北师大版九年级数学上册 4.1.1线段的比和成比例线段 同步测试题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.1成比例线段第1课时比例线段同步练习及答案
1 第1课时 成比例线段知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，a b 与b a 不同，它们互为倒数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为( )A ．3∶4B ．2∶3C ．3∶5D ．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，则d ＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x 2＝y 3，那么下列式子中一定成立的是( ) A ．2x ＝3y B ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝66．若3a ＝5b ，则a b＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 38．如果a ＋2b b ＝52，那么a b的值是( ) A.12 B ．2 C.15D ．5 9．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′，AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm.(1)求A ′B ′AB 和B ′C ′BC的值； (2)线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.53 7.C8．A9．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ， ∴A ′B ′AB ＝48＝12，B ′C ′BC ＝612＝12.(2)由(1)知A ′B ′AB ＝12，B′C ′BC ＝12，∴A ′B ′AB ＝B ′C′BC ，∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．10．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2，解得AE ＝5.6(cm)，则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x .当x ∶4＝8∶5时，可求得x ＝325；当x ∶4＝5∶8时，可求得x ＝208＝52；当4∶8＝5∶x 时，可求得x ＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.。
北师大版九年级数学上册4.1.1成比例线段课件
探究学习,获取新知
3.比例的基本性质
问题：如果a、b、c、d 四个数成比例，即
a b
c d
，
那么ad＝bc 吗？反过来，如果ad＝bc，那么a、b、
c、d 四个数成比例吗？
归纳新知
比例的基本性质
如果
a b
c d
,那么ad=bc.
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么
a b
c d
.
即时练习
4.（教材随堂练习第 3题变式题）若线段 a,b,c,d成比例,其中 a＝3 cm,b ＝6 cm,c＝2 cm,则 d＝____4_c_m____.
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第1课时 成比例线段
知识点 3 比例的基本性质
5. 已知x2＝y3,那么下列式子中一定成立的是( B ) A. 2x＝3y B. 3x＝2y C. x＝2y D. xy＝6
想一想
在计算两条线段的比时我们要注意什么？ (1)必须选用同一个长度单位 （2）两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关 系 （3）两条线段的比结果没有单位，它的结果是一个 正实数 (4) 两条线段的比具有顺序性 (5) 两条线段的比实际就是两个数之比
做一做
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四
AB AD AB EF EF EH AD EH
上图中AB,EF,AD,EH是成比例线段， AB,AD,EF,EH也是成比例线段。
成比例线段与排列的顺序（叙述的顺序）有关
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ac(或a:bc:d) bd
a,b,c,d叫作组成比例的项, d是a,b,c的第四比例项， a, d是比例的外项，b，c是比例的内项
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北师大版九年级上册数学 第四章 成比例线段、平行线段成比例(解析版)
第四章成比例线段、平行线段成比例一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【解析】【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．【详解】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）A ．AP ：BP=AB ：AP B ．AP AB =C ．12BP AB =D ．0.618AP AB ≈【答案】C【解析】【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可．【详解】由题意得：∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确；12AP AB =，故B 正确；AP AB =∴32BP AB AP AB =-=，故C 错误；2.236≈，∴0.618AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．3．如图，//DE BC，下列各式不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．AD AEBD CE=C．AD AEAC AB=D．AD ABAE AC=【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】∵//DE BC,∵AD AEBD CE=，AD AEAB AC=，即AD ABAE AC=，，∵选项A、B、D均正确，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序．4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4.2，则DF的长是（）A．38B．6C．6.3D．10.5【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出DE ABEF BC=，再把已知条件代入求解即可．【详解】解：∵l1∵l2∵l3，23=ABBC，DE＝4.2，∵DE ABEF BC=，即4.223EF=，解得：EF＝6.3，∵DF＝DE+EF＝10.5．故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5．已知在ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．DE AEBC AC=C．BF ADBC AB=D．AD BFAB FC=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵DE∵BC，EF∵AB，∵AD AE DEAB AC BC==，A、B选项正确；∵四边形BDEF是平行四边形，∵DE=BF，∵AD DE BFAB BC BC==，故C选项正确，D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．6．如果a=2，b=4，c=8，那么（）A．a、b、c的第四比例项是7B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例进行判断即可．【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为28 416 =∵B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为624 832 =，C选项c不是ab的比例中项，因为2ab c≠，D选项b是ac的比例中项，因为2ac b=故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．7．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()2221AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP=⋅=⋅=⋅=，中正确的有（∵A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51-叫做黄金比．【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP∵PB∵∵根据线段黄金分割的定义得：AP2∵PB•AB∵AP∵AB∵PB∵AP∵∵只有∵∵正确．故选B∵【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．8．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有()∵ED DFEA AB=∵∵DE EFBC FB=∵ ∵BC BFDE BE=∵∵BF BCBE AE=.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∵AB∵AD∵BC∵CD=AB∵AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ,AD ∵BC ∵CD =AB ∵AD =BC ∵ ∵ED DF EA AB=，故∵正确； ∵DE EF AD FB =,即DE EF BC FB=，故∵正确； ∵BC BF DE EF =，故∵错误； ∵BF AD BE AE =,即BF BC BE AE=，故∵正确. 故选:C.【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大.9．如图，∵ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE=EF=FC ．则BN:NQ:QM 等于（ ）A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:1【答案】C【解析】【分析】 连结MF ，如图，先证明MF 为∵CEA 的中位线，则AE=2MF∵AE∵MF ，利用NE∵MF 得到 1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==，即BN=NM∵MF=2NF ，设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b ，所以AN=3b ，然后利用AN∵MF 得到 3322NQ AN b QM MF b ===，所以NQ=35a∵QM=25a ，再计算BN∵NQ∵QM 的值． 【详解】连结MF ，如图，∵M 是AC 的中点，EF=FC∵∵MF 为∵CEA 的中位线，∵AE=2MF∵AE∵MF∵∵NE∵MF∵ ∵1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==∵ ∵BN=NM∵MF=2NF∵设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b∵∵AN=3b∵∵AN∵MF∵ ∵3322NQ AN b QM MF b ===∵ ∵NQ=35a∵QM=25a∵∵BN∵NQ∵QM=a∵35a∵25a=5∵3∵2∵故选C∵【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD 的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作∵OED和∵AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN∵BD、EM∵BD，垂足分别为M、N，则EM∵AN，∵EM：AN＝BE：AB，∵E为AB中点，∵BE=12 AB，∵EM＝12 AN，∵平行四边形ABCD的面积为8，∵2×12×AN×BD＝8，∵AN×BD＝8∵S∵OED＝12×OD×EM＝12×12BD×12AN＝18AN×BD＝1．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：∵面积比是边长比的平方比；∵分别找到底和高的比．二、填空题11．相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺为_____．【答案】1：500000．【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．【详解】解：∵125km＝12500000cm，该地图的比例尺＝25：12500000＝1：500000；故答案为：1：500000．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 12．已知，225x y z ==，则322x y z x-+＝_____． 【答案】74【解析】【分析】 设225xyzk ===，得出x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】 解：设225xyzk ===，则x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，326457244x y z k k k x k -+-+==； 故答案为：74． 【点睛】此题考查了比例性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．13．若点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，，则AC ︰BC=_________．2【解析】【分析】由AB=1，，可得BC 的长，即可求出AC ︰BC 的比值． 【详解】点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，∴32BC -= ∴AC ︰2=．2．【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据题意得到BC 的长，然后进行比值即可．14．如图////AB CD EF ，4=AD ，3BC DF ==，则CE =________.【答案】94【解析】【分析】根据平行线分线段成比例直接列比例式计算即可．【详解】∵////AB CD EF ， ∵CE DF BC AD=， 又4=AD ，3BC DF ==， ∵334CE =， 解得：CE=94， 故答案为：．94【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键熟练掌握这个知识点并注意线段的书写顺序．15．如图，AD 是中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ．若12AF AD =，则AE AC值是______．【答案】13【解析】【分析】过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，利用平行得到的线段成比例，先通过D 是BC 中点，证明CG=GE ，再通过F 是AD 中点，证明AE=EG ，最后得到AE AC的值．解：过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，∵//DG BE ，∵CD CG CB CE=， ∵AD 是中线，∵D 是BC 中点，∵G 是CE 中点，∵//FE DG ，∵12AF AE AD AG ==，∵E 是AG 中点， ∵31AE AC =． 故答案是：13．【点睛】本题考查线段成比例的性质，解题的关键是构造辅助线，然后利用平行得到的线段成比例去求解． 16．如图：AD 是ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：1ED =：3，BE 的延长线交AC 于F ，AF ：FC=_______ ．【答案】1:6【解析】作DH∵BF 交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH=HC ，根据平行线分线段成比例定理得到13AF AE FH ED ==，计算得到答案． 【详解】解：作DH∵BF 交AC 于H ，∵AD 是∵ABC 的中线，∵BD=DC ，∵FH=HC ，∵DH∵BF ， ∵13AF AE FH ED ==， ∵AF ：FC=1：6，故答案为：1：6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．17．如图：//AD BC ，AC ，BD ，EF 相较于点G ，DEG △，AGE ，BFG ，FGC △的面积分别记为a ，b ，c ，d ，若2AE DE =，则24a cb d ----的值为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意∵AGE 和∵DEG 高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即b =2a ，同理d =2c ，将代数式中的b 和d 转换成a 和c 即可解出．【详解】∵AE=2DE ，∵S ∵AGE =2S ∵DEG ，又∵AD∵BC ， ∵1==2BFG DEG FGC AGE S S S S △△△△， ∵b =2a ，d =2c ，()22214224222a c a c a cb d ac a c ------===------． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比．18．如图，等边∵ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的一点，AE=2，若点M 是线段AD 上的一个动点，则ME+MC 的最小值为____.【答案】【解析】【分析】由等边三角形的性质可知B、C关于AD对称，根据两点之间线段最短可知，连接BE，此时BE就是ME+MC 的最小值.【详解】如下图所示，连接BE，过E作EF∵AD于F，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∵AD∵BC，∵AD是BC的垂直平分线，∵点C关于AD的对应点为点B，∵BE就是EM+CM的最小值.∵等边∵ABC的边长为8，AE=2，∵14 AE= AC∵EF∵AD，AD∵BC，∵EF∵BC，∵14EF AE ==CD AC ∵14FM EM EF EF ====MD BM BD CD 在Rt∵AEF 中，∵EAF=30°，AE=2，∵EF=12AE=1，在Rt∵ABD 中，∵DF=AD -AF=∵14FM =MD∵15FM= 在Rt∵EFM 中，5 又∵14EM =BM∵BE=5EM=55⨯∵EM+CM 的最小值为【点睛】本题考查了最短路径问题，典型的“将军饮马”模型，需要熟记此模型辅助线的做法，找到最短路径后，利用线段比例关系求出BE 是关键.三、解答题19．已知a ：b ：c=3：2：5， 求342a b c a b c-++-的值. 【答案】173【解析】【分析】根据比例式设未知，利用代入法求解.【详解】设a=3k ，则b=2k ，c=5k342a b c a b c -++-=3620625k k k k k k-++-=173 考点：比例的性质20．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM ，DM 的长；（2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？【答案】（11，3（2）证明见解析；（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点【解析】【分析】（1）由勾股定理求PD ，根据AM =AF =PF -P A =PD -P A ，DM =AD -AM 求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：AM DM AD AM=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】解：（1）∵P 为边AB 的中点，∵AP ＝12AB ＝1，∵PD∵PF ＝PD AF ＝PF －AP 1，∵AM ＝AF 1，∵DM ＝AD －AM ＝3（2）证明：∵AM 2＝1)2＝6－AD ·DM ＝2(3＝6－∵AM 2＝AD ·DM ．（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点．理由如下：∵AM 2=AD •DM ，∵AM DM AD AM ==， ∵点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．21．已知三条线段长分别为1cm cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．cm cm∵ 【解析】【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．【详解】解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，1，2时，21x =2x =；∵若四条线段的长度大小为： 1，x212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，x ，212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，2 ，x 时，12x ⨯=x =cm 或cm ． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．22．如图，在∵ABC 中，DE∵BC ，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点F 在BC 上，DE 交AF 于点G ，AD=2BD ，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】【分析】（1）由于DE∵BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【详解】解：（1）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AG AD AF AB==（2）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AE AD AC AB==∵AE=5∵AC=15 2【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．【答案】2【解析】【分析】过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ．先证明GBC DAB △≌△，得到CG BD =，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：如解图，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ． ∵90ABC ∠=︒，BA BC =，∵四边形ABCM 为正方形，∵90ABC BCG ∠=∠=︒，∵90ABE GBC ∠+∠=︒，又∵BE AD ⊥，∵90ABE BAD ∠+∠=︒，∵GBC DAB ∠=∠，又∵AB BC =，∵()ASA GBC DAB △≌△，∵CG BD =．又∵//AB MC ， ∵2AF AB AB FC CG BD===．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．24．如图，已知AD∵BE∵CF ，它们依次交直线l1，l2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23DE EF =，10AC =．（1）求AB 、BC 的长；（2）如果AD=5，CF=10，求BE 的长．【答案】（1）4，6；（2）7【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出23AB DE BC EF ==，即可求出AB 的长，得出BC 的长； （2）过点A 作AG∵DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵AD BE CF ∵23AB DE BC EF ==，∵25AB AC = ∵10AC =，∵4AB =∵1046BC =-=（2）解：过点A 作AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点G又∵AD BE CF ，5AD =，∵5AD HE GF ===∵CF 10=∵1055CG =-=∵BE CF ∥ ∵25BH AB CG AC == ∵2BH =∵257BE =+=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∵BC交DC于点F∵32 DFFC=∵∵1）若BD=20，求BG的长∵∵2）求CMCD的值∵【答案】(1)8;(2)1 2【解析】【分析】∵1）由GF∵BC，可证DF DGFC BG=，结合32DFFC=，整理可求出BG的值；∵2∵由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∵CD∵AB=CD∵从而DM DGAB BG=∵整理可求出32DMAB=∵根据比例的性质可求出的CM CD值.【详解】(1) ∵GF∵BC∵∵DF DG FC BG=∵∵BD=20∵32 DFFC=∵∵8BG=∵(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD∵AB=CD∵∵DM DG AB BG=∵∵32 DMAB=∵∵32 DMCD=∵∵12 CMCD=.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.26．如图，在四边形ABCD中，AD∵BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．【答案】见解析.【解析】【分析】依据AD∵BC，即可得出AMNC=AOCO，再根据AD∵BC，即可得到AOOC=ADBC=PDPC=MDNC，进而得到结论．【详解】证明：∵AD∵BC∵∵AMNC=AOCO∵∵AD∵BC∵∵AOOC=ADBC=PDPC=MDNC∵∵AMNC=MDNC∵∵AM=MD∵【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．27．已知：如图，在∵ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∵AB交边AC于点F，EG∵AC 交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF = BH．【答案】见解析【解析】【分析】由于EF ∵AB ，根据平行线分线段成比例，可得到2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-==，从而推出HF BE AB BC =，再由EG ∵AC 根据平行线分线段成比例，得到BE BG BC AB=，即可推出HF = BG ，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH 是平行四边形，得到GF = BH ．【详解】证明：∵ AD 是边BC 上的中线，∵ BD = DC ．∵ HF ∵AB ，∵ 2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-== ∵ 22EF HE DC EC AB DC+-=， 即HF BE AB BC=， ∵ EG ∵AC ，∵BE BG BC AB =， ∵ HF BG AB AB=， ∵ HF = BG ，又∵ HF ∵BG ，∵ 四边形BGFH 是平行四边形，∵ GF = BH ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.。
4、1、1成比例线段(1) -21—22学年北师大版九年级数学上册
的值。
2 3
2、小明认为：
a （1）如果b
c d
b
d
0, c
d
0
那么
b
a
a
d
c
c
。
（2）如果a b c d
b
d
，那么 a c bd
。
这两个结论正确吗？为什么？
（1）✔ （2）✔ 合比性质的应用
2、（1）证明：∵ a c a b 0, c d 0
bd ∴ ad bc
在等式两边同时加ac 即 ad +ac bc ac
所以研究相似图形，先要学习线段的比和 比例线段的有关知识.
讲授新课
一 线段的比
A
m
BC nD
如果选用同一个长度单位 量得两条线段AB,CD的
长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是两条线
段的长度比。
记作：AB: CD m : n（或 AB m） CD n
其中，AB、CD分别叫做这个线段比的前项、后项。
c
a
b
求k的值.
解：当a＋b＋c≠0时，由 a+b b+c c+a k ，
c ab
得 a+b b+c+c+a k ，
a+b+c
则k＝2；
易错点
当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.
此时 k= c c 1
a+b c
综上所述，k的值是2或－1.
课堂练习
1、已知
a b
c d
=
2 3
b
d
0
a+c ，b d
∴ AB BC CA AB 3 .
九年级数学上册第4章精选《平行线分线段成比例》同步提升训练(北师大版)
《第二节 平行线分线段成比例》提升训练1.（教材P85习题T4变式）（上海中考）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB =3：5，那么CF ：CB 等于( )A .5：8B .3：8C .3：5D .2：52.（梧州中考）如图，AG ：GD =4：1，BD ：DC =2：3，则AE ：EC 的值是( )A .3：2B .4：3C .6：5D .8：53.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，AB =3，AD =2，DE =4，EF =7.5. 求BC ，BE 的长.4.如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，连接BF 并延长交AD 的延长线于点E . 求证：DEDFAE DC .5.（南阳淅川县模拟）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC.（1）求证：AF：FD=AD：DB；（2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长.链接河南中招6.（河南模拟）如图，在横格作业纸（横线等距）上一画条直线，与横格线交于A，B，C三点，则BC：AC等于( )A.2：3B.2：5C.3：4D.3：5微专题5作平行线转换线段的比【方法指导】求线段的比，通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段，然后进行转化得到所求两条线段的比；遇到不能直接转化线段的比时，要联想到借助辅助线（作平行线）构造基本图形：A型与X型针对训练（郑州期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于点P，则AP：PD等于( )A.1：1B.1：2C.2：3D.4：3【变式】如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连接CF并延长交AB于点E，已知32CDBD=，则AEBE== .拔高题如图，△ABC中，AF:FD=1：3，BD=DC，求AE:EC的值.参考答案1.A2.D3.解:∵1l ∥2l ∥3l ，∴FB AB AD BE BC DE ==，即324BF BE BC ==.∴BC =6,BF =12BE . 又∵EF =BF +BE =7.5.∴12BE +BE =7.5. ∴BE =5. 4.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC . ∴DE EF AE EB =. 同理可得EF DF EB DC =.∴DE DF AE DC=. 5.解:（1）证明:∵EF ∥CD ，∴AF AE FD EC =. ∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =. ∴AF AD FD BD=，即AF ∶FD =AD ∶DB . （2）103DF =6.C微专题 5针对训练 A变式 35拔高题解: 过点D 作DG ∥BE 交AC 于G ，则AF :FD =AE ：EG =1：3，BD ：CD =EG :CG = 1 ：1，所以AE :EC =1：6.。
4.1第1课时线段的比和比例的基本性质-北师大版九年级数学上册习题课件
ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.∴AB＝5.∵S ＝ AB·CD＝ BC·AC，∴CD＝ ＝ 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
△ABC
2 2 AB 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
2.4，∴在 Rt△ADC 中，AD＝ 试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时 线段的比和比例的基本性质
AC2－CD2＝1.8，∴BD＝AB－AD＝3.2，∴AD∶CD
试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
＝CD∶BD＝3∶4，即线段 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
AD、CD、CD、BD
是成比例线段．
(2)比例尺 在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通
常称为比例尺．比例尺是两条线段的比的一种． 注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
知识点 2 比例线段的定义 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四 条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段． (1)a、b、c、d 分别叫做比例的第一、二、三、四比例项； (2)a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项． 提示：判断给定的四条线段是否成比例的方法：先将四条线段统一单位，再按 大小顺序排列好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等；也可看最长线段 与最短线段长度的乘积与剩余两条线段长度的乘积是否相等，若相等则成比例，否 则不成比例．
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似(4.1成比例线段-4.3相似多边形)同步测试试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 同步测试题(测试内容：4.1成比例线段～4.3相似多边形)(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1∶500000的地图上甲乙两地的距离( )A ．40 cmB ．400 cmC ．0.4 cmD ．4 cm2．a ，b ，c ，d 是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是( ) A ．a ＝2 cm ，b ＝5 cm ，c ＝5 cm ，d ＝10 cm B ．a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝10 cm ，d ＝6 cm C ．a ＝30 cm ，b ＝2 cm ，c ＝0.8 cm ，d ＝2 cm D ．a ＝5 cm ，b ＝0.02 cm ，c ＝7 cm ，d ＝0.3 cm 3．下列结论不正确的是( ) A ．所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似4．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )A ．6B ．8C ．12D ．105．若四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，AB ＝6，A ′B ′＝9，∠A ＝45°，B ′C ′＝8，CD ＝4，则下列结论错误的是( )A ．∠A ′＝45°B ．四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为23C ．BC ＝163D ．C ′D ′＝66．若a 2＝b 3＝c4，则a ＋2b ＋3c a等于( )A ．8B ．9C ．10D ．117．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC ＝3，AE ＝8，BD ＝2，则DF 的值是( )A ．4B .103C .73D .52,第7题图) ,第8题图) ,第9题图)8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则下列比例式一定成立的是( )A .AE EC ＝DE BCB .AE AC ＝CF BC C .AD AB ＝BF BC D .DE BC ＝DF AC9．如图，AG ∶GD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则AE ∶EC 的值是( ) A ．3∶2 B ．4∶3 C ．6∶5 D ．8∶510．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB ＝90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则ABBD 的值为( )A .425B .345C .528D .20223,第10题图),第12题图) ,第13题图)二、填空题(每小题3分，共18分) 11．已知：a b ＝23，则a －2b a ＋2b的值是_______12．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝______.13．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝_________14．已知三条线段的长分别为：1，2，3，请你添上一条线段，使它们能构成一组成比例线段，则这条线段的长是_______15．把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x 为_______.,第15题图) ,第16题图)16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝_________. 三、解答题(共72分)17．(6分)已知x 2＝y 3＝z4，2x －3y ＋4z ＝22，求代数式x ＋y －z 的值．18．(6分)如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，已知AC ＝3，BC ＝4.问线段AD ，CD ，CD ，BD 是不是成比例线段？写出你的理由．19．(6分)如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，求∠α，∠β 的大小和EH 的长度．20．(7分)小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按1∶100的比例尺画出了草坪图(如图)，他准备在草坪内栽种面积为0.02平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔50厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？21．(8分)如图，在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，直线DN ∥AM ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，交BC 于点N.求证：AD AB ＝AEAC.22．(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB ＝AB ，DE 与AB 相交于点F ，AD ＝2，CD ＝1，求AE 及DF 的长．23．(9分)一个矩形ABCD的较短边长为2.(1)如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；(2)如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．24．(10分)如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，当x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？25．(12分)如图，AB∥EF∥CD.(1)AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长；(2)AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长．参考答案一、选择题1-5 DBABB 6-10 CBBDA 二、填空题11、－12. 12、4 13、2 14、23(只填一个)． 15、2 3 16、1317、解：设x 2＝y 3＝z4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∵2x －3y ＋4z ＝22，∴4k －9k ＋16k＝22，∴k ＝2，∴x ＋y －z ＝2k ＋3k －4k ＝k ＝218、解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∵S △ABC ＝12AB ·CD＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝3×45＝2.4，在Rt △ADC 中，AD ＝AC 2－CD 2＝1.8，∴BD ＝3.2，∴AD ∶CD ＝CD ∶BD ＝3∶4，∴线段AD ，CD ，CD ，BD 是成比例线段19、解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠α＝∠C ＝83°， ∠A ＝∠E ＝118°，在四边形ABCD 中，∠β＝360°－83°－78°－118°＝81°， ∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴EH ∶AD ＝EF ∶AB ，∴x ∶21＝24∶18，解得x ＝28，∴EH ＝28 cm20、解：由于比例尺为1∶100，根据图纸，得长为5×100＝500(cm )＝5 m ，宽为3×100＝300(cm )＝3 m ，5×3÷0.02＝750(块)，(3＋5)×2÷0.5＝32(株)．答：需购买750块小矩形草皮，32株杜鹃21、证明：∵直线DN ∥AM ，∴AD AB ＝MN BM ，AE AC ＝MNMC ，∵在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，∴MB ＝MC ，∴AD AB ＝AE AC22、解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD ＝2，CD ＝1，∴BC ＝AD ＝2，AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ∥DC.∴EB ＝AB ＝1.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝ 2.在Rt △DCE 中，DE ＝DC 2＋CE 2＝12＋32＝10.∵AD ∥EC ，∴EF DF ＝EB AD ，∵AD ＝BC ，∴EFDF ＝EB BC ＝12.设EF ＝x ，则DF ＝2x.∵EF ＋DF ＝DE ，∴x ＋2x ＝10.∴x ＝103.∴DF ＝2x ＝2310 23、解：(1)由已知得MN ＝AB ＝2，MD ＝12AD ＝12BC ，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM AB ＝MNBC，∴DM ·BC ＝AB ·MN ，即12BC 2＝4，∴BC ＝22，即它的另一边长为2 2(2)∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴DF AB ＝CDBC，∵AB ＝CD ＝2，BC ＝4，∴DF ＝AB ·CDBC＝1， ∴矩形EFDC 的面积＝CD ·DF ＝2×1＝224、解：(1)不相似，理由如下：AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似 (2)若矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB .则30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230，解得x ＝1.5或9.故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似25、解：(1)过点A 作AN ∥BC 交CD 于N ，交EF 于M ，∵AB ∥EF ∥DC ，∴四边形AMFB ，四边形MNCF 都为平行四边形，∴AB ＝MF ＝NC ＝10，∴DN ＝CD －CN ＝15－10＝5，∵EM ∥DN ，∴EM DN ＝AE AD ＝25，∴EM ＝2，∴EF ＝EM ＋MF ＝2＋10＝12(2)由(1)知∵四边形AMFB ，四边形MNCF 都为平行四边形，∴AB ＝MF ＝NC ＝a ，∴DN ＝CD －CN ＝b －a ，∵EM ∥DN ，∴EM DN ＝AE AD ＝k k ＋1，∴EM ＝kk ＋1DN ＝k （b －a ）k ＋1，∴EF ＝EM ＋MF ＝k （b －a ）k ＋1＋a ＝kb ＋ak ＋1。
4.1.1线段的比和成比例线段
随
堂
为25 cm，则甲、乙两地间的实际距离是( )
检
A．1 250 km B．125 km C．12.5 km D．1.25 0)，
随
堂
按图可估测杭州在嘉兴的南
检
偏西________度方向上，到
测
嘉兴的实际距离约为_____．
02 PART TWO 成比例线段
堂
检 度，试判断它们是不是成比例线段． 测 (1)a＝16 cm，b＝8 cm，c＝5 cm，d＝10 cm；
(2)a＝8 cm，b＝0.05 cm，c＝0.6 dm，d＝10 cm.
解：(1)因为 a＝16 cm，b＝8 cm，c＝5 cm，d＝10 cm，
ac＝16×5＝80，bd＝8×10＝80，所以 ac＝bd，所以b＝c， ad
n
CD
线段的比实际上就是两个数的比. 说明：AB是CD的 k 倍
知识点 1 两条线段的比
【注意】 单位问题： （1）两条线段的长度 单位 一致时，一般线段的 长度单位可不写； （2）如果给出的线段长度单位不同，则必须化为
统一长度单位 后再求线段的比； （3）两线段的长度比值总是 正数 ，如在运算过程 中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比。
解：（1） ∵ a 4 2
b63
c 5 1 d 10 2
，
∴ ac ， bd
∴ 线段a、b、c、d 不是成比例线段．
随 判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
堂 （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 检 测 （2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15 ，d＝ 5 3．
解：（2） ∵ a 2 2 5 ，c 2 15 2 5 b 5 5 d 53 5
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段
北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。
这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。
在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。
但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。
2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。
2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。
北师大版九上数学第4章：成比例线段习题课件
6．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是 (B )
A．1，2，3，4 C．3，5，9，13
B．1，2，2，4 D．1，2，2，3
7．四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，c＝4
cm，d＝6 cm，则b等于( B )
17．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且a5＝b4＝6c. (1)求2a3＋c b的值； 解：设a5＝b4＝6c＝k(k＞0)， 则 a＝5k，b＝4k，c＝6k.
∴2a3＋c b＝10k1＋8k4k＝79.
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长． 解：由题意得 5k＋4k＋6k＝90， 解得 k＝6. ∴a＝30，b＝24，c＝36.
16．已知线段 a，b，c 满足a3＝b2＝6c，且 a＋2b＋c＝26. (1)求线段 a，b，c 的长； 解：设a3＝b2＝6c＝k(k＞0)， ∴a＝3k，b＝2k，c＝6k. ∵a＋2b＋c＝26， ∴3k＋4k＋6k＝26，解得 k＝2. ∴a＝6，b＝4，c＝12.
(2)若线段 x 是线段 a，b 的比例中项即ax＝xb，求线段 x 的长． 解：∵线段 x 是线段 a，b 的比例中项， ∴x2＝ab. ∵a＝6，b＝4， ∴x＝26，即线段 x 的长为 26.
A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶2
4．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的
___比___等于c与d的__比____，即___ab_＝__dc______，那么这
四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
5．在比例尺为1：38 000的城市交通地图上，某条道路 的长为5 cm，则它的实际长度为( B )
4.1第1课时成比例线段-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与成比例线段相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示成比例线段的基本原理。
其次，在新课讲授环节，我尝试通过案例分析和实验操作，让学生掌握成比例线段的判定方法。然而，在实践过程中，我发现有些学生在运用判定方法时仍然感到困惑。针对这个问题，我打算在接下来的课程中增加一些针对性的练习，以帮助学生巩固这一知识点。
此外，在小组讨论环节，学生们围绕成比例线段在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我注意到，有的小组能够很好地将所学知识运用到实际问题中，而有的小组则在这一过程中遇到了困难。这说明学生们在知识运用方面的能力存在一定差距。为了缩小这种差距，我计划在后续教学中加强对学生的个别辅导，帮助他们更好地将理论知识与实际应用结合起来。
3.成比例线段的应用
-解答与成比例线段相关的问题
-实际生活中成比例线段的运用案例
4.练习与拓展
-完成教材中的习题，巩固成比例线段的知识
-探究成比例线段与其他数学知识的联系，提高拓展能力
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究成比例线段的定义与性质，使学生能够运用逻辑推理，理解和掌握成比例线段的基本概念，提高分析问题和解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“成比例线段在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
4.2 平行线分线段成比例 九年级数学北师大版上册课时优化训练(含答案)
4.2平行线分线段成比例——九年级数学北师大版(2012)上册课时优化训练1.如图，在的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的其中两个交点为M，N，则( )A. B. C. D.2.如图，，BE与AF相交于点H，且，则的值为( )A.1B.C.D.3.如图，在中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，那么的值为( )A. B. C. D.4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段，则线段BC的长是( )A. B.1 C. D.25.如图，在四边形ABCD中，，，，，则线段CD的长为( )A.5B.6C.8D.106.如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若图中的虚线互相平行，则点P表示的数是( )A.1B.C.D.57.甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍.当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为( )A. B. C. D.8.如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是( )A. B. C. D.9.如图,已知直线,如果,则__________.10.下图是一架梯子的示意图，其中，且.为使其更稳固，在A，之间加绑一条安全绳（线段），量得，则_________m.11.如图,,与相交于点O,且,,,若,则________.12.如图,美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素,比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题,按照如下要求作出的人脸图像比较美观：(1)眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；(2)眉头和眉峰的水平距离(图中直线①和直线②的距离)和眼长大致相等(设此长度为a),眉头和眉尾的水平距离(图中直线①和直线③的距离)设为b,a与b的比例为黄金分割比；(3)眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上.某同学按照以上要求进行素描,已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为,则眼梢到鼻翼的距离为______.(,结果保留两位小数)13.如图，已知，，，，.（1）求CE的长；（2）求AB的长.14.阅读材料：角平分线分线段成比例定理：如图1,在中,平分,则.下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2,过点C作,交的延长线于点E.……解决问题：(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余过程；(2)如图3,在中,是角平分线,,,,求的长.答案以及解析1.答案：B解析：如图，取格点C，D，E，在中，，.故选B.2.答案：B解析：3.答案：A解析：，，，，，故选A.4.答案：C解析：如图，过点A作五条平行横线的垂线，分别交第三、四条直线于D，E.根据题意得.，.又，.故选C.5.答案：D解析：，，，，，，，.故选D.6.答案：D解析：如图，由题意知，，，，，，，点P表示的数是5.故选D.7.答案：B解析：连接，根据题意可得，故，，，设乙的速度为x，故甲的速度为，根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即，故可得，解得.故选B.解析：如图，设与的交点为G，点M是的中点，，，，，，，，，，，，，.故选：D.9.答案：解析：∵,∴,即,解得,,故答案为：.解析：，，，，同理可得，，，. 11.答案：10解析：∵,∴,∴,∴.故答案是：10.12.答案：3.24解析：如图,由题意可得：,,,∴,而,,∴,∴,经检验符合题意；∴眼梢到鼻翼的距离约为,故答案为3.2413.答案：（1）（2）解析：（1），，即，解得，则.（2），，即，解得.14.答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：∵,∴,,.∵平分,∴,∴,∴,∴.(2)∵是角平分线,∴.∵,,,∴,解得,经检验符合题意.故的长为.。
4.1.1线段的比与比例的基本性质(教案)北师大版数学九年级上册
第四章图形的相似1成比例线段第1课时线段的比与比例的基本性质教学目标：1.结合实际情境了解线段比的概念,并会计算两条线段的比.2.结合实际情境了解比例线段的概念.3.理解并掌握比例的基本性质,并能进行简单应用.4.通过现实情境,进一步提高学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识.教学重难点：重点:理解线段的比与成比例线段的概念及求解.难点:判断四条线段是否成比例及比例基本性质的灵活应用.教学方法：讲授法、练习法教学课时：1教学过程：导入新课请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?解:这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的长度不同.讲授新知知识点1线段的比已知线段a=30 cm,b=60 cm,c=0.15 m,d=30 cm.(1)求线段a与线段b的比;(2)求线段c与线段d的比.[点拨]先化为相同单位,然后进行计算.解:(1)a∶b=30∶60=1∶2.(2)0.15 m=15 cm,c∶d=15∶30=1∶2.[归纳]如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n .其中,AB ,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把m n表示成比值k ,那么AB CD =k 或AB=k ·CD. 知识点2 成比例线段计算下列四条线段中a ∶b 与c ∶d 的值,你能发现什么?(1)a=2 cm,b=4 cm,c=3 m,d=6 m;(2)a=0.8,b=1,c=2.4,d=3.解:(1)a ∶b=2∶4=1∶2;c ∶d=3∶6=1∶2,两个比相等.(2)a ∶b=0.8∶1=4∶5;c ∶d=2.4∶3=4∶5,两个比相等.[归纳]四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段.注意:(1)若a ∶b=k ,说明a 是b 的k 倍;(2)两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致;(3)两条线段的比值是一个没有单位的正数. 知识点3 比例的基本性质有四条线段:a=3,b=4,c=6,d=8,它们成比例吗?计算ad 与bc 的值,你能发现什么? 解:它们成比例,ad=bc.[归纳]如果a ,b ,c ,d 四个数成比例,即a b = c d .那么ad=bc.如果ad=bc (a ,b ,c ,d 都不等于0),那么a b = c d . 范例应用例1 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=8 cm,AC=6 cm,CD 是斜边AB 上的高,求CD ∶AB 的值.解:在Rt △ABC 中,由勾股定理,得AB=√AC 2+BC 2=√62+82=10(cm ),由面积公式,得S △ABC = 12AC ·BC=12AB ·CD.所以CD=6×810 = 245(cm ).所以CD ∶AB = 245∶10=1225.例2 下列四个数成比例的是(A)A.3,9,5,15B.1,2,3,4C.2,4,5,8D.3,5,7,9例3 若x ∶3=5∶(x+2),求x 的值.解:因为x ∶3=5∶(x+2),则x (x+2)=3×5.即x 2+2x15=0. 解得x=5或x=3.所以x 的值为5或3.课堂训练1.如果3x=5y,则下列比例式成立的是(B)A.x y = 35B.x y = 53C.x 3 = y 5D.3x = 5y2.已知a b =52,那么下列等式中正确的是(A)A.2a=5bB.a+b=7C.a=5,b=2D.a 2 = b 5 3.在比例尺为1∶2 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.4 cm,甲、乙两地的实际距离是 48 km.4.如图所示,有矩形ABCD 和矩形A'B'C'D',AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm.则线段A'B',AB,B'C',BC 是成比例线段吗?解:因为AB=8 cm ,BC=12 cm ,A'B'=4 cm ,B'C'=6 cm ,所以A'B'AB =48=12,B'C'BC = 612=12. 所以A'B'AB =B'C'BC .所以A'B',AB ,B'C',BC 是成比例线段.5.已知三个数2,4,8,请你再添上一个数,使它们成比例,求出所有符合条件的数. 解:设添加的数为x ,当2∶4=8∶x 时,x=16.2∶4=x ∶8时,x=4.2∶x=4∶8时,x=4.x ∶2=4∶8时,x=1.所以可以添加的数有1,4,16.课堂小结1.线段比的概念.2.成比例线段的概念、判断及注意事项.3.比例的基本性质.板书设计第四章 图形的相似1 成比例线段第1课时 线段的比与比例的基本性质1.线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n 或写成AB CD =m n.2.成比例线段:四条线段a,b,c,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b =c d ,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段.3.比例的基本性质:如果a,b,c,d 四个数成比例,即a b =c d ,那么ad=bc.如果ad=bc(a,b,c,d 都不等于0),那么a b =c d .教学反思：本节课主要学习比例线段的概念及性质,成比例线段的概念及比例的基本性质,对学生而言,这个概念基于图形背景中,比较直观,学生比较容易理解.比例的性质,是后续研究相似图形的基础,同时也可以为分式的运算提供一些便捷,而且比例的基本性质中蕴含着一些基本的数学方法,可适当运用到后续知识的学习中,是本节课重要的教学任务.。
北师大版九年级上册数学第四章测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第四章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 1：3B. 3：4C. 1：9D. 9：162.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°3.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )A. DE：BC=1：2B. DE：BC=1：3C. △ADE的周长：△ABC的周长=1：2D. S△ADE：S△ABC=1：34.已知a：b=3：2，则a：（a﹣b）=（）A. 1：3B. 3：1C. 3：5D. 5：35.下列各组中的四条线段成比例的是（）.A. 1cm，2cm，20cm，40cmB. 1cm，2cm，3cm，4cmC. 4cm，2cm，1cm，3cmD. 5cm，10cm，15cm，20cm6.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是( )A. 6米B. 8米C. 18米D. 24米7.“相似的图形”是（）A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形8.同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为（）A. 2.4米B. 9.6米C. 2米D. 1.6米9.如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（）A. 2：1B. 3：1C. 4：1D. 5：110.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，则： ( )A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：911.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个12.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A. （﹣2，1）B. （﹣8，4）C. （﹣8，4）或（8，﹣4）D. （﹣2，1）或（2，﹣1）二、填空题（共6题；共12分）13.如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD=2，DB=4，AC=4.5，则EC=________．14.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1。
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北师大版九年级数学上册第四章 4.1.1线段的比和成比例线段 同步测试题
一、选择题
1．在下列四组线段中，不能构成比例线段的是(C)
A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4
B ．a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3
C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10
D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3
2.已知a ，b ，c ，d 成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，则d 的长度为(A)
A ．4 cm
B ．5 cm
C ．6 cm
D ．9 cm
3．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则CA CB
为(A) A.34 B.23 C.35 D.12
4．已知在比例尺为1∶40 000的工程示意图上.2012年正式通车的成都地铁二号线的长度为54.3 cm ，那么它的实际长度为(C)
A ．0.217 2 km
B ．2.172 km
C ．21.72 km
D ．271.2 km
5．如果a ×0.2＝b ×0.75(a ，b 均不为0)，那么下列比例中正确的是(C)
A ．a ∶b ＝0.2∶0.75
B ．a ∶0.2＝b ∶0.75
C ．a ∶b ＝0.75∶0.2
D ．a ∶b ＝2∶75%
6．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AD 为高，则AD ∶AB 为(D)
A ．2∶1
B ．1∶1
C ．1∶3
D ．1∶2
7.已知x ∶y ＝3∶2，则下列各式中正确的是(A)
A.x ＋y y ＝52
B.x －y y ＝13
C.x y ＝23
D.x ＋1y ＋1＝43
8.如果x ∶y ＝3∶5，那么x ∶(x ＋y)＝(B)
A.35
B.38
C.25
D.58
二、填空题 9．若a －b b ＝23，则a b ＝53
． 10．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且a ＝6，b ＝3，d ＝32
，则c ＝3． 11．已知点M 是线段AB 延长线上一点，且AM ∶BM ＝5∶2，则AB ∶BM ＝3∶2．
12．如果x －y x ＋y ＝38，那么x y ＝115
． 13．已知三条线段的长分别为 1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2_cm 或2
2_cm ． 14．如图，将一张长方形纸片沿图中的虚线裁成三张大小相同的小长方形纸片．若得到的小长方形纸片长与宽的比等于原来大长方形纸片长与宽的比，则大长方形纸片长与宽的比是
三、解答题
15．小李家到学校的距离是1.2 km ，在本市地图上的距离为3 cm ，问这张地图的比例尺是多少？
解：1.2 km ＝120 000 cm ，
这张地图的比例尺是3∶120 000＝1∶40 000.
16．如图，已知AD DB ＝AE EC
，AD ＝2 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝4.5 cm ，求AC 的长．
解：∵AD DB ＝AE EC
，AD ＝2 cm ，DB ＝5 cm ， EC ＝4.5 cm ，
∴25＝AE 4.5
.∴AE ＝1.8 cm. ∴AC ＝AE ＋EC ＝6.3 cm.
17．如图，四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB ＝3，AD ＝6.5，BF ＝2.
(1)求下列各线段的比：CD BC ，EF CF ，BF AB
； (2)指出AB ，BC ，CF ，CD ，EF ，BF 这六条线段中的成比例线段(写一组即可)．
解：(1)∵四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB ＝3，AD ＝6.5，BF ＝2，
∴CD ＝EF ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝6.5，CF ＝BC －BF ＝4.5.
∴CD BC ＝36.5＝613，EF CF ＝34.5＝23，BF AB ＝23
. (2)答案不唯一，如EF CF ＝BF AB
.
18．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，试猜想线段AB ，AC ，BC ，CD 是不是成比例线段？并说明理由．
解：AB ，AC ，BC ，CD 是成比例线段．理由如下：
∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12
AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD. ∴AB AC ＝BC CD
.∴AB ，AC ，BC ，CD 是成比例线段．。