齿轮啮合原理考题

一、基本概念（35分）

1.解释齿轮的瞬心线？

如图示，假设O 1和O 2是平面啮合时用来传递运动的两平行轴，从1O 轴向2O 轴传递回转运动，在垂直于轴线1O 和2O 的平面内，构件1和2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线就是瞬心线。 2.解释齿轮的瞬时回转轴？

答：两齿轮在空间任意点M 处的相对运动速度v 12

，由式

v v r w r w v

2010221112

-+⨯-⨯=可以证明，空间上任意一点处的v 12

是和这个点绕某

个定轴作一定的螺旋运动时形成的线速度相同的。轴线k 称为瞬时回转轴，简称瞬时轴。 3.解释齿轮的瞬轴面？

答：让瞬时回转轴k 绕两个齿轮的轴线回转，可以得到两个双曲回转面P1及P2，它们称为两齿轮的瞬轴面。则P1和P2在k 轴处是相切的，当它们在切线处的相对运动速度v 12

=0，两瞬轴面作纯滚动。反之，它们会产生相对的的滑动。

4.解释共轭齿形？

答：齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或者共轭齿形。则得到，共轭齿形的公法线一定通过该瞬时的瞬心点P 。

5.解释啮合面？

答：配对曲面∑1和∑2在每一瞬时彼此沿一条线相接触，该线称作瞬时接触线。啮合面是表示在与机架刚性固接的固定坐标系f S 中的瞬时接触线族。啮合面用下列方程表

示：()(),,,,0f

f u f u r r θφθφ==

。

式中：11

f

f M r r =

，这里4×4矩阵1

f M

描述从1S 到f S 的坐标

变换。

6.解释齿廓渐屈线？

答：一条曲线的渐近线是该曲线的曲率中心的轨迹，也是原曲线的法线族的包络。

如图示，图中原曲线为渐开线，1M 、2M 、3M 为渐开线

上的点，1N 、2N 、3N 分别为1M 、2M 、3M 对应的曲率中心，则由无数个曲率中心组成的曲线就是渐曲线。

7.写出Euler 的方程式？

答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，Euler 方程表达式为：

22I II cos sin n K K q K q =+

式中q 是由矢量MN

和单位矢量I e

构成的夹角。矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方

向，而n K 是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量I e 和II e

沿着两个主方向，而I K 和II

K 是主曲率。

二、采用数学软件推导微分的方法（15分）

答：1.确定微分方程的类型。2.确定所求是解析解还是数值解。

Matlab 软件求解微分方程解析解的命令dsolve()；求解微分方程数值解的方法：(1)欧拉公式；(2)龙格-库塔法。

求通解的命令格式：dsolve('微分方程'，'自变量')

求特解的命令格式：dsolve('微分方程'，'初始条件'，'自变量') 微分方程组命令格式：dsolve('微分方程1，微分方程组2') 3.采用软件提供的合适的算法求解。 三、推导方程（每题10分, 共计20分） 1. 坐标系

和

刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间

的回转运动（图1）。齿轮的两回转角和 用方程:

联系着，式中和是两瞬线的半径。E 是两转动轴线之间的最短距离。固定坐标系 刚性固接到齿轮箱体上。 是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。

图1

推导：

1) 从S 2到S 1的坐标变换方程。 2) 从S 1到S 2的坐标变换方程。

解: 1) 从2S 到1S 的坐标变换基于矩阵方程

112122f fp p r M M M M r ==

（1）

式中1f M 和2p M 是转动矩阵，而fp M 是移动矩阵。这里

22221x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22

22

2cos sin 00sin cos 0000100

001p M φφφφ⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

11111x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11111cos sin 00sin cos 0000100

00

1f M φφφφ⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2） 100001000100

01fp E M ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

从方程（1）可导出

121

21

1212

112cos()sin()0sin sin()cos()0cos 00100001E E M φφφφφφφφφφ

++⎡⎤⎢⎥-++⎢

⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣

⎦

(3) 利用方程（2）和（3），我们得到

1212

2

12

c o s

()s i n ()

s i n x x y

E φφφφφ

=++++ 1212

2

12

s i n ()c o s ()

c o s

y x y

E φφφφφ=-+++

+ 12z z =

2）逆矩阵12112M M -=可以通过12M 的各元素表达如下

1212

2

1212

221cos()sin()0sin sin()cos()

0cos 00100001

E E M φφφφφ

φφφφφ+-+⎡⎤⎢⎥++-⎢

⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣

⎦

逆坐标变换基于矩阵方程

2211r M r =

从该方程可推导出：

2112

1

1

2

c o s ()s i n ()s i n

x x y

E φφ

φφφ=+-++

211211221

()cos()cos y x sin y E z z φφφφφ=+++-=

2. 坐标系

,

和

分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。

齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程

（

）

表示在 中。这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M ，

；对于点，

）。瞬时回转中心为 。齿轮的

瞬心线是半径为r 的圆，而齿条刀具的瞬心线与 轴重合（图2）。齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式