Jensen不等式在数学上的应用
jensen不等式证明均值不等式
Jensen不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了凸函数的性质，并应用于众多领域，如概率论、统计学和信息论等。
Jensen不等式在均值不等式中具有重要作用。
本文将从Jensen不等式的数学定义入手，展开对其在均值不等式中的证明，并讨论其在实际问题中的应用。
一、Jensen不等式的定义1.1 凸函数的定义凸函数是指对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。
具体而言，若对于定义域内的任意两点x1和x2，以及任意0≤λ≤1，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)，则函数f(x)为凸函数。
1.2 Jensen不等式的表述设f(x)为凸函数，X为随机变量，则有E[f(X)] ≥ f(E[X])，其中E[·]表示随机变量的期望值。
此即Jensen不等式的常见表述形式。
二、Jensen不等式在均值不等式中的应用2.1 均值不等式的概念均值不等式是指描述一组数的平均值与其它某些特定数之间的大小关系的不等式。
常见的均值不等式包括算术平均数-几何平均数不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
2.2 Jensen不等式与均值不等式的关系通过Jensen不等式，我们可以推导出许多均值不等式。
具体而言，对于凸函数f(x)和非负权重λi（∑λi=1），有f(∑λiXi) ≤ ∑λif(Xi)，其中Xi为实数。
这一不等式即表明了均值不等式的一种形式。
三、Jensen不等式在实际问题中的应用3.1 概率论中的应用在概率论中，Jensen不等式常常用于证明随机变量的期望值与函数的值之间的大小关系。
对于凸函数f(x)和随机变量X，有E[f(X)] ≥f(E[X])。
这一性质在风险管理、金融工程等领域有重要应用。
3.2 统计学中的应用在统计学中，Jensen不等式被广泛应用于证明估计量的不偏性、有效性等性质。
通过Jensen不等式，可以建立统计量与其期望值之间的关系，从而为统计推断提供理论基础。
利用詹森不等式(Jensen)证明不等式问题
利用詹森不等式（Jensen）证明不等式问题作者：吴方跃来源：《速读·上旬》2016年第09期摘要：研究不等式的方法可谓众多，本文利用詹森（Jensen）不等式这个高等数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍詹森（Jensen）不等式定义，证明詹森（Jensen）不等式和用詹森（Jensen）不等式定义如何解决不等式证明问题，由于詹森（Jensen）不等式的重要性，文章中将詹森（Jensen）不等式作为基础不等式，推出高等数学中其它几个常见且极其重要的不等式。
关键词：不等式；詹森不等式不等式是高等数学中非常重要的课题之一，在高等数学中占有极其重要的地位。
因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。
研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高等数学中詹森（Jensen）不等式为理论基础，探讨如何解决不等式问题。
1Jensen不等式定理1若f为[a，b]上凸函数（凹函数），则对任意[xi∈[a，b]]，[λi>0（i=1，2…，n）]，[i=1n=1]有[fi=1nλixi≤（或≥）i=1nλif（xi）]。
证明：在这里只证明f为凸函数的情况.下面让我们应用数学归纳法来证明。
当n=2时，则由凸函数定义知命题显然成立。
设n=k时命题成立，即对任意[x1，x2…xk∈[a，b]]及[ai>0]，[i=1，2…，k，i=1kai=1]都有[f（i=1kaixi）≤i=1kaif（xi）]现设[x1，x2…xk，xk+1∈[a，b]]及[λi>0（i=1，2…，k+1）]，[i=1k+1λi=1]令[ai=λiλk+1]，[i=1，2…，k]，则[i=1kai=1]，由数学归纳假设可推得[f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1）]=[f[（1-λk+1）λ1x1+λ2x2+…+λkxk1-λk+1+λk+1xk+1]]≤[（1-λk+1）fa1x1+a2x2+…+akxk+λk+1f（xk+1）]≤[（1-λk+1）a1fx1+a2fx2+…+akfxk+λk+1f（xk+1）]=[（1-λk+1）λ11-λk+1fx1+λ21-λk+1fx2+…+λk1-λk+1fxk+λk+1f（xk+1）] =[i=1k+1λifxi]故命题成立。
凸函数与琴生不等式
2(x y)( y z)
(x y)( y z)
2 x yz
同理 sin B 2
y
xz xz
， sin
C 2
xy z xy
由 y sin x 为 (0, ) 上的上凸函数，得
6
sin
A 2
sin
B 2
sin
C 2
sin
A
BC
sin
3
6
6
即 yz xz xy sin A sin B sin C 3sin 3
只须构造 (0,) 上的上凸函数 y ln x ，则有
2
ln a1 ln a2 ln an ln(a1 a2 an )
n
n
ln n
a1a2 an
ln( a1 a2
an ) n
n
a1a2 an
( a1 a2
an ) （证毕） n
例
4. xi
(0,
2
), (i
1,2n)
cos x1 cosx2 cos xn (cos
构造 (0, ) 上的辅助函数 y
x1 ln
求证：
x2 n
cos x
xn
)
n
2
函数 y ln cos x 在 (0, ) 上是否是凸函数，可看其二阶导数：y sec2x 0
2
所以， y ln cos x 在 (0, ) 上是上凸函数， 2
22
提示：构造 R+上的辅助函数 f (x) x ，则
tan B tan C tan C tan A tan A tan B
22
22
22
3 1 tan B tan C tan C tan A tan A tan B
数学分析中几类证明不等式的方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２㊀数学分析中几类证明不等式的方法数学分析中几类证明不等式的方法Һ郭㊀鑫㊀（天津师范大学，天津㊀３００２２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ在学习数学分析时我们常会见到一些不等式，当然，其中有一些著名的不等式无论是在解题还是在实际应用中都有重要的作用．笔者认为解决这些不等式的证明应该先找到对应的数学分析知识点，所以，本文中结合数学分析的知识点列举了四种常用的证明不等式的思路．本文中在每一种方法后附加了例题及解答，一些题目是选择了教材上的典型例题，还有一些是考研题目及其改编．不等式的证明往往有多种证明方法，还望读者多思考出更多不同的证明方法．ʌ关键词ɔ不等式；数学分析；积分；证明为了加深对数学分析中不等式证明的理解和掌握，本文在数学分析的基础上研究并整理了几种证明不等式的方法，也节选了典型例题辅助讲解．本文属于综述型论文，归纳总结了前人的理论成果并加上自己的理解与补充，希望本文可以帮助读者对于不等式问题有初步的解题思路，并借此探索更多的关于不等式的证明方法．一㊁几个著名不等式（一）Ｊｅｎｓｅｎ不等式如果ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，那么对任何ｘｉɪ［ａ，ｂ］，λｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），ðｎｉ＝１λｉ＝１有ｆ（ðｎｉ＝１λｉｘｉ）ɤðｎｉ＝１λｉｆｘｉ()．证明㊀当ｎ＝１时，结论显然成立；当ｎ＝２时，由凸函数的定义可以知道ｆ（λ１ｘ１＋λ２ｘ２）ɤλ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）成立．假设ｎ－１时命题成立，则对任意ｘ１，ｘ２， ，ｘｎɪ［ａ，ｂ］，以及λｉ＞０，ðｎｉ＝１λｉ＝１，令μｉ＝λｉ１－λｎ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ－１），可以得到μ１＋μ２＋ ＋μｎ－１＝１，由归纳假设得ｆðｎ－１ｉ＝１μｉｘｉ()ɤðｎ－１ｉ＝１μｉｆ（ｘｉ），所以ðｎｉ＝１λｉｘｉ()＝ｆ(（１－λｎ）㊃λ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎ＋λｎｘｎ)ɤ（１－λｎ）㊃ｆλ１ｘ１＋λ２ｘ２＋ ＋λｎ－１ｘｎ－１１－λｎæèçöø÷＋λｎｆ（ｘｎ）ɤ（１－λｎ）㊃［μ１ｆ（ｘ１）＋μ２ｆ（ｘ２）＋ ＋μｎ－１ｆ（ｘｎ－１）］＋λｎｆ（ｘｎ）＝λ１ｆ（ｘ１）＋λ２ｆ（ｘ２）＋ ＋λｎｆ（ｘｎ）．由数学归纳法可知原命题成立．例１㊀求证：（ａｂｃ）ａ＋ｂ＋ｃ３ɤａａｂｂｃｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均为正数．提示㊀令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，运用Ｊｅｎｓｅｎ不等式即证．（二）平均值不等式任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆᵡ（ｘ）＜０，从而ｆ（ｘ）为凹函数，所以由Ｊｅｎｓｅｎ不等式可得ｆａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎæèçöø÷ȡｆ（ａ１）＋ｆ（ａ２）＋ ＋ｆ（ａｎ）ｎ，即ｌｎｎａ１ａ２ ａｎ＝１ｎ（ｌｎａ１＋ｌｎａ２＋ ＋ｌｎａｎ）ɤｌｎａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．因为ｆ（ｘ）为增函数，所以ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ，同理ｎ１ａ１㊃１ａ２㊃ ㊃１ａｎȡ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎｎ，即得结论．注：此题还可运用条件极值证明．（三）Ｓｃｈｗａｒｚ不等式若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ．证明㊀因为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，所以ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，从而ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｔｇ（ｘ））２ｄｘ＝ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａ２ｔｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂａｔ２ｇ２（ｘ）ｄｘȡ０，（∗）将（∗）式看作自变量ｔ的一元二次函数，则Δ＝４ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ()２－４ʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ㊃ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘɤ０，结论得证．推论㊀（柯西不等式）对任意ａｉ，ｂｉ有ðｎｉ＝１ａｉｂｉ()２ɤðｎｉ＝１ａｉ２㊃ðｎｉ＝１ｂｉ２．例２㊀若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）都在［ａ，ｂ］上可积，则有闵可夫斯基（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）不等式：ʏｂａ（ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ））２ｄｘ[]１２ɤʏｂａｆ２（ｘ）ｄｘ[]１２＋ʏｂａｇ２（ｘ）ｄｘ[]１２．提示㊀不等式两边平方，化简，利用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式．（四）Ｈａｄａｍａｒｄ不等式设ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的连续凸函数．求证：ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．提示㊀利用凸函数的性质，证明详细过程见下页．二㊁利用函数单调性与极值解决不等式问题（一）利用单调性解决不等式问题函数的单调性是较为简单直接的证明不等式的方法，对于可导函数ｆ（ｘ）可以通过ｆᶄ（ｘ）的正负判断ｆ（ｘ）的增减性，从而利用具体自变量的取值得到不等式．此类题目的关键在于构建合适的ｆ（ｘ）．（例题中涉及几类常用的构造函数的方法）㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀例３㊀（若尔当不等式）设０＜ｘɤπ２，则２πɤｓｉｎｘｘ＜１．证明㊀设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｘ，则ｆᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２；再令ｇ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，则ｇᶄ（ｘ）＝－ｘｓｉｎｘ＜０，从而ｇ（ｘ）递减．又因为ｇ（０）＝０，所以ｇ（ｘ）＜０，则有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｆ（ｘ）递减．又因为ｌｉｍｘң０ｆ（ｘ）＝１，且ｆπ２()＝π２，所以，由ｆ（ｘ）的单调性可得２πɤｓｉｎｘｘ＜１．（二）利用极值与最值解决不等式问题对于在定义域内不单调的函数，极值和最值是解决这类函数不等式的一个突破口，构造合适的函数利用极值的定义来证明．例４㊀（利用条件极值）任意ａｉ＞０（ｉ＝１，２， ，ｎ），有ｎ１ａ１＋１ａ２＋ ＋１ａｎɤｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ．证明㊀下面只证明ｎａ１ａ２ ａｎɤａ１＋ａ２＋ ＋ａｎｎ（另一不等号的证明见上一页）．设ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ＝ａ（∗），ｆ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ，则只需证在条件（∗）下ｆ（ｘ）的最大值为ａｎｎｎ．令Ｌ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ，λ）＝ｘ１ｘ２ ｘｎ＋λ（ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ），则Ｌｘｉ＝ｘ１ ｘｉ－１ｘｉ＋１ ｘｎ＋λ＝０，Ｌλ＝ｘ１＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－ａ＝０，{解得λ＝－ｎａ（ｘ１ｘ２ ｘｎ）；ｘｉ＝ａｎ．又因为ｆ（ｘ）有上界，所以所求点为最大值点，即最大值为ａｎｎｎ，结论得证．三㊁利用微分中值定理和泰勒公式解决不等式问题（一）利用拉格朗日定理解决不等式问题拉格朗日定理可以将函数在区间端点的函数值与导函数在某一点的值联系起来，从而利用单调性或已知条件得到不等式．例５㊀求证：ｂ－ａｂ＜ｌｎｂａ＜ｂ－ａａ，其中０＜ａ＜ｂ．证明㊀原不等式等价于１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ，由拉格朗日定理，得ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＝１ξ，其中ξɪ（ａ，ｂ）．因为１ｂ＜１ξ＜１ａ，所以１ｂ＜ｌｎｂ－ｌｎａｂ－ａ＜１ａ．（二）利用柯西定理解决不等式问题对于已知两个函数的端点函数值问题可利用柯西定理转换成导数比值形式，从而化简不等式．例６㊀设ｘ＞０，求证：２ａｒｃｔａｎｘ＜３ｌｎ（１＋ｘ）．证明㊀原不等式等价于ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２；∀ｘ＞０，在［０，ｘ］上由柯西中值定理，得∃ξɪ（０，ｘ），使得ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎ０ｌｎ（１＋ｘ）－ｌｎ（１＋０）＝１＋ξ１＋ξ２，设ｆ（ｘ）＝１＋ｘ１＋ｘ２，则ｆᶄ（ｘ）＝１－２ｘ－ｘ２（１＋ｘ２）２，所以ｆ（ｘ）在ｘ＝２－１时取极大值（最大值），２＋１２＜３２，所以１＋ξ１＋ξ２＜３２，即ａｒｃｔａｎｘｌｎ（１＋ｘ）＜３２，结论得证．（三）利用泰勒公式解决不等式问题对于一些不等式中涉及高阶导数及其范围的问题，可尝试利用泰勒公式的近似展开式，而利用泰勒公式的重点在于找到一个合适的点展开．四㊁函数凹凸性（一）函数凹凸性的简单推论推论１㊀ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件为：对于定义域上，任意ｘ１＜ｘ２＜ｘ３，则有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ１）ｘ３－ｘ１ɤｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）ｘ３－ｘ２．推论２㊀（此推论及其变形适用于许多涉及一阶导数的不等式证明）可导函数为凸（凹）函数当且仅当任意ｘ１，ｘ２有ｆ（ｘ２）ȡｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１）（ｆ（ｘ２）ɤｆ（ｘ１）＋ｆᶄ（ｘ１）（ｘ２－ｘ１））．推论３㊀若ｆ（ｘ）为二阶可导函数，则ｆ（ｘ）是凸函数的充分必要条件为ｆᵡ（ｘ）ȡ０．（此命题适用于涉及二阶导数的不等式证明）推论４㊀ｆ（ｘ）为［ａ，ｂ］上的凸函数，则ｆ（ｘ）ȡ２ｆａ＋ｂ２()－ｆ（ａ）－ｆ（ｂ）．（二）运用函数凹凸性证明不等式例７㊀证明Ｈａｄａｍａｒｄ不等式．证明㊀设ｘ＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ＝（ｂ－ａ）ｔ＋ａ，则１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ．同理可得１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ．因为ｆ（ｘ）为凸函数，所以１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔɤʏ１０（１－ｔ）ｆ（ａ）＋ｔｆ（ｂ）ｄｔ＝ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２，且１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝１２ʏ１０ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］ｄｔ＋１２ʏ１０ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔ＝ʏ１０１２ｆ［（１－ｔ）ａ＋ｔｂ］＋１２ｆ［ｔａ＋（１－ｔ）ｂ］ｄｔȡʏ１０ｆ[１２（１－ｔ）ａ＋ｔ２ｂ＋ｔ２ａ＋１２（１－ｔ）ｂ]ｄｔ＝ｆａ＋ｂ２()，所以ｆａ＋ｂ２()ɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２．不等式的解法有许多，以上几种方法需要在数学分析的基础上研究不等式．在学习过程中抓住每种方法的要点并掌握相应的数学分析的基础知识才是关键．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］陈守信．考研数学分析总复习：精选名校真题：第５版［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１８．［３］徐利治，王兴华．数学分析的方法及例题选讲：第２版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［４］蒙诗德．数学分析中证明不等式的常用方法［Ｎ］．赤峰学院学报（自然科学版），２００９（０９）：２０－２２．［５］舒斯会．数学分析选讲［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００７．［６］林源渠，方企勤．数学分析解题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３．。
凹凸函数与Jensen不等式
n n Thrye凹凸函数与Jensen 不等式(Jensen Inequality )i :凹凸函数的定义设函数f (x )为定义在区间(a , b )的函数 (1)若对∀x 1，x 2 ∈ (a , b )，有: f ( x 1 + x2 ) ≥ 2f (x 1 ) + 2 f (x 2 )当且仅当x 1 = x 2时，等号成立 则称f (x )在(a , b )上为凸函数. (2)若对∀x 1，x 2 ∈ (a , b )，有: f ( x 1 + x 2 ) ≤ 2f (x 1 ) + 2 f (x 2 )当且仅当x 1 = x 2时，等号成立 则称f (x )在(a , b )上为凹函数. ii : 判定定理若f (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有一阶和二阶导数， 若在(a , b )内,(1) f ''(x ) > 0，则f (x )在[a , b ]上为凹函数 (2) f ''(x ) < 0，则f (x )在[a , b ]上为凸函数 iii : Jensen 不等式(1)若f (x )在区间I 上为凸函数，则对∀x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ I1 n 1 n有不等式：f ( ∑ x i ) ≥ i =1 ∑ i =1 f (x i )当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立(2)若f (x )在区间I 上为凹函数，则对∀x 1 , x 2 , x 3 , , x n ∈ I 1 n 1 n有不等式：f ( ∑ x i ) ≤ i =1 ∑ i =1 f (x i )当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立n nn n n n 凹凸函数与Jensen 不等式Jensen 不等式(Jensen Inequality )推广形式的证明若f (x )在区间I 上为凸函数，求证：nn对于∀1, x 2 , x 3 , , x n ∈ I ，有不等式：f (ϕ∑ x i ) ≥ϕ∑ f (x i )证明：令t =ϕ∑ x ii =1由泰勒展开式得：i =1(x - t )2 i =1f (x 1 ) = f (t ) + f '(t )(x 1 - t ) + f ''(t )1≤ 2f (t ) + f '(t )(x 1 - t ) 从而有：ϕf (x 1 ) ≤ϕ[f (t ) + ϕf (x 2 ) ≤ϕ[f (t ) + ϕf (x 3 ) ≤ϕ[f (t ) +ϕf (x n ) ≤ϕ[f (t ) + 所以：nf '(t )(x 1 - t )] f '(t )(x 2 - t )] f '(t )(x 3 - t )]f '(t )(x n - t )]nϕ∑ f (x i) ≤ϕf (t ) + ∑ϕx if '(t ) -ϕf '(t ) ⋅ t = f (t )i =1i =1 nn所以：f (ϕ∑ x i ) ≥ϕ∑ f (x i ).......①i =1i =1当且仅当x 1 = x 2 = x 3 = = x n 时，等号成立证毕同理可证：若f (x )在区间I 上为凹函数，∀1, x 2 , x 3 , , x n ∈ I ，nn有不等式：f (ϕ∑ x i ) ≤ϕ∑ f (x i ).......②i =1i =1当ϕ= 1时，不等式①②可化为： n f ( 1 ∑ x ) ≥ 1 ∑f (x ).......n i =1 ③n i =1f ( 1 ∑ x ) ≤ 1 ∑f (x ).......i i n iini=1④ni=1不等式③④即为Jensen不等式的一般形式a b a b c a ： ， 凹凸函数与Jensen 不等式Jensen 不等式(Jensen Inequality )的应用Jensen 不等式需要先构造函数再与凹凸函数的性质结合使用，判断一个函数在(a , b )上是否为凹函数或凸函数，需要用到凹凸函数的判定定理。
不等式之母——Jensen不等式
不等式之母——Jensen不等式作者：***来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2021年第07期摘要：Jensen不等式是一个特别重要而且应用广泛的不等式，本文展示了诸多著名不等式与Jensen不等式的内在联系。
关键词：Jensen不等式;H？觟lder不等式;Cauchy不等式;Minkowski不等式;Young不等式;Liapounov不等式中图分类号：O122.3 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）07-0005-041 引言Jensen不等式是一个极其重要的不等式。
它在凸分析、概率论、运筹学、物理学以及现代金融理论等众多领域都有广泛应用。
而且，尽管Jensen不等式与很多不等式形式不同，但卻存在着缜密地联系;许多著名不等式都可以统一在Jensen不等式之中。
这里将一些著名不等式与Jensen不等式的内在联系展现给大家。
参考文献：〔1〕陈宇航.从著名不等式谈数学历史[J].EduMath.2004，19（12）：85-94.〔2〕林琦焜.Cauchy-Schwarz不等式之本质与意义[J].数学传播，民89，24（01）：26-42.〔3〕Needham T. A visual explanation of Jensen's inequality[J]. American Math.1993，Monthly 100：768-771.〔4〕Hardy G H， Littlewood J E and Pólya G. Inequalities[M]. Cambridge University Press，Cambridge， UK， 1988：236-312.〔5〕夏道行，等.实变函数论与泛函分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，1979.26-29.〔6〕周概容.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1984.274-278.〔7〕林琦焜.凸函数，Jensen不等式与Legendre变换[J].数学传播，民84，19（04）：51-57.。
jeson inequality 积分形式
jeson inequality 积分形式
詹森不等式是以丹麦数学家约翰·詹森（Johan Jensen）的名字命名的。
它给出了积分的凸函数值和凸函数的积分值之间的关系。
其积分形式在1859年被布尼亚克夫斯基提出，而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。
假设$X$是一个实值随机变量，$g$是一个凸函数。
詹森不等式的积分形式可以表示为：$\int_{\Omega}g(X)\,d\mu\leq g(\int_{\Omega}Xd\mu)$，其中$\mu$是概率测度。
这个不等式表示，如果$g$是凸函数，那么$g(X)$的期望值不大于$g(\int_{\Omega}Xd\mu)$。
詹森不等式在数学、统计学和经济学等领域中都有广泛的应用。
它可以用于证明不等式、估计随机变量的期望值，以及设计优化算法等。
考研七个基本不等式公式
考研七个基本不等式公式考研数学中，不等式经常出现，而其中7个基本不等式公式更是考研必须要掌握的。
以下是这7个公式及其应用的详细介绍：1. AM-GM不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有(a1+a2++an)/n≥(a1a2...an)1/n。
这个公式可以用于证明一些题目的最小值，例如在面积一定的情况下，长方形的长和宽的乘积最大。
2. Cauchy-Schwarz不等式：设有两组实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，则(a1b1+a2b2++anbn)2≤(a12+a22++a2n)(b12+b22++b2n)。
这个公式可以用于证明向量的内积的绝对值不超过向量的模长之积。
3. 乘积和差、和差的平方不等式：(1) (a+b)2≥4ab;(2) (a-b)2≥0;(3) (a+b)(a-b)≤a2+b2;(4) (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)。
这个公式可以用于证明类似于不等式(a+b)2≥4ab的问题。
4. 三角函数的不等式：(1) sinx≤x≤tanx，其中0<x<π/2；(2) cosx≤(2/π)x，其中0<x<π/2。
这个公式可以用于证明某些三角函数的值的大小关系。
5. Schur不等式：设有非负实数a,b,c和正整数k，则有a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b)≥0。
这个公式可以用于证明某些不等式，例如对于非负实数a,b,c有a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)。
6. 杨辉不等式：对于任意实数a1,a2,...,an、b1,b2,...,bn，有(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2。
这个公式可以用于证明某些不等式，例如对于任意实数a,b,c有(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)≥8a^2b^2c^2。
詹森不等式证明及应用
例1：对任意实数 ,有
ab
e2
1 (ea eb)
2
abc
例2：证明不等式 abc3 aabbcc 其中 均
为正数。
a
5
sinx1 sin x2
sinx1
x2
xn
n
n
例4：利用Jensen不等式证明均值不等式
n
1 1 1
n a1a2 an
a1 a2 an n
a1 a2
an
ak0,k1,2,L,n a
明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学
习数学许多不等式证明起到很重要的作用。
本题主要通过探讨詹森不等式概念及证明方法
且把每一种方法的特点来说明改变条件对证明的影
a
2
詹森不等式的证明
方法一: 用数学归纳法证 詹森不等式是凸函数的一个推广，从两个推广到了n个 ，而数学归纳法是对这种含n个项的普遍方法。 证明中初始条件明显，做出归纳假设，在证不等式对n 成立时，先应用初始条件，再应用归纳假设。注意引入变量
6
例5：利用Jensen不等式证明Hölder不等式
以及柯西不等式。
1
1
Hölder不等式
n aibi n aipp n biqq
i1
i1
i1
柯西不等式
n
2
aibi
n
ai2
n
bi2
i1 i1 i1
a
7
詹森不等式的应用 应用2：利用詹森不等式推广几个数学问题
问题1：
a
8
问题2：
a
9
詹森不等式的应用
应用3：利用詹森不等式在信息论中的应用
设K是维欧氏空间凸域，并设有随机矢量，若随机矢量的数学期望存在，而 且是凸域K内的型凸函数，则有 E [f(x)]f(E [x])
利用Jensen不等式证明不等式
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倜５ 【 ７ 第４ 届波 兰 数 学 奥 林 匹 克 第
数学教学通讯（ 教师版 ）
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对数均值不等式的证明方法
对数均值不等式的证明方法对数均值不等式是数学中的一个重要概念，它描述了两个正数的对数之和与它们的算术平均数之间的关系。
本文将介绍对数均值不等式的证明方法，并对其进行深入的论述和分析。
一、对数均值不等式的定义对数均值不等式定义为：对于任意两个正数a和b，有log(a+b) ≥2log(a+b-1) ≥ 3log(a+b-2) ≥ ... ≥ nlog(a+b-n+1) ≥ ...。
二、证明方法一：利用泰勒展开式我们可以利用泰勒展开式来证明对数均值不等式。
首先，将log(a+b)进行泰勒展开，得到log(a+b) = log(a) + log(1+b/a) = log(a) + (b/a) - (b/a)^2/2 + (b/a)^3/3 - ...。
然后，将上述展开式与log(a+b-1)、log(a+b-2)、...、log(a+b-n+1)进行比较，可以发现对数均值不等式成立。
三、证明方法二：利用Jensen不等式Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，它表明对于凸函数f(x)，若x1, x2, ..., xn是n个实数，且它们的算术平均数x_avg满足f(x_avg) ≥ f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)/n，则对数均值不等式成立。
四、证明方法三：利用微积分基本原理微积分基本原理表明，对于连续函数f(x)，若其在区间[a, b]上的积分值∫f(x)dx存在，则f(x)在该区间上的最大值和最小值分别为f(a)和f(b)。
利用这一原理，我们可以证明对数均值不等式。
首先，设f(x) = logx，则f'(x) = 1/x。
由于f''(x) = -1/x^2 < 0，所以f(x)是凸函数。
因此，对于任意两个正数a和b，有f(a+b)/2 ≥ f((a+b)/2) ≥ f((a+b)/3) ≥ ... ≥ f((a+b)/n) ≥ ...。
即对数均值不等式成立。
Jensen不等式：许多重要不等式的源头
Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ不 等 式 ： 许 多重 要不 等 式 的 源 头
胡 绍 宗
（ 阜 阳师范学院 数学 系 ， 安徽 阜阳 ２ ３ ６ ０ ４ １ ）
摘 要 首 先利 用 泰 勒 公 式 证 明 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ不 等 式 ， 然后应 用 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ不等 式 导 出一 些 重 要 不 等 式 ．
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２ ０ １ ７年 １ １月
高
等
数
学
研
究
ＶＯ １ ． ２ Ｏ， Ｎ ｏ． ６ ＮＯ Ｖ．，２０１ ７
Ｓ ＴＵＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ ＣＯＬ ＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｃ Ｓ
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ・ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ６ ． ０ １ ８
Ｈ Ｕ Ｓｈ ａ ｏ ｚ ｏ ｎｇ
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏｆ Ｍａ ｔ ｈｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ， Ｆｕｙ ａ ｎｇ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃｏｌ ｌ ｅ ｇ ｅ，Ｆｕｙ ａ ｎｇ，Ａ ｎ ｈｕｉ ，２３６ ０ ３７， ＰＲＣ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｗｅ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ｂ ｙ Ｔａ ｙ ｌ ｏ ｒ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ，ａ ｎ ｄ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｍｅ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｉ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ
一
数学 归 纳 法 来 完 成 的． 本 文 将 用 泰 勒 公 式 给 出 证 明， 继而 借助 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ不等 式导 出一 些 重要不 等 式．
函数凹凸性及其应用(new新)[1].
![函数凹凸性及其应用(new新)[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/4654ac04bd64783e08122b26.png)
函数凹凸性及其应用学生：邱雷指导老师：马新淮南师范学院数学系摘要：凹凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，考虑到凹凸函数与连续性、可导性之间的联系及凹凸函数在不等式证明方面的作用和意义，本文给出了凹凸函数的多种不同定义，并讨论了它们之间的等价性及凹凸函数有关性质和它在不等式方面的相应应用。
Jensen不等式是凸函数的一个重要不等式，本文以Jensen不等式为基础不等式，并以此推出它的三个推论，这三个推论都具有广泛地应用价值,用这三个推论来推证几个重要的不等式.Abstract：Concave-convex function is an important kind of function and it is widely used in mathematic programming. Considering the relationship between continuity and derivative of concave-convex function and their importance of application in proof of some inequalities, several kinds of equal definitions of concave-convex function are given in this paper. Their equality, some relative characters and their application in equalities are also discussed. Jensen inequality is an important kind of convex function, We get three corollaries of Jensen inequality in this paper. The three corollaries all have extensive applications. Meanwhile, we provide new proofs of some significant inequalities with the three corollaries.关键词：凹函数；凸函数；Jensen不等式Key words: concave function; convex function ; Jensen inequality引言：在高等数学中，利用导数讨论函数的性态时，经常遇到一类特殊的函数——凹凸函数，由于凹凸函数具有一些特殊的性质，利用这些性质可以非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式，本文试就凹凸函数的性质、等价定义和在证明不等式中的应用等问题作初步探讨。
Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用
Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用Jensen不等式[1]：若函数y=f（x）是（a，b）上的凸函数，则对任意x1，x2，…，xn∈（a，b）都有f（x1+x2+…+xnn）≤f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n.其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质，它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式可以较简捷地解决近几年来的一类竞赛不等式，以供参考，学习之用.1证明不等式.例1（2015年安徽省高中数学竞赛题）设正实数a，b满足a+b=1，求证：a2+1a+b2+1b≥3.证明构造函数f（x）=x2+1x（0<x<1），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=2x-1x22x2+1x，f″（x）=12x+3x44（x2+1x）x2+1x>0，从而函数f（x）=x2+1x在0，1上为凸函数，由Jensen 不等式，可得f（a）+f（b）2≥f（a+b2）=f（12）=32，即a2+1a+b2+1b ≥3，所以原不等式成立.例2（2014年安徽省高中数学竞赛题）已知正实数x，y，z满足x+y+z=1，求证：z-yx+2y+x-zy+2z+y-xz+2x≥0.证明由x+y+z=1，可得x+2y=1-（z-y），y+2z==1-（x-z），z+2x=1-（y-x），从而原不等式化为z-y1-（z-y）+x-z1-（x-z）+y-x1-（y-x）≥0.构造函数f（m）=m1-m，m∈（-1，1），对f（m）求二阶导数，则有f′（m）=1（1-m）2，f″（m）=2（1-m）3>0，从而f（m）为m∈（-1，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（z-y）+f（x-z）+f（y-x）3≥f（z-y+x-z+y-x3）=0，从而原不等式成立.评注通过上述两例，可以看出这两道不等式题目命制中的凸函数背景.例3（2012年希腊奥林匹克竞赛题）设a，b，c均为正实数，且a+b+c=3，求证：a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.证明构造函数f（x）=x2（3-x）3，x∈（0，3），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=6x-x2（3-x）4，f″（x）=2（9-x2）+12x（3-x）5>0，从而f（x）为（0，3）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3）=f（1）=18，故有a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a+b）3≥38.所以原不等式成立例4（2011年甘肃省高中数学竞赛题）设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=1.求证：（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.证明构造函数f（x）=（x+1x）2（0<x<1），f′（x）=2（x4-1）x3，f″（x）=2x4+6x4>0，从而f（x）为（0，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥f（x1+x2+…+xnn）=f（1n）=（n+1n）2，即（a1+1a1）2+（a2+1a2）2+…+（an+1an）2≥（n2+1）2n.所以原不等式成立评注文[2]给出了例3和例4一种新证法，这里利用Jensen不等式证之，也不失为一种好方法.2加强不等式.例5（2012年克罗地亚奥林匹克竞赛题）设a，b，c均为正实数，且a+b+c≤3，求证：a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥2.证明构造函数f（x）=x+1x（x+2），x∈（0，3），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=-x2+2x+2（x2+2x）2，f″（x）=2（x+1）（x2+2x+4）（x2+2x）2>0，从而f（x）为（0，3）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），即a+1a（a+2）+b+1b （b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）.设u=a+b+c≤3，则只要证9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2，即9（u+3）u（u+6）≥2（2u+9）（u-3）≤0，由0<u≤3知上述不等式成立，从而原不等式成立.注记从上面的证明中可以看出，原不等式加强为：a+1a（a+2）+b+1b（b+2）+c+1c（c+2）≥9（a+b+c+3）（a+b+c）（a+b+c+6）≥2.例6（2010年第一届陈省身杯全国数学奥林匹克竞赛题）设a，b，c均为正实数，且a3+b3+c3=3，求证：1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥1.证明构造函数f（x）=1x2+x+1（0<x<1），对f（x）求二阶导数，则有f′（x）=-2x+1（x2+x+1）2，f″（x）=6x（x+1）（x2+x+1）3>0，从而f（x）为（0，1）上的凸函数，由Jensen不等式，可得f（a）+f（b）+f（c）3≥f（a+b+c3），所以有1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1，又由幂平均不等式a3+b3+c33≥（a+b+c3）3，可得a+b+c3≤1，故1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.所以原不等式成立.注记从上面的证明中可以看出，原不等式加强为：1a2+a+1+1b2+b+1+1c2+c+1≥3（a+b+c3）2+（a+b+c3）+1≥1.3推广不等式利用Jensen不等式不仅可以证明和加强不等式，还可以用来推广不等式，如将例1、例3进行推广，可得：例7设x1，x2，…，xn（n≥2）均为正实数，且满足x1+x2+…+xn=1，则有x21+1x1+x22+1x2+…+x2n+1xn≥1+n3.例8设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=n，求证：a21（n-a1）3+a22（n-a2）3+…+a2n（n-an）3≥n（n-1）3.证明的方法与上述证法类似，读者可自证.最后，提供两题，作为训练.1.设a1，a2，…，an均为正实数，且a1+a2+…+an=1.求证：a12-a1+a22-a2+…+an2-an≥n2n-1.2.设锐角A，B，C满足cos2A+cos2B+cos2C=1，求证：1sin2A+1sin2B+1sin2C≥92.参考文献[1]王向东等.不等式?理论?方法[M].郑州：河南教育出版社，19945：253-259[2]刘康宁.利用“一次函数逼近”证明一类不等式[J].中学数学教学参考（上旬），2015（10）：64-68。
琴生不等式在高中数学中的巧用
琴生不等式在高中数学中的巧用拉格朗日MJ 兰三中摘要：近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。
所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。
高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。
这里我主要选了Jensen 不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。
从凸函数的性质我们知道Jensen 不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。
利用凸函数的jensen 不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。
一、琴生不等式的引入凸函数的定义：设f （x ）是定义在开区间（a ，b ）的函数，如果对于任意x 1，x 2∈（a ，b ），有)x x f(221+≤2)()(21x f x f +（≥2)()(21x f x f +），则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数（上凸函数）。
若上述不等式当且仅当x 1=x 2时取等号，则称f （x)为严格下凸函数（严格上凸函数）。
如果对任意的x ∈（a ，b ），有)()(''00<>x f ，则f （x ）是区间（a ，b)上的严格下（上）凸函数。
Jensen 不等式的定义：设f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b ）内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)...(n x x x f n +++21≦nx f x f x f n )(...)()(21+++,其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。
若f （x ）在（a ，b ）内严格上凸，则上述不等式反向。
更一般的情况：设p i ∈R +，且11=∑=n i i p，f （x ）是区间（a ，b ）内的严格下凸函数，则对于（a ，b)内的任意x 1，x 2，...,x n ,有)()(∑∑==≤ni ii n i i i x f p x p f 11 其中当且仅当x 1=x 2=...=x n 时等号成立。
琴生不等式【介绍】和相关高考例题
琴生不等式（Jensen Inequality）是以数学家（Johan Jensen）命名的，给出积分的值和凸函数的积分值间的关系的数学名词。
1概述1.若是区间上的，则对任意的，有不等式:有当且仅当时等号成立。
2.若是区间上的，则对任意的，有不等式:有当且仅当时等号成立。
3.其加权形式为：若是区间上的凸函数，则对任意的，且，有1若是区间上的凹函数，则对任意的，且，有备注：对于函数凹凸性与上凸、下凸的：凸=下凸=，形如；凹=上凸=，形如.2应用有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，如今我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式比如i).ii).iii).2其中前面两个取就可以了后面一个取就可以了。
举一个简单的例子：在中为凸函数（国外教材定义；若为凹函数，则国内教材定义），如图所示：同时，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含义是不同的。
如图：涉及概率密度函数的形式假设Ω是实线的可测子集，f（x）是一个非负函数在概率语言中，f是。
然后Jensen的不等式变成了关于凸积分的下面的陈述：如果g是任何实值可测函数且φ在g的范围内是凸的，那么：如果g（x）=x，那么这种不等式的形式可以简化为一个常用的特例：3例如随机变量的偶数矩如果g（x）=x，并且X是一个随机变量，那么g是凸的所以特别是，如果有的甚至瞬间2N的X是有限的，X具有有限的均值。
这个论证的延伸表明X具有每个阶的有限矩划分ñ。
替代有限形式令Ω= {x1，...xn}，并且以μ为Ω上的计数度量，则一般形式简化为关于和的声明：，条件是λi≥0和还有一个无限的离散形式。
4统计物理学当是指数函数时，Jensen不等式在中特别重要，给出：，其中期望值是关于随机变量X 中的一些概率分布。
这种情况下的证明非常简单（参见Chandler，第5.5节）。
理想的不平等直接来自书写•{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {X} \ rightname = {E ^ {\ operatorname {E} [X]} \ operatorname {E} \ [X]} \右]}然后应用不等式ë≥1 +X至最终指数。
不等式中有“琴生”
作者： 戴德元
作者机构： 湖北省通城县第一中学,437400
出版物刊名： 上海中学数学
页码： 26-28页
年卷期： 2011年 第11期
主题词： 条件不等式 琴生不等式 三角函数 指数函数 对数函数 定理 幂函数 应用
摘要：文[1]中介绍了一类条件不等式的探源,由源头引出三个定理后,简单明了地得出该文中列举的6个不等式的证明或改进.但是对定理3,文中没有典型的应用举例.同时,定理3实际上就是琴生（Jensen）不等式的特例.本文旨在就高中范围内四类重要函数：三角函数,指数函数,对数函数,幂函数,由其凸性及琴生不等式,介绍其具体应用.。
巧用Jensen不等式妙解一类IMO轮换对称不等式
巧用Jensen不等式妙解一类IMO轮换对称不等式邓从政【摘要】在各国高中数学联赛及IMO等大型数学赛事中,经常出现一类轮换对称不等式的证明或求其取值范围,这类题形态简单优美,但是其证明或求解却难度极大,在有限的时间内解决赛题非常艰难.介绍一类轮换对称不等式,利用它构造的函数凹凸特征明显,进而巧用Jensen不等式取等号的条件来妙解这类轮换对称不等式.【期刊名称】《凯里学院学报》【年(卷),期】2017(035)003【总页数】4页(P8-11)【关键词】Jensen不等式;轮换对称不等式;函数凹凸性;构造法【作者】邓从政【作者单位】凯里学院,贵州凯里556011【正文语种】中文在各国高中数学联赛及其他国家奥林匹克竞赛选拔赛中，特别是IMO中不等式的证明是必不可少的竞赛内容，经常出现一类轮换对称不等式，其常见题型一种是求轮换对称式的最值和取值范围，另一种是轮换对称不等式的直接证明，这类不等式形式简单优美，但是证明却困难重重，相关各刊物提供的标准解答，有的是匠心独运，学生实难想到，有的晦涩难懂，学生看起来不知所云.本文介绍一类题中经常出现的含有特殊条件“ɑbc=s”型轮换对称不等式的解法，利用其形态特征，构造函数利用Jensen不等式巧解妙答，行文简洁流畅，易学易懂.轮换对称式分为错位轮换和独立轮换,独立轮换对称式中每一项只含有一个元素，不与其它元素发生轮换关系，而错位轮换对称不等式中每一项中，一个元素与其他元素发生循环轮换.这里选取以CMO和IMO试题介绍这两类不等式的解题技巧，以供同仁借鉴及指正.定义1设函数f(x)为定义在I上的函数，若对于I上的两个x1,x2，及任意且λ1+λ2=1，有，则称f(x)为I上的凸函数；反之如果有则称f为I上的凹函数.关于函数的凹凸性，我们有著名的Jensen不等式：定理1 (Jensen不等式) 设函数f(x)为定义在I上的凸函数，若对于I上的x1,x2,...,xn∈I，及任意λ1,λ2,...,λn∈(0,1)且λ1+λ2+...+λn=1，有+...+λnf(xn)；若f(x)为I上的凹函数，有+...+λnf(xn).特别地，当λ1=λ2=...时，Jensen不等式的形式变得更加简洁和漂亮.推论1 设函数f(x)为定义在I上的凸函数，若对于I上的x1,x2,...,xn∈I，及任意λ1,λ2,...,λn∈(0,1)，λ1=λ2=...，有；若f(x)为I上的凹函数，则有.关于函数的凹凸性的判定，有如下判定定理：定理2 设函数f(x)在区间内存在二阶导数，若≤0，则f(x)在为凸函数；若，则f(x)在区间内为凹函数.利用函数的凹凸性，可以证明一些复杂的不等式，诸如轮换对称不等式，均值不等式等形态简单优美但常规方法却无法解决的问题，这时常借助于函数的单调性以及Jensen不等式。
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延森（ Ｊｅｎｓｅｎ） 不等式：
设函数 ｆ （ｘ），ｘ∈（ａ，ｂ） 是一个连续的凸函数， ξ 是取值于集合
ｘ＝ !ｘ１，ｘ２，∧，ｘｎ "的离散型随机变量， 则：
Ｅ（ｆ（ξ））≥ｆ（Ｅ（ξ））
证明： 我们用数学归纳法对此定理加以证明：
记 ｐ（ξ＝ｘｉ）＝ｐ（ｘｉ）（ｉ＝１，２，∧，ｎ）注意 到 ｐ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）＋∧＋ｐ（ｘｎ）＝１
凸函数。设 ｃｉ＝ｂｉｋ－ １ ， ｘｉ＝
ａｉ
１
并取 ｐ（ξ＝ｘｉ）＝
ｃｉ
ｎ
＝
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｎ
ｋ
ｂ ｋ－ １ ｉ
# # ｃｉ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
ｎ
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１
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｋ
ｎ
ｋ
ｋ
* #ａ ｋ－ １
ｂｉ
++ ＝ ｎ
ｋ
ｉ ｉ＝１
ｎ
ｋ
# # , ｂ ｋ－ １ ｉ
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
由 延 森 （ Ｊｅｎｓｅｎ）
不等式可得：
’ｎ
# ( ａｉｂｉ
(ｉ ＝ １
ｎ
ｋ
# ( ｂ ｋ－ １ ｉ
)ｉ ＝ １
ｋ
* + +≤ +
,
ｎ
#ｋ ａｉ
ｉ＝１
ｎ
ｋ
#ｂ ｋ－ １ ｉ ｉ＝１
# $# ｎ
即： ａｉｂｉ≤
ｎ ｋ
ａｉ
ｉ＝１
ｉ＝１
１
% $ｋ
ｎ
ｋ
# ·
ｂ ｋ－ １ ｉ
ｉ＝１
ｋ－ １
%ｋ 。
参考文献： ［１］华 东 师 范 大 学 数 学 系 ．数 学 分 析 ．北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，２００３：１４８． ［２］ 姜丹． 信息 论 与 编 码 ． 合 肥 ： 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 ，２００４：２０－ ２５．
（ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ）。
ｎ
例 ２ 设 ａｉ＞ ０，ｂｉ＞ ０，ｋ＞ １ 试证明：
１
ｋ－ １
$ ｎ
ｎ
# #ｋ
ａｉｂｉ≤
ａｉ
ｋ
%$ｎ
ｋ
# ·
ｂ ｋ－ １ ｉ
%ｋ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｉ＝１
ｋ
ｋ－ ２
证明： 设 ｆ（ｘ）＝ｘ （ｘ＞ ０）， 则由 ｆ”（ｘ）＝ｋ·（ｋ－ １）ｘ ＞ ０ 可知 ｆ（ｘ）为
ｋ
ｋ
ｎ
ｎ
#ｘｉ
# 对&ｘｉ∈Ｒ
取
ｐ（ξ＝ｘｉ）＝
１ ｎ
，
则
Ｅ（ξ）＝
ｉ
＝
ｘｉ
１
１ ｎ
＝
ｉ
＝１
ｎ
，
ｎ
#ｘｉ
ｉ＝１
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
ｆ（Ｅ（ξ））＝ｅ ｎ ＝ｅ ｎ ，
#ｎ
Ｅ（ｆ（ξ））＝
１
ｘｉ
ｅ＝
ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ
ｉ＝１ｎ
ｎ
由 延 森（
Ｊｅｎｓｅｎ）
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
不等式可得： ｅ ｎ ≤
１
１８５
ｉ
ｋ ＝
１
１－
ｐ（ｘｉ） ｐ（ｘｋ＋１）
ｆ（ｘｉ）＋ｐ（ｘｋ＋１）ｆ（ｘｋ＋１）
$# ≥（ １－ ｐ（ｘｋ＋１））ｆ
ｉ
ｋ ＝
１
ｐ（ｘｉ） １－ ｐ（ｘｋ＋１）
ｘｉ
%＋ｐ （ｘｋ＋１ ）ｆ（ｘ
ｋ＋１）
$ # ≥ｆ
（１－ ｐ（ｘｋ＋１））
ｉ
ｋ ＝
１
ｐ（ｘｉ） １－ ｐ（ｘｋ＋１）
ｘｉ＋ｐ（ｘｋ＋１）ｘｋ＋１
文章编号： １６７２－ ７８９４（ ２００８） ０３－ １８５－ ０１
凸函数： 设 ｆ（ｘ）是定义于区间（ ａ， ｂ） 上的函数， 若对任意的 ｘ１ｘ２
∈（ａ，ｂ）和 ０≤λ≤１， 有：
ｆ（λｘ１＋（１－ λ）ｘ２）≤λｆ（ｘ１）＋（１－ λ）ｆ（ｘ２）
则称 ｆ（ｘ）是区间（ ａ， ｂ） 上的凸函数。
２００８．０３ （ 上旬刊）
理工科研
Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ 不等式在数学上的应用
□ 刘小琼 刘新乐
（ 河南理工大学数学与信息科学学院 河南·焦作 ４５４０００）
摘 要 本文主要是利用延森不等式证明了数学上的一些重要不等式。
关键词 凸函数 随机变量 延森不等式 数学不等式
中图分类号： Ｏ１２４
文献标识码： Ａ
当 ｎ＝２ 时， Ｅ（ｆ（ξ））＝ｐ（ｘ１）ｆ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）ｆ（ｘ２）
≥ｆ（ｐ（ｘ１）ｘ１＋ｐ（ｘ２）ｘ２）＝ｆ（Ｅ（ξ））成 立
设当 ｎ＝ｋ 时不等式成立， 则 ｎ＝ｋ＋１ 当时：
Ｅ（ｆ（ξ））＝ｐ（ｘ１）＋ｆ（ｘ１）＋ｐ（ｘ２）ｆ（ｘ２）＋∧＋ｐ（ｘｋ＋１）ｆ（ｘｋ＋１）
# ＝（１－
ｐ（ｘｆ
ｐ（ｘｉ）ｘｉ
ｉ＝１
%＝ｆ（Ｅ（ξ））成立
综合上述可知， 结论成立。
利用延森（ Ｊｅｎｓｅｎ） 不等式可以证明 数 学 上 一 系 列 重 要 的 基 本
不等式， 现举例如下：
ｘ１＋ｘ２＋∧＋ｘｎ
例 １ 证明： ｅ ｎ ≤ １ （ｅｘ１＋ｅｘ２＋∧＋ｅｘｎ） ｎ
ｘ
证明： 设 ｆ（ｘ）＝ｅ ， 由 ｆ”（ｘ）＞ ０ 可知 ｆ（ｘ）为凸函数。