正弦型函数的图像变换
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
正弦型函数的图像性质
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。
你能得到y=Asinx与y=sinx 图象的关系吗？
1.y=Asinx（A>0, A1)的图象是由y=sinx的图 象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长 (当A>1 时)或压缩（当0<A<1时)A倍而成.
2.值域 【 -A, A 】最大值A,最小值-A
3、 的作用：研究 y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系
先观察y = sin（x+ ）、y = sin（x － ）
2
2
与 y=sinx 的图象间的关系
y
1
0
π
2π
x
-1
的作用：使正弦函数的图象发生位移变化。
你能得到y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系吗？
y sin(x ) ( 0)的图象，可以看
正弦型函数 y = A sin(ωx+ )
的图象
今日提问
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x
0
π
-1
2π
3π
4π
x
0
3
2
2
2
sinx 0
1
0
-1
0
复习
正弦函数 y = sinx 的图象、定义域、值域、周期
y
1 x
0
π
2π
3π
4π
-1
定义域：R 当x 值2 域 2:[-时1，，y1m]ax 1 周期： 2π
当x
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
三角函数图像与变换
三角函数图像与变换一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将从三角函数的图像出发，探讨其与变换的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
二、三角函数的基本图像1. 正弦函数的图像正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现周期性的波动形态。
当自变量为0时，正弦函数的值为0；当自变量为90度（或π/2弧度）时，正弦函数的值为1；当自变量为180度（或π弧度）时，正弦函数的值为0；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，正弦函数的值为-1；以此类推，正弦函数的图像在每个周期内都呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
2. 余弦函数的图像余弦函数与正弦函数非常相似，它们的图像在形态上只有一个平移。
当自变量为0时，余弦函数的值为1；当自变量为90度（或π/2弧度）时，余弦函数的值为0；当自变量为180度（或π弧度）时，余弦函数的值为-1；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，余弦函数的值为0；以此类推，余弦函数的图像也呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
3. 正切函数的图像正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像呈现出周期性的波动形态。
正切函数的图像在每个周期内都有一个渐进线，即在自变量接近90度（或π/2弧度）和270度（或3π/2弧度）时，函数值趋近于无穷大。
三、三角函数的变换1. 平移变换平移变换是指将函数的图像沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
对于正弦函数和余弦函数，平移变换可以通过改变自变量的值来实现。
例如，将正弦函数的自变量增加π/4，可以使函数图像向左平移π/4个单位；将正弦函数的自变量减少π/4，可以使函数图像向右平移π/4个单位。
同样的，对于余弦函数，也可以通过改变自变量的值来实现平移变换。
2. 伸缩变换伸缩变换是指将函数的图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
对于正弦函数和余弦函数，伸缩变换可以通过改变自变量的系数来实现。
例如，将正弦函数的自变量乘以2，可以使函数图像在x轴方向压缩一倍；将正弦函数的自变量除以2，可以使函数图像在x轴方向拉伸一倍。
三角函数的基本变换平移伸缩和反射
三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换：平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。
它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。
在学习三角函数时，我们经常会遇到一些基本的函数变换，比如平移、伸缩和反射。
本文将介绍三角函数的这些基本变换，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。
在三角函数中，平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动，改变函数的位置。
对于正弦函数sin(x)来说，平移变换可以表示为sin(x-a)，其中a为平移的距离和方向。
当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
对于余弦函数cos(x)来说，平移变换可以表示为cos(x-a)，同样地，当a为正数时，函数图像向右平移 |a| 个单位；当a为负数时，函数图像向左平移 |a| 个单位。
二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。
在三角函数中，伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的振幅和周期。
对于正弦函数sin(x)来说，伸缩变换可以表示为a*sin(x)，其中a为正实数。
当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
对于余弦函数cos(x)来说，伸缩变换可以表示为a*cos(x)，同样地，当a大于1时，函数图像在纵轴方向上被拉伸；当0 < a < 1时，函数图像在纵轴方向上被压缩。
伸缩变换还可以改变函数的周期。
对于正弦函数和余弦函数来说，原本的周期是2π。
通过伸缩变换，可以改变函数的周期为2π/a，其中a为正实数。
三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。
在三角函数中，反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转，改变函数的正负号。
对于正弦函数sin(x)来说，反射变换可以表示为-sin(x)。
1.3.1正弦型函数图像
得y=3sin
2x+ 3
例3、试说明函数 y=-2sin2x+6 +2 图象与函数
y=sinx的图象的变换关系。
解：将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2
纵坐标不变，则得到y=sin2x的图象。
又将y=sin2x的图象沿x轴向左平移 个单位，则得到
方法二：先把函数 ys的inx图象上各点的横
坐标变为原来的 倍1 ，得到函数 ysinx
图移象| |；个再单把位长y度s，in得x到的函图数像向y左（si右n 的）x(图 平象)
然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，
就得到函数
y的图A 象s. i nx()
例1、作y=2sinx2+3的图象
-
-1
o 6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 ysinx,x [0,2] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：( ,1 )
2
最低点：(32 ,1)
与x轴的交点：( 0 , 0 ) ( , 0 ) (2 , 0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
36
13
2
2
7
x
2
思考1：一般地，函数 yAsi nx()
（A＞0，＞0）的图象，可以由函数
y sinx的图象经过怎样的变换而得到？
先把函数 y s的inx图象向左（右）平移| |
个单位长度，得到函数 y的si图nx象 (；)
教案正弦型函数的图像和性质
正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 引入正弦型函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)1.2 探究正弦函数的图像分析正弦函数在0≤x≤2π的图像特征总结正弦函数的振幅、周期、相位、对称性等基本性质1.3 引出正弦型函数的一般形式介绍正弦型函数的一般形式：y = A sin(Bx + C) + D解释各参数A、B、C、D对函数图像的影响第二章：正弦型函数的图像变换2.1 纵坐标变换：伸缩与平移分析纵坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过纵坐标变换实现图像的伸缩和平移2.2 横坐标变换：伸缩与平移分析横坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过横坐标变换实现图像的伸缩和平移2.3 综合图像变换结合纵坐标和横坐标变换，探究正弦型函数图像的综合变换方法第三章：正弦型函数的性质探究3.1 单调性分析正弦型函数的单调性：在单调增区间和单调减区间内举例说明单调性的应用3.2 奇偶性探究正弦型函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)分析奇偶性在函数图像上的表现3.3 极值与拐点求解正弦型函数的极值与拐点分析极值与拐点在函数图像上的特征第四章：正弦型函数的应用4.1 振动问题应用正弦型函数描述简谐振动：x = A sin(ωt + φ)分析振动过程中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律4.2 波动问题应用正弦型函数描述波动：u = A sin(kx ωt + φ)分析波动过程中的波长、周期、波速等物理量的关系第五章：案例分析与拓展5.1 分析实际问题中的正弦型函数模型举例分析正弦型函数在实际问题中的应用：温度变化、电流强度等5.2 探究正弦型函数的周期性分析正弦型函数在不同周期下的图像特征探究周期性在实际问题中的应用5.3 总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质及其应用提出拓展问题，引导学生深入研究正弦型函数的相关领域第六章：正弦型函数的积分与级数6.1 不定积分介绍正弦型函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C讲解基本积分技巧，如分部积分法、换元积分法等6.2 定积分解释正弦型函数的定积分：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)分析定积分的性质，如对称性、周期性等6.3 级数展开探究正弦型函数的级数展开：sin(x) = Σ(-1)^(n+1) (x^(2n+1))/(2n+1)! 讲解泰勒级数展开的概念及应用第七章：正弦型函数的三角恒等式7.1 和差化积介绍和差化积公式：sin(A ±B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)讲解如何利用和差化积公式简化正弦型函数的表达式7.2 积化和差讲解积化和差公式：sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(A + B)分析积化和差公式在函数求解中的应用7.3 二倍角公式与半角公式介绍二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A), cos(2A) = cos^2(A) sin^2(A) 讲解半角公式：sin(A/2), cos(A/2)的求解方法及应用第八章：正弦型函数的解法与应用8.1 解正弦型方程讲解如何利用正弦函数的性质解正弦型方程：sin(x) = A, cos(x) = B等分析正弦型方程的解法技巧，如相位法、图像法等8.2 正弦型函数在物理中的应用介绍正弦型函数在电磁学、波动光学等物理领域的应用分析正弦型函数在物理问题中的作用及意义第九章：正弦型函数与现代数学方法9.1 傅里叶级数介绍傅里叶级数：将周期函数展开为正弦、余弦函数的和分析傅里叶级数在信号处理、热传导等领域的应用9.2 最小二乘法讲解最小二乘法在正弦型函数拟合中的应用举例说明最小二乘法在实际问题中的作用及意义第十章：总结与拓展10.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性10.2 提出拓展问题与研究建议针对正弦型函数的图像与性质提出拓展问题，引导学生深入研究鼓励学生探索正弦型函数在其他领域中的应用，如机器学习、生物信息学等第十一章：正弦型函数的数值方法11.1 数值解法概述介绍数值解法在求解正弦型函数相关问题中的应用讲解数值解法的基本概念和分类11.2 数值积分探究数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等分析数值积分在正弦型函数应用中的实例11.3 数值微分介绍数值微分方法：中心差分法、向前差分法等讲解数值微分在正弦型函数应用中的实例第十二章：正弦型函数的编程实践12.1 编程基础介绍编程语言的选择（如Python、MATLAB等）讲解编程基本语法和数据结构12.2 正弦型函数的图像绘制展示如何使用编程语言绘制正弦型函数的图像分析图像绘制过程中的关键参数和技巧12.3 正弦型函数的数值计算讲解如何使用编程语言进行正弦型函数的数值计算分析数值计算过程中的误差和稳定性问题第十三章：正弦型函数在工程中的应用13.1 信号处理介绍正弦型函数在信号处理领域的应用：调制、解调等分析正弦型函数在信号处理中的优势和局限性13.2 机械振动探究正弦型函数在机械振动分析中的应用讲解振动系统的周期性、对称性等特性第十四章：正弦型函数在现代科学研究中的应用14.1 量子力学介绍正弦型函数在量子力学中的应用：波函数、能级等分析正弦型函数在量子力学中的基本作用14.2 天体物理探究正弦型函数在天体物理中的应用：星体运动、引力波等讲解正弦型函数在天体物理中的关键作用第十五章：总结与展望15.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾本教程中正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性15.2 展望正弦型函数的发展趋势分析正弦型函数在科技、工程等领域的前景和挑战鼓励学生继续探究正弦型函数的奥秘，为相关领域的发展做出贡献重点和难点解析本文主要介绍了正弦型函数的图像和性质，涵盖了正弦型函数的定义、图像变换、性质探究、应用、积分与级数、三角恒等式、解法与现代数学方法、数值方法、编程实践、工程应用以及现代科学研究等领域。
正弦型函数的图像和性质
y = A sin(ωx+ )
y sin x , x 0 , 2
x
y sin x
0
0
2
0
3 2
2
1
1
0
y
1
0
2
3 2
2
x
1
y sin x , x 0 , 2
1、A的作用
y sin x , x 0 , 2
0
0
2
解：1、列五点表( A 2 ,由2 x 4 0有x o 8 , 由T 有 4
第三步 第一步 第一步 第二步
1
T
4
7 8
2 ) 8
x
2x
8
8
3 8
5 8
4
sin( 2 x y
4
0
)
2
0 0
3 2
2
0 0
y
1
1 2
1
1 2
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2
0 -1
π
2π
3π
4π
x
作y=sinx的图象
x
sinx
1、列表
2
2、描点
3 2
3、连线
2
0
0
0
0
1
-1
2、ω的作用：研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin
y 1
1 x与y=sinx的图象间的关系 2
0 -1
2
3 2
正弦型函数的图像性质
正弦型函数y 正弦型函数 =Asin(ωx + ϕ)的图象和性质 的图象和性质
2、A的作用：研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 、 的作用 的作用： 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系 先观察 、 与 的图象间的关系
y 2 1 0 -1 -2 π 2π x
3π -1
0
正弦型函数y 正弦型函数 =Asin(ωx + ϕ)的图象和性质 的图象和性质
的作用： 1、ω的作用：研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 、 的作用 与
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 先观察 、 与 的图象间的关系 2 y
1 0 -1 π 2π 3π 4π x
A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 的作用 y=Asinx（ A≠1)的图象是由 的图象是由y=sinx的图象沿 轴 的图象沿y轴 y=Asinx（A>0, A≠1)的图象是由 的图象沿 方向伸长 当A>1时 压缩（ 0<A<1时)A倍而成 倍而成. 方向伸长 (当A>1时)或压缩（当0<A<1时)A倍而成.
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 先观察 、 与 的图象间的关系 2 y
1 0 -1 π 2π 3π 4π x
作y=sin
1 x的图象 的图象 2
1 x 2
1、列表 、
π
2
2、描点 、
3 π 2
3、连线 、
2π 4π 0
0 0
π 2π 0
x sin
1 x 2
π 1
正弦函数的图像
目录
• 正弦函数的定义与性质 • 正弦函数的图像绘制 • 正弦函数的应用 • 正弦函数与其他函数的对比 • 正弦函数的扩展
01
正弦函数的定义与性质
定义
总结词
正弦函数是三角函数的一种，定义为 直角三角形中锐角的对边长度与斜边 长度的比值。
详细描述
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是角 度（以弧度为单位）。在直角三角形中， 锐角的对边长度为y，斜边长度为r，则 正弦函数的定义为y/r。
工程中的应用
机械工程
在机械振动和稳定性分析 中，正弦函数用于模拟和 预测结构的振动和稳定性。
航空航天
在航空航天领域，正弦函 数用于计算飞行器的姿态 角、角速度等参数。
电子工程
在信号处理和通信中，正 弦函数用于调制和解调信 号，实现信息的传输和接 收。
数学其他领域中的应用
三角恒等式
01
正弦函数与其他三角函数（余弦、正切等）之间存在许多重要
总结词
描述正弦函数积化和差公式的应用和意义。
详细描述
正弦函数的积化和差公式是三角函数中另一个重要的公式，它描述了正弦函数乘积与和差之间的关系。通过这个 公式，我们可以将两个正弦函数的乘积转化为一个正弦函数和另一个正弦函数之和或差的乘积，从而进一步简化 计算。
正弦函数的倍角公式
总结词
描述正弦函数倍角公式的应用和意义。
相位
相位决定了正弦函数图像在x轴上的位置，通过调 整相位参数，可以改变图像起始点的位置。
03
正弦函数的应用
物理中的应用
振动和波动
正弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，如弹簧振荡器、声 波等。
交流电
正弦函数用于描述交流电的电压和电流，广泛应用于电力系统和 电子设备。
正弦函数的性质和图像
π 2
1
3π 2
O
π
x
-1
（5）单调性
增 区 间：[
-
π 2
，π 2
减 区 间： [π
，3 π
2
2
](k∈Z ) ](k∈Z )
2.正弦函数 y sin x 的性质
yπ
2
-
π 2
1
3π 2
O
π
x
-1
（5）单调性
增 区间 ：[
-
π 2
+
2
kπ
，π 2
+
2 kπ ]( k ∈ Z
)
减 区间 ： [π 2
6. 对称性：
正弦函数的图像和性质 y
1. 定 义 域 ：R
-
π 2
1
3π 2
-
3π 2
-π
O
π 2
π
2π 5π
x
2
2. 值域：[ -1,1]
-1
3.奇偶性：奇函数s，in（- x）= - sinx
4. 周期性：T = 2 kπ，最小正周期为2 π
5. 单 调 性 ：
6. 对称性：
正弦函数的图像和性质 y
y
P
α
O
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
P（cos α, sin α）
α
O
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
y
P（cos α, sin α）
（α，sinα）
α
O M x Oα
x
1.正弦函数 y sin x 的图像
y
y
P
O
xO
正弦函数的图像和性质
1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。
正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C 在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。
1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。
正弦函数图像的变换
小结： （1）三角函y=Asin(ѡx+φ ) 的五点作图法. （3）注意变换的语言叙述.
正弦函数图像的变换
方法二：先伸缩后平移 对 y=Asin(ѡx+φ )图像可以看作由 y=sinx图像上所有点的横坐标缩短（当 ѡ>1时)或伸长（当0< ѡ <1时)到原来的 1/ ѡ倍（纵坐标不变），再向左（当 φ >0时)或向右（当φ <0时)平移φ /ѡ个 单位，再把所得个点的纵坐标伸长(当 A>1时）或缩短（当0 <A < 1时）到原来 的A倍（横坐标不变）.
正弦函数图像的变换
正弦函数图像变换
1 两种变换方法
2例
3小
题
结
正弦函数图像的变换
方法一：先平移后伸缩 对 y=Asin(ѡx+φ )图像可以看作由 y=sinx图像上所有点先向左（当 φ >0时) 或向右（当φ <0时)平移φ 个单位，再把 所得个点的横坐标缩短（当ѡ>1时)或伸 长（当0< ѡ <1时)到原来的1/ ѡ倍（纵 坐标不变），再把所得个点的纵坐标伸 长(当A>1时）或缩短（当0 <A < 1时） 到原来的A倍（横坐标不变）.
正弦函数的图像变换评课稿
正弦函数的图像变换评课稿《正弦函数的图像变换》的评课稿授课人：徐尚志评课人：呼建强今天上午第一节课听了我的指导老师徐尚志老师的《正弦函数的图像变换》，整节课听下来总体感觉是徐老师这节课能根据教材的内容、课标的要求和学生的学情,对课堂教学进行了精心设计，体现了教育教学改革的新理念,取得了良好的教学效果,是一节上的非常成功的新授课。
本节课教学设计好,课件制作实用性强，教学流程清楚，环节紧凑、流畅。
徐老师授课思路清晰,结构严谨，重难点突出，讲解语言精炼，板书工整，特别注重启发引导，突出学生的主体性地位,引导学生进行主动探究,营造了积极、宽松的教学氛围.具体来说,徐老师的课有如下特点：1.教学定位非常准徐老师对课标的解读、教材的分析有自己独到的见解,教学设计中教学目标、教学重难点把握到位，课堂教学中把握住正弦函数的周期变化这一既是重点又是难点的内容进行启发，引导学生进行自主探究,深入理解周期变换的规律以及它在综合变换中的意义，抓住教学的关键点，有效的突出了教学重点、突破了教学难点。
2.课件制作实用性强徐老师的课件制作能力确实让我这个熟悉计算及操作的青年教师由衷的佩服.他制作的课件针对性强，动画演示效果好，很好的辅助学生理解正弦函数的图像变换过程。
3.课堂驾驭能力强徐老师上课教态自然，语言语调好，板书清楚有条理，个人基本功非常扎实，能与学生进行有效沟通,而且舍得把时间给学生去板演作图、去交流思考思路、去讲解解决问题过程,善于启发调动学生学习的主动性,有较强的驾驭课堂的能力.这节课也让我感受到徐老师一贯的教学风格，每一个探究问题呈现出来之后都让学生经历观察、思考、交流、探讨的过程，最后教师点评,及时简单中肯定的评价，给予了学生莫大的鼓励,较好的发挥了教师的主导作用。
让我特别敬佩的是徐老师敢于让学生犯错，让学生经历独立思考、自主探究的过程，然后通过对学生错误的分析引导学生走出理解误区,从而实现教学目标的达成。
正弦型函数的变换
2 2、由 y sin x 如何得到 y sin x 吗？ 3 3、由 y sin x 如何得到 y sin x 吗？ 6
结论： 一般地,函数 y sin( x ) 的图象可以看做将函数 y sin x 向左 0 或________________ 向右 0 的图象上所有的点____________ 相位 变换。 个单位长度而得到的, 称为_______ 平移_______
函数 y A sin(x ) 的图像
课中导学
探索对y sin x , x R的影响
课前1：在同一坐标系中，画出 y sin x 和 y sin( x 3 ) 的图 象，并观察两个图像之间的关系。（注意观察五个关键点的 坐标）
x
3
x
sin x
5 3 2 3 3 10 3
课中导学---深入探究
讨论2：结合之前的讨论，由
的图象？ y 3sin 2 x 3
y sin x 的图象如何得到
解：
y sin x
向左平移
3
个单位
y sin x 3
1 横坐标缩短到原来的 2 倍
3
2
横坐标不变，纵 坐标变为原来的 A倍 ，因此图像 的振幅变为原来 的A倍
课中导学---深入探究
1 y sin( x ) 向_______ 左 平移_______ 变式训练① 3 个单位得到 3
1
y sin x
② y sin( x ) 3
2 右 平移_______个单位得到 y sin( x ) 向_______ 3 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课堂练习：1. 将函数y=sin2x 的图象向左平移6π个单位，则平移后的图象的解析式为（ ） A ．y=sin(2x+6π) B ．y=sin(2x+3π) C ．y=sin(2x －6π) D ．y=sin(2x －3π)2. 要得到函数2sin(2)4y x p=+（x ÎR ）的图象，只需将函数2sin 2y x =（x ÎR ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动4p 个单位长度 B. 向右平行移动4p个单位长度 C. 向左平行移动8p 个单位长度 D. 向右平行移动8p个单位长度3.4.把函数sin(2)4y x π=+的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的解析式为 （ ）A ．3sin(4)8y x π=+B ．sin(4)8y x π=+ C ．sin 4y x = D ．sin y x = 5. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ） A 1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C 1sin()26y x π=- D sin(2)6y x π=-6.要得到函数)32sin(2π+=x y 的图象，只须将函数x y sin 2=的图象 （ ）A ．向左移3π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向右移3π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变D ．向右移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变7.要得到函数y=cos(42π-x )的图象，只需将y=sin 2x的图象（ ）A ．向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位8.将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移3π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为___________. 9.已知函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移2π，这样得到的曲线和x y sin 2=的图象相同，则已知函数)(x f y =的解析式为_______________________________. 10. ①利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图并说明该函数图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样变换得到的。
②求函数)621sin(π+=x y 的所有对称点与对称轴11.已知函数f(x)=sin(ωx+3π)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象 （ ） A ．关于点(3π，0)对称 B ．关于直线x=4π对称C ．关于点(4π，0)对称 D ．关于直线x=3π对称 12.函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π12，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎫－π6，0 D.⎝⎛⎭⎫π6，013. 设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0，⎭⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0 D ．f (x )的最大值是A14.关于函数f(x)=4sin(2x+π3) (x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 );（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x ) 的图象关于点(---π6 ,0)对称;（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=---π6 对称;其中正确的命题序号是___________．〖解〗C将函数y=sin(2x - π3)的图象先向左平移π6，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 ( )A ．y= - cosxB ．y=sin4xC ． y=sin(x-π6)D ．y=sinx〖例〗将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( ) A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 〖解〗C例〗要得到函数y=3sin(2x －4π)的图象，可以将函数y=3sin2x 的图象沿x 轴 A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ． 向右平移8π个单位〖解〗D已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭｡ (1)用五点法画出此函数在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的简图;(2)求此函数的单调地增区间｡〖解〗解: (1)列表如下;描点连线可以得到下图:(2)由222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴该函数的单调递增区间是5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦为了得到函数)32sin(π+=x y 的图像,可以将x y 2sin =的图像 ( )A.向右平移6π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位 D.向左平移3π个单位〖解〗B 〖例〗 〖解〗A〖例〗将函数sin(2)3y x π=+的图象经怎样平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称（ ） A ．向左平移12π B ．向左平移6π C ．向右平移12π D ．向右平移6π 〖解〗C〖例〗将函数y=sin2x 的图象向左平移6π个单位，则平移后的图象的解析式为（ ） A ．y=sin(2x+6π) B ．y=sin(2x+3π) C ．y=sin(2x －6π) D ．y=sin(2x －3π)〖解〗B〖例〗（1）利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图 列表： 作图：（2）并说明该函数图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样变换得到的。
〖解〗解、先列表，后描点并画图(2)把y=sinx 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到)6sin(π+=x y 的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)621sin(π+=x y 的图象。
或把y=sinx 的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到x y 21sin =的图象。
再把所得图象上所有的点向左平移3π个单位长度，得到)3(21sin π+=x y ，即)621sin(π+=x y 的图象。
〖例〗 〖解〗C要得到函数∈-=x x y ),32sin(πR 的图象，只需将函数∈=x x y ,2sin R 图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动6π个单位长度 （B ）向右平行移动6π个单位长度（C ）向左平行移动3π个单位长度（D ）向右平行移动3π个单位长度〖解〗B 〖例〗〖解〗sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〖例〗要得到函数)32sin(2π+=x y 的图象，只须将函数x y sin 2=的图象 （ ）A ．向左移3π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右移3π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变D ．向右移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变〖解〗C〖例〗要得到函数y ＝sin(2x －)6π的图像，只需将函数y ＝cos 2x 的图像 （ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向左平移3π个单位〖解〗C〖例〗要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向左平移π3B ．向右平移π3C ．向右平移π6D ．向左平移π6〖解〗C〖例〗已知函数3sin(2)6y x π=+.⑴ 用“五点法”作出函数在一个周期上的简图；⑵ 由sin y x =的图像作怎样的变换就得到函数3sin(2)6y x π=+的图像.〖解〗①列表如下：3sin(2)y x π=+②sin y x =的图像作怎样的变换就得到函数3sin(2)6y x π=+的图像. 第一(相位变换)：将y=sinx 左平移6π个单位，得到y=sin(x+6π)；第二(周期变换)：将y=sin(x+6π)横坐标缩短为原来的12，得到sin(2)6y x π=+；第三(振幅变换)：将sin(2)6y x π=+纵坐标扩大为原来的3倍，得到3sin(2)6y x π=+〖例〗为了得到x y 3sin =的图像只需把)63sin(π+=x y 的图像（ ）A 向左平移 6π个单位B 向左平移18π个单位C 向右平移6π个单位 D 向右平移18π个单位〖解〗D。