2006考研数学三真题及答案解析
2006数学三考研真题
2006数学三考研真题一、选择题1. 下列命题中,正确的是:A. 若函数f(x)在[a, b]上连续,则必在[a, b]上有界。
B. 函数f(x)在开区间(a, b)上有界,则f(x)在[a, b]上有界。
C. 函数f(x)在[0, 1]上单调有界,则f(x)在[0, 1]上一定有一极限。
D. 若函数f(x)在[a, b]上单调有界,则f(x)在[a, b]上一定有一极限。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + c, 其中c为常数,则当x的取值为多少时,函数f(x)在区间[1, 3]上的最小值为-4?A. x = -1B. x = 1C. x = 4D. x = 53. 在圆锥体的三个属性:“有一个封闭的曲面、曲面上任何一点的切平面都交于一条公共直线、锥形顶点至底面的距离不变”,以下哪个属性是不正确的?A. 有一个封闭的曲面B. 曲面上任何一点的切平面都交于一条公共直线C. 锥形顶点至底面的距离不变D. 圆锥的底面是一个圆二、填空题1. 设函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d,其中a ≠ 0,若f''(x) = 6,则a + b + c + d = ______。
2. 若函数f(x) = x^2 - 2x - 3的图像经过B(2, -1),则直线y = kx + 5与f(x)的图像恰好相切,其中k的值为______。
三、计算题1. 计算定积分I = ∫(0,1) (4x^2 - 2x + 1)dx.2. 已知三角形ABC,其中∠BAC = 45°,BM为直角三角形ABC上BC边的中线,且∠BCA = 30°。
若BM = 2,则三角形ABC的面积为______。
四、证明题设数列{an}的公差d ≠ 0,数列{bn}的公差为arctan(d) ≠ 0,且当n→∞时,lim(an·bn) = 1.求证:lim(an) = lim(bn) = 1/d.总结:本文为2006年数学三考研真题的解答,包括选择题、填空题、计算题和证明题。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.[2008年] 设则( ).A.fx’(0,0),fy’(0,0)都存在B.fx’(0,0)不存在,fy’(0,0)存在C.fx’(0,0)存在,fy’(0,0)不存在D.fx’(0,0),fy’(0,o)都不存在正确答案:B解析:因而则极限不存在,故偏导数fx’(0,0)不存在.而因而偏导数fy’(0,0)存在.仅(B)入选.知识模块:多元函数微积分学2.[2003年] 设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是( ).A.f(x0,y)在y=y0处的导数大于零B.f(x0,y)在y=y0处的导数等于零C.f(x0,y)在y=y0处的导数小于零D.f(x0,y)在y=y0处的导数不存在正确答案:B解析:解一因f(x,y)在点(x0,y0)处可微,故f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数存在,因而一元函数f(x0,y)在y=y0处的导数也存在.又因f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,故f(x0,y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零.仅(B)入选.解二由函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微知,f(x.y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.又由二元函数极值的必要条件即得f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数都等于零.因而有知识模块:多元函数微积分学3.[2016年] 已知函数则( ).A.fx’-fy’=0B.fx’+fy’=0C.fx’-fy’=fD.fx’+fy’=f正确答案:D解析:则仅(D)入选.知识模块:多元函数微积分学4.[2017年] 二元函数z=xy(3-x-y)的极值点为( ).A.(0,0)B.(0,3)C.(3,0)D.(1,1)正确答案:D解析:zy’=y(3-x-y)-xy=y(3-2x-y),zy’=x(3-x-y)-xy=x(3-x-2y),又zxx’=-2y,zxy=3-2x-2y,zyy’=-2x,将选项的值代入可知,只有(D)符合要求,即A=zxx”(1,1)=-2,B=zxy”(1,1)=-1,C=zyy”(1,1)=-2.满足B2-AC=-3<0,且A=-2<0,故点(1,1)为极大值点.仅(D)入选.知识模块:多元函数微积分学5.[2006年] 设f(x,y)与φ(z,y)均为可微函数,且φy’(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,Y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).A.若fx’(x0,y0)=0,则fy’(x0,y0)=0B.若fx’(x0,y0)=0,则f’y(x0,y0)≠0C.若fx’(x0,y0)≠0,则fy’(x0,y0)=0D.若fx’(x0,y0)≠0,则f’y(x0,y0)≠0正确答案:D解析:解一由拉格朗日乘数法知,若(x0,y0)是f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则必有fx’(x0,y0)+λφx’(x0,y0)=0,①fx’(x0,y0)+λφx’(x0,y0)=0.②若fx’(x0,y0)≠0,由式①知λ≠0.又由题设有φy’(x0,y0)≠0,再由式②知fy’(x0,y0)≠0.仅(D)入选.解二构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),并记对应于极值点(x0,y0)处的参数的值为λ0,则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0,y0)/φx’(0,y0)=一λ0=f’y(x0,y0)/φ’y(x0,y0).即f’x(x0,y0)φ’y(x0,y0)一fy’(x0,y0)φx’(x0,y0)=0.整理得若fx’(x0,y0)≠0,则由式③知,φx’(x0,y0)≠0.因而fy’(x0,y0)≠0.仅(D)入选.解三由题设φy’(x,y)≠0知,φ(x,y)=0确定隐函数y=y(x).将其代入f(x,y)中得到f(x,y(x)).此为一元复合函数.在φ(x,y)=0两边对x求导,得到因f(x,y(x))在x=x0处取得极值,由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’/φy’)=0.因而当fx’(x0,y0)≠0时,必有fy’(x0,y0)≠0.仅(D)入选.知识模块:多元函数微积分学填空题6.[2012年] 设连续函数z=f(x,y)满足则dz|(0,1)=__________.正确答案:2dx-dy解析:用函数f(x,y)在(x0,y0)处的微分定义:与所给极限比较易知:z=f(x,y)在点(0,1)处可微,且fx’(0,1)=2,fy’(0,1)=-1,f(0,1)=1,故dz|(0,1)=fx’(0,1)dx+fy’(0,1)dy=2dx-dy.知识模块:多元函数微积分学7.[2009年] 设z=(x+ey)x,则正确答案:2ln2+1解析:解一为简化计算,先将y=0代入z中得到z(x,0)=(x+1)x,z为一元函数.将x=1代入上式,得到解二考虑到z(x,0)=(x+1)x为幂指函数,先取对数再求导数:lnz=xln(x+1).在其两边对x求导,得到则知识模块:多元函数微积分学8.[2007年] 设f(u,v)是二元可微函数,则正确答案:解析:解一设u=y/x,v=x/y.为方便计,下面用“树形图”表示复合层次与过程.由式①一式②得到解二令f1’,f2’分别表示z=f(y/x,x /y)对第1个和第2个中间变量y/x、x/y求导数,则知识模块:多元函数微积分学9.[2004年] 函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)≠0,则正确答案:解析:令u=xg(y),v=y,由此解出于是知识模块:多元函数微积分学10.[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y),则dz|(1,0)=_________.正确答案:2edx+(e+2)dy解析:dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)/(1+y)]dy.①将x=1,y=0代入上式(其中dz,dx,dy不变),得到dz|(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy.解二利用全微分公式求之.为此,先求出偏导数故解三用定义简化法求之.固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导.由z(x,0)=xex得到由z(1,y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块:多元函数微积分学11.[2006年] 设函数f(u)可微,且f’(0)=1/2,则z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分dz|1,2=___________.正确答案:4dx一2dy解析:解一dz=df(4x2-y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2-y2)=f’(u)(8xdx-2ydy),其中u=4x2-y2.于是dz|1,2=f’(0)(8dx-4dy)=4dx-2dy.解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之.由z=f(4x2-y2)得到解三由z=f(4x2-y2)得到于是故dz|1,2=4dx-2dy.知识模块:多元函数微积分学12.[2011年] 设函数则dz|1,1=____________.正确答案:(1+2ln2)(dx—dy)解析:解一所给函数为幂指函数,先在所给方程两边取对数,然后分别对x,y求偏导:由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解.故dz|1,1=2(ln2+1/2)dx-2(ln2+1/2)dy=(1+2ln2)(dx-dy).知识模块:多元函数微积分学13.[2015年] 若函数z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定,则dz|0,0=_______________.正确答案:解析:在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x,y求偏导得到同法可得将x=0,y=0代入式①易求得z=0,代入式②、式③分别得到则知识模块:多元函数微积分学14.[2014年] 二次积分正确答案:解析:注意到不易求出,需先交换积分次序,由积分区域的表达式D={(x,y)|y≤x≤1,0≤y≤1)-{(x,y)|0≤y≤x,0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块:多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年考研数学三真题及完整解析
2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ ](14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ ]三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+,问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分) 设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()e f x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()e f x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2e f x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e 2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y =-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--,故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴.(6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2 2.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h →=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B); 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(C).故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).(12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ,则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以,若向量组12,,,s ααα 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得1101101101110,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x 后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰, 又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x.【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理 11100()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xx t t tt x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T44,4,4,4a α=+,问a为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时, 1α2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭, 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T 11111136********121210011136666011111111036222A Q Q ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=Λ=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭, 则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则 1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时, ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时,()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰. 4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他. (II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算. 【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令 32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=- .(Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln ()0d 1L N n Nθθθθ-=-=-,解得N n θ= 为θ的最大似然估计.。
2006年考研数学三真题及答案
2006年考研数学三真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。
) (1) lim n→∞(n+1n)(−1)n= 。
【答案】1。
【解析】 【方法一】记x n =(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞x 2k =limk→∞2k+12k=1, 且lim k→∞x 2k+1=lim k→∞(2k+22k+1)−1=1, 故lim n→∞x n =1。
【方法二】lim n→∞(n+1n)(−1)n =lim n→∞e(−1)n lnn+1n, 而lim n→∞lnn+1n=lim n→∞ln (1+1n)=0(无穷小量),(−1)n 为有界变量,则原式=e 0=1。
综上所述,本题正确答案是1。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导,且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。
【答案】2e 3。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由f ′(x )=e f (x )知f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。
综上所述,本题正确答案是2e 3。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数f(u)可微,且f′(0)=12, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)= 。
【答案】4dx−2dy。
【解析】因为ðzðx|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,ðzðy|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,所以dz|(1,2)=ðzðx |(1,2)dx+ðzðy|(1,2)dy=4dx−2dy。
2006年数学三真题答案解析
Δy
dy
O
x0
x0+Δx
x
结合图形分析,就可以明显得出结论: 0 dy y .
方法 2:用两次拉格朗日中值定理
y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x (前两项用拉氏定理)
f ( )x f (x0 )x
(再用一次拉氏定理)
f ()( x0)x , 其中 x0 x0 x, x0
换元令 x h2 ,由题设可得
lim
h0
f (h2) h2
lim x0
f (x) 1 x
.
于是 lim f (x) lim f (x) x 10 0
x0
x x0
因为函数 f (x) 在点 x 0 处连续,故 f (0) lim f (x) 0 ,进而有 x0
1 lim x0
f (x) lim
2( 1 ) 1 1
2( 1 ) 1,即 1
2
1
1 2
,所以 1
2
,故选(A).
三、解答题
(15)【详解】题目考察二元函数的极限,求 g(x) 时,可以将 y 视为常数
1 y sin x
(I)
g(x)
lim
f (x, y)
y
lim [
y
y 1 xy
y ],
arctan x
由于 x 0 ,所以
dz dx
x x0
f (x0 , y0 ) f (x0 , y0 )
x
y
dy dx
x x0
fx(x0, y0)
f y( x0 ,
y0
)
x
y
( (
x0 x0
, ,
考研数学复习资料 2006年数学三考研试题与答案
( ) ( 3 ) 设 函 数 f (u) 可 微 , 且 f ′ (0) = 1 , 则 z = f 4x2 − y2 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 2
dz (1,2) = 4dx − 2dy.
【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.
【详解】方法一:因为 ∂z ∂x
= (1, 2 )
2006 年考研数学(三)真题
一、填空题:1-6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
(1)
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
n
+ n
1
(−1
⎞ ⎟⎠
)n
= ______ .
(2)设函数 f (x)在 x = 2 的某邻域内可导,且 f ′ ( x) = e f (x) , f ( 2) = 1 ,则 f ′′′ (2) = ____ .
值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数.
(Ⅰ)求θ 的矩估计; (Ⅱ)求θ 的最大似然估计
2006 年考研数学(三)真题解析
二、填空题:1-6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上.
(1)
lim
n→∞
⎛ ⎜⎝
n +1⎞(−1)n n ⎟⎠
= 1.
【分析】将其对数恒等化 N = elnN 求解.
2
.
【分析】 将矩阵方程改写为 AX = B或XA = B或AXB = C 的形式,再用方阵相乘的行
列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设,有
B(A− E) = 2E
于是有
11
B A− E = 4 ,而 A − E =
= 2 ,所以 B = 2 .
2006年考研数学三真题及答案
2006年考研数学三真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。
) (1) lim n→∞(n+1n)(−1)n= 。
【答案】1。
【解析】 【方法一】记x n =(n+1n )(−1)n , 因为lim k→∞x 2k =limk→∞2k+12k=1, 且lim k→∞x 2k+1=lim k→∞(2k+22k+1)−1=1, 故lim n→∞x n =1。
【方法二】lim n→∞(n+1n)(−1)n =lim n→∞e(−1)n lnn+1n, 而lim n→∞lnn+1n=lim n→∞ln (1+1n)=0(无穷小量),(−1)n 为有界变量,则原式=e 0=1。
综上所述,本题正确答案是1。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算 (2) 设函数f(x)在x =2的某领域内可导,且f ′(x )=e f (x ),f (2)=1, 则f ′′(2)= 。
【答案】2e 3。
【解析】本题主要考查复合函数求导。
由f ′(x )=e f (x )知f ′′(x )=e f (x )f ′(x )=e f (x )∙e f (x )=e 2f (x )f ′′′(x )=e 2f (x )∙2f ′(x )=2e 3f (x )f ′′′(2)=2e 3f (2)=2e 3。
综上所述,本题正确答案是2e 3。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数(3)设函数f(u)可微,且f′(0)=12, 则z=f(4x2−y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)=。
【答案】4dx−2dy。
【解析】因为ðzðx|(1,2)=f′(4x2−y2)∙8x|(1,2)=4,ðzðy|(1,2)=f′(4x2−y2)∙(−2y)|(1,2)=−2,所以dz|(1,2)=ðzðx |(1,2)dx+ðzðy|(1,2)dy=4dx−2dy。
2006考研数学三真题及答案解析
2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ](10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()ef x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e 2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--, 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nn a∞=∑收敛知11n n a∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B);取(1)nn a =-.故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D). (12)设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=,则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以,若向量组12,,,s ααα线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,sin 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰,又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-. (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时,(2()()Y F y P X y P X =<=<<0d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时,(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=-. (Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln()d1L N n Nθθθθ-=-=-,解得Nnθ=为θ的最大似然估计.。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析)
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.(2004年)设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且则()A.x=0必是g(x)的第一类间断点.B.x=0必是g(x)的第二类间断点.C.x=0必是g(x)的连续点.D.g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.正确答案:D解析:由于若a=0,则g(x)在点x=0处连续;若a≠0,则g(x)在点x=0处连续.故应选D.2.(2017年)若函数在x=0处连续,则( )A.B.C.ab=0.D.ab=2.正确答案:A解析:要使f(x)在x=0处连续,则须故应选A3.(1987年)若f(x)在(a,b)内可导且a<x1<x2<b,则至少存在一点ξ,使得()A.f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a) (a<ξ<b)B.f(b)一f(x1)=f(ξ)(b一x1) (x1<ξ<b)C.f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1) (x1<ξ<x2)D.f(x2)一f(a)=f(ξ)(x2一a) (a<ξ<x2)正确答案:C解析:由f(x)在(a,b)内可导知,f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,由拉格朗日中值定理知,存在一点ξ,使f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2—x1)x1<ξ<x2所以应选C.A、B、D均不正确.因为由f(x)在(a,b)内可导,不能推得f(x)在[a,b],[x1,b],[a,x2]上连续,故A、B、D选项均不满足拉格朗日中值定理条件.4.(2005年)当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点.( )A.2B.4C.6D.8正确答案:B解析:f’(x)=6x2一18x+12=6(x2一3x+2)=6(x一1)(x一2) 令f’(x)=0,得x1=1,x2=2 f(1)=5一a,f(2)=4一a 当a=4时,f(1)=1>0,f(2)=0.即x=2为f(x)的一个零点,由f’(x)=6(x一1)(x一2)知当一∞<x<1时,f’(x)>0,f(x)严格单调增,而f(1)=1>0,,则f(x)在(一∞,0)内有唯一零点.当1<x<2时,f’(x)<0,f(x)单调减,又f(2)=0,则当1<x<2时,f(x)>0,此区间内无零点.当x>2时,f’(x)>0,f(2)=0.则x>2时f(x)>0,即在此区间内f(x)无零点.故应选B.5.(2014年)设函数f(x)具有2阶导数,g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )A.当f’(x)≥0时,f(x)≥g(x)B.当f’(x)≥0时,f(x)≤g(x)C.当f’’(x)≥0时,f(x)≥g(x)D.当f’’(x)≥0时,f(x)≤g(x)正确答案:D解析:令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x,则F’(x)=f’(x)+f(0)一f(1),F’’(x)=f’’(x).当f’’(x)≥0时,F’’(x)≥0.则曲线y=F(X)在区间[0,1]上是凹的,又F(0)=F(1)=0,从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选D.6.(1999年)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( )A.当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.B.当f(x)是偶函数时,F(x)必为奇函数.C.当f(x)是周期函数时,F(x)必为周期函数.D.当f(x)是单调增函数时,F(x)必为单调增函数.正确答案:A解析:直接说明A正确,f(x)的原函数F(c)可表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C 则F(一x)=∫0-xf(t)dt+C—∫0xf(-u)du+C=∫0xf(u)du+C=F(x)故A是正确选项.7.(2015年)设D={(x,y)|x2+y2≤2x,x2+y2≤2y},函数f(x,y)在D上连续,则=( )A.B.C.D.正确答案:B解析:积分域D如图所示,则故应选B.8.(2004年) 设有以下命题:则以上命题中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④正确答案:B解析:令un=(一1)n-1,则u2n-1+u2n=0,从而级数发散,所以①不正确.级数去掉前1 000项所得到的,由级数性质可知,若必收敛,则②正确.由检比法知若收敛,故③正确.令un=1,vn=一1,则级数都发散,则④不正确,故应选B.填空题9.(1994年) 设方程exy+y2=cosx确定y为x的函数,则=_______.正确答案:应填解析:方程exy+y2=cosx两边对x求导,得exy(y+xy’)+2yy’=一sinx解得10.(2011年)设,则f’(x)=______.正确答案:应填e3x(1+3x).解析:f(x)=xe3x,f’(x)=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)11.(1996年)设∫xf(x)dx=arcsinx+C,则=______.正确答案:解析:12.(2014年)设∫0axe2xdx=则a=______.正确答案:应填解析:13.(2006年)设函数f(u)可微,且则z=f(4x2一y2)在点(1,2)处的全微分dz|(1,2)=______.正确答案:应填4dx一2dy.解析:则dz|(1,2)=4dx一2dy14.(2009年)幂级数的收敛半径为______.正确答案:应填解析:15.(2005年)微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______.正确答案:应填xy=2.解析:本方程是一可分离变量方程,由xy’+y=0知,ln|y|=一ln|x|+lnC1从而xy=C,又y(1)=2,则C=2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2006年考研数学(三)真题2
(12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ,则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以,若向量组12,,,s ααα 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得11011011011010,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A)12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x 后y ”积分较容易,所以10d d yDx y y x =⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰, 又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 1112001()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=, 于是 1()arctan s x x '=.同理 1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()2201arctan d arctan ln 112xxt t tt x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.(20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭, 由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ A Q =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交.取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T Q Q -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T 31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则 1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时,(2()()Y F y P X y P X =<=<<0d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时,(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以01()(),140,Y Yyf y F y y<<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II)22232 Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX==--=-,而02101d d244x xEX x x-=+=⎰⎰,22022105d d246x xEX x x-=+=⎰⎰,33023107d d248x xEX x x-=+=⎰⎰,所以7152Cov(,)8463X Y=-⋅=.(Ⅲ)1,42F⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d24x--==⎰.(23)(本题满分13分)设总体X的概率密度为(),01,;1,12,0,xf x xθθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n,...,X X X为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值12,...,nx x x中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计;(Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()12013(;)d d1d2EX xf x x x x x xθθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰,令32Xθ-=,可得θ的矩估计为32Xθ=-.(Ⅱ)记似然函数为()Lθ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=- 个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-,解得N nθ= 为θ的最大似然 估计.。
考研数学三真题(2006年)
)
(A)
(C)
0 dy y .
y dy 0 .
(B)
(D)
0 y dy .
dy y 0 . 1 ,则( (B) )
(8)设函数 f x 在 x 0 处连续,且 lim (A) f 0 0且f 0 存在
f h 2 h2
h0
f 0 1且f 0 存在
(C) f 0 0且f 0 存在 (9)若级数 an 收敛,则级数(
n1
(D) f 0 1且f 0 存在 ) (B) (1)na n 收敛.
n 1
(A)
a
n1
(5)设 随 机 变 量 X 与Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 0, 3 上 的 均 匀 分 布 , 则 PmaxX ,Y 1 . 1 (6)设总体 X 的概率密度为 f x e x x ,X 1 , X ,2, X 为总体 X 的简单 n 2 随机样本,其样本方差为S 2 ,则 ES 2 .
1 (3)设 函 数 f (u ) 可 微 , 且 f 0 , 则 z f 4 x 2 y 2 在 点 (1,2) 处 的 全 微 2 分 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA B 2E ,则 B 1 2
n
收敛 .
(C)
a a
n1
n n1
收敛.
(D)
an an 1 收敛. 2 n1
(10)设非齐次线性微分方程 y P( x) y Q( x ) 有两个不同的解 y1 (x), y2 (x), C 为任意常 数,则该方程的通解是( (A) C y1 (x) y2 (x) . (C) C y1 (x) y2 (x) . ) (B) y1 ( x) C y1 ( x ) y2 ( x) .
-历年考研数学三真题及答案解析
是c+等价无穷小,则(C) R = 3,c = 4已知 f(x)在 X = O 处可导,且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M~2 / CV)Λ→0设{冷}是数列,则下列命题正确的是OOX若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛/1-1n-1X OC若£(%如)收敛,则收敛“■]/1-1OO X若X ©收敛,则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡lπ-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛π-l ∕ι≡lπ JT π设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K的大 小关系是解,k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为(A) k = l,c = 4(B) IC = ^C =-4⑷-2/(0)(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0(C) (D)(A) I<J<K (B) I<K<J (C) J <I<K (D) K<J<I⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第31 O OU O 0,行得单位矩阵记为片=1 1 O,£ = O O 1,0 0 1’O 1 O 丿(C) P 2P 1 (D) P['P ∖(6)设人为4x3矩阵,7,J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的(B) P^P I (A)砒 ,则4 =(B)t h∑211 + k2{η2-η^(C)T h;+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)(7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数,其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是(A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM(C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x)(8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布,X P X l,..∙X,1(∕z≥2)为来自总体的简1" IilZil单随即样本,贝IJ对应的统iiS7;=-yx(., T l =——Vx1-+-X,,刃台^ H-I ⅛r IJ '(A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2(C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1二、填空题:旷14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.X(9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ・∕→0X(10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ・y(11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ・4(12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ .(13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ •(14)设二维随机变⅛(X,K)服从N(“,“;bSb?;。
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2006年考研数学(三)真题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()2____.f '''=(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =(4)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B . (5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则2____.ES =二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ](8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h→=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ](10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ](11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s αααL 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ](13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)T C P AP =. (D)TC PAP =. [ ] (14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. (16)(本题满分7分)计算二重积分d Dx y ,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ)Cov(,)X Y ;(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计2006年考研数学(三)真题解析二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭,而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()ef x f x '=,两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==,两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==,又()21f =,故 ()323(2)2e 2e f f '''==.(3)设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂,()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂,所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二:对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--, 故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.(4)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设,有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11211A E -==-,所以2B =.(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2S ,则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰, 22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e2e d 2e 2x x xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰,所以 ()22202DX EX EX =-=-=,又因2S 是DX 的无偏估计量,所以 22ES DX ==.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ A ]【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ∆>时,00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>,故应选(A).(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22lim1h f h h →=,则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知,()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =,则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在,故本题选(C ). (9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . (B )1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nn a∞=∑收敛知11n n a∞+=∑收敛,所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1(1)nn a n=-,则可排除选项(A),(B);取(1)nn a =-.故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解是(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.(11)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的值)取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩, 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ,得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.(因为(,)0y x y ϕ'≠),若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).(12)设12,,,s αααL 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关,则12,,,s A A A αααL 线性无关.(C) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关,则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=L ,则12(,,,)s A A A AB ααα=L .所以,若向量组12,,,s αααL 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A αααL 也线性相关,故应选(A).(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=. (B)1C PAP -=.(C)TC P AP =. (D)TC PAP =. [ B ]【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1C PAP -=.故应选(B).(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则1211σσ>,即12σσ<.故选(A).三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=;(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ (通分) 22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====(16)(本题满分7分) 计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x后y ”积分较容易,所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x -=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰ (17)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,sin 0x x x π<<>时),故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(18)(本题满分8分)在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).(Ⅰ) 求L 的方程;(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-=,这是一阶线性微分方程,其中1(),()P x Q x ax x=-=,代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰,又(1)0f =,所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以()220d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰ ()220482d 33a x x x a =-==⎰,故2a =.(19)(本题满分10分)求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-,则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内,()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑,而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑, 所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰,又1(0)0s '=,于是 1()arctan s x x '=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t '-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xxt t t t x x x t =-=-++⎰, 又 1(0)0s =,所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以()s x 在1x =±成立,即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-. (20)(本题满分13分)设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+,问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且123441230αααααααα+++==---,即.(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ;(Ⅲ)求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=⋅=⋅,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化,得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭, 令 []123,,Q ηηη=,则1T QQ -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以T31110011101110A Q Q ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭,则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(22)(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他,令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;(Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则1) 当0y <时,()0Y F y =;2) 当01y ≤<时,(2()()Y F y P X y P X =<=<<0d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时,(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<1011d d 242x x -=+=⎰.4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.(II ) 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰,22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰, 3323107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰, 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. (23)(本题满分13分)设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】(Ⅰ)因为()1213(;)d d 1d 2EX xf x x x x x x θθθθ+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰, 令 32X θ-=,可得θ的矩估计为 32X θ=-).(Ⅱ)记似然函数为()L θ,则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-L L 1424314444244443个个. 两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,令d ln()d1L N n Nθθθθ-=-=-,解得Nnθ=)为θ的最大似然估计.。