极坐标系下的速度和加速度

活动坐标系

以极坐标系下任意点P(r,θ)为原点，建立一个活动坐标系，该坐标系的两个主方向分别为径向(radial)和横向(transverse)。径向与OP

⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向一致。横向与径向垂直且朝向θ增加的方向。该坐标系下的任一点或物理量可以通过主方向上的两个单位矢量（基）表示出来。例如，假设P是一运动质点，则它的速度和加速度可以分解为

v P=v r e r+vθeθ,a P=a r e r+aθeθ

其中e r是径向单位矢量，eθ是横向单位矢量。e r的直角坐标表示可以通过对OP

⃗⃗⃗⃗⃗ 单位化获得。

e r=

OP

⃗⃗⃗⃗⃗

|OP|

=(cosθ,sinθ)

而eθ的直角坐标表示可将e r逆时针旋转90°获得。

eθ=(−sinθ,cosθ)

可以看出，{e r,eθ,P(r,θ)}刚好也是一个右手系。并且该活动坐标系是与r的取值无关的（只要r≠0）。所以当点P径向运动时，活动坐标系不发生改变；只有当点P有横向运动分量时活动坐标系才会发生改变。

e r,eθ关于θ的导数

d

dθ

e r=(−sinθ,cosθ)=eθ

d

dθ

eθ=−(cosθ,sinθ)=−e r

极坐标系下的速度

方法一

设质点P(r,θ)的运动方程为{r=r(t)

θ=θ(t)

。以时刻t为起点，建立活动坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}，则经过∆t时刻质点运动到

P′=[r(t+∆t)−r(t)]e r+[θ(t+∆t)−θ(t)]r(t)eθ

因此，在时刻t，质点速度在坐标系{e r,eθ,P(r(t),θ(t))}下可以表示为

v P=lim

∆t→0PP′

∆t

=ṙe r+rθeθ

其中，径向速度为ṙ，横向速度为rθ。

方法二

以r P代表质点P的坐标。r P(t)就代表了质点P的运动方程。由于

r P(t)=(r(t)cosθ(t),r(t)sinθ(t))=r(t)e r(t)所以

d dt r P(t)=

d

dt

(r(t)e r(t))=(

d

dt

r(t))e r(t)+r(t)(

d

dt

e r(t))

其中

d dt

e r=

de r

dθ

·

dθ

dt

=θeθ

这一项可以理解为由质点位置矢量的方向(e r)改变所引起的。所以整理以上可得：v P=ṙe r+rθeθ。极坐标系下的加速度

d dt v P=

d

dt

(ṙe r)+

d

dt

(rθeθ)

第一项

d dt (ṙ

e r)=

dṙ

dt

e r+ṙ

de r

dθ

dθ

dt

=r̈e r+ṙθeθ

第二项

d dt (rθeθ)=

dr

dt

θeθ+r

dθ

dt

eθ+rθ

deθ

dθ

dθ

dt

=ṙθeθ+rθeθ−rθ2e r

整理可得

a P=(r̈−rθ2)e r+(2ṙθ+rθ)eθ

其中2ṙθ+rθ=1

r d

dt

(r2θ)，所以径向加速为r̈−rθ2，横向加速度为1

r

d

dt

(r2θ)=2ṙθ+rθ。