第二章 误差理论及应用
第二章误差与实验
③ 抵偿性 --- 测量次数n ∞时（相同条件下）
全体随机函数的代数和
n
limi 0
n i1
④ 单峰性 --- 绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大）
=0 处随机误差概率密度有最大值
3）特征量：
数学期望（Expectation ） --- 真值x0
标准偏差（Standard deviation）
⑨ 检测人员造成的误差 （人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因）
由被测对象本身引起的误差
（d）138-139s瞬时转速随时间变化曲线（转速波动±40r/min）
燃烧循环变动较大时多个连续循环的压力信号
瞬时转速随时间变化曲线（转速波动±40r/min）
因检测理论的假定产生的误差
WT9测点垂向（z方向）自功率谱 WT1测点垂向（z方向）自功率谱
x
xi
i 1
n
x-- 的无偏估计
样本中各测量数据相对样本平均的分散程度
--- 样本标准偏差s
^
s
n
(xi x)2
s i1 n 1
正态分布特点
概率密度 分布情况
概率分布函数
-K
( ， ）
K
( 2， 2） ( 3， 3）
T
① 换位法/替代法
引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 --- 其他条件不变
--- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 --- 抵消
已知量替换被测量
例：等臂天平称重 --- 左右两臂长的微小差别 --- 恒值系统误差
被测物 ---X；平衡物 --- T；砝码 --- P
a）X与P左右交换 --- 两次测量的 平均值 --- 消除系统误差
第二章 误差理论
例2.1： μ= 147g σ= 17g
第一节 误差及其特征数
二、关于“概率尺” 该名词是误差理论应用于实际研究工 作的需要而产生的，在我院教改课题《正 交表在试验统计中的新功用》的完成过程 中提升为一个新的专业术语。 可这样定义： 将误差或抽样误差转化为标准化随机 变量 u 、 t或q、SSR 的尺度（分母）。 它是概率统计和试验研究的结合点， 是随机变量最关键的变异特征数，可以是 标准差或标准误，也可以是与之相近的统 计量。试验统计中的核心问题就在于找到 概率尺的准确数值。
一、正态分布的概率函数 fN ( y -μ) 二、正态分布概率函数曲线的特性 0.5 ⑴对称性：绝对值相等的正负误差出 现的机会（概率）均等。 0.4 讨论：这里提到误差取某个“值”的概 率问题，也就是连续性变量取某个观察值 0.3 的概率究竟有没有意义？ 2） 高等数学论及连续性变量取某一个实 N （ 0 ， σ 0.2 数的概率时，都认定是在概率函数图中用 某个点上的垂线求面积，无疑应该等于“0”。 0.1 但应用中获得的观察值不能简单地理 解为 “一个”实数，而应当视为在精度有限 0 y -μ 的条件下，由最后一位有效数字按四舍五 -3σ -2σ –σ 0 σ 2σ 3σ 入规则决定的虽然小却确实存在的区间。
6粒籽 7粒籽 8粒籽 9粒籽 10籽
第二节
数据整理 ‰（千分数） 例2.2 n =140 Ӯ =158g S = 36g
例2.2是由一个样本整理出的次数分布结 果，为反映 “行长4尺的水稻产量” 这种和 例
第2章 测量误差理论
e x xcon.true
绝对误差: 测量误差=测量结果-被测量的约定真值
20
（五） 相对误差
1) 定义: 测量误差与被测量真值的比值。
由于真值不可知，所以用误差估算值表示。
x xcon.true 100% 2) 定义式为：rx xcon.true
绝对误差 相对误差 100% 约定真值
2
人们在对自然界的各种现象进行测量和研究，由 于受到认识能力、测量仪器的性能、实验方法的不 完善等 因素的影响，测量的数据与被测量的真值之 间存在着差异，这些差异在数值上即表现为误差。 误差存在的必然性和普遍性已为大量实践所证明:
任何测量均有误差，为了认识并 减小误差，必须 对测量过程和科学实验中的误差进行研究。
第二章 测量误差理论
1
在工程实践和科学实验中提出的检测任务是正确 及时地掌握各种信息, 大多数情况下是要获取被测对 象信息的大小, 即被测量的大小。这样，信息采集的 主要含义就是测量, 取得测量数据。 为了更好地掌握传感器, 需要对测量的基本概念; 测量系统的特性; 测量误差及数据处理等方面的理论 及工程方法进行学习和研究, 只有了解和掌握了这些 基本理论, 才能更有效地完成检测任务。
相对误差： 对于单个测量结果，一般用绝对误差衡量测量的 准确性，但在比较不同被测对象测量结果的准确性 时，用绝对误差就无法判别了。 21
【例2-1】用一个4位多量程数字频率计，测量标准频 率信号源输出100kHz时的频率， 量程选择为0～ 10MHz，频率计测量值为101kHz，求频率计在该 点的绝对误差和相对误差。
测量结果可用一定的数值表示, 也可以用一条曲线 或某种图形表示。 但无论其表现形式如何, 测量结果应包括两部分： 比值和测量单位。如：
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
《误差理论》课件第二章 误差的基本性质与处理
vi li 11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
i 1
用第二种规则校核，则有：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n vi 0.003mm 0.5 A 0.005mm 2 i 1
第一节 随机误差（P11-P12）
（二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余 误差代数和来校核。 由 i l i x v l nx，式中的 x 是直接计算得到的， 当求得的 为未经凑整的准确数时，则有： x
n n i 1 i i 1 i
x0
vi li x
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
x 1879.65 0.01 ＝ 1879.64
l
i 1
10
i
10
0.01
v
i 1
n
i
0.01
解：任选参考值 l 0 =1879.65，计算差值 l i 和 x 0 列于表中,很容易求 得算术平均值: x ＝ 1879.64 (mm)
第二章 误差的基本性质与处理
教学目标
本章分别详细阐述随机误差、系统误 差、粗大误差三类误差的来源、性质、数 据处理的方法以及消除或减小的措施。特 别是在随机误差的数据处理中，掌握等精 度测量和了解不等精度测量的不同数据处 理方法。通过学习本章内容，使学生能够 根据不同性质的误差选取正确的数据处理 方法并进行合理的数据处理。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
误差基本理论
绝对误差： x x A
（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为
修正值
C x A x
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正 值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。
被测量的实际值
A xC
2.相对误差
一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与 这个量本身的大小有关。
采用统计平均的方法可以有效地减弱随机误差。
（3）有限次测量数据的标准偏差的估计值
22满度相对误差满度相对误差引用相对误差引用相对误差用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值该量程值上限值下限值上限值下限值之比来表示的相对误差之比来表示的相对误差称为满度相对误差称为满度相对误差或称引用相对误差或称引用相对误差100仪表各量程内绝对误差的仪表各量程内绝对误差的最大值最大值仪表某量程仪表某量程内的最大绝对误差电工仪表就是按引用误差电工仪表就是按引用误差之值进行分级的
本身所具有的真实数值。 A0 所有测量结果都带有误差，因为真值是测不出来
的。 测量误差 :测量结果与真值的差别
二、 测量误差的来源
（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、 检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等 因素而使仪器带有的误差。
（2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、 电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的 误差。
精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度 越高，表示准确度和精密度都高，意味着系统误差和随机 误差都小。
射击误差 示意图
测量值 x A | | | |
x4 是粗大误差
图3-1 误差在数轴上的分布
误差理论及其在测量系统中的应用
误差理论及其在测量系统中的应用测量是科学研究和生产质量管理中非常重要的一部分，而误差是测量中不可避免的问题。
误差理论是测量领域中的一个重要理论，它可以帮助我们更好地了解误差的来源和表现，从而提高测量的精度和可靠性。
本文将探讨误差理论的基本概念、误差的分类及其在测量系统中的应用。
误差理论的基本概念误差是指测量结果与真实值之间的差异，误差的来源包括仪器本身的误差、操作人员的误差以及测试环境的误差等。
误差理论是指研究误差的产生、传递和处理规律的学科，它主要包括误差理论的基本概念、误差的分类和测量误差的处理方法等内容。
误差的分类误差可以分为系统误差和随机误差两类。
系统误差是指存在固定的偏差，对于所有测量结果都是相同的，例如仪器本身的漂移误差。
随机误差是指存在无规律的波动，对于每次的测量结果都是不同的，例如人的手抖动、测量环境的影响等。
除此之外，还有常数误差、偏斜误差等不同的误差类型。
测量系统中的误差在测量系统中，误差可以通过重复测量、校准和比较等方法来进行评估和处理。
例如，对于一个普通的温度计，我们可以将它放在一个恒温器中多次测量同一个温度值，来估计它的精度和偏差。
此外，还可以通过同样的方法来比较不同的测量系统，从而选择出最为准确和可靠的系统。
误差理论在测量系统中的应用误差理论在测量系统中的应用非常广泛，其中最为重要的是精度评估和不确定度分析。
精度评估是指根据误差理论，对测量系统的精度进行评价和比较，从而选择出最为准确和可靠的系统。
而不确定度分析则是指通过误差理论计算出测量结果与真实值之间的可能偏差范围，从而对结果进行量化的分析和判断。
总结误差理论是测量领域中非常重要的理论，它可以帮助我们更好地了解误差的产生和表现，从而提高测量的精度和可靠性。
本文从误差理论的基本概念、误差的分类和测量系统中的应用等方面进行了简单的介绍。
在进行测量时，我们要牢记误差的存在，并结合误差理论进行合理评估和处理，以保证测量结果的准确性和可靠性。
误差理论第二章-3粗大误差处理
5
§2-4 测量结果的数据处理实例
一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例 例1、对某一轴径等精度测量10次，测得值如下（单位 mm）， 26.2025;26.2022;26.2028;26.2025;26.2026;
26.2028;26.2023;26.2025;26.2026;26.2022.
即x 1 x 2 r10 r21
设对一组等精度测量列x1 , x2 , x n x n 1 , x n x 1 x n x n 2 , x n x 2
x n ,当xi 服从正态分布时,得最大值x n 的统计量： r11 r22 x n x n 1 x n x 2 x n x n 2 x n x 3
求最后测量结果。
见备课笔记P25
6
二、不等精度直接测量列测量结果的数据处理 例2、对某一角度进行六组不等精度测量，各组测量结 果如下：
测6次得： 1 751806； 测30次得： 2 751810 测26次得：3 751808； 测12次得： 4 751816 测12次得：5 751813； 44 上的例题
（二）罗曼诺夫斯基准则（t检验准则）测量次数很小时用 当测量次数较少时，按t分布较为合理。先剔除一个可疑的测得 值，按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。
对一等精度测量列,x1 , x2 , 除后计算平均值:
, xn , 若认为xj为可疑数据,将其剔
2
n 1 x xi n 1 i 1,i j
r21
x 1 x 3 x 1 x 3 , r22 x 1 x n 1 x 1 x n 2
误差理论及其应用的原理
误差理论及其应用的原理1. 引言误差是实验和测量中不可避免的现象，在科学研究和工程应用中具有重要意义。
误差理论是研究误差来源、误差传递规律以及误差处理方法的一门学科。
本文将介绍误差理论的基本原理及其在实际应用中的意义。
2. 误差来源误差可以分为系统误差和随机误差两类。
2.1 系统误差系统误差是由于测量仪器、环境条件等造成的，并且具有一定的规律性。
常见的系统误差包括零点误差、量程误差等。
2.2 随机误差随机误差是由于测量中的各种偶然因素引起的，它是不可预测的、无规律的。
随机误差具有统计特性，可以用统计方法进行分析和处理。
3. 误差传递规律误差在测量中会传递和累积，了解误差传递规律对于正确评估测量结果的准确性至关重要。
3.1 误差传递公式误差传递公式描述了通过多个测量量计算得到的结果的误差与原始测量值的误差之间的关系。
常用的误差传递公式包括乘法法则、除法法则、加法法则等。
3.2 不确定度不确定度是对测量结果的不确定性的度量。
它是通过对误差进行分析和处理得到的，能够提供结果的可靠性估计。
4. 误差处理方法误差处理是对测量结果进行分析和修正的过程，常用的误差处理方法包括平均值法、最小二乘法、加权平均法等。
4.1 平均值法平均值法是对多次测量结果进行求平均，以降低随机误差的影响，提高结果的精确度。
4.2 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与理论值之间的差异，来估计参数的方法。
最小二乘法常用于拟合曲线、回归分析等领域。
4.3 加权平均法加权平均法是对不同测量结果赋予不同的权重，根据其精度以及对结果的贡献程度进行加权平均，得到更准确的结果。
5. 应用案例误差理论在科学研究和工程应用中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：5.1 实验数据处理在科学实验中，通过对实验数据进行误差分析和处理，可以评估实验结果的可靠性，并得到更准确的结论。
5.2 测量仪器校准误差理论可以用于测量仪器的校准和验证，通过对测量仪器的准确度进行评估，提高测量结果的可信度。
误差理论及其在仿真实验中的应用
误差理论及其在仿真实验中的应用在科学研究中，精确度是十分关键的一个因素，因为它决定了研究结果的可靠性和准确性。
然而，由于实验条件的限制以及测量设备本身的不确定性等因素，测量结果中总会存在着一定的误差。
误差理论是一门研究误差来源、性质和规律的科学。
本文将探讨误差理论的基本原理以及其在仿真实验中的应用。
一、误差理论基本原理1.误差的来源误差可以来自多个因素，包括仪器的性能、环境的影响以及人为因素等。
通常将误差分为系统误差和随机误差两类。
2.误差的性质误差的主要性质包括偏差、精度和准确度等。
其中，偏差是指测量结果和真实值之间的差距，精度是指多次测量结果的分布范围，而准确度是指对真实值的估计程度。
3.误差的规律误差遵循一定的统计规律，通常可以用概率分布来描述。
常见的误差分布包括正态分布、均匀分布和伽马分布等。
二、误差的评定与控制为了提高测量的精确度和准确度，我们需要对误差进行评定和控制。
常见的误差评定方法包括回归分析、方差分析和偏度估计等。
而误差的控制则需要采取一系列有效的措施，如提高仪器的精度和稳定性、评估环境的影响以及加强实验操作的规范性等。
三、误差理论在仿真实验中的应用误差理论不仅适用于实际的物理试验，同样也适用于仿真实验中。
在仿真实验中，误差通常来自于数据采集与传输的过程以及仿真算法本身。
因此，我们需要对仿真实验中的误差进行分析和处理，以确保仿真结果的可靠性和准确性。
1.误差模型的建立对于仿真实验，我们可以通过建立误差模型，对误差来源进行分析和估计。
误差模型可以采用数学统计学的方法，如卡尔曼滤波器、蒙特卡罗模拟等。
通过建立误差模型，我们可以更加准确地估计仿真结果的精度和可靠性。
2.误差分析与处理在仿真实验中，误差分析是非常重要的一个环节。
通过误差分析，我们可以评估仿真结果的精度和准确度，找出可能的误差源并采取措施加以处理。
误差处理的方法包括数据加权、平滑处理和去噪等。
3.仿真实验的验证与优化对于仿真实验，我们需要将仿真结果与实际数据进行比对，以验证仿真结果的可靠性和准确性。
误差的原理和应用
误差的原理和应用1. 引言误差是在实际测量或计算过程中产生的不可避免的偏差。
无论是实验室测量、工程设计还是科学研究，误差都是无法完全消除的。
了解误差的原理和应用对于正确理解和解释实验结果以及提高测量和计算的准确性至关重要。
本文将介绍误差的原理和常见的应用。
2. 误差的定义误差可以被定义为测量值与真实值之间的差异。
它是一个相对的概念，因为真实值通常是无法精确确定的。
误差可由以下公式表示：误差 = 测量值 - 真实值3. 误差的类型误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
3.1 系统误差系统误差是由于测量方法本身的缺陷或仪器的误差而导致的偏差。
例如，使用一个标度不准确的天平进行测量会引入系统误差。
这种误差通常是可预见的，并且可以通过校准仪器或改进测量方法来减小。
3.2 随机误差随机误差是由于实验操作的不确定性或外部干扰因素引起的偶然性偏差。
它通常是无法重复的，并且会在多次测量中随机分布。
通过进行多次测量并求平均值，可以减小随机误差对结果的影响。
4. 误差的处理和表示为了准确表达误差的大小和可靠性，我们常常使用以下术语：•绝对误差：表示测量值与真实值之间的差异的绝对值。
•相对误差：表示绝对误差与测量值的比值，通常以百分数表示。
•精度：表示测量值的准确性。
精度越高，误差越小。
•精确度：表示多次测量结果之间的一致性。
精确度越高，测量结果越一致。
误差通常以正负号表示方向，正误差表示测量值偏大，负误差表示测量值偏小。
5. 误差的应用误差常常在科学研究、工程设计和实验测量中起到重要作用。
以下是误差应用的一些常见领域。
5.1 实验测量在实验测量中，了解误差并进行合适的误差分析是确保实验结果准确可靠的关键。
通过控制系统误差和减小随机误差，可以提高实验结果的准确性和精确度。
5.2 工程设计在工程设计中，误差分析可以帮助工程师评估设计方案的可行性和可靠性，并优化设计参数以满足指定的性能要求。
误差的影响可以通过模拟和仿真进行评估，并对设计进行调整和改进。
传感器原理与应用第二章误差理论
2. 判断粗大误差的准则 •莱依特准则：
设某一测量列中，测量值只含有随机误差， 根据随机误差的正态分布规律，其误差落在 3以外的概率约为0.3％，所以若发现有残余 误差有
Ui xi x 3
则认为该测值xi是粗大误差，应予剔除。
第37页，本讲稿共47页
例：对容器中一溶液的浓度共测量15次，结果为：
具有疏失误差的测量值称为“坏值” ，在实际计算中应舍去。
第19页，本讲稿共47页
产生粗大误差的一个例子
第20页，本讲稿共47页
第三节 误差分析与处理方法
3.1 系统误差
1.系统误差的判别 (1)恒值系统误差的判断
a)实验对比法 采用多台更同类或相近的仪器进行同样的测试 和比较，分析测量结果的差异，可判断系统误差是 否存在。
0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0
对一定级别的仪表，其绝对误差 为一常 数， x= A ,不随示值刻度发生变化，但 示值相对误差则不同，越接近仪表满刻度 ，示值相对误差越小，反之则越大。
第11页，本讲稿共47页
例：满刻度为100v, =2.5% 的电
压表
其绝对误差 x A 100 2.5% 2.5v
在检测系统中，绝大多数随机误差近似服从 正态分布。
P
---- 随机误差
P--随机误差的概率密度
0
第30页，本讲稿共47页
2. 随机误差的估计
问题:用算术平均值作为真值的近似值，误差 有多大?-----对随机误差的估计
均方根估计最适合服从正态分布的随机误差的 估计。
(1)测量列的均方根误差
设测量列为x1,x2,…..,xN。列均方根误差为：
第34页，本讲稿共47页
测量误差理论及其应用
~ ~
~
E ( 总 ) 系 0 L E ( L) 系
~
2.2 精度指标
观测条件与观测精度
1、观测条件：指测量过程中的观测者、仪器、外界 条件的综合。 一定的观测条件，对应着一个确定的误差分布； 越小
越大
可见：
0
181
0
0.505
0
177
0
0.495
0
358
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1.000
∑
从表中看出： 绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多； 绝对值相等的正、负误差出现个数大致相等。 大量的测量实践证明，在其它测量结果中，也都显示 出上述同样的统计规律。
误差分布规律，除了采用误差分布表表达，还可用直方图来 表达。
成绩：0.2，0.7，0.4，-0.3，-0.2，-0.6，0，-0.2
精度高。
准确度：是指观测值的数学期望与其真值的接近程度。 表征观测结果系统误差大小的程度。 若观测值数学期望与其真值得偏差越大，则准确度越 低。 L E(L) 总 =系 + 偶
E (总 ) 系 0
~ ）- 真值（ L
）
• 真值一般情况下是难以求得的，但有些特殊情形 下，是可以知道的，如： 1）三角形内角和等于180度； 2）闭合水准路线高差闭合差等于零； 3）往返测量一段距离，其差数的真值等于零。
当观测值只含有偶然误差时，其数学期望就等于真 值（ ），即： ~ L E ( L)
真误差（∆）= 观测值（ ）-数学期望 （ ） E ( L) L
第二章 测量误差理论及其应用
误差理论的运用
三、选择和确定实验方案
• 伏安法测电阻
选择和确定实验方案
• 伏安法测电阻
选择和确定实验方案
• 伏安法测电阻
外接误差分析
选择和析
选择和确定实验方案
• 伏安法测电阻
更多试验方案 附加电阻的方法 内接 外接 电桥伏安法 补偿法
选择和确定实验方案
• 伏安法测电阻
确定实验误差和实验结果的取值范围
• 单摆 • 实验内容 1.取摆长约为1m的单摆，用米尺测量摆线长 ，用游标卡 尺测量摆锤的高度 ，各两次。用米尺测长度时，应注 意使米尺和被测摆线平行，并尽量靠近，读数时视线要 和尺的方向垂直以防止由于视差产生的误差。 2.用停表测量单摆连续摆动50个周期的时间 ，测6次。注 意摆角要小于10°。 3.用停表测周期时，应在摆锤通过平衡位置时按停表并数 “0”，在完成一个周期时“1”，以后继续在每完成一 个周期时数2、3、…，最后，在数第50的同时停住停 表。
这样分配考虑到周期的测量误差较大, 即周期的分误差对总误差贡献大, 误 差分配大些, 这样可以减少对周期测量的难度。
确定实验误差和实验结果的取值范围
• 长度L的测量是否
在摆长的测量过程中, 使用的是米尺, 它的精确度1 毫米, 即Δ L=1 毫米, 若取摆长L 为1 米, 则Δ L/ L=0.1% 。 所以, 摆长被确定为1 米, 精确度很容易达到0.1% 。
抓住影响实验精度的主要因素
确定分误差的大小及抓住主要因素
• 用冲击摆测弹丸的速度
抓住影响实验精度的主要因素
确定分误差的大小及抓住主要因素
• 用冲击摆测弹丸的速度
抓住影响实验精度的主要因素
显然, 影响实验精度的主要因素是对指针偏角H的测量.
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第二章误差理论及应用
第一节误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。
尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。
所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。
测量值与真值之差称为误差。
在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。
当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。
但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。
这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。
实际上，误差仍然是存在的。
由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。
测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。
二、测量误差的分类
在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。
1．系统误差
在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。
由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。
在正确的测量结果中不应包含系统误差。
2．随机(偶然)误差
随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。
这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。
随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。
误差的大小以及正负误差的出现，完全由概率决定，没有理由认为误差偏向一方比偏向另一方更为可能。
因此，误差与测量的次数有关，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零。
因此，多次测量结果的算术平均值将更接近于真值。
3．过失误差
过失误差是一种显然与事实不符的误差，它主要由于测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起，例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。
此类误差无规则可寻，只要多方注意，细心操作，过失误差就可以避免。
包含过失误差的测量结果是不能采用的。
第二节系统误差
如前所述，系统误差是测量中按一定规律变化的误差。
当误差的大小和符号保持恒定时，称为恒值系统误差；当误差的大小和符号按一定规律变化时，称为变值系统误差。
如测量仪器指针的零点偏移会产生恒值系统误差，电子电位差计滑线电阻的磨损将导致累进系统误差，测量现场电磁场干扰会引入周期性系统误差等。
一、系统误差的分类
具体测量过程中，系统误差按其产生的原因可分为：
(1)仪器误差 它是由于测量仪器本身不完善或老化所产生的误差。
(2)安装误差 它是由于测量仪器安装和使用不正确而产生的误差。
(3)环境误差 它是由于测量仪器使用环境条件，如温度、湿度、电磁场等与仪器使用规定的条件不符而引起的误差。
(4)方法误差 这是由于测量方法或计算方法不当所形成的误差，或是由于测量和计算所依据的理论本身不完善等原因而导致的误差。
有时也可能是由于对被测量定义不明确而形成的理论误差。
(5)操作误差 也称人为误差。
这是由于观察者先天缺陷或观察位置不对或操作错误而产生的误差。
(6)动态误差 在测量迅变量时，由于仪器指示系统的自振频率、阻尼以及与被测迅变量之间的关系而产生的振幅和相位误差。
上述分类并不很严格，但重要的是系统误差的出现一般是有规律的，其产生的原因往往是可知或能掌握的。
一般地说，应尽可能设法预见各种系统误差的具体来源，并尽力消除其影响；其次是设法确定或估算系统误差值。
系统误差的处理一般属技术问题。
如果测量时系统误差很小，那么测量结果是相当准确的，测量的准确度很大程度上由系统误差来表征。
系统误差越小，表明测量准确度越高。
二、消除系统误差的方法
对于有些系统误差，只要严格按照测量仪器的安装方法、使用条件、操作规程等实施，是不难消除的。
但往往也常采用如下方法来消除系统误差。
1．交换抵消法
将测量中某些条件(如被测物的位置等)相互交换，使产生系统误差的原因相互抵消。
2．替代消除法
在一定测量条件下，用一个精度较高的已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示值保持不变。
此时，被测量即等于该已知量。
3．预检法
预检法是一种检验和发现测量仪器系统误差的常用方法。
可将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量进行多次重复测量。
设测量仪器读数的平均值为L ，基准仪器读数的平均值为0L ，则L 与0L 的差值△=L -0L ，可以看作为测量仪器在对该物理量测量时的系统误差。
测出系统误差值就可对测量值进行修正。
三、系统误差的综合
在测量系统中，如果有n 个系统误差同时影响某一测量值A ，那么为了估计这n 个误差分量△1，△2，…，△n 对测量值A 的综合影响，就需要对系统误差进行综合，常用的方法有以下几种。
1．代数综合法
如果能够估计出各系统误差分量△i 的大小和符号，就可采用各分量的代数和求得总系
统误差△、δ。
绝对误差：∑=∆=
∆++∆+∆=∆n i i n 121... (2-1)
相对误差：∑==+++=n i i n 121...δ
δδδδ (2-2)
2．算术综合法
如果只能估算出各个系统误差分量△i 的大小，而不能确定其符号时，则可采用最保守的合成方法，即将各分量的绝对值相加。
绝对误差：()∑=∆
=∆++∆+∆±=∆n i i n 1
21... (2-3)
相对误差：()∑==+++±=n i i n 1
21...δδδδδ (2-4)
3．几何综合法
当上述各个系统误差分量△的大小已知，但未能确定其符号时，如果误差分量较多(即n 较大)，如采用算术综合法，则会把总的误差估计过大。
当误差分量较多时，各分量最大误差同时出现的概率是不大的，且它们之间还会互相抵消一部分，此时用几何综合法(或称方和根法)较为合适，即 绝对误差：2122221...∑=∆
±=∆++∆+∆±=∆n i i n (2-5)
相对误差：2122221...∑=±=+++±=∆n i i n δ
δδδ (2-6)
例2-1 试计算使用压力表测量液体(水)管道中压力时的系统
误差，装置如图2-1所示。
已知压力表的准确度为O.5级，量程为0～600kPa ，表盘刻度100
格代表200kPa ，即分度值为2kPa ，测量时指示压力读数为300kPa ，
读数时指针来回摆动±1格，Δh ≤0.05m 。
压力表使用条件大都符
合要求，仅环境温度值偏高于标准值[(20±3)℃]10℃，该压力表
温度修正值为每偏离1℃时造成系统误差为仪表基本误差的4％。
计算：
(1)仪表基本误差
ΔP l =±(O.5%×600)kPa=±3kPa
(2)环境温度造成的系统误差
△P2=±(4％△P 1△t)=±(4％×3×10)kPa=±1.2kPa
(3)安装误差 由于压力表没有安装在管路同一水平面上，高出h+△h 。
为减少这一误差，在高h 处装一放气阀，因而高h 的水柱产生的压力是恒定的，故可对读数进行修正，管路中的实际压力值
p=p i +g ρh
式中，p i 为指示压力；g 为重力加速度；ρ为所测液体的密度，若为水，其密度ρ=1000kg/m 3。
所以可求得安装误差为
△P3=±(△h ρg)=±(O.05m ×1000 kg/m 3×9.8m/s 2)
=±490N/m 2=±O.49kPa
(4)读数误差
△p4=±2kPa
于是总系统误差为
(1)若按算术综合法，则△p 为
()kPa kPa p
p n i i 690.62490.02.131±=+++±=∆±=∆∑= %23.2300690.6±=±=∆=
p p p δ (2)若按几何综合法，则△p 为 ()kPa
kPa p
n i i
p 831.3 2490.02.13 22221±=+++±=∆±=∑=δ
%27.1300831.3±=±=∆=
p p p δ 此例中，因系统误差项数不多，为了安全起见可采用算术综合法的计算值。
随机误差及传递误差略。