(完整版)平面向量平行的坐标表示教案

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高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇

高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。

一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。

而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。

二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。

这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。

考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。

三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。

难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。

我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。

四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。

五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。

高中数学第五章第09课时向量平行的坐标表示教师专用教案新人教A版

2
P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)
3 ．已知向量 a =(-1,3) b =(x,-1) 且 a ∥ b 求 x
注意： 1 消去 λ 时不能两式相除，∵ y 1, y 2 有可能为 0， ∵ b 0
五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）六、作业： P112 练习 4 习题 5.4 7 、 8、 9
例二（ P111 例五）
ab x1 y2 x2 y1 0
例三若向量 a =(-1,x) 与 b =(-x, 2) 共线且方向相同，求 x
解：∵ a =(-1,x) 与 b =(-x, 2) 共线
∴ (-1) ×2- x? (- x)=0
∴ x=± 2
∵ a 与 b 方向相同
∴ x= 2
例四已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) CD吗？
解：∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4)
向量 AB 与 CD 平行吗？直线 AB 与平行于直线 CD =(2-1,7-5)=(1,2)
∴ AB ∥ DC 且 | AB | | DC |
∴四边形 ABCD是梯形
又：∵ 2× 2-4-1=0
∴ AB ∥ CD
二、 1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数
λ 使得 b =λ a ，那么这个充要条件
又： AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6)
AB =(2, 4)
如何用坐标来表示呢？
2
× 4-2 ×6 0
∴ AC 与 AB 不平行
2．推导：设 a =(x 1, y 1)
b =(x 2, y 2) 其中 b a
由 a =λ b
(x

教案平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示教学目标：1. 理解平面向量的概念。

2. 学习平面向量的坐标表示方法。

3. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。

教学重点：1. 平面向量的概念。

2. 坐标表示方法。

3. 线性运算与坐标表示。

教学难点：1. 理解平面向量的坐标表示方法。

2. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 教学素材。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向量概念的复习。

2. 向量表示方法的学习。

二、平面向量的概念（10分钟）1. 引导学生了解平面向量的定义。

2. 通过实例让学生理解平面向量的概念。

三、坐标表示方法（15分钟）1. 讲解平面向量的坐标表示方法。

2. 让学生通过实例掌握坐标表示方法。

四、线性运算与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的线性运算。

2. 让学生通过实例掌握线性运算与坐标表示。

五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些有关平面向量的练习题。

2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。

教学反思：本节课通过讲解平面向量的概念、坐标表示方法以及线性运算与坐标表示，让学生掌握平面向量的基本知识。

在教学过程中，要注意引导学生通过实例理解概念和方法，提高学生的实际操作能力。

要加强练习，使学生巩固所学知识。

六、平面向量的几何解释（15分钟）1. 向量起点与终点的表示。

2. 通过图形让学生理解向量的几何解释。

七、向量加法与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的加法。

2. 让学生通过实例掌握向量加法与坐标表示。

八、向量减法与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的减法。

2. 让学生通过实例掌握向量减法与坐标表示。

九、数乘向量与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的数乘。

2. 让学生通过实例掌握数乘向量与坐标表示。

十、向量共线定理（20分钟）1. 讲解向量共线定理。

2. 让学生通过实例理解向量共线定理的应用。

十一、向量垂直与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量垂直的条件。

2. 让学生通过实例掌握向量垂直与坐标表示。

《向量平行的坐标表示》教案

向量平行的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否平行.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ 三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6) ，AB=(2，4)，2×4-2×6 0 ∴AC 与AB不平行∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

平面向量平行的坐标表示

平面向量平行的坐标表示《平面向量平行的坐标表示》教案杜晓红课题：平面向量平行的坐标表示目的：1.掌握两向量平行的充要条件2.能够运用两向量平行的充要条件判别三点共线及向量平行重点：两向量平行的充要条件的坐标表示难点：两向量平行的充要条件的坐标表示课型：新授方法：讲练过程：一．复习：1. 已知a=(6,2) b=(3,1) 则a=_b2. 已知点A(0,3),B(2，-3),C(7，-8),D(3,4),则AB=_DC3. 平行向量基本定理：二．新授：1. 平面向量平行的坐标表示：设a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果b ≠0,则a=λb. 用坐标表示为：（a1,a2）=λ(b1,b2), 即a1=λb1,a2=λb2,消去λ，得 a1b2-a2b1=0 ∴a ‖b ?a1b2-a2b1=0当b 不平行于坐标轴时候，即b1≠0，则a ‖b11b a =22b a三．例题和练习例4 判断下列两个向量是否平行(1)a=（-1,3），b=(5,-15)(2)e=(2,0), f=(0,3)练习：p63， 1例5 如果a=（-1,x）与b=（-x，2）平行且方向相同，求x.分析：解：∵a=(-1,x)与b=（-x，2）平行∴（-1）*2=x*（-x）∴x=-2或x=2∵a与b方向相同，∴x=2练习：P63 2.3例 6 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标。

分析：解：设点D的坐标是（x，y），∵在平行四边形ABCD中，向量AB=向量DC∴（-1,3）-（-2,1）=(3,4)-(x,y)∴(x,y)=(2,2)∴点D的坐标是（2,2）.练习：P63 4,5四．小结a‖b a1b2-a2b1=0五．作业：P63 2,3,4,5 六．反思：。

2.4.3【教学设计】《向量平行的坐标表示》(北师大)

《§4.3向量平行的坐标表示》教材主要介绍向量线性运算的和、差、数乘运算以及运算性质。

在前一节课《向量的坐标表示》的学习之后，向量的运算用坐标表示已经顺其自然了。

【知识与能力目标】会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

【过程与方法目标】通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。

【情感态度价值观目标】通过学习平面向量线性运算的坐标表示，使学生进一步了解数形结合的思想，认识事物之间的相互联系，培养学生的辩证思维能力。

【教学重点】理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

【教学难点】对平面向量坐标运算的熟练运用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

向量平行的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2(2)文字语言描述向量平行的坐标表示：①定理：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例。

②定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行。

巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”)。

(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1 。

( )(2)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向。

( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2。

( )【解析】 (1)正确。

a ∥b ，则a ＝λb 可得x 1y 2＝x 2y 1。

(2)错误。

a ＝－3b ，a 与b 共线且反向。

(3)错误。

若y 1＝0，y 2＝0时表达式无意义。

【答案】 (1)√ (2)× (3)×探究1 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若向量a ，b 共线，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】这两个向量的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0，反之成立。

平面向量的坐标表示备课教案

平面向量的坐标表示备课教案导言：平面向量是高中数学中的重要内容，通过坐标表示是一种常用的方法。

本教案将介绍平面向量的坐标表示的基本概念、性质以及相关的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握平面向量的坐标表示。

一、平面向量的坐标表示的基本概念平面向量是具有大小和方向的有向线段，可以通过坐标表示来描述其几何特征。

平面向量的坐标表示通常用两个有序实数组成的有序数对表示，分别表示向量在水平和垂直方向上的投影长度。

二、平面向量的坐标表示的性质1. 平行向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 平行，则它们的坐标表示关系为 u = k · v，其中k 是一个实数。

2. 相等向量的坐标表示关系：若两个向量 u 和 v 相等，则它们的坐标表示关系为 u = (a, b) = v，其中 a 和 b 分别表示两个向量在水平和垂直方向上的投影长度。

3. 坐标表示法的加法规则：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则它们的和向量 u + v 的坐标表示为(a + c, b + d)。

4. 坐标表示法的数乘规则：设向量 u = (a, b)，实数 k，则它们的数乘 ku 的坐标表示为 (ka, kb)。

三、平面向量的坐标表示的计算方法1. 计算向量的模：设向量 u = (a, b)，则向量 u 的模记为 |u|，计算公式为|u| = √(a^2 +b^2)。

2. 计算向量的夹角：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的夹角记为θ，计算公式为cosθ = (u·v) / (|u|·|v|)，其中 u·v 表示向量 u 和向量 v 的数量积。

3. 计算向量的数量积：设向量 u = (a, b) 和 v = (c, d)，则向量 u 和向量 v 的数量积记为 u·v，计算公式为 u·v = ac + bd。

四、平面向量的坐标表示的应用实例通过以上的基本概念、性质和计算方法，我们可以应用平面向量的坐标表示来解决一些实际问题，比如平面几何中的线段长度、向量的投影等问题。

平行向量的坐标表示学案

4．1平面向量的坐标（导学稿）【教学目标】：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示．（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算．（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【重、难点】：重点：平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示．难点：平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示．【学法指导】：1借助课本、资料独立完成．画出疑难，组内合作探究． 2组内解决不了的问题由课代表汇总课前交任课老师【自主探究】（回忆）平面向量的基本定理（基底） a=λ11e +λ22e其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．【探究新知】（一）平面向量的坐标表示1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取x 轴、y 轴上两个单位向量i ， j 作基底，则平面内作一向量j y i x a += 记作：a =(x ， y ) 称作向量a的坐标如：a =−→−OA =j i 22+=(2， 2) b =−→−OB =j i -2=(2， -1)c =−→−OC =j i 5-=(1， -5) i =(1， 0) j =(0， 1) 0=(0， 0)由以上例子让学生讨论：①向量的坐标与什么点的坐标有关？OBC Axy a b c②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？ ③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）思考与交流：思考1．（1）已知a ＝(x 1， y 1) b ＝(x 2， y 2) 求a +b ，a -b的坐标(2)已知a ＝(x ， y )和实数λ，求λa的坐结论：①．两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．②．实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标．思考2．已知),(),,(2211y x B y x A 你觉得−→−AB 的坐标与A 、B 点的坐标有什么关系？结论：③．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标．例题讲评例1．（教材P 86例1）例2．（教材P 88例3）例3．已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y )的合力1F +2F +3F =0求3F 的坐标．例4．已知平面上三点的坐标分别为A (-2， 1)， B (-1， 3)， C (3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点．解：【巩固深化，发展思维】1．若M (3， -2) N (-5， -1) 且 21=−→−MP −→−MN ，解：OyB (x 2， y 2)A (x 1， y 1)2．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4) 则−→−AB-2−→−BC=(3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3) 求证：四边形ABCD是梯形．解：【方法小结】：通过这节课的学习．你学到了什么？掌握了什么？知识总结：1．平面向正交分解及坐标表示．2．平面向量的坐标运算．思想方法：数形结合的思想．【布置作业】：作业：p89 1、2、3、4练习：p89 1、2、3、4、5、6。

北师大版高中数学必修四教学案平行向量的坐标表示

二师生互动
例1已知，，求和 .
例2已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.
变式：若与的交点为，试求点的坐标.
练1.已知向量的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
三巩固练习
1.若向量与向量相等，则（）
A. B.
C. D.
2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）
于（）
A. B. C. D.
4.设点，，且
，则点的坐标为.
5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力 .
6.已知A（-1，5）和向量 =(2,3)，若 =3 ，则点B的坐标为__________。
A．(7,4)B．(5,4) C．(7,14)D．(5,14)
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
平面向量坐标表示
授课时间
撰写人
学习重点
平面向量的坐标运算．
学习难点
对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；
教学过程
一自主学习
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设 =(x1, y1) =(x2, y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ （λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ ＝
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ 的坐标分别如何？
＋＝( ); －＝( );

平面向量教案3篇

平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。

二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。

三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。

四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。

向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。

在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。

2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。

平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。

（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。

（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。

（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。

（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。

（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。

3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。

平面向量基本定理及其坐标表示教案

平面向量基本定理及其坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标表示方法。

2. 培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 平面向量的基本定理（1）定理：设有两个向量a 和b，如果存在实数x 和y，使得a = xb + yb，则称向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示。

（2）推论：设有两个向量a 和b，如果向量a 可以由向量b 和向量b 的线性组合表示，存在唯一实数对(x, y)，使得a = xb + yb。

2. 平面向量的坐标表示（1）定义：在二维空间中，以原点O(0,0) 为起点，设向量a 的终点为点A(x, y)，则向量a 的坐标表示为(x, y)。

（2）性质：设向量a 的坐标表示为(x, y)，向量b 的坐标表示为(m, n)，则向量a + b 的坐标表示为(x+m, y+n)，向量a b 的坐标表示为(x-m, y-n)。

（3）运算规律：设向量a 和向量b 的坐标表示分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则向量a + b 的坐标表示为(x1+x2, y1+y2)，向量a b 的坐标表示为(x1-x2, y1-y2)。

三、教学方法1. 讲授法：讲解平面向量的基本定理及其坐标表示的定义、性质和运算规律。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

四、教学步骤1. 导入新课：回顾平面向量的概念，引导学生思考如何表示平面向量。

2. 讲解基本定理：阐述平面向量的基本定理，并通过图形示例帮助学生理解。

3. 讲解坐标表示：介绍平面向量的坐标表示方法，讲解坐标表示的定义、性质和运算规律。

4. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用向量知识解决问题。

5. 小组讨论：分组讨论，让学生运用所学知识分析问题，培养团队协作能力和逻辑思维能力。

苏教版向量平行的坐标表示教案

第2课时向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[提示]坐标不为0时成正比例．1．下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)D[∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，∴b＝－2(－3,2)＝－2a，∴a与b共线．]2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.4 [∵a ∥b ，∴2×6－3x ＝0，即x ＝4.]3．已知四点A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，则AB →与CD →的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线 [AB →＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD →＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，因为4×(－8)－4×(－8)＝0，所以AB →∥CD →，即AB →与CD →共线．]向量平行的判定【例1】已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB →与CD →是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出AB →和CD →，然后利用两向量平行的条件判断． [解] ∵A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)， ∴AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0， ∴AB →与CD →平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断. 提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.1．已知A ，B ，C 三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB → .[证明] 设点E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →.利用向量共线求参数的值【例2】已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．[解] 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由题知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)．因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值． [解] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2. 共线向量与定比分点公式[探究问题]1．若点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，试用P 1，P 2的坐标表示点P 的坐标．提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，因为P 1P →＝12P 1P 2→，所以(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2．若P 1P →＝λPP 2→，则点P 的坐标如何表示？提示：P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ，推导方法类同于探究问题1. 已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|. 思路点拨：分“AP →＝±13AB →”两类分别求点P 的坐标． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )， ①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x ,2－y )，解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x－3，y＋4)＝－14(－9－x2－y)，解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．提醒：注意方程思想的应用．教师独具1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示． 2．要正确理解向量平行的条件(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．1．下列说法不正确的是( )A ．存在向量a 与任何向量都是平行向量B ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2C ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0D ．如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥bB [A 当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B 不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；C 、D 正确．]2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y ＝________. －4 [∵a ∥b ，∴－12＝2y ，∴y ＝－4.]3．若P 1(1,2)，P (3,2)，且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为________．(4,2) [设P 2(x ，y )，则P 1P →＝(2,0)， PP 2→＝(x －3，y －2)，2PP 2→＝(2x －6,2y －4)．由P 1P →＝2PP 2→可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6＝2，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.]4．给定两个向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若a ＋2b 与2a －2b 共线，求λ的值． [解] ∵a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)， 2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a ＋2b 与2a －2b 共线， ∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0， ∴λ＝12.。

北师大版高中数学必修四教学案平行向量的坐标表示(1)

教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
平行向量的坐标表示
授课时间
撰写人
学习重点
向量平行的坐标表示及直线上点的坐标的求解．
学习难点
向表示的两个向量共线条件；
2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学过程
一自主学习
复习：⑴若点、的坐标分别为，
那么向量的坐标为.
⑵若，则
，
假设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？
新知：通过运算，我们得知当且仅当时，向量共线.
二师生互动
例1已知，，且，求
变式训练1：已知平面向量，，且，则等于
例2向量，，，当为何值时，三点共线.
变式：已知，，，求证: 、、三点共线．
A. B. C. D.
3.点关于点对称点坐标为（）
A. B.
C. D.
4.已知，，若与平行，则的值为.
5.已知为边上的一点，且，则分所成的比为.
6.已知 = +5 ， =－2 +8 ， =3（－），则（）
A.A、B、D三点共线B .A、B、C三点共线
C.B、C、D三点共线D.A、C、D三点共线
思考题：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
三巩固练习
1.已知向量，，则与的关系是（）
A.不共线B.相等C.方向相同D.共线
2.已知三点共线，且，若点横坐标为，则点的纵坐标为（）

平面向量的坐标表示与应用教案

平面向量的坐标表示与应用教案一、平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上有大小和方向的箭头，可以通过坐标表示。

平面内的点可以用坐标表示为(x, y)，而平面向量可以表示为< x, y >。

对于平面上的向量A，我们可以用起点为原点(0, 0)和终点为(x, y)的有向线段来表示。

其中，x称为向量的横坐标或x分量，y称为向量的纵坐标或y分量。

二、平面向量的加法与减法1. 平面向量的加法设有向量A的坐标为< x₁, y₁ >，向量B的坐标为< x₂, y₂ >，则向量A与向量B的和C的坐标可以表示为< x₁ + x₂, y₁ + y₂ >。

2. 平面向量的减法设有向量A的坐标为< x₁, y₁ >，向量B的坐标为< x₂, y₂ >，则向量A与向量B的差D的坐标可以表示为< x₁ - x₂, y₁ - y₂ >。

三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。

设向量A的坐标为< x, y >，实数k，则k与A的数乘结果为< kx, ky >。

四、平面向量的模长与单位向量1. 平面向量的模长设向量A的坐标为< x, y >，则向量A的模长表示为|A|，计算方式为|A| = √(x² + y²)。

2. 单位向量若一个向量的模长为1，则称它为单位向量。

设向量A的坐标为< x, y >，可以将向量A除以它的模长，得到单位向量的坐标表示为< x/|A|,y/|A| >。

五、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 平面向量的位移在平面坐标系中，可以用向量表示一个点的位移。

设有向量A的坐标为< x, y >，表示某个点的位移。

通过平面向量的加法，我们可以计算出多个位移的和或差。

高中数学第二章平面向量 4 第2课时向量平行的坐标表示教学案数学教学案

第2课时向量平行的坐标表示[核心必知]向量平行定理与坐标表示定理语言叙述坐标表示性质定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(y 1≠0且y 2≠0)．若a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2判定定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．若x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b [问题思考]1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则一定有x 1x 2＝y 1y 2，对吗？提示：不对．因为若x 2＝0或y 2＝0，则x 1x 2＝y 1y 2不成立．2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则向量a ，b 的坐标一定具有什么关系？反之成立吗？提示：若a ∥b ，则一定有x 1y 2－x 2y 1＝0，反之也成立．即：a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 讲一讲1．(1)下列向量与a ＝(1，3)共线的是( ) A ．b ＝(1，2) B ．c ＝(－1，3) C ．d ＝(1，－3) D ．e ＝(2，6) (2)已知＝(7，－2)，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D[尝试解答] (1)法一：∵e ＝(2，6)＝2(1，3)＝2a ， ∴由向量共线定理知，e 与a 共线．故选D. 法二：∵26＝13，∴由向量平行的判定定理知，e ∥a .即e 与a 共线．故选D.B 不正确．同理可判定，C 、D 均不正确．故选A.[答案] (1)D (2)A 错误!判断两个向量是否平行(共线)方法有两种：(1)利用向量共线定理进行判断，即a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb (λ∈R )． (2)利用向量平行的坐标表示进行判断，即：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 1＝x 2y 2(或x 1x 2＝y 1y 2)，则a ∥b ，也可直接利用x 1y 2－x 2y 1是否等于0进行判断．1．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．法一：∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，∴AB 与共线且方向相反．法二：∵＝－2AB ， ∴AB 与共线且方向相反．讲一讲2．(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 (2)已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ＝________． [尝试解答] (1)∵a ＝(1，2)，b ＝(1，0)． ∴a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)．又∵(a ＋2b )∥c ，∴3×2－4×(1＋λ)＝0，得λ＝12.故选B.(2)a ＝2e 1＋e 2＝(2，0)＋(0，1)＝(2，1)．b ＝λe 1－e 2＝(λ，0)－(0，1)＝(λ，－1)，∵a ∥b ，∴2×(－1)－λ＝0，得λ＝－2. [答案] (1)B (2)－2解决此类问题的关键是正确进行坐标运算，合理使用待定系数法．首先利用向量共线的条件建立方程或方程组，再解所列的方程或方程组求出参数的值．练一练2. 向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若m a －n b 与a ＋2b 共线(其中m ，n ∈R ，且n ≠0)，则mn等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2解析：选A m a －n b ＝(m ，2m )－(－2n ，3n )＝(m ＋2n ，2m －3n )，a ＋2b ＝(1，2)＋(－4，6)＝(－3，8)，∵m a －n b 与a ＋2b 共线，∴8(m ＋2n )＋3(2m －3n )＝0，得m n ＝－12.讲一讲3．设梯形ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，2)，B (3，4)，D (2，1)，且AB ∥DC ，AB ＝2CD ，求点C 的坐标．[尝试解答] ∵AB ∥DC ，AB ＝2CD ， ∴.设C (x ，y )，则＝(x ，y )－(2,1)＝(x －2，y －1)．而AB ＝(3,4)－(－1,2)＝(4,2)， ∴(4,2)＝2(x －2，y －1)，即⎩⎪⎨⎪⎧2（x －2）＝4，2（y －1）＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.∴点C 的坐标为(4，2)．向量平行的综合应用，主要体现为向量的工具性作用，解决该类问题应注意从整体上进行把握，如首先应理解并掌握向量平行(共线)的含义及其判定与性质定理，其次应明确其坐标表示．而正确地进行向量的线性运算的坐标表示，也是解答此类问题的关键．练一练 3．如图，向量＝(x ，y )，若，试求x ，y 满足的关系．∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.化简得x ＋2y ＝0.如图，已知点A (2，0)，B (2，2)，C (1，3)，O (0，0)，试求AC 与BO 的交点D 的坐标． (2－2λ)×1－(－2λ)×(－3)＝0，解得λ＝14.∴OD ＝(2λ，2λ)＝(12，12)．∴D 点的坐标为(12，12)．[错因] 错解在于将向量的坐标运算及两向量共线的坐标表示弄错．向量的坐标应等于终点的坐标减去始点的坐标；两向量共线的坐标表示应是x 1y 2－x 2y 1＝0.∴3(2λ－2)－(－1)×(2λ)＝0. 解得λ＝34.∴＝(2λ，2λ)＝(32，32)．故D 点的坐标为(32，32)．1．下列各组向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2，3)，b 1＝(4，6) B ．a 2＝(2，3)，b 2＝(3，2)C ．a 3＝(1，2)，b 3＝(7，14)D ．a 4＝(－3，2)，b 4＝(6，4) 解析：选C ∵12＝714，∴a 3∥b 3.2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ∥b ，∴1×m －2×(－2)＝0，得m ＝－4， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4) ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．如果向量a ＝(k ，1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于 ( ) A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．0解析：选B ∵向量a 与b 共线，∴k 2＝4，得k ＝±2，又a 与b 反向，∴k ＝－2.4．已知A (4，1)，B (1，－12)，C (x ，－32)，若A 、B 、C 共线，则x ＝________．∴－32(x －1)＝3，解得x ＝－1. 答案：－15．已知向量a ＝(sin α，－3)，b ＝(cos α，－1)，且a ∥b ，则锐角α的值是________．解析：∵a ∥b ，∴sin αcos α＝－3－1＝3，α＝π3.答案：π36．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时，它们同向还是反向？解：法一：k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13.∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时k a ＋b ＝(－13－3，－23＋2)＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．一、选择题1．下列向量组中，能作为基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)解析：选B 能作为基底的向量不共线，可判定A 、C 、D 中的两向量均共线，所以不能作为基底，对于B ，由于－12≠57，所以e 1，e 2不共线，故选B.2．若平面向量a ＝(1，x )和b ＝(2x ＋3，－x )互相平行，其中x ∈R ，则|a －b |＝( ) A ．2 5 B ．2或2 5 C ．－2或0 D ．2或10解析：选B 由a ∥b 得－x －x (2x ＋3)＝0， ∴x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)， ∴a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝2 5.3．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则实数m 等于( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析：选B m a ＋b ＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则2m －14＝－3m －2，即2m －1＝－12m －8，解之得m ＝－12.4．已知向量＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1解析：选C 若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线． ∴(k ＋1)－2k ＝0，得k ＝1. 二、填空题5．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________．解析：因为a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，有k3＝33，可得k ＝1. 答案：16．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b等于________．解析：＝(－2，b －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －2)(b －2)－4＝0. 整理得1a ＋1b ＝12.答案：127．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，则λ＝________．解析：λa ＋b ＝λ(3，2)＋(2，－1)＝(3λ＋2，2λ－1)．a ＋λb ＝(3，2)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，2－λ)．∵(λa ＋b )∥(a ＋λb )．∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)×(3＋2λ)＝0. 解得，λ＝±1. 答案：±18．已知向量a ＝(1，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，12，x ∈(0，π)，若a ∥b ，则x 的值是________．解析：∵a ∥b ，a ＝(1，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，12，∴sin x ＝12.又∵x ∈(0，π)，∴x ＝π6或5π6.答案：π6或5π6三、解答题9．如果向量＝i －2j ，＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．解：法一：A 、B 、C 三点共线，即AB 、共线． ∴存在实数λ，使得＝λ. 即i －2j ＝λ(i ＋m j )．于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.即m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．法二：依题意知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC ＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )．而、共线， ∴1×m －1×(－2)＝0. ∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．10．已知向量：a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.。

高中数学平面向量教案(精选6篇)

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高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

2022年《向量平行的坐标表示导学案教师版》优秀教案

§向量平行的坐标表示目标要求1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题学科素养目标向量注重“形〞，是几何学的根底，广泛应用于实际生活和生产中通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量平行的坐标表示及应用；难点：向量平行在平面几何中的应用．教学过程根底知识点向量平行的坐标表示1坐标表示2本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系3应用:①两个向量的坐标判定两向量共线;②两个向量共线,求点或向量的坐标【思考】假设,且,那么向量共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示提示:可以表示为【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A向量,那么B ,其中,且,那么C A-6,10,B0,2,那么线段AB的中点坐标为-3,6D假设两个非零向量的夹角θ满足co θ>0,那么两向量的夹角θ一定是锐角【答案】选AC提示:A√因为b=1,-2,所以-2b=-21,-2=-2,4=aB×平面向量共线的坐标表示的特点是两个向量的坐标“纵横交错积相减〞C√由中点坐标公式可知线段AB的中点坐标为，即-3,6D×当两个向量方向相同时,它们的夹角θ=0°满足co θ=1>0题2向量,且,那么=【解析】选B因为,所以4×3-2=0,解得=61,2,B4,5,假设,那么点=8时,将用和表示;2假设A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件【解析】1当m=8时, ,设,那么2,-13,0=23,-=8,3,所以所以所以2因为A,B,C三点能构成三角形,所以不共线,又,所以1×4-1×m-2≠0,所以m≠6【拓展延伸】题13如下图,假设点等于或3 或-2【解析】选C由得-2m3m2=0,所以m=-1或m=3-1,-5和向量,假设,那么点B的坐标为________【解析】设O为坐标原点,因为,故,故点B的坐标为5,4答案:5,4题19向量与共线且方向相同,那么n=________【解析】因为,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又与方向相同,所以n=2答案:2中,点A-1,-2,B2,3,C-2,-1假设Dm,2m,且与共线,求非零实数m的值【解析】因为A-1,-2,B2,3,C-2,-1,Dm,2m,所以与,又因为与共线,即,所以32m1=5m2,解得m=7,所以非零实数m的值为7 【补偿训练】题21,当为何值时, 与平行平行时它们是同向还是反向【解析】方法一: ,当与平行时,存在唯一实数λ,使即-3,22=λ10,-4,所以解得=λ=当=时, 与平行,这时,因为λ= <0,所以与反向方法二:由题知,因为与平行,所以-3×-4-1022=0,解得=这时所以当=时, 与平行,并且反向。