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2020年中考数学复习专题训练-相似

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2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形4(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形4(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形4（附答案）1．若两个圆的周长比为3:7，则它们的面积比为（ ）A ．3:7B ． 3:7C ．9:49D ．7:32．△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，且面积之比为1∶9，则△ABC 和△A ′B ′C ′的对应边AB 和A ′B ′的比为( )A ．3∶1B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶273．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A ．（A ）B ．（B ）C ．（C ）D ．（D ）4．如图，已知像这样由7个全等的正六边形组成的图形叫做“二环蜂窝”，每个正六边形的顶点叫做格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．已知△ABC 为该二环蜂窝一个格点三角形，则在该二环蜂窝中，以点A 为顶点且与△ABC 相似（包括全等但不与△ABC 重合）的格点三角形最多能作的个数为（ ）A ．18B ．23C ．25D ．285．如图，已知123////l l l ，4DE =，6DF =，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC ：EF=1：1B ．BC ：AB=1：2 C ．AD ：CF=2：3 D ．BE ：CF=2：36．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB=4FB ，则EG 与GC 的关系是（ ）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC7．两个相似三角形的一组对应边分别为6cm和8cm，如果较小三角形的周长为27cm，那么较大三角形的周长为（）A．30cm B．36cm C．45cm D．54cm8．在比例尺为1：38 000的城市交通地图上，某条道路的长为5 cm，则它的实际长度为( )A．0.19 km B．1.9 km C．19 km D．190 km9．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠F的度数为()A．30°B．80°C．70°D．60°10．如图，在正方形ABCD中，AD=6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当14FHHG时，DE的长为（）A．2 B．125C．185D．411．如图，G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，交AB、AC，分别于D、E 两点,若△ADE的面积为5，则四边形BDEC的面积为__________．12．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_____．13．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA ，则称点P 为△ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若PA=3，则PB+PC=_____．14．已知x ：y=1：2，则（x+y ）：y=_____．15．如图，已知ABC ACD V V ∽，且相似比是2，已知AB 8=，则AD =________．16．如图，已知△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OA OA =12，若点A （﹣1，0），点C （12，1），则A′C′=_____．17．如图中两三角形相似，则x =________．18．已知a ：2=b ：3=c ：4，则a b c c++=_____． 19．如图，在正方形ABCD 中，AB=6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF=2，若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为 ．20．若0234a b c ==≠，则a b c+＝_____． 21．已知：如图，在Rt ABC V 中，90C o ∠=，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，且35AD AE =，连接DE ．若3AC =，5AB =，猜想DE 与AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论．22．如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm ，AB=4cm ，求AD 的长.23．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ．点C 在OP 上，且BC=PC ．(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若OA=3，AB=2，求BP 的长．24．如图，已知AO 为Rt △ABC 的角平分线，∠ACB=90°，43AC BC =，以O 为圆心，OC 为半径的圆分别交AO ，BC 于点D ，E ，连接ED 并延长交AC 于点F ．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan CAO的值。

2020年上海中考数学相似三角形专题(含答案)

2020年上海中考数学相似三角形专题(含答案)

相似三角形专题一选择题1.在下列4×4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中△ ABC 相似的三角形所在的网格图（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．AB 2= AC 2+BC 2； B ．CH 2=AH ·HB ； C ．CM =12AB ； D ．CB =12AB ．3.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =△△，9AD =，那么BC 的长是（ ）（A ）4； （B ）6； （C ）213； （D ）310．5. 如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形有（ ） ( A)1对； (B)2对； ( C)3对； ( D)4对.6.如图，已知ABC △和DEF △，点E 在BC 边上，点A 在DE 边上，边EF 和边AC 交于点G ．如果AE =EC ，B AEG ∠=∠．那么添加下列一个条件后，仍无法判定DEF △与ABC △一定相似的是( )（A ）EF DE BC AB =； （B ）GEGFAE AD =； 图1 第4题图A D CB ACD B 第3题第2题（第6题图）AB C DEF O 第5题图第18题E D C BA （C ）EF EG AC AG =； （D ）EAEGEF ED =．二填空题7．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为 度．8．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个三角形的周长的比是9.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 的延长线上，∠E=∠B ，AC=2，BC=3，CE=6，那么CD= ．10 .如果两个相似三角形的对应角平分线比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 cm ．11.如图，已知⊿ABC 中，P 是AB 上的一点，∠ACP =∠B ，AB=9，AC=6，那么AP= . 12.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上， ADE C ∠=∠，如果=2AE ，△ADE 的面积是4，四边形BCED 的面积是5，那么AB 的长是 ．13.如图,R t ΔA B C 中,∠A C B =900,C D ⊥A B ,A C =8,B C =6,则AD=__ _ 14.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果21==EC AE DB AD ，那么△ADE 与△ABC 面积的比是 ．15.已知等腰梯形的上、下两底长分别为4cm 和6cm ，将它的两腰分别延长交于一点，这个交点到上、下两底的距离之比为 ．16.△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，AD ＝2，在AB 上找一点E ，使 △ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为 ． 17.如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交边BC 于点D ，AD BD =，3=AB ，2=AC ，那么AD 的长是 _． 18.如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且AE=4ED ，且BE ⊥CE ，则AB:BC=______________.三解答题19．如图，已知AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BC AB BD ⋅=2，求证：∠ABD=∠DBC.E D C BA第12题BACD第14题A 第11题 B CP 第13题 第17题20. 已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．21如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边AD 上， CE 与BD 相交于点F ， AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．（1）求证：△DFE ∽△DAB ； （2）求线段CF 的长．22.如图， 在AH ABC 中，∆是BC 边上的高，矩形DEFG 内接于ABC ∆（即点G F E D 、、、都在ABC ∆的边上），6,18==AH BC ，矩形DEFG 的周长是20． ACDEBBCD AEF求：DEFG S 矩形的值．23．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10,BC=16，点P 、D 分别在边BC 、AC 上， BP=12，∠APD=∠B ，求CD 的长.24.如图：在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，E 是斜边AB 延长 线上一点，且∠ECB=∠BCD （1）求证：⊿ECB ∽⊿EAC ；（2）若AC=，AB=5cm ，求BE 的长.EDBCA相似三角形专题 参考答案一、1、B ，2、D ，3、C ，4、C ，5、C ，6、C二、7、70， 8、1:2 9、4 10、40 11、4，12、3 13、6.4 14、1:9 15 、2：3 16、23或38 17、5103 18、2:5． 三、19、证明Rt△DBC ∽△ABD Rt20、(1)证明∽△ADB △BDE ；(2)由DB=DC 可得DC 2=DE*DA ，可证∽△ADC △CDE 21、(1)由AD//BC 可得21==BF DF BC DE ，∴31=BD DF ,得DF=2, ∴BD DEAD DF =再由BDA EDF ∠=∠可证 (2)由1的结论可求EF=2.5,再可得CF=2EF=522、设AH 与DG 相交于M ，由∽△ABC △ADG 可得AHAMBC DG =可算出DE=4,DG=6 S=2423、证∽△PBA △DCP 可得ABCPBP CD =可得CD=4.8 24、1、证A BCD ECB ∠=∠=∠2、由勾股定理可求BC=5 ,由1的结论可得21===AE EC EC BE AC BC ,可得41=AE BE ，得BE=35。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2（附答案）1．如图，P 为平行四边形ABCD 边AB 上一点，E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点（靠近P ），则阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为（ ）A ．12B ．103C ．98D ．542．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE=B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 3．有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A ．9B ．3C ．D ．4．如图，BD 、CE 是ABC △的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ）．A ．ADE V ∽ABC △B ．DOE △∽COB △C ．BOE △∽COD △D ．BOE △∽BDE V5．如图，已知12∠∠=，若再增加一个条件不一定能使结论ADE ABC V V ∽成立，则这个条件是（ ）A ．DB ∠∠= B ．AEDC ∠∠=C ．AD AEAB AC=D ．AD DEAB BC=6．如图DE // BC ，AD :DB=2:1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为（ ）A ．16B ．23C ．14D ．27．如图，的高AD ，BE 交于点0，连接DE ，则图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．6对C ．7对D ．8对8．如图，在△ABC 中，AC ＝15，BC ＝18，cos C ＝35，DE ∥BC ，DF ⊥BC ，若S △BFD ＝2S △BDE ，则CD 长为（ ）A ．7.5B ．9C ．10D ．59．已知线段a ，b ，c ，d 是比例线段，其中b 2cm =，c 3cm =，d 6cm =，则a 等于( )A ．1cmB ．4cmC ．9cmD ．36cm10．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m 的两地，它们的实际距离为_____km ． 11．如图，直线112y x =+与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，与双曲线4y x=（0x >）相交于点P ，过P 作PC x ⊥轴于点C ，2OC =，在点P 右侧的双曲线上取一点M ，作MH x ⊥轴于H ，当以点M ，C ，H 为顶点的三角形与AOB ∆相似，则点M 的坐标是__________．12．如图，已知D 是BC 边延长线上的一点，DF 交AC 边于E 点，且AF ＝1，BC ＝3CD ，AE ＝2EC ，则FB 长为_____．13．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______． 14．如图，在ABC V 中，AB AC ，M 为AC 边上一点．要使ABC BCM V V ∽，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一个你认为适当的条件即可）15．如图，在矩形中，E 是边的延长线上一点，连接交边于点F 若AB =4，BC =6，DE =2，则AF 的长为___.16．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________． 17．如图，直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B 的对应点B′的坐标为_____．18．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A 、B 之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A 、B 两点，连接AC ，BC ，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，测得MN=36m，则A、B两点间的距离为_____.19．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______.20．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．求证：CD CB CE CA⋅=⋅21．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？22．如图，AD DE AEAB BC AC==，求证：ABD ACE∠=∠.23．如图，AD 为ABC △的角平分线，BE AD ⊥的延长线于E ，CF AD ⊥于F ，BF 、EC 的延长线交于点P ，求证：CF//AP24．在ABC V 中，ACB 90∠=o ，AC BC 2==，点C 在直线m 上，m//AB ，DBE 45∠=o ，其中点D 、E 分别在直线AC 、m 上，将DBE ∠绕点B 旋转(点D 、E都不与点C 重合)．()1当点D 在边AC 上时(如图1)，设CE x =，CD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；()2当BCE V 为等腰三角形时，求CD 的长．25．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，边BC 、CD 的垂直平分线交于四边形内部一点O ，连接BO 、DO ，已知BO ∥AD ．（1）判断四边形ABOD 的形状？并证明你的结论；（2）连接AO 并延长，交BC 于点E ，若CE ＝25，BE ＝65，∠ODC ＝45°． ①求AB 的长．②若∠BAD ＝135°，求AO•AE 的值．26．如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE ，AD 与BE 相交于点F.AEF V 与ABE △相似吗？说说你的理由.27．《九章算术》有一道这样的题，原文如下：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”大意为：今有一座长方形小城（如图），东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好有望见这棵树.请解答上述问题（注：1里=300步）.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴S △CPD ＝12S 四边形ABCD ， ∵E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点， ∴13PE PF PD PC ==， ∵∠EPF ＝∠DPC ， ∴△PEF ∽△PDC ，∴19PEF PDC S S =n n ， ∴CDEF 89PDC S S n 四边形=，∴CDEF ABCD49S S =四边形四边形， ∴阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为54， 故选：D ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题． 2．A 【解析】 【分析】已知AB ∥CD ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】 ∵AB ∥CD ∥EF ，DF CE故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．3．C【解析】【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的可得相似比为1:，进而求解即可.【详解】∵这两个正六边形是位似图形，∴这两个正六边形相似.∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，∴相似比为1:.∵原正六边形的边长为3，∴后来正六边形的边长为=.故选C.【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质.4．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【详解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AECAE AC又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴OE OB= OD OC又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键. 5．D【解析】【分析】根据12∠=∠可得∠DAE=∠BAC，因此只要再找一组角相等或一组对应边成比例即可. 【详解】解：∵12∠=∠，∴∠DAE=∠BAC.选项A、B中，根据两角分别相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项C中根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项D中，由于∠DAE与∠BAC，不是成比例两边的夹角，所以不一定能使△ADE∽△ABC. 故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.6．B【解析】【分析】 先求出ADAB的值，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：∵AD ：DB=2：1，23∴=AD AB ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的相似比= 23AD AB = 故选：B ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键． 7．D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可. 【详解】 解：∵的高AD ，BE 交于点O ，∴.又∵，，，∴.∵，∴，∴，又∵，∴，∴，则，∴.又∵，∴.故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及其判定，解题的关键是熟练掌握这些性质. 8．C 【解析】【分析】设CD=5x ，CF=3x ，先证△AED ∽△ABC ，得到ED BC =AD AC，又由S △BFD =2S △BDE ，即12ED•DF=12×12BF•DF ，解得x=2，即可求CD=5×2=10． 【详解】设CD=5x ，CF=3x ，则AD=15-5x ，BF=18-3x ，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， 即ED BC =AD AC ， 即18ED =15515x -， ED=18(155)15x -（1） ∵S △BFD =2S △BDE ， 即12ED•DF=12×12BF•DF ， 即ED=12（18-3x ）（2） 由（1）（2）得x=2，故CD=5×2=10． 故选：C ．【点睛】本题较复杂，涉及到三角形相似及平行线的性质，需同学们熟练掌握．9．A【解析】【分析】根据a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a ：b c =：d ，再根据比例的基本性质，求出a 的值即可．【详解】a Q 、b 、c 、d 是成比例线段，a ∴：bc =：d ，b 2cm =Q ，c 3cm =，d 6cm =，a1cm∴=；故选A．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．10．300．【解析】【分析】首先根据地图的比例尺，求出在地图上相距3m的两地的实际距离，然后将实际距离的单位换算为km即可.【详解】3÷1100000＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．【点睛】本题考查比例尺的应用，学会换算单位也是本题的难点.11．(4,1)或(12)+【解析】【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．【详解】解：直线y=12x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，令x=0得y=1，令y=0得x=-2，∴A（-2，0），B（0，1）．设点M的坐标为（m，n），∵点M在双曲线4yx=上，∴n=4m．当△MCH∽△BAO时，可得CH MH AO BO=，即221 m n -=，∴m-2=2n，即m-2=8m，∴m2-2m-8=0，解得：m1=4，m2=-2（舍去），∴n=4m=1，∴M（4，1）；当△MCH∽△ABO时，可得CH MH BO AO=，即212 m n -=整理得：2m-4=4m，∴m2-2m-2=0，解得：m1m2，∴n=，∴M（，）．综上，M（4，1）或M（）．故答案为：（4，1）或（，）．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键．12．2．【解析】【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE，求得BF＝4CG，AF＝2CG，即可得到结论．【详解】过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE∵BC＝3CD，∴CDBD＝14，∴CGBF＝14，∴BF＝4CG，∵AE＝2EC，∴CGAF＝12，∴AF＝2CG，∵AF＝1，∴BF＝2；故答案为：2．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式求解.13．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键． 14．BM BC =或ABC BMC ∠∠=或A MBC ∠∠=（答案不唯一）【解析】【分析】要使△ABC ∽△BCM ，可以再添加BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定．【详解】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ，若BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC （答案不唯一），则△ABC ∽△BCM ．故答案为BM =BC 或∠ABC =∠BMC 或∠A =∠MBC （答案不唯一）．【点睛】这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．15．4【解析】【分析】由四边形ABCD是矩形，推出，，设，则由，可得，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，设，则，，∽，，，，．故答案为4.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．9：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个三角形的相似比为3：4，∴这两个三角形的面积比为9：16，故答案为：9：16．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．（﹣8，﹣3）或（4，3）．【解析】【分析】先解得点A 和点B 的坐标，再利用位似变换可得结果．【详解】解：∵直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 令x=0可得y=1；令y=0可得x=-2，∴点A 和点B 的坐标分别为（-2，0）；（0，1），∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，13OB OA O B AO ∴==′′′ ∴O′B′=3，AO′=6，∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．故答案为：（-8，-3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A 和点B 的坐标是解答此题的关键．18．144m【解析】【分析】根据MN ∥AB ，可得△CMN ∽△CAB ，然后再根据相似三角形的性质可得MN CM AB AC =，再代入数进行计算即可．【详解】解：∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN CM AB AC=， ∵AM=3MC ，MN=36m ，∴3614 AB，AB=144m，故答案为144m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．19．4 3【解析】【分析】由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG=163，GM=203，即可求解．【详解】∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．∴ME=CE，MB=12AB=4=AM，∠D'ME=∠C=90°，在Rt△MBE中，ME2=MB2+BE2，∴ME2=16+（8-ME）2，∴ME=5，∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM∴AM AG GM BE MB ME ＝＝∴4345AG GM＝＝，∴AG=163，GM=203∴△AMG的内切圆半径的长=423 AG AM GM+-=故答案为：4 3 .【点睛】此题考查三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．20．证明见详解【解析】【分析】根据垂直得出∠BEC=∠ADC=90°，求出∠CBE=∠DAC，根据相似三角形的判定定理得出即可.【详解】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°，∵∠BCE=∠ACD（公共角），∴∠CBE=∠CAD，∴△CBE∽△CAD，∴CE CB CD CA=即：CD CB CE CA⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．21．AB=4.5m【解析】【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出DC BDMC AB=，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．【详解】解：如图，∵∠ABE ＝90°，∠E ＝45°，∴∠E ＝∠EAB ＝∠EFD ＝45°， ∴AB ＝BE ，DE =DF =1.5，∵MC ∥AB ，∴△DCM ∽△DBA ，∴DC BD MC AB=， 设AB ＝x ，则BD ＝x ﹣1.5， ∴1 1.51.5x x -=， 解得：x ＝4.5．∴路灯A 的高度AB 为4.5m ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB ＝BE 、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．见解析【解析】【分析】由AD DE AE AB BC AC==，得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到∠DAE=∠BAC ，根据角的和差得到∠DAB=∠EAC ，推出△ADB ∽△AEC ，即可得到结论．【详解】证明:∵AD DE AE AB BC AC==， ∴ADE ABC ∆∆∽.∴DAE BAC ∠=∠.∴DAB EAC ∠=∠. ∵AD AE AB AC=， ∴ADBC AEC ∆∆∽.∴ABD ACE ∠=∠.【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．见解析【解析】【分析】由条件可得CF ∥BE ，结合条件可证明△BAE ∽△ACF ，可得到CP AF PE AE =，则有CF ∥AP ． 【详解】证明：∵CF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴CF ∥BE ， ∴CP CF PE BE=，∠AFC ＝∠AEB ＝90°， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴△BAE ∽△CAF ， ∴AF CF AE BE=， ∴CP AF PE AE =， ∴CF ∥AP ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的逆定理及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意由线段对应成比例也可以证明平行．24．（1）y 2x =<<；（2）当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或2或2．【解析】【分析】(1)证明△ADB ∽△CEB ，通过比例式找到y 与x 的关系；(2)分情况讨论，①当BE=CE 时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC=BE 时，如图1；③当BC=CE 时，有两种图形(如图2、3).画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．【详解】解：()1m //AB Q ，ECB CBA 45∠∠∴==o ．A ECB 45∠∠∴==o ．DBA 45CBD ∠∠=-o Q ，EBC 45CBD ∠∠=-o ，DBA EBC ∠∠∴=．ADB V ∴∽CEB V．AD AB CE BC ∴=，即2y x -=．y 2x ∴=-<<；()2①当BE CE =时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC BE =时，如图1，ECB 45∠=o Q ，CEB 45∠∴=o ，CBE 90∠∴=o ．则CBD 90DBE 45∠∠=-=o o ．ABD 454590∠∴=+=o o o ．A 45∠=o Q ，ABD ∴V 是等腰直角三角形．AD 4∴=，CD 422∴=-=；③当BC CE =时，Ⅰ.如图2，ECB 45∠=o Q ，CBE 67.5∠∴=o ．ABD CBE 67.5∠∠∴==o ．ADB 1804567.567.5o o o o ∠∴=--=．ABD ADB ∠∠∴=，AD AB 22∴==．CD 222∴=-；Ⅱ.如图3，则BCE 135∠=o ，CBE 22.5∠∴=o ．ABD 22.5o ∠∴=，CAB 45∠=o Q ，ADB 4522.522.5∠∴=-=o o o ．AD AB 22∴==．CD 222∴=+．所以当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或222或222．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．25．（1）证明见解析（2）10（3）100【解析】【分析】（1）连接AO 、CO ，根据中垂线知OB ＝OC ＝OD ，证△ABO ≌△ADO 得∠BAO ＝∠DAO ，由BO ∥AD 知∠BOA ＝∠DAO ，从而得∠BAO ＝∠BOA ，据此知AB ＝BO ，继而得证；（2）连接CO 、DE ，设DE 交OC 于点P ，先证△BOE ≌△DOE 得BE ＝DE 、∠OBE ＝∠ODE ，结合∠OBC ＝∠OCB 知∠OCE ＝∠ODE ，由∠EPC ＝∠OPD 知∠CEP ＝∠DOP ＝90°，根据CE 2+DE 2＝DC 2知CE 2+BE 2＝2AB 2，代入计算可得；（3）由△BOE ≌△DOE ，∠DEB ＝90°知∠OEB ＝∠OED ＝45°，结合四边形ABOD 是菱形，∠BAD ＝135°知∠ABO ＝45°，从而得∠ABO ＝∠AEB ，证△ABO ∽△AEB 得AO•AE ＝AB 2，代入计算可得．【详解】解：（1）四边形ABOD 是菱形，理由如下：如图1，连接AO、CO，∵边BC、CD的垂直平分线交于点O，∴OB＝OC＝OD，又AB＝AD，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴∠BAO＝∠DAO，∵BO∥AD，∴∠BOA＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝BO，∴AB＝BO＝OD＝AD，∴四边形ABOD是菱形；（2）如图2，连接CO、DE，设DE交OC于点P，∵∠ODC＝45°，OC＝OD，∴∠COD＝90°，△OCD是等腰直角三角形，∴CD22AB，∵四边形ABOD是菱形，∴∠DOA＝∠BOA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，∵B0D0BOE DOE0E0E=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠OCE＝∠ODE，又∵∠EPC＝∠OPD，∴∠CEP＝∠DOP＝90°，在Rt△DCE中，CE2+DE2＝DC2，即CE2+BE2＝2AB2，∵CE＝BE＝∴2AB2＝（2+（2＝200，∴AB＝10；（3）由（2）知△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°，∴∠OEB＝∠OED＝45°，∵四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°，∴∠ABO＝45°，∴∠ABO＝∠AEB，又∵∠BAO＝∠EAB，∴△ABO∽△AEB，∴AB AD AE AB=，∴AO•AE＝AB2，∵AB＝10，∴AO•AE＝100．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点．26．答案见解析【解析】【分析】证ABD BCE ∽△△，得BAD CBE ∠=∠，再证ABE FAE ∠=∠，可进一步证AEF BEA ∽△△.【详解】解：相似.理由如下：∵BD CE =，60ABC C ∠=∠=︒，AB BC =，∴ABD BCE ∽△△，∴BAD CBE ∠=∠，∵60ABC BAC ∠=∠=︒，∴ABE FAE ∠=∠.又∵AEF BEA ∠=∠，∴AEF BEA ∽△△.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.熟记相似三角形的判定和性质的内容是关键. 27．315步【解析】【分析】根据题意写出AB 、AC 、CD 的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【详解】解：由题意，得15AB =里， 4.5AC =里， 3.5CD =里，∵DE CD ⊥，AC CD ⊥∴//AC DE ，易得ACB ∆∽DEC ∆， ∴DE DC AC AB=， 即 3.54.515DE =， 解得 1.05DE =（里）315=（步）∴走出南门315步恰好能望见这棵树.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出相似三角形是解决此题的关键．。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似 》综合(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似 》综合(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似》综合1．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．（1）写出点B的坐标；（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．2．如图1，在△ABC中，D是AB上一点，已知AC＝10，AC2＝AD•AB．（1）当tan A＝，∠ADC＝90°时，求BC的长．（2）如图2，过点C作CE∥AB，且CE＝6，连结DE交BC于点F；①若四边形ADEC是平行四边形，求的值；②设AD＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将△APB沿AP所在的直线翻折，使得点B落在点E的位置（1）当∠DPA＝45°时，求点E到直线AB的距离．（2）联结AE交BD于F，求当△EPF和△ABD相似时，线段BP的长．（3）当∠DPE＝30°时，请直接写出此时△ABP的面积．4．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．则△ACD与△ABC的相似比为；则△BCD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD＝a，宽AB＝b（a＞b）．①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含b的式子表示）：②如图3﹣2，若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝（用含n，b的式子表示）．5．在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，点E为对角线AC上一点，连接DE，以DE为边，作矩形DEFG，点F在边BC上；（1）观察猜想：如图1，当a＝b时，＝，∠ACG＝；（2）类比探究：如图2，当a≠b时，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度数；（3）拓展应用：如图3，当a＝6，b＝8，且DF⊥AC，垂足为H，求CG的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，求AF的长．7．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．8．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AB上一点，且AE＝AC，连接DE，过点C作CG∥DE交AD于点F，交AB于点G，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形．（2）求证：AC2＝AB•AG．（3）若AB＝4AG，求的值．9．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在线段BC上从点B开始向点C运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t（秒），且0＜t＜8．连接PA，将△ABP沿直线AP 折叠，点B落在点B′处，点M在线段CD上，将△PCM沿直线PM折叠，点C的对应点C′恰好落在直线PB′上．（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）当t＝4时，求MC的长；（3）连接AM，当AM＝4时，请直接写出t的值．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5．一把三角尺的直角顶点P在线段AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与射线AB交于点E．（1）证明△DPC∽△AEP．（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长（3）当点E在线段AB上时，求PD的取值范围．12．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D是平面内不与点A和点B重合的一点，连接DB，将线段DB 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AE 、BE 、CD ． （1）如图①，点D 与点A 在直线BC 的两侧，α＝60°时，的值是 ；直线AE与直线CD 相交所成的锐角的度数是 度；（2）如图②，点D 与点A 在直线BC 两侧，α＝90°时，求的值及直线AE 与直线CD 相交所成的锐角∠AMC 的度数；（3）当α＝90°，点D 在直线AB 的上方，S △ABD ＝S △ABC ，请直接写出当点C 、D 、E 在同一直线上时，的值．13．如图，已知菱形AFCE 中，过C 作CD ⊥AE 于点D ，交对角线EF 于点G ． （1）如果G 为OE 中点，求证：GO 2＝DG •GC ； （2）若＝，△DGE 的面积是2，求S △CGF 和S △CGO ；（3）若＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数表达式．14．阅读下列材料，并完成相应任务：黄金分割天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠宝，历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆，19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为，用下面的方法（如图①）就可以作出已知线段AB的黄金分割点H：①以线段AB为边作正方形ABCD，②取AD的中点E，连接EB，③延长DA到F，使EF＝EB，④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程：证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，∵E为AD中点，∴AE＝，∴在Rt△BAE中，BE＝∵EF＝BE∴EF＝∴AF＝EF﹣AE＝，…任务：（1）补全题中的证明过程；（2）如图②，点C为线段AB的黄金分割点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连接BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；（3）如图③，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别交于点M、N，求证：点M 是AD的黄金分割点．15．如图，点D是线段BC的中点，射线DA⊥BC，连结AB、AC；点E是线段AC的中点，点P是线段BC上的动点．（1）当∠APE＝∠B时，求证：①△ABP∽△PCE；②2EC2＝BP•PC．（2）点F是线段AB的中点，连结PF，当点P与点D重合时：①若BC＝4，四边形PEAF的面积为8，则AD＝．②当∠BAC＝时，四边形PEAF是正方形．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，交AC于H点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于F，连接EF交于AC于点G．（1）请写出AE和CF的数量关系：；（2）求证：点G是EF的中点；（3）若正方形ABCD的边长为4，且AE＝1，求GH•GA的值．17．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．18．如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．19．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CD，CE．（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是，位置关系是．（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请判断△PMN的形状，并说明理由；（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足，BD ＝6，连接PM，PN，MN，则线段MN长度是多少？20．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为；∠AMB的度数为，（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，∴＝，即＝，解得，BC＝3，∴点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，∴＝，解得，AD＝，则OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为（，0）；（3）存在，由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，当PQ⊥AB时，PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴＝，即＝，解得，t＝，当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABD，∴＝，即＝，解得，t＝，综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．2．解：（1）∵tan A＝，∠ADC＝90°，∴＝，∴设CD＝3a，AD＝4a，∴AC＝＝＝5a＝10，∴a＝2，∴CD＝6，AD＝8，∵AC2＝AD•AB，∴，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵AC2＝AD•AB，∴100＝8•AB，∴AB＝，∴BD＝∴BC＝＝＝；（2）①∵四边形ADEC是平行四边形，∴AD＝CE＝6，DE∥AC，∵AC＝10，AC2＝AD•AB，∴AB＝，∵DE∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴＝＝；②∵AC＝10，AD＝x，AC2＝AD•AB，∴AB＝，∵AC2＝AD•AB，∴，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝，∵CE∥AB，∴，∴∴，∴∴y＝[（）+6]＝﹣x2++．3．解：（1）如图1中，作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵AD＝，AB＝3，∴tan∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝2，∵∠APD＝45°＝∠ABD+∠PAB，∴∠PAB＝∠PAE＝15°，∴∠EAH＝30°，在Rt△AEH中，∵AE＝AB＝3，∠EAB＝30°，∴EH＝AE＝；（2）如图2﹣1中，作PM⊥AB于M，在AM截取一点N，使得AN＝PN．∵∠E＝∠ABC＝30°，∴当∠EPF＝∠DAB＝90°时，△EPF∽△BAD，∴∠EFP＝∠AFD＝∠ADF＝60°，∴∠DAF＝60°，∠EAB＝30°，∴∠PAB＝∠PAE＝15°，∵AN＝PN，∴∠NAP＝∠NPA＝15°，∴∠PNM＝30°，设PM＝m，则PN＝PB＝2x，MN＝BM＝x，∴2x+2x＝3，∴x＝（﹣1），∴PB＝2x＝（﹣1）．如图2﹣2中，当∠EFP＝∠DAB＝90°，△EFP∽△BAD，∴∠DAF＝30°，∠EAB＝60°，∴∠EAP＝∠PAB＝30°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，∠ADP＝∠DAP＝60°，∴PA＝PD，PA＝PB，∴PD＝PB＝，综上所述，满足条件的PB的值为（﹣1）或．（3）如图3中，作PM⊥AB于M．当∠DPE＝30°时，易知点F与点D重合，此时∠PAE＝∠PAB＝45°，设AM＝PM＝m，则BM＝m，∴m+m＝3，∴m＝（﹣1），∴S＝•AB•PM＝×3×（﹣1）＝（﹣1）．△PAB4．解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH＝AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理得，AB＝5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，△BCD与△ABC的相似比为：故答案为：，；（3）①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB＝AB：AD，即a：b＝b：a，∴a＝b；故答案为：b②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a＝a：b，∴a＝b；故答案为：b5．解：（1）如图1，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵a＝b，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DAE＝45°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∠DAE＝∠DCG＝45°，∴＝1，∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，故答案为：1；90°；（2）如图2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则EM∥AB，EN∥AD，四边形EMCN是矩形，∴EM：AB＝CE：AC，EN：AD＝CE：AC，∠MEN＝90°，∴EM：AB＝EN：AD，∴＝＝，∵四边形ABCD、四边形DEFG是矩形，∴∠ADC＝∠DEF＝∠EDG＝90°，∴∠DEN＝∠FEM，∠ADE＝∠CDG，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△DEN∽△FEM，∴＝＝＝，∴△ADE∽△CDG，∴＝＝，∠DAE＝∠DCG，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC+∠DAE＝90°，∴∠ACD+∠DCG＝90°，即∠ACG＝90°；（3）∵a＝6，b＝8，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∵DF⊥AC，∴DH＝＝＝，∴CH＝＝＝，∵∠FHC＝∠B＝90°，∠FCH＝∠ACB，∴△CFH∽△CAB，∴＝，即＝，解得：FH＝，∴DF＝DH+FH＝，由（2）得：＝＝＝，设DE＝4x，则EF＝3x，∵∠DEF＝90°，∴DF＝＝5x＝，∴x＝，∴DE＝4x＝6＝DC，∴EH＝CH，∴CE＝2CH＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，由（2）得：＝＝＝＝，∴CG＝AE＝．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D+∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AD＝5，AB＝8，sin∠D＝，∴AE＝4，∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝，∵BC＝AD＝5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF＝2．7．解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△CBE与△CBP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠CBP＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCB＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．8．证明：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，且AE＝AC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴DE＝CD，∠EDA＝∠ADC，∵CG∥DE，∴∠EDF＝∠CFD，∴∠CFD＝∠ADC，∴CD＝CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形DCFE是平行四边形，且DE＝CD，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵CG∥DE，∴△AGF∽△AED，∴，∵四边形DCFE是菱形∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴，∴，且AE＝AC，∴AC2＝AB•AG；（3）∵AC2＝AB•AG，AB＝4AG，∴AC＝2AG，∴AE＝2AG，且AE＝AG+EG，∴AG＝GE，∵CG∥DE，∴．9．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．10．证明：（1）∵将△ABP沿直线AP折叠，点B落在点B′处，∴∠CPM＝∠C'PM，∵将△PCM沿直线PM折叠，点C的对应点C′恰好落在直线PB′上．∴∠APB＝∠APB'，∵∠APB+∠APB'+∠CPM+∠C'PM＝180°，∴∠CPM+∠APB＝90°，且∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB，且∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCM，（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵t＝4，∴PB＝4，∴PC＝BC﹣PB＝4∵△ABP∽△PCM，∴∴CM＝＝（3）在Rt△ADM中，DM＝＝＝4，∴CM＝CD﹣DM＝2∵△ABP∽△PCM，∴∴∴t＝2或6，11．（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠AEP与∠APE互余，∠APE与∠CPD互余，∴∠AEP＝∠CPD，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△DPC∽△AEP．（2）解：∵∠CPD＝30°，CD＝AB＝2，∴PC＝2CD＝4，PD＝CD＝2，又∵AD＝5，∴AP＝AD﹣PD＝5﹣2，由（1）得：△DPC∽△AEP，∴＝，即＝，解得：AE＝5﹣6；（3）解：∵△DPC∽△AEP，∴＝，设AP＝a，则＝，解得：AE＝（5﹣a）（0＜a＜5），∵0≤AE≤2，∴0＜a≤1或4≤a＜5；即0＜PD≤1或4≤PD＜5．12．解：（1）如图1，延长AE，CD交于点H，∵将线段DB绕点D顺时针旋转α得到线段DE，∴DE＝BD，∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，且BE＝BD，AB＝BC，∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠DCB＝∠BAE，∴＝1，∵∠BAC+∠ACB＝120°，∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°∴∠CAE+ACH＝120°，∴∠AHB＝60°，故答案为：1，60．（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝BC，∠ABC＝45°，∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，∴DE＝BD，∠BDE＝90°，∴BE＝BD，∠DBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBD，且＝，∴△ABE∽△CBD，∴＝，∠BAE＝∠BCD，∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，∴∠AMC＝45°；（3）若点D，点A在直线BC两侧，如图3，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵S△ABD ＝S△ABC，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHB＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝CE＝BD，∴CD＝CE+DE＝（+1）BD，∴＝＝2﹣；若点A，点D在直线BC同侧，如图4，分别取AC，BC中点G，H，连接GH，∵S△ABD ＝S△ABC，∴点D在直线GH上，∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，∵点G，点H分别是AC，BC的中点，∴GH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC＝45°，∵点C、E、D三点共线，∴∠CDB＝90°，且点H是BC中点，∴DH＝CH＝BH，∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，∴BE＝CE＝BD，∴CD＝CE﹣DE＝（﹣1）BD，∴＝2+，综上所述：的值为2﹣或2+．13．（1）证明：∵四边形AFE是菱形，∴CE＝AE＝CF，AE∥CF，AC⊥EF，OA＝OC，∴∠COG＝90°，∵CD⊥AE，∴∠EDG＝90°，又∵∠CGO＝∠EGD，∴△COG∽△EDG，∴＝，∴GO•EG＝DG•GC，∵G为OE中点，∴GO＝EG，∴GO2＝DG•GC；（2）解：∵＝，∴AD＝3DE，＝，∴CE＝AE＝4DE，∵AE＝CF，∴＝，∵AE∥CF，∴△DGE∽△CGF，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△CGF ＝16S△DGE＝16×2＝32；∵CD⊥AE，∴CD＝＝＝DE，∴AC＝＝＝2DE，∴OC＝AC＝DE，∴＝，由（1）得：△COG∽△EDG，∴＝（）2＝6，∴S△CGO ＝6S△DGE＝6×2＝12；（3）∵＝x，不妨设DE＝1，则CE＝CF＝AE＝x，AD＝x﹣1，由（1）得：△COG∽△EDG，∴＝（）2＝y，∴y＝OC2，∵AC＝2OC，AC2＝AD2+CD2＝AD2+BE2﹣DE2＝（x﹣1）2+x2﹣12＝2x2﹣2x＝4OC2＝4y，∴y＝x2﹣x，即y关于x的函数表达式为y＝x2﹣x．14．（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，∵E为AD中点，∴AE＝，∴在Rt△BAE中，BE＝∵EF＝BE∴EF＝∴AF＝EF﹣AE＝，∵四边形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝，∴＝＝，∴点H是线段AB的黄金分割点；（2）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，∵点C为线段AB的黄金分割点，∴＝，∴＝，∴△EAB∽△BCD；（3）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°＝108°，AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，∴△AME∽△AED，∴AE：AD＝AM：AE，∴AE2＝AD•AM，∵AE＝DE＝DM，∴DM2＝AD•AM，∴点M是AD的黄金分割点．15．证明；（1）①∵点D是线段BC的中点，DA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APE+∠CPE，且∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC，且∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；②∵点E是线段AC的中点，∴AC＝2EC＝AB∵△ABP∽△PCE，∴，∴AB•EC＝BP•PC，∴2EC2＝BP•PC；（2）①如图，连接EF，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC＝2，∵点E是AC的中点，点F是AB的中点，AD⊥BC，∴FD＝AF＝BF＝AB，AE＝EC＝DE＝AC，且AB＝AC，∴AF＝DF＝AE＝DE，∴四边形PEAF是菱形，∴AD⊥EF∴四边形PEAF的面积＝＝＝8，∴AD＝8故答案为8；②若∠BAC＝90°时，四边形PEAF是正方形，理由如下：∵四边形PEAF是菱形，且∠BAC＝90°，∴四边形PEAF是正方形，故答案为：90°．16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°，AD＝DC，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，故答案为：相等；（2）如右图，过E作EM∥BC交AC于M，∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴，∵EM∥BC，∴∠AEM＝∠B＝90°，∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°，∴∠AEM＝∠EAM，∴AE＝EM，∵AE＝CF，∴EM＝CF，∵EM∥BC，∴∠MEG＝∠GFC，∠EMG＝∠GCF，∴△EMG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G为EF的中点；（3）由（1）知△DAE≌△DCF，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∵∠DEF＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠DEF＝∠BAC，∵∠AGE＝∠AGE，∴△GEH∽△GAE，∴＝，∴EG2＝GH•AG，∵AE＝1，则CF＝1，BF＝5，∴EF＝＝＝，∴．17．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，在△GAB和△FAD中，，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，在△FEI和△GEH中，，∴△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴＝＝．18．证明：（1）∵AD⊥BC，DF⊥BE，∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴∠DBE+∠DEB＝90°，∠DBE+∠BDF＝90°，∴∠BED＝∠BDF，∴∠AEF＝∠CDF，∵AE•DF＝EF•CD，∴＝，又∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴∠EAF＝∠DCF；（2）∵△AEF∽△CDF，∴∠EFA＝∠DFC，∴∠AFO＝∠EFD＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠BFD＝∠AFC，∵∠EAF＝∠DCF，∠AOF＝∠COD，∴△AOF∽△COD，∴＝，∴＝，又∠ACF＝∠EDF，∴△AOC∽△FOD，∴∠ACF＝∠EDF，∵∠DBE+∠BED＝∠FDE+∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠EDF，∴∠ACF＝∠DBE，又∠BFD＝∠AFO，∴△BFD∽△CFA，∴＝，即AF•BD＝AC•DF．19．解：（1）如图1，延长BD交CE于F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠ACE+∠FBD+∠BCA＝90°，∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；（2）△PMN是等腰直角三角形，理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴MP＝CE，MP∥CE，∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，∵点P、N分别为DC、BC的中点，∴NP＝BD，NP∥BD，∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，∵BD＝CE，∴MP＝NP，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）＝，∠MDP＝∠EDC，∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，∴＝＝，∴MP＝CE＝2，同理，NP∥BD，NP＝BD＝4，由（2）可知，∠MPN＝90°，∴MN＝＝＝2．20．解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝40°，OA＝OB，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∠OAB+∠OBA＝180°﹣40°＝140°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∴＝1，∠AMB＝180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝40°，故答案为：1；40°；（2）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴＝tan30°＝，同理，＝，∴＝，∴＝，又∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝90°，∴＝，∠AMB＝90°．。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形1(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形1(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形1（附答案）1．如图，五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 是位似图形，点A 和点1A 是一对对应点，P 是位似中心，且123PA PA =，则五边形ABCDE 和五边形11111A B C D E 的相似比等于( )A ．23B ．32C ．35D ．532．下列三角形中，与下图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=6cm ，则BC 的长为（ ）cmA ．353-B ．935-C ．656-或935-D ．935-或353-4．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得4BC =米，2CA =米，则树的高度为（ ）A ．6米B ．4.5米C ．4米D ．3米6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CD ＝4，BC ＝5，则AC 等于（ ）A ．3B ．4C ．163D ．2037．已知：如图，在▱ABCD 中，AE ：EB=1：3，则FE ：FC=（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．3：28．已知a ，d ，b ，c 依次成比例线段，其中3a cm =，4b cm =，6c cm =，则d 的值为（ ）A ．8cmB ．192 cm C ．4cm D ．92cm 9．如图，∠1=∠2=∠3，则下列结论不正确的是（ ）A ．△DEC ∽△ABCB ．△ADE ∽△BEAC ．△ACE ∽△BEAD ．△ACE ∽△BCA10．如图，BE ，CF 为△ABC 的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE 的长为（ ）A ．185B ．4C ．215D ．24511．如图，ADE ACB V V ∽，则:DE BC =________．12．如图，在ABC ∆中，//,3cm,5cm,DE BC AD AB ADE ==∆与ABC ∆是否相似_________，相似比是__________．13．以原点O 为位似中心，将ABC V 缩小，使变换后得到的111A B C V 与ABC V 对应边的比为1:2．请在网格内画出111A B C V ，并写出点1A 的坐标________．14．已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝4，点D 从A 出发以每秒5个单位的速度向点B 运动，同时点E 从点B 出发以每秒4个单位的速度向点C 运动，在DE 的右侧作∠DEF ＝∠B ，交直线AC 于点F ，设运动的时间为t 秒，则当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，t 的值为_____．15．如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，E 在AC 上且AE=AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转900，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值是_______16．如图，在四边形ABCD 中，,15A CBD AB ∠=∠=cm ，20AD =cm ，18BD =cm ，24BC =cm ，则CD 的长为__________cm ．17．若a:b=1:3，b:c=2:5，则a:c=_____.18．（2017四川省绵阳市）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA =5，AB =6，AB =1：3，则MD +12MA DN⋅的最小值为______．19．A 城市的新区建设规划图上，新城区的南北长为120cm ，而该新城区的实际南北长为6km ，则新区建设规划图所采用的比例尺是__________.20．如图，ABC △与AEF V 中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论：①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠．其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．21．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B ．（1）求证：△OBP 与△OPA 相似；（2）当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；（3）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q ，O ，A 、P 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，过点D 作DE ⊥AD 交AB 于点E ，以AE 为直径作⊙O（1）求证：点D 在⊙O 上；（2）求证：BC 是⊙O 的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BE 的长度．23．已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为（3，1）、（2，−1）.（1）画出V OAB 绕点O 顺时针旋转90°后得到的11△OA B ；（2）在y 轴的左侧以O 为位似中心作V OAB 的位似22OA B △（要求：新图与原图的相似比为2：1）.24．如图，在68⨯的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和ABC V 的顶点均为格点．()1以O 为位似中心，在网格图中作A'B'C'V ，使A'B'C'V 与ABC V 位似，且位似比为1：2；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)()2若点C 和坐标为()2,4，则点A'的坐标为(______ ，______ )，点C'的坐标为(______ ，______ )，A'B'C'S V ：ABC S =V ______ ．25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．(1)求证：DH 是圆O 的切线；(2)若32FD EF =，求证：A 为EH 的中点． (3)若EA=EF=1，求圆O 的半径．26．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AB 上一点，且AE=13AB ，EF ⊥EC ，连接BF ． （1）求证：△AEF ∽△BCE ；（2）若AB=33，BC=3，求线段FB 的长．27．已知在ABC V 中，D 是边AC 上的一点，CBD ∠的角平分线交AC 于点E ，且AE AB =，求证：2AE AD AC =⋅．28．已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF ∥AC 交BC 于F ，AE ∥BC ，∠CDE=∠ABC ＝∠ACB ＝α，(1)如图1所示，当α=60°时，求证：△DCE 是等边三角形；(2)如图2所示，当α=45°时，求证：CD DE =2； (3)如图3所示，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系：CE DE ＝_____.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：1PAPA，进而求出即可．【详解】∵五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA=3PA1，∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为：13=2PAPA．故选B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比=相似比得出是解题关键．2．B【解析】【分析】根据图示知该三角形是腰长为3的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可．【详解】如图：A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；B．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确；C．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误；D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．3．D【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知BC可能是较长线段，也有可能是较短线段，则BC或BC，将AB＝6cm代入计算即可.【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，∴BC＝3或BC＝9－故选D.【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，其中较长的线段为全线段与较短线.4．D【解析】【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,根据中位线性质可得12DE AB =,11,22DF AC EF BC ==, 继而可得12DE DF EF AB AC BC ===，可判定△DEF ∽△ABC. 【详解】因为点D,E,F 分别为OA,OB,OC 的中点,所以DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE ∽△AOD, △DOF ∽△AOC, △EOF ∽△BOC,因为DE 是△AOB 的中位线,DF 是△AOC 的中位线,EF 是△BOC 的中位线, 所以12DE AB =,11,22DF AC EF BC ==, 所以12DE DF EF AB AC BC ===， 所以△DEF ∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 5．B【解析】【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】如图：∵BC=4， AC=2，∴AB=2+4=6，∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴AC ：AB=CD ：BE ，∴2：6=1.5：BE ，∴BE=4.5m ，∴树的高度为4.5m ，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想．6．D【解析】分析：由勾股定理求得BD，证得△BDC∽△CDA，根据相似三角形的性质即可求得结果．详解：∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=4，BC=5，由勾股定理得：2222=54BC CD--=3，∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠B=90°-∠BCD=∠ACD，∠BDC=∠ADC，∴△BDC∽△CDA，∴BC BD AC CD＝，即534 AC＝，解得：AC=20 3故选D．点睛：本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．C【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AB=CD，再根据AE：EB=1：3可得BE：CD=3：4，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得FE：EC的值.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴△BEF ∽△DCF ，∴EF ：FC=BE ：CD ，∵AE ：EB=1：3，AE+BE=AB ，∴BE ：AB=3：4，∴EF ：FC=3：4，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8．D【解析】【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．根据题意得： ::a d b c =代入数值即可求得．【详解】根据题意得：a :d =b :c ，∵a =3cm ，b =4cm ，c =6cm ，∴3:d =4:6， ∴9cm 2d =； 故选:D.【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念.9．C【解析】试题解析：A.∵∠2=∠3，∠C=∠C ，∴△DEC ∽△ABC ，故A 正确；B ∵∠2=∠3，∴DE ∥AB ，∴∠DEA=∠EAB ，∵∠1=∠3，∴△ADE ∽△BEA ；故B 正确；C.∵∠1=∠2，∠BEA≠∠C ，∴△ACE 与△BEA 不相似；故C 错误；D.∵∠1=∠3，∠C=∠C ，∴△ACE ∽△BCA ；故D 正确.故选C ．10．A【解析】【分析】根据两组角对应相等，得到△AEB ∽△AFC ，根据相似三角形的性质得到,AE AB AF AC =进而证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到,EF AE BC AB =代入即可求解. 【详解】∵BE ，CF 为△ABC 的两条高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A ，∴△AEB ∽△AFC ， ∴,AE AB AF AC= ∵∠A=∠A ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴,EF AE BC AB= ∵AB=6，BC=5，EF=3， ∴3,56AE = ∴18.5AE = 故选A ．【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键.11．1:3【解析】【分析】根据相似三角形的性质进行计算即可．【详解】∵△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC =AD AC =233+=13.故答案为1:3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质. 12．相似3：5【解析】【分析】DE BC可得同位角相等，即∠ADE=∠B，∠AED=∠C，两角对应相等得由//△ADE∽△ABC，再由对应边的比例得相似比.【详解】DE BC，∵//∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，则:相似比=AD:AB=3:5【点睛】本题结合平行，考查了两角对应相等则两三角形相似的判定方法以及相似比.1,413．()【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】如图所示：A1（1，4）．故答案为（1，4）．【点睛】此题主要考查了位似图形画法，得出对应点位置是解题关键．14．521【解析】【分析】当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，推出四边形BEFD 是平行四边形，由△ABC ∽△BED ，可得=BD BE BC AB，延长构建方程即可解决问题；【详解】如图1，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝5，∴BG ＝CG ＝2，由勾股定理得：AG ＝22(5)2 ＝1，由图形可知：∠BAC 是钝角，∴当△ADF 是一个以AD 为腰的等腰三角形时，如图2，只能AD ＝AF ，由题意DF ＝4t ，BE ＝4t ，DF ∥BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴∴DEF ＝∠BDE ＝∠B ，∴△ABC ∽△BED ，∴=BD BE BC AB，∴55=5t，∴t＝5 21，故答案为5 21．【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．【解析】【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM=x，则CM=x，可计算出EM=-x+1，再利用旋转的性质得到ED=EF，∠DEF=90°，证明△EDM≌△FEN得到DM=FN=x，EM=NF=-x+1，接着利用勾股定理得到AF2=（-x+1）2+（2+x）2，配方得到AF2= （x-）2+，然后利用非负数的性质得到AF的最小值.【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM=x，在Rt△CDM中，CM=DM=x，而EM+x=1，∴EM=-x+1，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，∴ED=EF，∠DEF=90°，可得△EDM≌△FEN，∴DM=FN=x，EM=NF=-x+1，在Rt△AFN中，AF2=（-x+1）2+（2+x）2=（x-）2+，当x=时，AF2有最小值，∴AF的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质.16．1085（AB AD BDBD BC DC==）【解析】【分析】由AB:AD=BD:BC且其夹角对应相等，即A CBD∠=∠，可证明△BAD∽△DBC，再利用比例关系求解CD.【详解】∵AB:AD=BD:BC=34，又∵A CBD∠=∠，∴△BAD∽△DBC，∴201824AD BDBC DC DC===，解得CD=1085.【点睛】本题通过证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解边.17．2∶15【解析】分析：已知a、b两数的比为1：3，根据比的基本性质，a、b两数的比1：3=（1×2）：（3×2）=2：6；而b、c的比为：2：5=（2×3）：（5×3）=6：15；，所以a、c两数的比为2：15．详解：a ：b=1：3=（1×2）：（3×2）=2：6； b ：c=2：5=（2×3）：（5×3）=6：15；，所以a ：c=2：15；故答案为：2:15．点睛：本题主要考查比的基本性质的实际应用，如果已知甲乙、乙丙两数的比，那么可以根据比的基本性质求出任意两数的比．18．．【解析】解：∵AB =6，AB =1：3，∴AD =6×13=2，BD =6﹣2=4．∵△ABC 和△FDE 是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A =∠B =∠FDE ．由三角形的外角性质得，∠AMD +∠A =∠EDF +∠BDN ，∴∠AMD =∠BDN ，∴△AMD ∽△BDN ，∴MA MD BD DN =，∴MA •DN =BD •MD =4MD ，∴MD +12MA DN ⋅=MD +3MD =22+-2+∴=，即MD 时，MD +12MA DN ⋅有最小值为19．1:5000【解析】【分析】根据比例尺是图上距离与实际距离的比值即可求解．【详解】∵图上距离为120cm ，实际距离为6km=600000cm ，∴新区建设规划图所采用的比例尺=120：600000=1：5000．故答案为1：5000．【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键. 20．①③④【解析】解：在△ABC与△AEF中，∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，∴△AEF≌△ABC，∴AF=AC，∴∠AFC=∠C，故①正确．由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：△ADE∽△FDB，故③正确；∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAD=∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD=∠BFD，∴∠BFD=∠CAF，故④正确．综上可知：①③④正确．点睛：本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21．(1)见解析；（2）P）；（3）存在；Q）．【解析】【分析】（1）在Rt△OAB中，由切线的性质知：OP⊥AB，易证得△OAP∽△BPO．（2）当P为AB中点时，由于OP⊥AB，那么OP平分∠AOB，即P点的横、纵坐标相等，已知OP的长，易求得点P的坐标．（3）此题应分两种情况：①OP为对角线，此时OQ∥AP，由于∠OP A=90°，那么∠POQ=90°，即△POQ是等腰直角三角形，已知OA⊥OB，那么OB⊥PQ，此时OB为∠POQ的对角线，即P、Q关于y轴对称由此得解；②OP为边，此时OP∥AQ，由于∠OP A=90°，那么平行四边形OP AQ为矩形，即∠POQ是等腰直角三角形，解法同①．【详解】解：（1）证明：∵AB是过点P的切线，∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3；在△OPB中△APO中，∴△OPB∽△APO．（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，∴OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴OP是∠AOB的平分线，∴点P到x、y轴的距离相等；又∵点P在第一象限，∴设点P（x，x）（x＞0），∵圆的半径为2，∴，解得x=（舍去），∴P）．（3）存在；①如图设OAPQ为平行四边形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ=90°，∵OP=OQ，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分线且是边PQ上的中垂线，∴∠BOQ=∠BOP=45°，∴∠AOP=45°，设P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），∵OP=2，解得∴Q）；②如图示OPAQ为平行四边形，同理可得Q）．【点睛】此题主要考查的是切线的性质以及平行四边形的判定,相似三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识,难度较大.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）BE=．【解析】【分析】(1)连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O 的切线；（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE 的长．【详解】（1）连接OD，∵△ADE是直角三角形，OA=OE，∴OD=OA=OE，∴点D在⊙O上；（2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠DAB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，∴∠C=∠ODB=90°，∴BC是⊙O的切线；（3）在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，∴根据勾股定理得：AB=10，设OD=OA=OE=x，则OB=10﹣x，∵AC ∥OD ，△ACB ∽△ODB ，∴，∴OD=， 解得：x=，∴OD=，BE=10﹣2x=10﹣=．【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．23．见解析【解析】【分析】（1）将点A 、点B 绕点O 顺时针旋转90°得到点A 1、B 1，连接A 1、B 1、O 三点即可；（2）根据位似的性质得出A 2、B 2的位置，连接A 2、B 2、O 三点即可；【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查图形的旋转以及图形的位似的作图方法.24．（1）详见解析；（2）()()2'1,0A -， ()'1,2C ，'''A B C S V ：1ABC S =V ：4． 【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出A′，B′，C′的位置，进而得出答案；（2）由（1）中所画图形可得．【详解】解：()1如图所示：'''A B C V 即为所求；()()2'1,0A -， ()'1,2C ，'''A B C S V ：1ABC S =V ：4．【点睛】此题主要考查了相位似变换，利用位似比得出对应点的位置是解题关键．25．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）51+ 【解析】【分析】（1）由角的关系易证OD //AC ，已知DH AC ⊥，即证.DH OD ⊥（2）由OD //AC ，可证ODF AEF V V ∽，根据“相似三角形的对应边成比例”易得32FD OD EF AE ==, 设32OD x AE x =，＝ 证明E B C ∠=∠=∠，EDC △是等腰三角形，表示出.EH 即可证明.（3）通过等量关系表示出边的长度，由BFD EFA V V ∽，可得对应边的比例关系的方程，求解即可.【详解】解：(1)连接OD ，如图1，∵在⊙O 中，OB OD =，∴OBD ODB ，∠=∠∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴ODB ACB ∠=∠，∴OD //AC ，∵DH AC ⊥，∴90,AHD ∠=︒∴180?90,ODH AHD ∠=︒-∠=︒ ∴DH OD ⊥，∴DH 是圆O 的切线；(2)∵ ODF E OFD AFE ∠=∠∠=∠，，∴ODF AEF V V ∽，∴32FD OD EF AE ==， 设32OD x AE x =，＝连接AD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，即AD BD ⊥，∵AB AC =，∴D 是BC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ， 26AC OD x ==，∴8,EC EA AC x =+=∵在⊙O 中，E B ∠=∠，∴E B C ∠=∠=∠，∴EDC △是等腰三角形，∵DH AC ⊥， ∴142EH EC x == ∵A 在EH 上且2AE x =,∴A 为EH 的中点.(3)如图2，设⊙O 的半径为r ，即OD OB r ==，∵EF EA =，∴EFA EAF ∠=∠，∵OD ∥EC ，∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠，∴DF OD r ==，∴1DE DF EF r =+=+，∴1?BD CD DE r ===+， 在⊙O 中，∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠，∴BF BD =，BDF V 是等腰三角形，∴1BF BD r ==+，∴()2211?AF AB BF OB BF r r r ==-=-+=-﹣，∵,BFD EFA B E ∠=∠∠=∠， ∴BFD EFA V V ∽，,EF BF FA DF= 11,1r r r+∴=-解得：12r r == (不合题意，舍去)，综上所述，⊙O ． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及相似三角形的判定与性质.属于综合题，难度较大，对学生综合能力要求较高.26．（1）证明见解析（2）31【解析】 分析：(1)、根据矩形的性质以及EF ⊥EC 得出∠AFE=∠BEC ，从而得出三角形相似；(2)、根据题意得出AE 和BE 的长度，然后根据三角形相似得出AF 的长度，然后根据Rt △ABF 的勾股定理得出答案．详解：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠CBE=90°， ∴∠AEF+∠AFE=90°， 又∵EF ⊥EC ， ∴∠AEF+∠BEC=90°， ∴∠AFE=∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ； （2）∵AB=3、AE=AB ， ∴AE=、BE=2， ∵△AEF ∽△BCE ， ∴=，即=， 解得：AF=2， 则BF===． 点睛：本题主要考查的是矩形的性质以及三角形相似的判定与性质，属于中等难度的题型．根据双垂直得出∠AFE=∠BEC 是解题的关键．27．证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD ＝∠C ，可证明△ABD ∽△ABC ，即可解题．【详解】∵BE 平分CBD ∠，∴DBE CBE ∠∠=，∵AE AB =，∴ABE AEB ∠∠=，∵ABE ABD DBE ∠∠∠=+，AEB C CBE ∠∠∠=+，∴ABD C ∠∠=，∵ABD C ∠∠=，A A ∠∠=，∴ABD ABC V V ∽，∴AB:AD AC:AB =，即：AB AB AD AC ⋅=⋅，∵AE AB =，∴AE AE AD AC⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．28．1【解析】试题分析：（1）证明△CFD≌△DAE即可解决问题．（2）如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出DCDE=CFAD，再证明CF=2AD即可．（3）证明EC=ED即可解决问题．试题解析：（1）证明：如图1中，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=BA．∵DF∥AC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∴CF=AD，∠CFD=120°．∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠CFD=120°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=60°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC=DE．∵∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC=90°，∴∠BFD=45°，∠DFC=135°．∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B=180°，∴∠DFC=∠DAE=135°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=45°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴DCDE=CFAD．∵四边形ADFG是矩形，FC2FG，∴FG=AD，CF2AD，∴CDDE2（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．∵AE∥BC，∴∠EAO=∠ACB．∵∠CDE=∠ACB，∴∠CDO=∠OAE．∵∠COD=∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴COEO=ODOA，∴COOD=EOOA．∵∠COE=∠DOA，∴△COE∽△DOA，∴∠CEO=∠DAO．∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°．∵∠CDE=∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ECD，∴EC=ED，∴CEDE=1．点睛：本题考查了相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。

2020年中考数学压轴题专题3 相似三角形的存在性问题学案(原版+解析)

2020年中考数学压轴题专题3 相似三角形的存在性问题学案(原版+解析)

专题三 相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF ,②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一 【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∥PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ∥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得∥CNQ与∥PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二 【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO =10，AB =8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点. (1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，∥APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三 【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y =﹣x 2+bx +c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x =1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y =kx ﹣k +4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？ （3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值． （3）点C 关于x 轴的对称点为H 5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ． （1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ． （1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y ＝ax 2＋5ax ＋c （a ＜0）与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且S △ABD ：S △ACB ＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点． （1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ． ①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D .若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值； （3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

2020年中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》(含答案)

2020年中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》(含答案)

备战2020中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》1．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．（1）求证：∠ABE＝∠EAF；（2）求证：AE2＝EF•EC；（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．2．在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；②若BD＝3CD，求的值；（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．3．已知▱EFGH的顶点E、G分别在▱ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在▱ABCD的对角线BD上．（1）如图1，求证：BF＝DH；（2）如图2，若∠HEF＝∠A＝90°，，求的值；（3）如图1，当∠HEF＝∠A＝120°，，时，求k的值．4．如图，BM、DN分别平分正方形ABCD的两个外角，且∠MAN＝45°，连接MN．（1）猜想以线段BM、DN、MN为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论；（2）若△AMN为等腰直角三角形，探究线段BM、DN之间的数量关系；（3）当MN∥AD时，直接写出的值．5．如图，锐角△ABC中，BC＝12，BC边上的高AD＝8，矩形EFGH的边GH在BC上，其余两点E、F分别在AB、AC上，且EF交AD于点K．（1）求的值；（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S．①求S与x的函数关系式；②请直接写出S的最大值为．6．如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）△ADE与△ABC相似吗？为什么？（3）如图2，设cos∠ABD＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P，Q在对角线BD上，且BQ＝BP，过点P作PH⊥AB于点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ＝m．（1）若m＝2时，求此时PH的长．（2）若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值．（3）若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值．9．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．10．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．11．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．12．矩形ABCD中，AD＝9，AB＝12，点E在对角线BD上（不与B、D重合），EF⊥AE 交CD于F点，连接AF交BD于G点．（1）如图1，当G为DE中点时．①求证：FD＝FE；②求BE的长．（2）如图2，若E为BD上任意点，求证：AG2＝BG•GE．13．已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且＝＝k．（1）点D与点B重合时，①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是，位置关系是；②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；（2）BD＝2CD时，①如图3，k＝1时，若AE＝2，S＝6，求FC的长度；△CDF②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．14．如图1，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）＝；（2）如图2，若BE2＝EF•EC，且，EF＝，求DE的长；（3）如图3，已知BC＝4，∠BAC＝60°，当点A在直线BC的上方运动时，直接写出CE的最大值．15．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容．已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．请根据教材提示，结合图①，运用相似三角形的定义，写出完整的证明过程．证明：过点D作AC的平行线交BC于点F．结论应用：如图②，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD交AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．16．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF 的位置关系是，数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．17．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由18．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．参考答案1．（1）证明：∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵AG⊥BD，BG＝GD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，∴∠ABE＝∠DAC，即∠ABE＝∠EAF．（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∴AE2＝EF•EB，∵EB＝EC，∴AE2＝EF•EC．（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．∵AG垂直平分线段BD，∴JB＝JD，∴∠JBD＝∠JDG，∵∠JBD＝∠C，∴∠JDB＝∠C，∴DJ∥AC，∴∠AEF＝∠DJF，∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，∴△AFE≌△DFJ（AAS），∴EF＝FJ，AE＝DJ，∵AF＝DF，∴四边形AJDE是平行四边形，∴DE∥AG，∵AG⊥BC，∴ED⊥BC，∵EB＝EC，∴BD＝DC＝，∴BG＝DG＝，∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，∴JG＝，∵∠JGD＝90°，∴DJ＝＝＝＝，∴AE＝DJ＝＝．2．解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠AFC，∴在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF＝EF，∴BE＝AF＝2EF＝2CF，∴＝2；②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，∴∠AEB＝∠AGC，∴△ABE∽△CAG，∴＝．∵CF∥BE，∴△BED∽△CFD，∴＝＝3，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，∴＝，解得：＝，∴＝；（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC＝5，又AE＝ED，∴FG＝CG，∴AG⊥CF，∴∠CAG＝∠FAG，∴AD⊥AG，∵tan∠BED＝2，∴tan∠AEG＝2，∵AE＝ED＝2，∴＝2，∴AG＝2AE＝4，又∵AC＝5，∴FG＝CG＝3，∵DE∥CG，∴＝，∴＝，∴解得，BE＝4．3．（1）证明：∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠EFD＝∠GHB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠GBH，在△EFD和△GHB中，，∴△EFD≌△GHB（AAS），∴DF＝BH，∴DF﹣HF＝BH﹣HF，∴BF＝DH；（2）解：作EM⊥FH于M，如图2所示：设MH＝a，∵四边形ABCD、四边形EFGH都是平行四边形，∠A＝∠FEH＝90°，∴四边形ABCD、四边形EFGH都是矩形，∴AD＝BC，∴tan∠ADB＝＝＝，tan∠EFH＝＝，∵∠FEH＝∠EMH＝90°，∴∠MEH+∠EHM＝90°，∠EFH+∠EHF＝90°，∴∠MEH＝∠EFH，∴tan∠MEH＝tan∠EFH＝＝＝，∴EM＝2a，FM＝4a，∵tan∠EDM＝＝，∴DM＝4a，FH＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴BF＝DH＝3a，∴＝＝；（3）过点E作EM⊥BD于M，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵＝，∴＝，即＝，∵∠HEF＝∠A，∴△EFH∽△ADB，∴∠EFH＝∠ADB，∴EF＝ED，∴FM＝DM，设BF＝3a，∵＝，∴FH＝7a，∴DF＝10a，∴DM＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴DH＝3a，MH＝DM﹣DH＝5a﹣3a＝2a，过点E作∠NEH＝∠EDH，交BD于N，∵∠ENH＝∠DNE，∴△ENH∽△DNE，∴＝，∴EN2＝DN•HN，设HN＝x，∴EN2＝x•（3a+x），∴EN＝，∵∠NEH＝∠EDH，∴∠NEH＝∠EFH，∵∠EHN＝∠FHE，∴△ENH∽△FEH，∴∠END＝HEF＝120°，∴∠ENM＝60°，∴∠NEM＝30°，∴EN＝2MN，∴＝2（2a﹣x），解得：x＝a，∴EN＝2a，MN＝a，由勾股定理得：EM＝＝＝a，EH＝＝＝a，EF＝DE＝＝＝2a，∴k＝＝＝．4．解：（1）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF＝AN，连接BF、FM，∵∠1+∠BAN＝90°，∠3+∠BAN＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF＝DN，∠FBA＝∠NDA＝135°，∵∠FAN＝90°，∠MAN＝45°，∴∠1+∠2＝∠FAM＝∠MAN＝45°，在△AFM和△ANM中，，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM＝NM，∴∠FBP＝180°﹣∠FBA＝180°﹣135°＝45°，∴∠FBP+∠PBM＝45°+45°＝90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB＝DN，FM＝MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形；（2）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠NAD＝45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB＝∠MBP＝45°，∴∠NAD＝∠AMB，在△ABM和△NDA中，，∴△ABM∽△NDA，∵△AMN是等腰直角三角形，∴；（3）连接BD并延长交MN延长线于点G，如图2，由题意知∠GDN＝∠GBM＝90°，∠ADN＝135°，∵MN∥AD，∴∠GND＝45°，∴∠G＝90°﹣∠GND＝45°，∴△DGN和△BGM均为等腰直角三角形，∴GN＝DN，GM＝BM，由（1）知，DN2+BM2＝MN2，∴设BM＝x，DN＝y，则GM＝x，GN＝y，∴MN＝（y﹣x），∴x2+y2＝[（y﹣x）]2，∴x1＝（2+）y（舍），x2＝（2﹣）y，∴．5．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∵AD⊥BC，∴AK⊥EF，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝∠EHG＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形EHDK是矩形，∴EH＝DK＝x，∵AK+DK＝AD，∴AK＝8﹣x，∵，∴，∴S＝EH•EF＝x•（8﹣x）＝﹣x2+12x．②∵S＝﹣x2+12x＝，，∴当x＝4，时S有最大值24．故答案为：24．6．（1）证明：如图1中，∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE（2）相似．理由：∵△ABD∽△ACE，∴，即，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（4）如图2中，连接DM、EM．由得，∴BC＝18，又EM＝DM＝9，MF⊥DE，且FD＝FE＝6，∴FM＝＝＝3．7．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF．（2）解：∵△AEF∽△BDF，∴＝＝＝，∵DF+EF＝9，∴EF＝3，DF＝6，∴BF＝＝＝10，AF＝＝＝5，∴AD＝5+6＝11，∴AB＝＝＝∵＝，∴＝，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD，∴＝，∴＝，∴DE＝．8．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝＝＝5，∵BQ＝2，，∴BP＝3，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴；（2）如图，设HG与PQ交于点O，设BQ＝2x，则BP＝3x，PQ＝x，∴PO＝QO＝，∴BO＝x，∵PH∥BC，∴△PHO∽△BCO，∴，∴PH＝＝，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴，∴x＝，∴BQ＝；（3）连接AC交BD于O，∵经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．①如图，当直线OG经过PH的中点R时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PH∥GQ，∴，∴，∴m＝；②如图，当直线OG经过HQ的中点N时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PG∥HQ，∴＝＝，∴＝，∴m＝；综上所述，满足条件的m的值为或．9．（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．10．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△FAE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．11．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．12．（1）①证明：如图1，取AF的中点O，连接OD，OE，∵∠ADF＝∠FEA＝90°，∴OE＝OD＝AF，∵点G是DE的中点，∴OG⊥DE，∴AF⊥DE，∵点G是DE的中点，∴FD＝FE；②解：由①知，AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝∠ADB，∴△ADG∽△BDA，∴，在Rt△ABD中，AD＝9，AB＝12，根据勾股定理得，BD＝15，∴，∴DG＝，∴DE＝2DG＝，∴BE＝BD﹣DE＝；（2）如图2，过点E作MN∥BC分别交AB，CD于M，N，∴BC⊥CD，∴MN⊥CD且MN⊥AB，∴∠DNE＝∠AME＝90°，∵∠FEA＝90°，∴∠NEF＝∠MAE，∴△NEF∽△MAE，∴，∵AM＝DN，∴，∵∠FEA＝∠END＝90°，∴△FEA∽△END，∴∠FAE＝∠EDN，∵∠EDN＝∠ABG，∴∠FAE＝∠ABG，∵∠AGE＝∠BGA，∴△AGE∽△BGA，∴，∴AG2＝BG•GE．13．解：（1）①如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF理由：由题意：BA＝BC，BE＝BE，∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝90°，∴AE⊥CF，故答案为AE＝CF，AE⊥CF．②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF．理由：∵＝＝2，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴＝＝2，∠A＝∠BCF，∴AE＝2CF，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACB＝90°，∴AE⊥CF．（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T．由题意AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵DT∥AB，∴∠CDT＝∠CBA＝90°，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，∵DH⊥CT，∴HT＝HC，∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，∵DT∥AB，∴＝＝，∴AT ＝4m ，∵AE ＝2，∴ET ＝4m ﹣2，∵DE ＝DF ，DT ＝DC ，∠EDF ＝∠TDC ＝90°，∴∠EDT ＝∠FDC ，∴△EDT ≌△FDC （SAS ），∴S △EDT ＝S △FDC ＝6，ET ＝FC ， ∴•（4m ﹣2）•m ＝6，解得m ＝2或﹣（舍弃），∴CF ＝ET ＝4m ﹣2＝8﹣2＝6．②如图4中，连接DM ，CM ，根点M 作MK ⊥BC 于K ，交AC 于J ．同法可证：AE ⊥CF ，∵∠EDF ＝∠ECF ＝90°，EM ＝MF ，∴DM ＝MC ＝EF ，∴点M 在长度CD 的垂直平分线MK 上，当NM ⊥NK 时，MN 的值最小， 由题意：AB ＝10，BC ＝5，CD ＝，CK ＝DK ＝，在Rt △ABC 中，AC ＝＝5，∵AN ＝CN ，∴CN ＝AC ＝， ∵JK ∥AB ，∴＝，∴＝，∴CJ＝，∴NJ＝CN﹣CJ＝﹣＝，∵NM⊥MK时，△NMK∽△CKJ，∴＝，∴＝，∴MN＝，∴MN的最小值为．14．解：（1）如图1中，∵AE＝BE，AD＝DC，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝，故答案为：．（2）如图2中，∵DE∥BC，且DE＝BC，∵△EDF∽CBF，∴＝＝＝，∵EF＝，∴CF＝2，EC＝3，∵BE2＝EF•EC，∴BE＝3，∵DF＝BE＝2，∴BF＝4，∵＝，∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴CB＝4，∴DE＝BC＝2．（3）如图3中，如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，取OB的中点F，连接EF，过点O作OH⊥BC于H，过点F作FT⊥BC于T．∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝2，∠BOH＝∠COH＝60°，∴OH＝＝，OB＝2OH＝，∵AE＝EB，BF＝OF，∴EF＝OA＝，∴点E的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的⊙F，∴CE的最大值＝EF+CF，∵FT⊥BC，OH⊥BC，∴FT∥OH，∵BF＝OF，∴BT＝TH＝1，FT＝OH＝，在Rt△FCT中，CF＝＝＝，∴CE的最大值为．15．教材呈现：证明：过点D作AC的平行线交BC于点F，∵DE∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，∵DF∥AC，∴＝，∴＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；结论应用：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．16．解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，AE＝AB，AF＝AD，∴AE＝AF，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF+∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF．故答案为BE＝DF，BE⊥DF．（2）如图3中，结论不成立．结论：DF＝nBE，BE⊥DF，∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，∴AF＝nAE，∴AF：AE＝AD：AB，∴AF：AE＝AD：AB，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF：BE＝AF：AE＝n，∠ABE＝∠ADF，∴DF＝nBE，∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF+∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF．（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，∴BE＝＝3，∵△ABE∽△ADF，∴＝，∴＝，∴DF＝4，∵四边形AEPF是矩形，∴AE＝PF＝3，∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，∴PD＝DF+PF＝4+3，综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4+3．17．解：（1）连接AG，如图2所示，由折叠得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，∴DB＝＝＝10，∴cos∠ADB＝＝＝，∴DG＝AD•cos∠ADB＝6×＝．（2）①当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵tan∠FDG＝＝，∴＝，解得t＝，∴AE＝．②当∠GDF＝90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，∴∠DFG＝∠EGH，∴△GDF∽△EHG，∴＝＝，∴＝＝，∴DG＝，GH＝8﹣4k，∵DG+GH＝AE，∴+8﹣4k＝4k，∴k＝，∴AE＝．综上所述：AE＝或．（3）①当△AEF∽△GHE时，如图4﹣1，过点H作HP⊥AB于P，∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，∴△FEG+∠HEG＝90°，∴∠A＝∠FEH＝90°，∴△AEF∽△EHF，∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，∵∠A＝∠HPE＝90°，∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，∴∠AEF＝∠EHP，∴△AEF∽△HPE，∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，∵HP＝6，∴AE＝3．②当△AEF∽△GHE时，如图4﹣2，过点H作HP⊥AB于P，同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，设AF＝t，则AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，∴BP＝8﹣4t，∵△BHP∽△BDA，∴4t：6＝（8﹣4t）：8，解得：t＝，AE＝．③当△AEF∽△GEH时，如图4﹣3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN 于N．设AF＝t，则AE＝2t，DF＝6﹣t，由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），∴FG＝GH，∵MG∥DH，∴FM＝（6﹣t），∴AM＝EN＝AF+FM＝，又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，∵MG＝NE＝AM＝，GN＝2FN＝6﹣t，∵MN＝AE，∴+6﹣t＝2t，解得t＝，∴AE＝．④当△AEF∽△GEH时，如图4﹣4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN 于N，过点H作HQ⊥AD于Q，设AF＝t，则AE＝2t，设FM＝a，∴NG＝2a，NE＝a+t，∴MG＝EN＝AM＝，∴+2a＝2t①，由上题可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，∴DQ＝6﹣t﹣2a，∵＝，∴＝②，解得t＝，∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为3或或或．18．解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，若∠A﹣∠B＝90°，则∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，若∠A﹣∠C＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝35°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3，∵△ABD是“准互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，当∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，∴AC＝CD＝3，当∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴，∴，∴CD＝；（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“准互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6，∴BD＝＝＝3．。

中考数学 相似三角形专题训练(含答案)

中考数学 相似三角形专题训练(含答案)

2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。

2020-2021哈尔滨中考数学——相似的综合压轴题专题复习

2020-2021哈尔滨中考数学——相似的综合压轴题专题复习

2020-2021哈尔滨中考数学——相似的综合压轴题专题复习一、相似1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．（3）x为何值时，S EFGH达到最大值．【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，∵BE+AE=AB，∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，∴当时，矩形EFGH为正方形（2）解：设AK=x，EH=24-x，∵EHGF为矩形，∴ = ，即EF= x，∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）（3）解：y=- x2+16x配方得：y= （x-12）2+96，∴当x=12时，S EFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。

（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。

（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。

专题一 相似角三角形测量高度在实际问题应用 2020年中考数学冲刺几何题型 专项突破 相似三角形应用(解析版)

专题一 相似角三角形测量高度在实际问题应用 2020年中考数学冲刺几何题型 专项突破 相似三角形应用(解析版)

2020年中考数学冲刺几何题型专项突破相似三角形应用专题一相似角三角形测量高度在实际问题应用1、学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A.0.2 mB.0.3 m答案C解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°.又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO.则,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴.解得CD=0.4,故选C.2、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，AB：AC＝1：9，则建筑物CD的高是（）A．96m B．10.8m C．12m D．14m【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，解得：CD＝10.8m，故选：B．3、如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（）A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m【解答】解：由题意可得，＝，即树高＝＝8m，故选：C．4、如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（）米．A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：设两个同学相距x米，∵△ADE∽△ACB，∴，∴，解得：x＝1．故选：A．5、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴，解得x＝45（尺）．故选：B．6、如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为（）A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m【解答】解：由题意可得：AE＝1.5m，CE＝1.2m，DC＝1.6m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝4.8m，故选：C．7、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树AB的高度，他沿着树影CB由C向B走，当走到点D时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，此时，AEC三点恰好在一条直线上，经测得CD＝1米，BD＝3米，则树的高度AB为（）A．3米B．4米C．4.5米D．6米【解答】解：根据题意，可知：△ABC∽△EDC，∴＝，即＝，∴AB＝6．故选：D．8、某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学的影长为1.35m，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m，建筑物上的影长为1.8m，则树的高度为（）A．5.4 m B．5.8 m C．5.22 m D．6.4 m【解答】解：如图，BD＝3.6米，CD＝1.8米，∵同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影长为1.35米，∴CD：DE＝1.5：1.35，即1.8：DE＝1.5：1.35，∴DE＝1.62，∵CD∥AB，∴CD：AB＝DE：BE，即1.8：AB＝1.62：（1.62+3.6），∴AB＝5.8（米）．故选：B．9、如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（）A．9米B．9.6米C．10米D．10.2米【解答】解：由题意∠AGC＝∠FGE，∵∠ACG＝∠FEG＝90°，∴△ACG∽△FEG，∴AC：EF＝CG：GE，∴＝，∴AC＝9.6米，∴AB＝AC+BC＝9.6+0.6＝10.2米．故选：D．10、如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝7m，则树高AB＝（）m．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【解答】解：∵∠DEF ＝∠BCD ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB ， ∴BC ：EF ＝DC ：DE ，∵DE ＝30cm ＝0.3m ，EF ＝15cm ＝1.5m ，AC ＝1.5m ，CD ＝7m ， ∴，∴BC ＝3.5米，∴AB ＝AC +BC ＝1.5+3.5＝5m ， 故选：D ．11、如图，某一时刻一根2m 长的竹竿EF 的影长GE 为1.2m ，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6m ，求树AB 的长．【分析】先利用△BDC ∽△FGE 得到BC 3.6＝21.2，可计算出BC ＝6m ，然后在Rt △ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【解答】解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ，∴BC CD ＝EF GE ，即BC 3.6＝21.2，∴BC ＝6m.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12m ，即树长AB 是12m.12、红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度．如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20m.当她与镜子的距离CE ＝2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6m ，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．13、如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．14、星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．【分析】设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．【解答】解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB 的地面上平放一面镜子E ，人退后到D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A .若人眼距地面距离为CD ，测量出CD 、DE 、BE 的长，就可算出纪念碑AB 的高．理由：测量出CD 、DE 、BE 的长，因为∠CED ＝∠AEB ，∠D ＝∠B ＝90°，易得△ABE ∽△CDE .根据CDAB ＝DEBE ，即可算出AB 的高．15、如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD ⊥DF ，AB ⊥DF ，EF ⊥DF ），甲从点C 可以看到点G 处，乙从点E 可以看到点D 处，点B 是DF 的中点，墙AB 高5.5米，DF ＝100米，BG ＝10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）【解答】解：由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．又∵∠AGD为公共角，∴△ABG∽△CDG．∴＝．∵DF＝100米，点B是DF的中点，∴BD＝BF＝50米，∵AB＝5.5米，BG＝10.5米，∴＝，∴CD≈31.69（米）．又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF，∴＝＝，∴EF＝2AB＝11（米）∴CD﹣EF≈20.7（米）答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米．16、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝1.6米，求树AB的高度．【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，则∠1＝∠2，∵∠DEF＝∠BEF＝90°，∴∠DEC＝∠AEB，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴＝，∵DE＝3.2米，CD＝1.6米，EB＝8.4米，∴＝，解得AB＝4.2（米）．答：树AB的高度为4.2米．17、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．（1）求路灯A的高度；（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？【解答】解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，∴，，，，解得，∴路灯A的高度为6米．（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，∴，，解得（米）．答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是米．18、某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．【解答】解：由题意可得：△AEC∽△ADB，则＝，故＝，解得：DB＝43，答：小雁塔的高度为43m．。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形（附答案）1．△ABC∽△A1B1C1，且相似比为23，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为54，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．56B．65C．56或65D．8152．如图，l1∥l2∥l3，若32ABBC，DF=6，则DE等于（）A．3 B．3.2 C．3.6 D．43．小明的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为( )A．3.2米B．4.8米C．5.4米D．5.6米4．如图，在平行四边形ABCD中，E在DC边上，若DE：EC＝1：2，则△CEF与△ABF 的面积比为（）A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．1：95．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（）A ．45B ．35C ．56D ．677．如图，∠ABD ＝∠BCD ＝900，AD ＝10，BD ＝6。

如果两个三角形相似，则CD 的长为A 、3.6B 、4.8C 、4.8或3.6D 、无法确定8．若ABC V 的各边都分别扩大到原来的2倍，得到111A B C V ，下列结论正确的是（ ） A ．ABC V 与111A B C V 的对应角不相等B ．ABC V 与111A B C V 不一定相似 C ．ABC V 与111A B C V 的相似比为1:2D ．ABC V 与111A B C V 的相似比为2:19．如图，已知点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中，不能判断△ABP ∽△ACB 的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AB 2=AP•ACD ．=10．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．=D ．=11．如图，已知点 A 在反比例函数k y x(x ＜0) 上，作 Rt △ABC ，点 D 是斜边 AC的中点，连DB 并延长交y 轴于点E，若△BCE 的面积为12，则k 的值为_____.12．已知线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＜BC，那么BC＝_____．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点（异于两个端点），AB＝2BC＝2，若BP的垂直平分线EF经过该矩形的一个顶点，则BP的垂直平分线EF与对角线AC 的夹角（锐角）的正切值为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且∠ADC＋∠B＝90°，DC＝3，BD＝6，则cosB＝．15．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为10m，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为1'，且已知月、地两球之间的距离为380000km，根据学过的数学知识，）你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：tan0.5'0.000145416．如图，△ABC中，AB＝AC＝4cm，点D在BA的延长线上，AE平分∠DAC，按下列步骤作图．步骤1：分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF，交BC于点G；步骤2：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AG于点I；步骤3：连接BI并延长，交AE于点Q．若，则线段AQ的长为_____cm．17．如图，在直角坐标系中，A，B为定点，A（2，﹣3），B（4，﹣3），定直线l∥AB，P是l上一动点，l到AB的距离为6，M，N分别为P A，PB的中点下列说法中：①线段MN的长始终为1；②△P AB的周长固定不变；③△PMN的面积固定不变；④若存在点Q使得四边形APBQ是平行四边形，则Q到MN所在直线的距离必为9．其中正确的说法是_____．18．若7x=3y，则xy=_____．19．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD＝3S△ABD，则AB：AC 等于_____．20．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．21．如图，在ABCV中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且12DCB EBC A ∠=∠=∠． ()1求证：BOD V ∽BAE V ；()2求证：BD CE =；()3若M 、N 分别是BE 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？22．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD =∠C ，AB =6，AC =9．（1）试说明：△ABD ∽△ACB ；（2）求线段CD 的长．23．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PA 、PB 、AB 、OP ，已知PB 是⊙O 的切线．(1)求证：∠PBA=∠C ；(2)若OP ∥BC ，且OP=9，⊙O 的半径为32，求BC 的长．24．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ．(1)如图①，求点E 的坐标(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B ，BE′.①设AA′＝m ，其中0<m<2，试用含m 的式子表示A′B 2＋BE′2，并求出使A′B 2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B ＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).25．如图，已知AC ，EC 分别为正方形ABCD 和正方形EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，连接BF ，∠CAE+∠CBE=90°．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE=1，AE=2，求CE 的长．26．如图,AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高.（1）尺规作图:作∠C 的平分线,交AB 于点E,交AD 于点F （不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母）;（2）在（1）的条件下,过F 画BC 的平行线交AC 于点H,线段FH 与线段CH 的数量关系如何?请予以证明;（3）在（2）的条件下,连结DE ､DH.求证:ED ⊥HD ．27．如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．过点O 作OE BC ⊥于点E ，连接DE 交OC 于点F ，过点F 作FG BC ⊥于点G ，则ABC V 与FGC V 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．28．如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE的值；（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，DEBE的值为．（直接填答案）参考答案1．A【解析】∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为210=315， △A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2 ，相似比为515=412 ， ∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为105=126， 故选A ．2．C【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得： 3,2AB DE BC EF == 设3,2,DE x EF x ==5 6.DF x ∴==解得： 1.2.x =3 3.6.DE x ∴==故选C.3．C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，设这棵树的高度为xm ， 则可列比例为：1.826x =， 解得，x=5.4．故选C ．【点睛】本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 4．C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD ＝AB ，∴△DFE ∽△BF A ．∵DE ：EC ＝1：2，∴EC ：DC ＝CE ：AB ＝2：3，∴△CEF 与△ABF 的面积比49=． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．5．D【解析】【分析】由已知条件求出△DEF 的面积，根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可得到答案．【详解】∵E 是边AD 的中点，∴DE 12=AD 12=BC ，∴12EF CF =，∴△DEF 的面积13=S △DEC ＝3。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》含答案

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》含答案

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG ＝，求线段AH长．2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，延长弦CD至点E，CD＝6，AB⊥CD于点F，点M在AB 上，AM＝，连接EM，点N在半径OB上，ON＝2，ND∥ME．（1）求tan∠E的值；（2）延长OB至点G，使BG＝，连接GD并延长交ME于点H，判断GH与⊙O的位置关系，并求MH的长．4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD•DB；（2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且＝，求的值；（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH 的值为．5．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：△MED∽△NFE；（2）当EF＝FC时，求k的值．（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．7．如图1，△ABC中，∠ACB的平分线CE交AB于点E．（1）求证：＝；（2）如图2，AD⊥BC交CE于F，BD＝2AD，∠AEC＝45°．①求证：BE＝2AE；②直接写出sin∠ACE的值．8．如图1，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）点E在AB边上，连接DE，BE＝DE．①如图2，若∠C＝30°，求证：3AE•BE＝AD•CD；②如图3，△ABC为锐角三角形，AB＝6，AC＝9，tan C＝，请直接写出AE的长．9．在四边形ABCD中，E、F分别是BD、BC上的点，∠BAE＝∠BDA．（1）如图1，求证：AB2＝BE•BD；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，A、E、F三点在同一条直线上，，∠ABC＝60°，求的值；（3）如图3，若A、E、F不在同一条直线，∠DEF＝∠C，AB＝2，BD＝4，，，则CD＝（直接写出结果）．10．矩形ABCD 中，点P 在对角线BD 上（点P 不与点B 重合），连接AP ，过点P 作PE ⊥AP 交直线BC 于点E ．（1）如图1，当AB ＝BC 时，猜想线段PA 和PE 的数量关系： ； （2）如图2，当AB ≠BC 时．求证：（3）若AB ＝8，BC ＝10，以AP ，PE 为边作矩形APEF ，连接BF ，当PE ＝时，直接写出线段BF 的长．11．已知矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE 于点F ． （1）如图1，若BE ＝，求AE •AF 的值；（2）如图2，连接AC 交DF 于点G ，若＝，求cos ∠FCE 的值；（3）如图3，延长DF 交AB 于点G ，若G 点恰好为AB 的中点，连接PC ，过A 作AK ∥FC 交FD 于K ，设△ADK 的面积为S 1，△CDF 的面积为S 2，则的值为 ．12．如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．（1）求证：BM•BC＝AB•CN；（2）若AC＝BC．①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CM的延长线于点D，求DN：CN的值；②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长．13．请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D，E，F依次是OABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据）∴＝∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…（1）情况①中的依据指：（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC．上的点，且AD：DB＝CF：FA＝2：3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE：CE＝．14．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．15．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．参考答案1．证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJK由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．3．解：（1）如图，连接OD，∵AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵AB⊥CD，∴CF＝DF＝CD＝3，∴OF＝＝＝4，∴NF＝OF﹣ON＝2，∵DN∥ME，∴∠E＝∠NDF，∴tan∠E＝tan∠NDF＝＝；（2）∵FB＝OB﹣OF＝1，∴FG＝+1＝，∵，∴，且∠DFG＝∠DFO＝90°，∴△DFO∽△GFD，∴∠G＝∠ODF，∵∠FOD+∠ODF＝90°＝∠FOD+∠G，∴∠ODG＝90°，∴OD⊥DG，且OD是半径，∴GH是⊙O的切线，∵AM＝，∴GM＝10﹣+＝，在Rt△DFN中，DN＝＝＝，∵DN∥ME，∴∴∴MH＝2．4．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴△CBD∽△ACD，∴CD：AD＝BD：CD，∴CD2＝AD•DB；（2）解：∵＝，∴设FH＝4a，则HE＝9a（a＞0），∵∠ACB＝90°，EF⊥CD，∴同（1）得：CH2＝HE•FH＝9a×4a＝36a2，∴CH＝6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝，过D作DP⊥AC于P，如图2所示：则DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∴＝＝，∵DP∥BC，∴＝＝；（3）解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：∵CH＝3DH，∴设DH＝2x，则CH＝6x（x＞0），∴CD＝DH+CH＝8x，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°＝∠AHD，又∵∠ADH＝∠CDA，∴△ADH∽△CDA，∴∠DAH＝∠ACH，AD：CD＝DH：AD，∴AD2＝DH•CD＝16x2，∴AD＝4x，∵DM⊥AH，∠AHD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴DM＝HM＝DH＝x，∴AM＝＝＝x，∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝；故答案为：．5．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，∴∠EMD＝∠FNE＝90°，∵四边形DEFH是矩形，∴∠MED+∠NEF＝90°，∴∠NEF＝∠MDE，∴△MED∽△NFE；（2）解：设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝＝＝，∴ME＝x，∴NE＝3﹣x，∵△MED∽△NFE，∴＝，即＝，解得：NF＝x，∴FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，EF＝＝，当EF＝FC时，4﹣x＝，解得：x＝4或x＝，由题意可知x＝4不合题意，当x＝时，AE＝，∵AC＝＝＝5，∴k＝＝；（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，∴＝＝，∴DE＝EF，∴矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝[（3﹣x）2+（x）2]＝[（x﹣）2+]，∴当x﹣＝0时，即x＝时，矩形EFHD的面积最小，最小值为：×＝，∵cos∠MAE＝＝＝，∴AE＝AM＝×＝，此时k＝＝．7．（1）证明：过B作BG∥AC交CE的延长线于G，如图1所示：则∠G＝∠ACE，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠G＝∠BCE，∴BG＝BC，∵BG∥AC，∴△ACE∽△BGE，∴，∴；（2）①证明：过E作EM⊥AB交BC于M，如图2所示：则∠AEM＝90°，∵∠AEC＝45°，∴∠MEC＝45°＝∠AEC，在△AEC和△MEC中，，∴△AEC≌△MEC（ASA），∴ME＝AE，∵AD⊥BC，EM⊥AB，∴∠MEB＝∠ADB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BME∽△BAD，∴，∴BE＝2EM，∴BE＝2AE；②解：由（1）得：＝，∵BE＝2AE，∴，设AC＝x，BC＝2x，AD＝1，BD＝2，则CD＝2x﹣2，又AC2＝AD2+CD2，∴x2＝12+（2x﹣2）2，＝1，，∴x1又2x﹣2＞0，∴x＝，∴AC＝，CD＝，作FG⊥AC于G，如图3所示：∵CE平分∠ACB，AD⊥BC，∴FD＝FG，∴＝＝＝，∴，∴DF＝AD＝×1＝，∴CF＝＝＝，∴sin∠DCF＝，∴sin∠ACE＝sin∠DCF＝．8．（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC（2）①证明：过点A作AF∥DE交BD的延长线于点F，过E作EG⊥BD于点G，如图2所示：∵BE＝DE，∴∠ABD＝∠BDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠BDE，∵∠ABD＝∠C＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝∠F＝∠C＝30°，∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△BDC，∴DF：CD＝AD：BD，∴BD•DF＝AD•CD，∵BE＝DE，EG⊥BD，∴BG＝DG，EG＝BE，∴BG＝EG＝BE，∴BD＝2BG＝BE，∵AF∥DE，∴DF：AE＝BD：BE，∴DF＝AE，∴BE•AE＝AD•CD，∴3AE•BE＝AD•CD；②解：AE＝，理由如下：由（1）得：△ADB∽△ABC，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，即62＝9AD，∴AD＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5，过点A作AF∥DE交BD的延长线于点F，过E作EG⊥BD于点G，如图3所示：∵BE＝DE，∴∠ABD＝∠BDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠BDE，∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠BDE＝∠F＝∠C，∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△BDC，∴DF：CD＝AD：BD，∴BD•DF＝AD•CD，∵BE＝DE，EG⊥BD，∴BG＝DG，tan∠ABD＝＝tan C＝，∴BG＝EG＝BE，∴BD＝2BG＝BE，∵AF∥DE，∴DF：AE＝BD：BE＝8：5，∴DF＝AE，∴BE•AE＝AD•CD，∴64AE•BE＝25AD•CD；设AE＝x，则BE＝6﹣x，∴64x（6﹣x）＝25×4×5，解得：x＝，或x＝，∵AE＝＞4＝AD，∴∠ADE＞∠AED＝2∠C，∵AF∥DE，∴∠DAF＝∠ADE＞2∠C，∵△ADF∽△BDC，∴∠DBC＝∠DAF＞2∠C，∴∠ABC＞3∠C＞90°，∴x＝不合题意舍去，∴AE═．9．（1）证明：∵∠BAE＝∠BDA，∠ABE＝∠DBA，∴△BAE～△BDA，∴AB：BD＝BE：AB，∴AB2＝BE•BD；（2）解：作BG⊥AD于G，如图2所示：∵，∴设BF＝x，则FC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝BF+CF＝3x，AD∥BC，∴∠BAG＝∠ABC＝60°，△BEF∽△DEA，∴＝＝，∴DE＝3BE，设BE＝y，DE＝3y，则BD＝BE+DE＝4y，由（1）得：AB2＝BE•BD＝y×4y＝4y2，∴AB＝2y，∵BG⊥AD，∠BAG＝60°，∴∠ABG＝30°，∴AG＝AB＝y，BG＝AG＝y，∴DG＝AG+AD＝y+3x，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2，即（y）2+（y+3x）2＝（4y）2，解得：x＝，∴＝，∴＝＝＝；（3）解：作FH⊥BD于H，在BC的延长线上截取DT＝DC，连接DT，如图3所示：则∠DCT＝∠T，由（1）得：AB2＝BE•BD，即22＝BE×4，解得：BE＝1，∵＝，∴EH＝2FH，设FH＝a，则EH＝2a，BH＝1﹣2a，在Rt△BFH中，由勾股定理得：a2+（1﹣2a）2＝（）2，解得：a＝，或a＝（不合题意舍去），∴FH＝，EH＝，∴EF＝＝＝，∵∠DEF＝∠BCD，∠DEF+∠BEF＝180°，∠BCD+∠DCT＝180°，∴∠BEF＝∠DCT＝∠T，∵∠EBF＝∠TBD，∴△BEF∽△BTD，∴＝，即＝，∴DT＝，∴CD＝；故答案为：．10．（1）解：线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴PM＝PN，∴四边形MBNP是正方形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，在△APM和△EPN中，，∴△APM≌△EPN（ASA），∴PA＝PE，故答案为：PA＝PE；（2）证明：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，∴四边形MBNP是矩形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∴△APM∽△EPN，∴＝，∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，∴PM∥AD，PN∥CD，∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，∴＝，＝，∴＝，∴＝＝，∴；（3）解：连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O，①当P在O的右上方时，如图3所示：由（2）得：＝＝，∴PA＝PE＝×＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，∵AO⊥BD，∵△ABD的面积＝BD×AO＝AB×AD，∴AO＝＝＝，∵tan∠ABD＝＝，∴＝，解得：BO＝，由勾股定理得：OP＝＝＝，∴BP＝BO+OP＝，∵四边形APEF是矩形，∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，∴PF＝AE＝＝＝，∵∠ABE＝90°，∴QB＝AE＝QE，∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴∠PBF＝90°，∴BF＝＝＝；②当P在O的左下方时，如图4所示：同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝，则BP＝BO﹣OP＝，同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴BF＝＝＝；综上所述，当PE＝时，线段BF的长为或．11．解：（1）∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，AD∥BC，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴AE•AF＝AD•BE＝2×＝4；（2）延长DE交CB的延长线于H，连接DE、AH，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，∴△ADG∽△CHG，∴＝＝，∴BH＝BC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BH，∴EH＝BC＝AD，∴四边形ADEH是平行四边形，∵DF⊥AE，∴四边形ADEH是菱形，∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，DE＝AD＝EH＝BC，∴CE＝DE，∴∠CDE＝30°，∴∠CED＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEH＝∠AED＝60°，∵DF⊥AE，∴∠FDE＝30°＝∠CDE，∴FE＝CE，∴∠FCE＝∠CFE＝∠AEH＝30°，∴cos∠FCE＝；（3）过F作PQ⊥AB于P，交CD于Q，作KH⊥AD于H，如图3所示：则PQ＝AD，AP＝DQ，PQ∥BC∥AD，∵G是AB的中点，E是BC的中点，∴AB＝2AG，BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠DAG＝90°，∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAG，∴＝，∴AB•AG＝AD•BE，即AB2＝AD2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝PQ，设AB＝BC＝CD＝AD＝PQ＝4a，则BE＝AG＝2a，∴tan∠ADG＝tan∠BAE＝＝，AE＝DG＝＝2a，∵DF⊥AE，∴AF＝＝＝a，∵PQ∥BC，∴△APF∽△ABE，∴＝＝，即＝＝，解得：AP＝a，PF＝a，∴CQ＝PB＝AB﹣AP＝4a﹣a＝a，FQ ＝PQ ﹣PF ＝4a ﹣a ＝a ，∵KH ⊥AD ，∴tan ∠ADG ＝＝， 设KH ＝x ，则DH ＝2x ，∵PQ ∥AD ，AK ∥FC ，∴∠DAF ＝∠QFE ，∠KAF ＝∠CFE ，∴∠DAK ＝∠QFC ，又∵∠AHK ＝∠FQC ＝90°，∴△AHK ∽△FQC ， ∴＝，即＝，解得：AH ＝x ，∵AH +DH ＝AD ， ∴x +2x ＝4a ，解得：x ＝a ，∴KH ＝a ，∵△ADK 的面积为S 1＝AD ×KH ，△CDF 的面积为S 2＝CD ×FQ ， ∴＝＝＝； 故答案为：．12．（1）证明：如图1中，∵AM⊥BN，CN⊥BN，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠N＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠A+∠CBN＝90°，∴△ABM∽△BCN，∴＝，∴BM•BC＝AB•CN．（2）解：如图2中，连接AN，延长AN交BC的延长线于H，作BK⊥AN于K．由（1）可知：△ABM∽△BCN，∴＝∵AB＝BC，∴AM＝BN，BM＝CN，设CN＝m，∵BM＝MN，∴BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，∵AM⊥BN，BM＝MN，∵S＝•BN•AM＝•AN•BK．△ABN∴BK＝＝m，∴AK＝＝＝m，∵∠BAK＝∠BAH，∠ABH＝∠AKB＝90°，∴△ABK∽△AHB，∴＝，∴＝，∴AH＝m，∴HN＝AH﹣AN＝m﹣m＝m，∵AD∥CH，∴＝＝＝．（3）解：如图3中，连接AE，延长AE交BC的延长线于H．∵AF∥CH，∴∠F＝∠ECH，∵∠AEF＝∠CEH，EF＝CF，∴△AFE≌△HCE（ASA），∴AE＝EH，AF＝CH，∵AM⊥BE，BM＝ME，∴AB＝AE，∵∠ABH＝90°，∵CN＝BM＝ME＝1，∴BE＝AE＝EH＝2，∴AB＝BC＝AE＝2，∴BH＝＝2，∴CH＝BH﹣BC＝2﹣2，∴AF＝2﹣2．13．解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．则有＝，＝，＝，∴•＝•，∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴••＝1．（3）如图3中，∵••＝1，AD：DB＝CF：FA＝2：3，∴＝．故答案为．14．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∵GE∥BN，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB15．解：问题发现：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC，故答案为：BD＝k•EC；类比探究：（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵＝，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝k，故BD＝k•EC；拓展延伸：（3）BF•CF的值为2或1；由旋转的性质可知∠BAD＝∠CAE∵＝，∴△ABD∽△ACE∴∠ACE＝15°＝∠ABD∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°∴∠ACB＝60°分两种情况分析：①如图2，∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，∴BC＝2AC＝2，∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2 ∴BF＝CF＝∴BF•CF＝（）2＝2②如图3，设CF＝a，在BF上取点G，使∠BCG＝15°∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，∴∠CFB＝90°∴∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2a，GF＝a．∵CF2+BF2＝BC2∴a2+（2a+a2＝22，解得a2＝2﹣，∴BF•CF＝（2+）a•a＝（2+）•a2＝1，即：BF•CF＝1或2．故答案为：1或2．。

2020年九年级数学中考复习——图形的相似应用题专题训练(二)(有答案)

2020年九年级数学中考复习——图形的相似应用题专题训练(二)(有答案)

2020中考复习——图形的相似应用题专题训练（二）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是()A. 15mB. 60mC. 20mD. 10√3m2.如图，身高1.8m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为()A. 4.8mB. 6.4mC. 8mD. 9m3.如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=18米，那么该古城墙的高度是()．A. 6米B. 8米C. 12米D. 24米4.如图，A、B两地之间有一池塘，要测量A、B两地之间的距离．选择一点O，连接AO并延长到点C，使OC=12AO，连接BO并延长到点D，使OD=12BO.测得C、D间距离为30米，则A、B两地之间的距离为()A. 30米B. 45米C. 60米D. 90米5.制作一3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在制作成本相同的情况下，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，扩大后长方形广告牌的成本是()A. 360元B. 720元C. 1080元D. 2160元6.如图，小明在A时测得某树的影长DE为3m，B时又测得该树的影长EF为12m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度CE是()A. 3mB. 5mC. 8mD. 6m7.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米.已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于()A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米8.如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.3cm，当BC=2.6m时，点B离地面的距离BE=1m，则此时点A离地面的距离是()A. 2.2mB. 2mC. 1.8mD. 1.6m9.王大伯要做一张如图的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7=0.8m.则第5级踏板的长度为()A. 0.6mB. 0.65mC. 0.7mD. 0.75m10.如图，正方形ABCD的边长为1，E是边AB上一点，且AE=13，点F在边BC上，且BF=13，一束光线从点E射入到点F，若光线每碰到正方形的边时都会发生镜面反射．反射时反射角等于入射角，当光线再次经过点E时，光线发生反射的次数可能为()A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题11.如图，测小玻璃口径的量具ABC，AB的长为20mm，BC被分成40等分，如果小管口DE正好对着量具上15等分处(DE//AB)，那么小玻璃管口径DE的长为__________mm．12.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得台阶上的影子长为0.2m，一级台阶高为0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m，则树高为____________．13.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=______ 米．14.如图，有一所正方形的学校，北门(点A)和西门(点B)各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处(点C)有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米(点D)，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地______ 平方米．15.有一块直角边AB=3cm，BC=4cm的Rt△ABC的铁片，现要将它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为______．16.如图1是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图．AC，BC表示铁夹的两个面，O点是轴，OD⊥AC于D.已知AD=15mm，DC=24mm，OD=10mm已知文件夹是轴对称图形，利用图2，可求图1中A，B两点的距离是____________mm．17.在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子如图所示，其中竹竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，竹竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则竹竿PQ的长度为________m．三、解答题18.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，AM⊥BC，BC=10，AM=6，要把它加工成两邻边：DEDG =53矩形零件，使矩形的一边GF在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．求矩形DEFG的周长．19.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC= 51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF= 32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？20.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC=2m，BD=2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．21.如图，小东将一张长AD为12、宽AB为4的矩形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P，Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN.小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置变化而发生改变．(1)请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．求证：①ME=NF；②MN//BC．(2)如图1，若BP=3，求线段MN的长；(3)如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．22.如图，铎山中心学校校园内有一块四边形空地ABCD，学校征集对这块空地种植的花草的设计中，选定如下方案：把这个四边形分成九块，种植三种不同的花草，其中E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，P、Q、R、K分别是EF、FG、GH、HE的中点，现要在四边形PQRK中种上红色的花，在△PFQ、△QGR、△RHK、△KEP中种上黄色的花，在△HAE、△EBF、△FCG、△GDH中种上紫色的花．已知种红、黄、紫三种花的单价分别为10元/m2、12元/m2、14元/m2，而种红花已用去了120元．请你用学过的数学知识计算出种满四边形ABCD这块空地的花共需要多少元？23.如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB//PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．24.一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分別为12cm和14cm．(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？(不记损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？答案和解析1.A解：设这棵树的高度为xm，则1.53=x30，x=15，∴这棵树的高度是15m．2.D解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，设树高x米，则ACAB =1.8x，即0.80.8+3.2=1.8x，∴x=9．3.C解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP∴ABCD =BPPD即1.2CD =1.818，解得：CD=12，故该古城墙的高度是12米．4.C解：∵△ABO和△CDO中，OCOA =ODOB=12，且∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴ABCD=2，又∵CD=30m，∴AB=60m．5.C解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080(元)．6.D解：在Rt△CDF中，树高为CE，且∠DCF=90°，ED=3m，FE=12m，易得：Rt△EDC∽Rt△EFC，∴EC EF =DE EC，即EC2=ED⋅FE，则EC2=3×12=36，解得：EC=√36m=6m，∴树的高度CE是6m．7.B解：题意知△DGC∽△DAB，△FHE∽△FAB，利用已知线段可得两个只含有未知量AB 和BC的比例式，从而可求得AB．∵GC//AB，∴∠DGC=∠DAB．又∵∠GDC=∠ADB，∴△DGC∽△DAB，∴GCAB =CDBD，即1.5AB=1BC+1． ①同理，得△FHE∽△FAB，∴HEAB =EFBF，即1.5AB=2BC+5． ②由 ① ②可得BC =3，AB =6．8. A解：由题意可得：AD//EB ，则∠CFD =∠AFB =∠CBE ，△CDF∽△CEB ， ∵∠ABF =∠CEB =90°，∠AFB =∠CBE ，∴△CBE∽△AFB ， ∴BE FB =BC AF =EC AB ， ∵BC =2.6m ，BE =1m ， ∴EC =2.4(m)，即1FB =2.6AF =2.41.3，解得：FB =1324，AF =169120，∵△CDF∽△CEB ，∴DF EB =CFCB ，即DF1=2.6−13242.6解得：DF =1924，故AD =AF +DF =1924+169120=2.2(m)，答：此时点A 离地面的距离为2.2m ．9. C解：因为每相邻两级踏板之间的距离都相等，所以A 4B 4为梯形A 1A 7B 7B 1的中位线，根据梯形中位线定理，A 4B 4=12(A 1B 1+A 7B 7)=12(0.5+0.8)=0.65m ．作A 1C//B 1B 4，则DB 5=CB 4=A 1B 1=0.5m ，A 4C =0.65−0.50=0.15m ，于是A 1A 4A 1A 5=A 4C A 5D =34，即0.15A 5D =34，解得A 5D =0.2m ．A 5B 5=0.2+0.5=0.7m ．10.C解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=16，第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=13，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=13，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=16，第六次回到E点，AE=13．故需要碰撞6次即可．11.7.5解：∵DE//AB，∴△CDE∽△CBA，∴DEAB =CDCB，即DE20=1540，∴DE=7.5(mm)．12.11.8m解：根据题意可构造相似三角形模型如图，其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树影在地上部分的长，ED 的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知BC即为树影在地上的全长；延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.4，∴GF=0.4AG，又∵GF=GE+EF，BD=GE，GE=4.4m，EF=0.2m，∴GF=4.6m，∴AG=11.5m，∴AB=AG+GB=11.8m，即树高为11.8m．13.2.5解：∵AD//BE，∴△BCE∽△ACD，∴BCAC =CECD，CD=CE+ED=4+5=9，AC=BC+AB=BC+2，∴BCBC+2=59，解得，BC=2.5．14.90000解：延长CA、DB相交于E，∵CA⊥FG，DE//FG可得△CDE是直角三角形，∵四边形FGHL是正方形，∴FB//CE，△DFB∽△DCE，设AE=x，则AE=FB=BE=12FL=x，∵AC=30m，DB=750m，∴DBDB+BE =FBAC+AE，即750750+x =xx+30，解得，x=150m，∴FL=150×2=300m．∴S矩形FGHL=FL2=3002=90000m2．15.6037解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BP，∴BP=AB⋅BCAC =3×45=125．∵DE//AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC =BQBP．设DE=x，则有：x5=125−x125，解得x=6037，16.30解：如图，连接AB，与CO的延长线交于点E，∵夹子是轴对称图形，对称轴是CE，A、B为一组对称点，∴CE⊥AB，AE=EB．在Rt△AEC、Rt△ODC中，∵∠AEC=∠ODC=90°，∠OCD是公共角，∴Rt△AEC∽Rt△ODC，∴AEAC =ODOC，又OC=√OD2+DC2=√102+242=26，∴AE=AC⋅ODOC =39×1026=15，∴AB=2AE=30(mm)．17.2.3解：过N点作ND⊥PQ于D，∴BCAB =DNQD，又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，∴QD=AB⋅DNBC=1.5，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(m)．18.解：∵四边形DEFG是矩形，∴DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴AN：AM=DE：BC，∵DEDG =53，∴设DE=5x，则DG=NM=3x，∴AN=6−3x，∴(6−3x)：6=5x：10解得：x=1，∴矩形DEFG的周长为2(DE+DG)=2×(5x+3x)=16．19.解：∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12(180°−∠BOD)，同理可证：∠OBD=∠ODB=12(180°−∠BOD)，∴∠OAC=∠OBD，∴AC//BD，在Rt△OEM中，OM=√OE2−EM2=30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF//BD，∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴OEAB =OMAH，AH=30×13634=120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．20.解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF//AC，∴△MAC∽△MFG，∴ACFG =MAMF=MOMH，即：ACBD =OEMH=OEMO+OH=OEOE+BF，∴OEOE+1.6=22.1，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．21.解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD．∵在△ABP和△DCQ中，{AB=DC ∠B=∠C BP=CQ，∴△ABP≌△DCQ，∴∠APB=∠DQG．∴∠MPE=180°−2∠APB=180°−2∠DQC=∠NQF．∴在△MEP和△NPQ中，{∠MPE=∠NQF ∠MEP=∠NPQ MP=NQ，∴△MEP≌△NPQ，∴ME=NF；②∵ME//NF，ME=NF，∴四边形EFMN是矩形，∴MN//BC；(2)延长EM、FN交AD于点G、H，∵AB=4，BP=3，∴AM=4，PM=3．∵AD//BC ，∴EM ⊥AD ．∵∠AMP =∠MEP =∠MGA ，∴∠EMP =∠MAG ．∴△EMP∽△MAG ． ∴AG EM =MG EP =AM MP =43， 设AG =4a ，MG =3b ．∵四边形ABEG 是矩形，∴{4a =3b +33a +4b =4，解得：{a =2425b =725，∴AG =9625，同理DH =9625．∴MN =10825；(3)设PM 、PN 分别交AD 于点E 、F ．∵∠EPA =∠APB =∠PAE ，∴EA =EP ．设EA =EP =x ，在直角△AME 中，42+(6−x)2=x 2，解得：x =139，∴EF =12−2×133=103，∵EF//MN ，∴△PEF∽△PMN ，∴EF MN =PE PM ，即103MN =1336，解得：MN =6013．22. 解：连结AC ，可知HG 是△DAC 的中位线，∴△DHG∽△DAC ，∴S △DHG =14S △DAC ，同理S △BEF =14S △BAC ，∴S △DHG +S △BEF =14S △DAC +14S △BAC =14S 四边形ABCD ，同理S △AEH +S △CFG =14S 四边形ABCD ，∴S△DHG+S△BEF+S△AEH+S△CFG，=14S四边形ABCD+14S四边形ABCD，=12S四边形ABCD，即种紫色花的面积是四边形ABCD面积的一半，同理：种黄色花的面积是四边形EFGH面积的一半，∴种黄色花的面积与种红色花的面积相等，种紫色花的面积是种红色花的面积的两倍，可知种红色花的面积是：120÷10=12㎡，故种黄色花的面积是12㎡，种紫色花的面积是24㎡，∴种满四边形ABCD这块空地的花共需要：120+12×12+14×24=600元．23.解：如图所示，作CE⊥PQ于E，交AB于D点，设CD为x，则CE=60+x，∵AB//PQ，∴△ABC∽△PQC，∴CDAB =CEPQ，即x150=x+60180，解得x=300，∴x+60=360米，答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．24.解：(1)∵AC⊥BD，∴小风筝的面积S=12AC⋅BD=12×12×14=84(cm)2；(2)∵小风筝与大风筝形状完全相同，∴假设大风筝的四个顶点为A′，B′，C′，D′，∴△ABC∽△A′B′C′，∵它们的对应边之比为1：3，∴A′C′=2AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，∴至少需用42+36=78cm的材料；(3)从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积−大风筝的面积= 42×36−9×84=756(cm)2．。

天津市2020版中考数学专题练习：相似三角形50题_含答案

天津市2020版中考数学专题练习：相似三角形50题_含答案

相似三角形50题一、选择题：1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）A.＝B.＝C.＝D.＝2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：13.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( )4.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD=1:3，则BE:EC=（）5.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A． B． C． D．6.下列各组数中，成比例的是（）A.-7,-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，127.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中，一定相似的是( )A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形9.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．311.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（）A.6B.5C.9D.12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D →C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为( )A. B. C.D.13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )A． B． C． D．14.如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（）A.2B.3C.4D.515.如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上,正方形A/B/C/D/与正方形ABCD是以AC的中点O/为中心的位似图形,已知AC=3,若点A/的坐标为(1,2),则正方形A/B/C/D/与正方形ABCD 的相似比是( )A. B. C. D.16.如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A.4对B.1对C.2对D.3对17.如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么的值为（）A. B. C. D.18.将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC 于点M，DF′交BC于点N，则的值为（）A. B. C. D.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动．在整个运动过程中,阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A.一直不变B.一直减小C.一直增大D.先减小后增大20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC 的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④二、填空题：21.若△ABC与△A1B1C1的相似比为2:3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2:3，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为22.如图，(1)若AE:AB=________,则△ABC∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.23.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q. 则的值为________．24.在△ABC中，已知AB=3，BC=5。

中考数学专卷2020届中考数学总复习(28)图形的相似-精练精析(1)及答案解析

中考数学专卷2020届中考数学总复习(28)图形的相似-精练精析(1)及答案解析

图形的变化——图形的相似1一．选择题（共9小题）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．52．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A． B． C． D．3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．CD•AB=AC•BD5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P46．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣69．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2二．填空题（共7小题）10 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= _________ ．11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是_________ ．12．若，则= _________ ．13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是_________ ．14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为_________ ．15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________ ．16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= _________ ．三．解答题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．图形的变化——图形的相似参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．5考点：比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例．专题：几何图形问题．分析：根据平行线分线段成比例定理得出===2，即可得出答案．解答：解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD=2BD，∴==2，==2，∴=，故选：A．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．3．如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：考点：相似多边形的性质．专题：计算题．分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选：D．点评：本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．4．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD2=BD•CD D．C D•AB=AC•BD考点：相似三角形的判定；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；D、∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P4考点：相似三角形的判定．专题：网格型．分析：由于∠BAC=∠PED=90°，而=，则当=时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE=4，所以EP=6，则易得点P落在P3处．解答：解：∵∠BAC=∠PED，而=，∴=时，△ABC∽△EPD，∵DE=4，∴EP=6，∴点P落在P3处．故选：C．点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．6．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A． 1 B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．解答：解：如图①，∠OAB=∠BAC1，∠AOB=∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2=∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如图③，AC3∥OB，∠ABC3=90°，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如图④，∠AOB=∠BAC4=90°，∠ABO=∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．故选D．点评：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．7．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；直角梯形．分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．解答：解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．∴满足条件的点P的个数是3个，故选：C．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G 分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A． 1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析：首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AC，∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6，∴AM==12，∴，∴，∴AN=6，∴MN=AM﹣AN=6，∴FH=MN﹣GF=6﹣6．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE=BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可．解答：解：∵BE和CD是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∴=，△DOE∽△COB，∴=（）2=（）2=，故选：A．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．填空题（共7小题）10．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b= 2 ．考点：比例线段．分析：根据比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．解答：解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．点评：本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．11．如图，点M是△ABC内﹣点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9．则△ABC的面积是36 ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．解答：解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC的平行线交AB、BC于F、H，过M作AB的平行线交AC、BC于I、G，因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9，所以他们对应边边长的比为1：2：3，又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，所以DM=BG，EM=CH，设DM为x，则ME=2x，GH=3x，所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．故答案为：36．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质及相似三角形的性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．若，则= ．考点：比例的性质．分析：先用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵ =，∴a=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键，也是本题的难点．13．已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是12 ．考点：相似三角形的性质．专题：计算题．分析：根据相似的性质得=，即=，然后利用比例的性质计算即可．解答：解：∵△ABC∽△DEF，∴=，即=，∴△DEF的周长=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．14．如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为y=2x ．考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：数形结合．分析：设OC=a，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．解答：解：设OC=a，∵点D在y=上，∴CD=，∵△OCD∽△ACO，∴=，∴AC==，∴点A（a，），∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，∴=，∴=2k2，∴a4=4k2，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．点评：本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用OC的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．15．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED（答案不唯一）．考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED．解答：解：∵BP∥DF，∴△ABP∽△AED．故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵S△ADE=S四边形BCDE，∴，∴，故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边截三角形另外两边所得的三角形与原三角形相似，相似三角形面积的比等于相似比的平方．三．解答题（共8小题）17．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；解直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，再利用三角形面积解得t即可．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+6；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，所以AP=t，AQ=10﹣2t，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以=，解得t=（秒），②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以=，解得t=（秒）；∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，sin∠BAO==，在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=（10﹣2t）•=8﹣t，S△APQ=AP•QE=t•（8﹣t），=﹣t2+4t=，解得t=2（秒）或t=3（秒）．∴当t为2秒或3秒时，△AP Q的面积为个平方单位点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．18．已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．考点：相似形综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；锐角三角函数的定义．专题：综合题．分析：（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的定义域；（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x﹣y=5﹣x，即y=2x﹣5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC﹣EP=BC﹣MP=5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，AD=BC=5，∠A=∠D=90°，AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∵∠ABE=∠CBP，∴∠ABM=∠APB．又∵∠A=∠A，∴△ABM∽△APB，∴=，∴=，∴y=x﹣．∵P是边AD上的一动点，∴0≤x≤5．∵y＞0，∴x﹣＞0，∴x＞2，∴函数的定义域为2＜x≤5；（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，∴MP=3，AM=1，∴BM==，BP==2．∵S△BMP=MP•AB=BP•MH，∴MH==，∴BH==，∴tan∠EBP==；（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠EBC，∠DPC=∠ECB，∴∠AMB=∠DPC．在△AMB和△DPC中，，∴△AMB≌△DP C，∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5，解得：x1=1，x2=4．∵2＜x≤5，∴AP=x=4；②若CE=CB，则∠EBC=∠E．∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴PE=PM=y，∴PC=EC﹣EP=5﹣y，∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）=4，∴（10﹣x﹣x+）（x﹣x+）=4，整理得：3x2﹣10x﹣4=0，解得：x3=，x4=（舍负）．∴AP=x=．终上所述：AP的值为4或．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x 与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．19．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．考点：相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．解答：（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．点评：本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．20．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题；动点型．分析：（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；（2）由AB∥F C，可证明△GBD∽△GCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．解答：（1）证明：∵AB∥FC，∴∠A=∠FCE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）；（2）解：∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF，∴GB：GC=BD：CF，∵GB=2，BC=4，BD=1，∴2：6=1：CF，∴CF=3，∵AD=CF，∴AB=AD+BD=4．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．22．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为1，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴=，∴PA=PB，∴PA=AB=∴当PA=时，△PFD∽△BFP．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND 求解．解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC，AB=10时，求线段BO的长度．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠APB，∴AP=AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．由（1）可知，AP=AO=5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k=1，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO===3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键．。

2020年中考数学必考考点专题24相似三角形判定与性质含解析

2020年中考数学必考考点专题24相似三角形判定与性质含解析

专题24 相似三角形判定与性质专题知识回顾1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

2．三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4．相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

【例题1】（2019•海南省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（）A.B．C．D．【答案】B．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．①当AE：ED＝2：3时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②当AE：ED＝3：2时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。

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2020年中考数学复习专题训练——相似
A组
1.在比例尺为1:10 000的地图上，周长为20 cm的矩形区域的实际周长是
________________m．
2.下列各组图形中，一定相似的是（）
A．对应边成比例的两个六边形
B．由三角形的中位线所截得的三角形与原三角形
C．等腰梯形中位线所分成的两个等腰梯形
D．有一个角对应相等的平行四边形
3.下列说法中正确的是（）
①相似三角形一定全等
②不相似的三角形一定不全等
③全等的三角形不一定是相似三角形
④全等的三角形一定是相似三角形
A．①②B．②③C．②④D．③④
4.如图，直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB:BC:CD=1:2:3，若FG=3，则线段
EF和GH的长度之和是________．
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则△ADE边DE上的高与△ABC边BC
上的高的比值为_________．
6.如图，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为
正方形，且面积分别为S1，S2．四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3，S4，下列说法正确的是（）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，EG∥AB，且AE:EC=3:2，若BC=10，则
FG的长为_________．
B组
1.如图，BC∥DE∥FG，图中有（）对相似三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
第1题图第2题图
2.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=3BD，S△ABC=48，则S△ADE的面积为（）
A．27 B．36 C．18 D．不确定
3.在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，则BD的值为（）
A．B．C．D．
第3题图第4题图
4.四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=21 cm，高AD=15 cm，则内接正方形边长
EF=_________．
5.如图，平行四边形ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于点O，与DC交
于点E，则图中相似三角形共有____对．
6.如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，AB=6 cm，CD=12 cm，则EF=______．
第6题图第7题图
7.如图，C为线段AB上的一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，若AC=3，BC=2，
则△MCD与△BND的面积比为（）
A．3:2 B．9:4 C．27:8 D．不确定
8.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC
的延长线交于点E．
求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE·CM=AC·CD．
9.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的
延长线与CB的延长线交于点F．
求证：．
C组
1.如图为正方形ABCD，BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G，F两点分别在BC，
EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为（）
A．10 B．22 C．D．
第1题图第2题图
2.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系
式是（）
A．B．
C．D．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一点，E为AC的中点，
AD，BE交于点F．若CF⊥AD，则的值为（）
A．B．C．D．
第3题图第4题图
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B
的坐标为(1，2)，将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为__________________．
5.已知：如图，AM:MD=4:1，BD:DC=2:3，则AE:EC=_______．
6.已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接
FC．（AB>AE）
（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若
不相似，说明理由．
（2）设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC
相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说
明理由．
7.在坐标系中，已知A(-3，0)，B(0，-4)，C(0，1)，过点C作直线l交x轴于点D，
使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出______条．
8.在梯形ABDC中，AB∥CD，AB=a，CD=b，两腰延长线交于点M，过M作DC的
平行线，分别交BC，AD延长线于E，F，则EF=______．
9.□ABCD中，AB=28，E，F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE的延长线交
AB于点M，MF的延长线交CD于点N，则CN=_________．
10.某种三角形架子由钢条焊接而成．在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为
4 cm，3 cm，
5 cm．现有两根钢条，一根长60 cm，另一根长180 cm，若用其中一
根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有________种不同的做法．（焊接用料忽略不计）
11.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（不与点B，C重合），过
点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE和△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x之间的函数关系式．
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．
【参考答案A】
1. 2 000
2. B
3. C
4. 6
5.
6. B
7. 2
【参考答案B】
1. B
2. A
3. A
4.cm
5. 6
6. 4 cm
7. B
8.证明略
9.证明略
【参考答案C】
1. D
2. A
3. B
4.()
5.8:5
6.（1）△AEF∽△ECF，理由略；（2）存在，．
7. 4
8.
9.7
10.3
11.（1）；（2）；（3）
12.
13.
14.
15.
16.
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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17.
18.。

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