电阻；G1为单位长度损耗电导；L1为单 位长度电感，简称分布电感；C1为单位长度电容，简称分布 电容。当 R1=0、G1=0时称为无耗传输线。
1.2.3 均匀传输线的分布参数及其等效电路
根据传输线上分布参数均匀与否，可将传输线分为 均匀和不均匀两种，下面讨论均匀传输线。 均匀传输线：所谓均匀传输线是指传输线的几何尺 寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电磁波传 输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的 在均匀传输线上，分布参数R、L、C、G是沿线均匀 分布的，即任一点分布参数都是相同的，用R1 、L1、C1 、 G1 分别表示传输线单位长度的电阻、电感 、电容、 电导。
1.1 传输线的基本概念
1.1.1 定义
传输线:是用来引导传输电磁波能量和信息的装置，例如：信
号从发射机到天线或从天线到接收机的传送都是由传输线来完 成的。(或凡是用来把电磁能从电路的一端送到电路的另一端的 设备统称为传输线)。如图所示。
1.1.2 对传输线的基本要求
（1）传输损耗要小，传输效率要高；
总复习传输线方程及其解
无耗线工作状态分析
传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、 传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻 波比和行波系数三个参量来描述。 波比和行波系数三个参量来描述。 反射系数模的变化范围为 0 ≤ Γ ≤1 驻波比的变化范围为 行波系数的变化范围为
1≤ ρ ≤ ∞
0 ≤ K ≤1
传输线的工作状态一般分为三种： 传输线的工作状态一般分为三种： (1)行波状态 (1)行波状态 Γ = 0, ρ = 1, K = 1
2、传播常数 无耗线
γ = ( R1 + jω L1 )(G1 + jωC1 ) = α + j β β = ω L1C1
α =0
分布参数阻抗
EG
ZG
I0 V0
z =0
α , β , Z0
I
IL
V
VL
ZL
l
d =0
传输线终端接负载阻抗Z 距离终端d 传输线终端接负载阻抗 L时，距离终端 处向负载方向 看去的输入阻抗定义为该处的电压U 与电流I 之比， 看去的输入阻抗定义为该处的电压 (z)与电流 (z)之比， 与电流 之比 即
传输线的输入阻抗 （从d点向负载看的输入 阻抗，或视在阻抗） 阻抗，或视在阻抗）
Z L + jZ 0 tg β d Z in (d ) = Z 0 Z 0 + jZ L tg β d
对给定的传输线和负载阻抗， 对给定的传输线和负载阻抗，线上各点的输入 的不同而作周期变化， 阻抗随至终端的距离d 的不同而作周期变化，是一 分布参数阻抗。它不能直接测量。 种分布参数阻抗。它不能直接测量。
选取驻波最小点为测量 Z ( d ) = Z / VSWR = Z / ρ in min 0 0 ——距离负载的第一 点——距离负载的第一 个电压驻波最小点位置 ；终端短路，确定电压波节点 终端短路，
传输线方程及其解
它通常是个复数，且与工作频率 有关。特性阻抗由传输线自身分 布参数决定，而与负载及信号源 无关，故称为“特性阻抗”。
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
对于均匀无耗传输线 Z 0 L / C
当损耗很小时，即当 R L G C 时，特性阻抗为
Z 0 ( R jL) /(G jC ) L C (1 R / jL)1/ 2 (1 G / jC ) 1/ 2 L C (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) L C
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
第一章 均匀传输线理论
1.1节 1.2节 1.3节 1.4节 1.5节 1.6节 1.7节
微波工程基础
均匀传输线方程及其解 传输线的阻抗与状态参量 无耗传输线的状态分析 传输线的传输功率、效率与损耗 阻抗匹配 史密斯圆图及其应用 同轴线的特性阻抗
1
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
c d
微波工程基础
LC
16
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
(3) 相速与传输线波长（相波长） 相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输 方向的传播速度。 其表达式为
vp
dz dt L C
不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z
行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
微波工程基础
14
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
6. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值
R jL Z0 G jC
传输线理论基础知识..
由上面式子可知，传输线上任意位置的复数电压和电流均有两部 分组成，即有
根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时 值为
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离 变量仍然从始端算起，由于U2 − Z0 I0 ＝0，A2=0，U r(z) =0。考虑到γ =α + jβ ，因此公式（2-14）和（2-15）简化为：
（ 2）工作频带要宽，以增加传输信息容量和保证信号的无 畸变传输； （3）在大功率系统中，要求传输功率容量要大； （4）尺寸要小，重量要轻，以及能便于生产和安装。 (为了满足上述要求，在不同的工作条件下，需采用不同型式 的传输线。在低频时,普通的双根导线就可以完成传输作用,但是, 随着工作频率的升高 , 由于导线的趋肤效应和辐射效应的增大使 它的正常工作被破坏 .因此,在高频和微波波段必须采用与低频时 完全不同的传输线形式)
解得：
将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l − z = z′ ,并整理求得
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可 求得
将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
2.3 均匀传输线入射波和反射波的叠加
几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。 表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许 多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电 路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电 路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路 是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
根据复数值与瞬时值的关系并假设A1、A2为实数，则沿线电压的瞬时 值为
现在研究行波状态下电压和电流的沿线变化情况。为讨论方便，距离 变量仍然从始端算起，由于U2 − Z0 I0 ＝0，A2=0，U r(z) =0。考虑到γ =α + jβ ，因此公式（2-14）和（2-15）简化为：
（ 2）工作频带要宽，以增加传输信息容量和保证信号的无 畸变传输； （3）在大功率系统中，要求传输功率容量要大； （4）尺寸要小，重量要轻，以及能便于生产和安装。 (为了满足上述要求，在不同的工作条件下，需采用不同型式 的传输线。在低频时,普通的双根导线就可以完成传输作用,但是, 随着工作频率的升高 , 由于导线的趋肤效应和辐射效应的增大使 它的正常工作被破坏 .因此,在高频和微波波段必须采用与低频时 完全不同的传输线形式)
解得：
将上式代入式（2-6）第一式和式（2-7），注意到l − z = z′ ,并整理求得
2.2.2 已知均匀传输线始端电压U1和始端电流I1
将z=0、U（0）=U1 、I（0）=I1代入式（2-6）第一式和式（2-7）便可 求得
将上式代入式（2-6）和式（2-7），即可得
2.3 均匀传输线入射波和反射波的叠加
几种典型传输线的分布参数计算公式列于表1-1中。 表中μ0、ε分别为对称线周围介质的磁导率和介电常数。
有了分布参数的概念，我们可以将均匀传输线分割成许 多微分段dz（dz＜＜λ），这样每个微分段可看作集中参数电 路。其集中参数分别为R1dz、G1dz、L1dz及C1dz，其等效电 路为一个Γ型网络如图1-1（a）所示。整个传输线的等效电路 是无限多的Γ型网络的级联，如图1-1（b）所示。
2_传输线理论(2)
V ( z + Δz ) − V ( z ) ⎧ = −( R + jω L) I ( z ) ⎪lim Δz ⎪ Δz →0 ⎨ I ( z + Δz ) − I ( z ) ⎪ = −(G + jωC )V ( z ) lim z Δ ⎪ Δz →0 ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
第二章 传输线理论
Ui z Ur z R0 j L0 Z0 Ii z Ir z G0 jC0
二、特性阻抗
无耗传输线
R0 0, G0 0
L0 Z0 C0
微波传输线
R0 L0 , G0 C0
L0 Z0 C0
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实 数，它仅决定于分布参数L0和C0，与频率无关。
z
式中
R0 j L0 Z0 G0 jC0
R0 j L0 G0 jC0 j
二、传输线方程的解
1.已知传输线终端电压U2和电流I2，沿线电压电流表达式
U z A1e z A2e z 1 I z A1e输线种类
TEM波传输线
TE波和TM波传输线
表面波传输线
一、传输线种类
传输线的基本要求： 能量损耗小 传输效率高 功率容量大 工作频带宽 尺寸小且均匀 常用的微波传输线： 平行双线、波导、同轴线、带状线、微带线
1长线
定义：传输线的几何尺度与线上传输电磁 波波长比值大于或接近于1。
2-2 传输线方程及其解
一、传输线方程
传输线方程是研究传输线上电压、电流变化 规律及其相互关系的方程。
dz 段传输线的等效电路
一、传输线方程
u u t , z i i t , z
u z , t dz du z, t z 微分角度 di z , t i z , t dz z
分布电感效应： 高频电流会在导体周围产生高频磁场，磁 场也是沿线分布的，这就是分布电感效应
二、特性阻抗
无耗传输线
R0 0, G0 0
L0 Z0 C0
微波传输线
R0 L0 , G0 C0
L0 Z0 C0
在无耗或低耗情况下，传输线的特性阻抗为一实 数，它仅决定于分布参数L0和C0，与频率无关。
z
式中
R0 j L0 Z0 G0 jC0
R0 j L0 G0 jC0 j
二、传输线方程的解
1.已知传输线终端电压U2和电流I2，沿线电压电流表达式
U z A1e z A2e z 1 I z A1e输线种类
TEM波传输线
TE波和TM波传输线
表面波传输线
一、传输线种类
传输线的基本要求： 能量损耗小 传输效率高 功率容量大 工作频带宽 尺寸小且均匀 常用的微波传输线： 平行双线、波导、同轴线、带状线、微带线
1长线
定义：传输线的几何尺度与线上传输电磁 波波长比值大于或接近于1。
2-2 传输线方程及其解
一、传输线方程
传输线方程是研究传输线上电压、电流变化 规律及其相互关系的方程。
dz 段传输线的等效电路
一、传输线方程
u u t , z i i t , z
u z , t dz du z, t z 微分角度 di z , t i z , t dz z
分布电感效应： 高频电流会在导体周围产生高频磁场，磁 场也是沿线分布的，这就是分布电感效应
微波技术第二章 传输线理论06
j2 z
L
e
j
L
2 z
L
e
j
EXIT
反射系数与阻抗的关系
输入阻抗与反射系数间的关系
Z in z U z I z U i z 1 z I i z 1 z Z0 1 z 1 z
z
j t
z
cos t z A 2 e
j t
cos t z = u i z , t u r z , t
i z , t Re I z e A1 Z0 e
z
A2 Z0 e
z
入射电压
cos t z
U z I z
.
.
A1 e 1 Z0
z
A2 e
z
z
A e
1
A2 e
z
式中，
Z0
R 0 j L 0 G 0 j C 0
R0
j L 0 G 0 j C 0 j
1 1
1
EXIT
第二章 传输线理论
传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻波比 和行波系数三个参量来描述。 反射系数模的变化范围为 驻波比的变化范围为
,,
0 1
1
行波系数的变化范围为
0 K 1
传输线的工作状态一般分为三种： (1)行波状态 (2)行驻波状态 (3)驻波状态
j z j z
A2 A1
e
j2 z
电信传输原理及应用第二章 传输线理论 1
注：Z从终端起 从终端起
U ( z ) = U 2 chγ z + I 2 Z C shγ z
将A1, A2代入整理后可得 :
I ( z ) = U 2 shγ z + I 2 chγ z ZC
18
第2章 传输线理论
传输线方程的解 3
2. 已知传输线始端电压 1和电流 1，沿线电压电流表达式 已知传输线始端电压U 和电流I 这时将坐标原点z=0选在始端较为适宜。 这时将坐标原点 选在始端较为适宜。将始 选在始端较为适宜 端条件U 代入式， 端条件 (0)=U1, I (0)=I1代入式，同样可得沿线 的电压电流表达式为
其中横电磁波只存在于多导体系统中， 其中横电磁波只存在于多导体系统中，而横磁 波和横电波一般存在于单导体系统中， 波和横电波一般存在于单导体系统中，它们是 色散波。 色散波。
3
第2章 传输线理论
传输线的分类
TEM或准 或准TEM传输线： 传输线： 或准 传输线
4
第2章 传输线理论
13
第2章 传输线理论
均匀传输线的分布参数
14
第2章 传输线理论
均匀传输线方程及其稳态解
把均匀传输线分割成许多小的微元段dz (dz<<λ)， 这样每个微元段可看作集中参数电路，用一个Γ 型网络来等效。于是整个传输线可等效成无穷多 个Γ 型网络的级联
15
第2章 传输线理论
11
第2章 传输线理论
分布参数电路
•某一双线传输线分布电感为 某一双线传输线分布电感为L=1nH/mm，分布电容 某一双线传输线分布电感为 ， 为C=0.01pF/mm。 。 •在低频率f •在低频率f =50Hz 时， 传输线上每毫米引入的串联 在低频率 电抗和并联电纳分别为:X 电抗和并联电纳分别为 L=3.14×10e-7 /mm， × ， Bc=3.14×10e-12 S/mm。可见，低频时分布参数很 × 。可见， 可忽略。 小，可忽略。 •当高频率为 =5×109Hz 时，XL=31.4 /mm， 当高频率为f × 当高频率为 ， Bc=3.14×10e-4 S/mm。显然，此时分布参数不可忽 × 。显然， 略，必须加以考虑。 必须加以考虑。
2.2 传输线波动方程及其解11年
U 1e z
U 2ez
I(z ) I1e z I 2e z (2 11)
e 项表示 +z 方向(fāngxiàng)传播的电压 U1为幅度(fúdù),z 为相位项
波，
e 项表示 -z 方向传播(chuánbō)的电压 U2为幅度,
为z 相位项
波，
(R jL)(G jC ) j (2 9)
i(z,t) u(z,t)
i(z l,t) +
u(z l,t)
-
传输线l的集总元件电路(diànlù)等效
第四页，共二十九页。
2.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路(diànlù)等效:
由Kirchhoff’s 电压(diànyā)定律
u(z,t) Rzi(z,t) Lz i(z,t) u(z z,t) 0
个别情况也有用60 Ω或其它值的。
第十七页，共二十九页。
小结：
一. 传输线方程及其解
●正向行波、反相行波、电磁波的叠加性
●电压波、电流波
●γ=α+jβ的意义(yìyì)，无耗时：
j , LC
二. 特性阻抗的概念：
Zc
L U (z) U (z) C I (z) I (z)
未解决的问题:确定(quèdìng)常数U1和U2
U
(z)
Ul 2
1
Zc Zl
e
j
z
Ul 2
1
Zc Zl
e
j
z
第二十二页，共二十九页。
2.2.4 均匀无耗传输线的边界条件
令 U (z) Ul IlZc e j z 表示传输线上任意位置z处的入射波电压 2
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
Lesson 2
Electromagnetic Fields and Waves
传输线方程及其解
郑史烈
zhangxm@ 2014年2月27日星期四
1
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
无耗传输线方程的解
dU j L ' I 2 dz d U 2 L ' C 'U 2 dI dz j C ' U
U ( z l ) U (0) cos kl jZ c I (0) sin kl I ( z l ) jYcU (0) sin kl I (0) cos kl
11
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线上阻抗的传输规律
Z (0) Z c 1 u (0) 1 u (0)
10
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线上电压电流的传输规律
Z L （ ） u 0
ZL Zc ZL Zc
i U (0) U（ ）） 1 （ u 0 i （ ） （ ）） I 0 U 1 （ / Zc u 0
j2 kz （ 0 ） ( z ) (0)e u u u
Z ( z) Zc Z ( z) Zc 所以由反射系数 u ( z ) 即可决定其他表示传输线状态的量。
或者 u ( z )
8
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线的状态一般由负载ZL决定
传输线状态取决于
– 始端激励 (U i , ) – 传输线特征参数 （k，Z c） – 终端负载 Z L RL jX L
） 因此，一旦由终端负载 Z L 决定终端反射系数 （ 后，即可由上式决 u 0
定 （ u z） 利用 （ 与其他表示传输线状态的量的变换关系，即可得到表示传 u z） 输线状态的量与负载 Z L 的关系。 如输入阻抗 Z in 与负载阻抗 ZL 关系
Z L jZ c tankl Z in Z c Z c jZ L tan kl
6
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线状态的表示
用电压U、电流I 表示
i jkz r jkz U ( z ) U e U e I ( z ) 1 U i e jkz U r e jkz Zc
也可用入射波、反射波表示 1 U i e jkz U ( z ) Z c I ( z ) 2
对于给定激励、给定的传输线，其状态主要由终端负载决定。 Z ( z) Zc ( z ) 因为 u Z ( z) Zc Z Zc 所以 u (0) L | u (0) | e j (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L | u (0) | 1 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
dz v dt k
i p
v
r p
k
对于无损耗线， k
LC ，故波的传播速度 vp 1/ LC
Zc 为入射波电压与入射波电流之比，具有阻抗量纲，称为特征阻抗。 其倒数Yc=1/Zc称为特征导纳。 反射波电压与反射波电流相位上刚好相差180
3
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
kz U ( z ) U i e j（ 1 （ u z）） kz （ U i e j（ I z） 1 （ / Zc u z）） Z（z） Z c 1 （ / 1 （ u z） u z） in
当（z2 = –l ）并可进一步得到
dI z G ' j C ' U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取 但记住此时k、Zc均为复数。
5
U U i e jkz U r e jkz
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
无耗传输线方程解的初步解释
i j t kz r j t kz u z, t U e U e
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速 波长
2π / k
平行双导线、同轴线是无色散的
将平行双导线、同轴线的L'、C' 值代入，得到
vp 1/
电磁波沿平行双导线、同轴线传播的相速vp等于填充介质中的光速。 只要与频率无关，vp也与频率无关。 电磁波传播速度vp与频率无关，称为无色散。 平行双导线、同轴线是无色散的。
4
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
(0) arctan
2 X L Zc 2 2 XL Z c2 RL
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线的反射系数的传播规律
u (0)
ZL Zc | u (0) | e j (0) ZL Zc
r jkz r U e U 根据反射系数 u 的定义 u ( z ) i jkz i e j2 kz u (0)e j2 kz Ue U 此即反射系数沿传输线变换的关系
(0) arctan
2 X L Zc 2 2 RL XL Z c2
反射系数沿传输线的变换只是相角 变化。 在 复平面上，当阻抗ZL不变时， 传输线上 u 轨迹是以原点为圆心、 半径为 u (0) 的圆， u (0) ≤1。
随 l 增加，沿顺时针方向转。l 增加 /2，相位变化重复一次。
1 （ 1 U ( z) u Z） Z ( z) Zc Y （z） I ( z ) 1 （ u Z）
j2 kz （ 0 ） ( z ) (0)e u u u
Z (0) jZ c tan(kz ) Z ( z) Zc Z c jZ (0) tan(kz )
1 u 与 1 u 沿等 u
圆旋转就得到归一化电压电流沿传 输线的变换 沿等 u 圆旋转就得归 1 u 一化阻抗沿传输线的变换。
15
1 u
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传输线状态用驻波系数与驻波最小点位置表示
设Ui =1V，则 | U ( z l ) ||1 u ( z l ) |
传输线上衰减波
可改写为
U U e
i ki z jkr z
e
U e e
r ki z
jk r z
1 i ki z jkr z r k i z jk r z I U e U e e e Zc
所以如果传播常数的虚部 ki>0，损耗将使正方向传播的入射波振幅随 z 衰减， 所以 ki 称为波的衰减因子或衰减常数， kr 称为相位常数，表示波的传播。 传输线上电压、电流的传播可用两个特征参数，即传播常数 k 与特征阻抗Zc （或特征导纳Yc）唯一地确定。
对于长度为l的传输线，定义z=0为终端，在z=-l为始端， 则始端输入阻抗
Z L jZ c tan kl Z（ Zc in z l） Z c jZ L tan kl
12
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
电流反射系数与导纳
当负载用导纳表示时，不难得到
z<0
i (z) i (0)
YL=GL+jBL
Y ( z ) Yc i ( z) Y ( z ) Yc
1 1 （z） Z c Z c Z L Z （ u z） 1 1 Zc ZL （z） Z c Z
z z=0 终端接负载YL的传输线
1 i ( z) Y ( z ) Yc 1 i ( z)
dz
定义 k L' C ' 其解为
d2 2 上式成为 dz 2 k U 0
U U i e jkz U r e jkz
1 I U i e jkz U r e jkz Zc
1 k L' L' Zc Yc C ' k C'
U r e jkz 1 U ( z ) Z c I ( z ) 2
U r e jkz 或用反射系数表示 u ( z ) i jkz Ue
或用阻抗（或导纳）表示
Z ( z)
1 U ( z) （z） I ( z ) Y
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有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' j C ')
那么传输线方程
Zc
1 R ' j L ' Yc G ' j C '
dU z R ' j L ' I z dz
1 I Ue jkz U r e jkz Zc
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
有耗传输线方程的解
如将k记为 则式
k k r jki
i jkz r jkz U U e U e 1 i jkz r jkz I U e U e Zc
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u ( z ) u (0)e j2 kz
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电压、电流沿传输线变换的图示
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传输线方程及其解
郑史烈
zhangxm@ 2014年2月27日星期四
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
无耗传输线方程的解
dU j L ' I 2 dz d U 2 L ' C 'U 2 dI dz j C ' U
U ( z l ) U (0) cos kl jZ c I (0) sin kl I ( z l ) jYcU (0) sin kl I (0) cos kl
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线上阻抗的传输规律
Z (0) Z c 1 u (0) 1 u (0)
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传输线上电压电流的传输规律
Z L （ ） u 0
ZL Zc ZL Zc
i U (0) U（ ）） 1 （ u 0 i （ ） （ ）） I 0 U 1 （ / Zc u 0
j2 kz （ 0 ） ( z ) (0)e u u u
Z ( z) Zc Z ( z) Zc 所以由反射系数 u ( z ) 即可决定其他表示传输线状态的量。
或者 u ( z )
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传输线的状态一般由负载ZL决定
传输线状态取决于
– 始端激励 (U i , ) – 传输线特征参数 （k，Z c） – 终端负载 Z L RL jX L
） 因此，一旦由终端负载 Z L 决定终端反射系数 （ 后，即可由上式决 u 0
定 （ u z） 利用 （ 与其他表示传输线状态的量的变换关系，即可得到表示传 u z） 输线状态的量与负载 Z L 的关系。 如输入阻抗 Z in 与负载阻抗 ZL 关系
Z L jZ c tankl Z in Z c Z c jZ L tan kl
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线状态的表示
用电压U、电流I 表示
i jkz r jkz U ( z ) U e U e I ( z ) 1 U i e jkz U r e jkz Zc
也可用入射波、反射波表示 1 U i e jkz U ( z ) Z c I ( z ) 2
对于给定激励、给定的传输线，其状态主要由终端负载决定。 Z ( z) Zc ( z ) 因为 u Z ( z) Zc Z Zc 所以 u (0) L | u (0) | e j (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L | u (0) | 1 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
dz v dt k
i p
v
r p
k
对于无损耗线， k
LC ，故波的传播速度 vp 1/ LC
Zc 为入射波电压与入射波电流之比，具有阻抗量纲，称为特征阻抗。 其倒数Yc=1/Zc称为特征导纳。 反射波电压与反射波电流相位上刚好相差180
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
kz U ( z ) U i e j（ 1 （ u z）） kz （ U i e j（ I z） 1 （ / Zc u z）） Z（z） Z c 1 （ / 1 （ u z） u z） in
当（z2 = –l ）并可进一步得到
dI z G ' j C ' U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取 但记住此时k、Zc均为复数。
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U U i e jkz U r e jkz
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
无耗传输线方程解的初步解释
i j t kz r j t kz u z, t U e U e
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速 波长
2π / k
平行双导线、同轴线是无色散的
将平行双导线、同轴线的L'、C' 值代入，得到
vp 1/
电磁波沿平行双导线、同轴线传播的相速vp等于填充介质中的光速。 只要与频率无关，vp也与频率无关。 电磁波传播速度vp与频率无关，称为无色散。 平行双导线、同轴线是无色散的。
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11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
(0) arctan
2 X L Zc 2 2 XL Z c2 RL
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传输线的反射系数的传播规律
u (0)
ZL Zc | u (0) | e j (0) ZL Zc
r jkz r U e U 根据反射系数 u 的定义 u ( z ) i jkz i e j2 kz u (0)e j2 kz Ue U 此即反射系数沿传输线变换的关系
(0) arctan
2 X L Zc 2 2 RL XL Z c2
反射系数沿传输线的变换只是相角 变化。 在 复平面上，当阻抗ZL不变时， 传输线上 u 轨迹是以原点为圆心、 半径为 u (0) 的圆， u (0) ≤1。
随 l 增加，沿顺时针方向转。l 增加 /2，相位变化重复一次。
1 （ 1 U ( z) u Z） Z ( z) Zc Y （z） I ( z ) 1 （ u Z）
j2 kz （ 0 ） ( z ) (0)e u u u
Z (0) jZ c tan(kz ) Z ( z) Zc Z c jZ (0) tan(kz )
1 u 与 1 u 沿等 u
圆旋转就得到归一化电压电流沿传 输线的变换 沿等 u 圆旋转就得归 1 u 一化阻抗沿传输线的变换。
15
1 u
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
传输线状态用驻波系数与驻波最小点位置表示
设Ui =1V，则 | U ( z l ) ||1 u ( z l ) |
传输线上衰减波
可改写为
U U e
i ki z jkr z
e
U e e
r ki z
jk r z
1 i ki z jkr z r k i z jk r z I U e U e e e Zc
所以如果传播常数的虚部 ki>0，损耗将使正方向传播的入射波振幅随 z 衰减， 所以 ki 称为波的衰减因子或衰减常数， kr 称为相位常数，表示波的传播。 传输线上电压、电流的传播可用两个特征参数，即传播常数 k 与特征阻抗Zc （或特征导纳Yc）唯一地确定。
对于长度为l的传输线，定义z=0为终端，在z=-l为始端， 则始端输入阻抗
Z L jZ c tan kl Z（ Zc in z l） Z c jZ L tan kl
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电流反射系数与导纳
当负载用导纳表示时，不难得到
z<0
i (z) i (0)
YL=GL+jBL
Y ( z ) Yc i ( z) Y ( z ) Yc
1 1 （z） Z c Z c Z L Z （ u z） 1 1 Zc ZL （z） Z c Z
z z=0 终端接负载YL的传输线
1 i ( z) Y ( z ) Yc 1 i ( z)
dz
定义 k L' C ' 其解为
d2 2 上式成为 dz 2 k U 0
U U i e jkz U r e jkz
1 I U i e jkz U r e jkz Zc
1 k L' L' Zc Yc C ' k C'
U r e jkz 1 U ( z ) Z c I ( z ) 2
U r e jkz 或用反射系数表示 u ( z ) i jkz Ue
或用阻抗（或导纳）表示
Z ( z)
1 U ( z) （z） I ( z ) Y
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有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' j C ')
那么传输线方程
Zc
1 R ' j L ' Yc G ' j C '
dU z R ' j L ' I z dz
1 I Ue jkz U r e jkz Zc
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
有耗传输线方程的解
如将k记为 则式
k k r jki
i jkz r jkz U U e U e 1 i jkz r jkz I U e U e Zc
14
u ( z ) u (0)e j2 kz
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
电压、电流沿传输线变换的图示