2_传输线方程及其解

用反射系数表示传输线状态
U r e jkz u ( z ) i jkz Ue 入射波 U i e jkz 一般是已知量
i jkz U r e jkz （ z ) U e u U ( z ) [1 u ( z )]U i e jkz U i e jkz I ( z ) [1 u ( z )] Zc 1 （ 1 U ( z) u Z） Z ( z) Zc Y （z） I ( z ) 1 （ u Z）
） 因此，一旦由终端负载 Z L 决定终端反射系数 （ 后，即可由上式决 u 0
定 （ u z） 利用 （ 与其他表示传输线状态的量的变换关系，即可得到表示传 u z） 输线状态的量与负载 Z L 的关系。 如输入阻抗 Z in 与负载阻抗 ZL 关系
Z L jZ c tankl Z in Z c Z c jZ L tan kl
(0) arctan
2 X L Zc 2 2 RL XL Z c2
反射系数沿传输线的变换只是相角 变化。 在 复平面上，当阻抗ZL不变时， 传输线上 u 轨迹是以原点为圆心、 半径为 u (0) 的圆， u (0) ≤1。
随 l 增加，沿顺时针方向转。l 增加 /2，相位变化重复一次。
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传输线上电压电流的传输规律
Z L （ ） u 0
ZL Zc ZL Zc
i U (0) U（ ）） 1 （ u 0 i （ ） （ ）） I 0 U 1 （ / Zc u 0
j2 kz （ 0 ） ( z ) (0)e u u u
平行双导线、同轴线是无色散的
将平行双导线、同轴线的L'、C' 值代入，得到
vp 1/
电磁波沿平行双导线、同轴线传播的相速vp等于填充介质中的光速。 只要与频率无关，vp也与频率无关。 电磁波传播速度vp与频率无关，称为无色散。 平行双导线、同轴线是无色散的。
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U ( z l ) U (0) cos kl jZ c I (0) sin kl I ( z l ) jYcU (0) sin kl I (0) cos kl
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传输线上阻抗的传输规律
Z (0) Z c 1 u (0) 1 u (0)
传输线上衰减波
可改写为
U U e
i ki z jkr z
e
U e e
r ki z
jk r z
1 i ki z jkr z r k i z jk r z I U e U e e e Zc
所以如果传播常数的虚部 ki>0，损耗将使正方向传播的入射波振幅随 z 衰减， 所以 ki 称为波的衰减因子或衰减常数， kr 称为相位常数，表示波的传播。 传输线上电压、电流的传播可用两个特征参数，即传播常数 k 与特征阻抗Zc （或特征导纳Yc）唯一地确定。
kz U ( z ) U i e j（ 1 （ u z）） kz （ U i e j（ I z） 1 （ / Zc u z）） Z（z） Z c 1 （ / 1 （ u z） u z） in
当（z2 = –l ）并可进一步得到
YL jYc tan kl Y ( z l ) Yc Yc jYL tan kl
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反射系数沿传输线变换的图示
ZL Zc | u (0) | e j (0) u (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L 1 | u (0) | 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
Z ( z) Zc Z ( z) Zc 所以由反射系数 u ( z ) 即可决定其他表示传输线状态的量。
或者 u ( z )
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传输线的状态一般由负载ZL决定
传输线状态取决于
– 始端激励 (U i , ) – 传输线特征参数 （k，Z c） – 终端负载 Z L RL jX L
Z c | I ( z l ) ||1 u ( z l ) |
当 (0) 2kl 2nπ
U max 1 | u ( z l ) | 1 | u (0) |
当
d max
(0) (0)
2k 4π
对于给定激励、给定的传输线，其状态主要由终端负载决定。 Z ( z) Zc ( z ) 因为 u Z ( z) Zc Z Zc 所以 u (0) L | u (0) | e j (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L | u (0) | 1 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
1 u 与 1 u 沿等 u
圆旋转就得到归一化电压电流沿传 输线的变换 沿等 u 圆旋转就得归 1 u 一化阻抗沿传输线的变换。
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1 u
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传输线状态用驻波系数与驻波最小点位置表示
设Ui =1V，则 | U ( z l ) ||1 u ( z l ) |
1 I Ue jkz U r e jkz Zc
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有耗传输线方程的解
如将k记为 则式
k k r jki
i jkz r jkz U U e U e 1 i jkz r jkz I U e U e Zc
dz v dt k
i p
v
r p

k
对于无损耗线， k
LC ，故波的传播速度 vp 1/ LC
Zc 为入射波电压与入射波电流之比，具有阻抗量纲，称为特征阻抗。 其倒数Yc=1/Zc称为特征导纳。 反射波电压与反射波电流相位上刚好相差180
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传输线状态的表示
用电压U、电流I 表示
i jkz r jkz U ( z ) U e U e I ( z ) 1 U i e jkz U r e jkz Zc
也可用入射波、反射波表示 1 U i e jkz U ( z ) Z c I ( z ) 2
YL=GL+jBL
Y ( z ) Yc i ( z) Y ( z ) Yc
1 1 （z） Z c Z c Z L Z （ u z） 1 1 Zc ZL （z） Z c Z
z z=0 终端接负载YL的传输线
1 i ( z) Y ( z ) Yc 1 i ( z)
1 （ 1 U ( z) u Z） Z ( z) Zc Y （z） I ( z ) 1 （ u Z）
j2 kz （ 0 ） ( z ) (0)e u u u
Z (0) jZ c tan(kz ) Z ( z) Zc Z c jZ (0) tan(kz )
U r e jkz 1 U ( z ) Z c I ( z ) 2
U r e jkz 或用反射系数表示 u ( z ) i jkz Ue
或用阻抗（或导纳）表示
Z ( z)
1 U ( z) （z） I ( z ) Y
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dz
定义 k L' C ' 其解为
d2 2 上式成为 dz 2 k U 0
U U i e jkz U r e jkz
1 I U i e jkz U r e jkz Zc
1 k L' L' Zc Yc C ' k C'
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Lesson 2
Electromagnetic Fields and Waves
传输线方程及其解
郑史烈
zhangxm@zju.edu.cn 2014年2月27日星期四
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无耗传输线方程的解
dU j L ' I 2 dz d U 2 L ' C 'U 2 dI dz j C ' U
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u ( z ) u (0)e j2 kz
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电压、电流沿传输线变换的图示
z = -l 处以入射波电压、电流归一化 的电压、电流的模分别为
U ( z l ) |1 u ( z l ) | i jkl Ue
所以
I ( z l ) |1 u ( z l ) | i jkl U e / Zc
对于长度为l的传输线，定义z=0为终端，在z=-l为始端， 则始端输入阻抗
Z L jZ c tan kl Z（ Zc in z l） Z c jZ L tan kl
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电流反射系数与导纳
当负载用导纳表示时，不难得到
z<0
i (z) i (0)
U、I 都是复数，计及时间变量后并将取实部运算的Re省略后，可得
i j t kz r j t kz u z, t U e U e
i z, t
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1 i jt kz r j t kz e e U U Zc
(0) arctan
2 X L Zc 2 2 XL Z c2 RL
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传输线的反射系数的传播规律
u (0)
ZL Zc | u (0) | e j (0) ZL Zc
r jkz r U e U 根据反射系数 u 的定义 u ( z ) i jkz i e j2 kz u (0)e j2 kz Ue U 此即反射系数沿传输线变换的关系
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无耗传输线方程解的初步解释
i j t kz r j t kz u z, t U e U e
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速 波长
2π / k
有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' j C ')
那么传输线方程
Zc
1 R ' j L ' Yc G ' j C '
dU z R ' j L ' I z dz
dI z G ' j C ' U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取 但记住此时k、Zc均为复数。
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U U i e jkz U r e jkz