龙格库塔方法matlab实现
龙哥库塔法or欧拉法求解微分方程matlab实现
龙哥库塔法or欧拉法求解微分⽅程matlab实现举例：分别⽤欧拉法和龙哥库塔法求解下⾯的微分⽅程我们知道的欧拉法（Euler）"思想是⽤先前的差商近似代替倒数"，直⽩⼀些的编程说法即：f(i+1)=f(i)+h*f(x,y)其中h是设定的迭代步长，若精度要求不⾼，⼀般可取0.01。
在定义区间内迭代求解即可。
龙哥库塔法⼀般⽤于⾼精度的求解，即⾼阶精度的改进欧拉法，常⽤的是四阶龙哥库塔，编程语⾔如下：y(i+1)=y(i)+h*(k1+2*K2+2*k3+k4)/6;k1=f(xi,yi)k2=f(xi+h/2,yi+h*k1/2);k3=f(xi+h/2,yi+h*k2/2);k4=f(xi+h,yi+h*k3);设置终⽌条件迭代求解。
matlab实现程序如下：%% 龙哥库塔or欧拉法求解微分⽅程t=0:0.01:3; %⾃变量范围f = [];g = [];f(1) = 0.1; %f初值g(1) = 1; %g初值h=0.001;for i=1:length(t)%% 欧拉法% f(i+1) =f(i)+h*(exp(f(i)*sin(t(i)))+g(i));% g(i+1) =g(i)+h*(exp(g(i)*cos(t(i)))+f(i));%% 龙哥库塔kf1 = exp(f(i)*sin(t(i)))+g(i);%g(i)相当于常值kf2 = exp((f(i)+kf1*h/2)*sin(t(i)+h/2))+g(i);kf3 = exp((f(i)+kf2*h/2)*sin(t(i)+h/2))+g(i);kf4 = exp((f(i)+kf3*h)*sin(t(i)+h))+g(i);f(i+1) = f(i) + h*(kf1+2*kf2+2*kf3+kf4)/6;kg1 = exp(f(i)*cos(t(i)))+f(i);%f(i)相当于常值kg2 = exp((f(i)+kg1*h/2)*cos(t(i)+h/2))+f(i);kg3 = exp((f(i)+kg2*h/2)*cos(t(i)+h/2))+f(i);kg4 = exp((f(i)+kg3*h)*cos(t(i)+h))+f(i);g(i+1) = g(i) + h*(kg1+2*kg2+2*kg3+kg4)/6;endfigure(1)plot(t,f(1:length(t)),t,g(1:length(t)));legend('f函数','g函数')。
常微分方程组的四阶RungeKutta龙格库塔法matlab实现
常微分方程组的四阶Runge-Kutta方法1.问题：1.1若用普通方法-----仅适用于两个方程组成的方程组编程实现：创建M 文件：function R = rk4(f,g,a,b,xa,ya,N)%UNTITLED2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes here%x'=f(t,x,y) y'=g(t,x,y)%N为迭代次数%h为步长%ya,xa为初值f=@(t,x,y)(2*x-0.02*x*y);g=@(t,x,y)(0.0002*x*y-0.8*y);h=(b-a)/N;T=zeros(1,N+1);X=zeros(1,N+1);Y=zeros(1,N+1);T=a:h:b;X(1)=xa;Y(1)=ya;for j=1:Nf1=feval(f,T(j),X(j),Y(j));g1=feval(g,T(j),X(j),Y(j));f2=feval(f,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f1,Y(j)+g1/2);g2=feval(g,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f1,Y(j)+h/2*g1); f3=feval(f,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f2,Y(j)+h*g2/2); g3=feval(g,T(j)+h/2,X(j)+h/2*f2,Y(j)+h/2*g2); f4=feval(f,T(j)+h,X(j)+h*f3,Y(j)+h*g3);g4=feval(g,T(j)+h,X(j)+h*f3,Y(j)+h*g3);X(j+1)=X(j)+h*(f1+2*f2+2*f3+f4)/6;Y(j+1)=Y(j)+h*(g1+2*g2+2*g3+g4)/6;R=[T' X' Y'];end情况一：对于x0=3000，y0=120控制台中输入：>> rk4('f','g',0,10,3000,120,10)运行结果：ans =1.0e+003 *0 3.0000 0.12000.0010 2.6637 0.09260.0020 3.7120 0.07740.0030 5.5033 0.08860.0040 4.9866 0.11930.0050 3.1930 0.11950.0060 2.7665 0.09510.0070 3.6543 0.07990.0080 5.2582 0.08840.0090 4.9942 0.11570.0100 3.3541 0.1185数据:情况二：对于x0=5000，y0=100命令行中输入：>> rk4('f','g',0,10,5000,100,10)运行结果：ans =1.0e+003 *0 5.0000 0.10000.0010 4.1883 0.11440.0020 3.2978 0.10720.0030 3.3468 0.09220.0040 4.2020 0.08760.0050 4.8807 0.09950.0060 4.2090 0.11260.0070 3.3874 0.10690.0080 3.4011 0.09340.0090 4.1568 0.08890.0100 4.7753 0.0991数据：结论：无论取得初值是哪一组，捕食者与被捕食者的数量总是一个增长另一个减少，并且是以T=5 为周期交替增长或减少的。
内弹道 龙格库塔 计算 matlab
内弹道是指射程较短的导弹或火箭弹在飞行过程中受到大气阻力和重力等作用的飞行轨迹。
内弹道理论研究的是导弹或火箭弹在发射后到离开大气层再进入大气层末时的飞行过程。
内弹道包括导弹或火箭弹在发射后的加速、稳定、制导、飞行以及飞行过程中的动力学性能仿真等诸多内容。
内弹道有着复杂的飞行特性和动力学方程，在实际工程中需要进行准确的计算和仿真。
内弹道的计算中，龙格库塔（Runge-Kutta）法是一种常用的数值积分方法，在求解微分方程等领域有着广泛的应用。
龙格库塔法是由数学家奥特翁格（C. W. Runge）和马丁庫塔（M. W. J. Kutta）于1900年提出的，用于求解常微分方程初值问题，其优点是精度较高，适用范围广。
在内弹道计算中，可以利用龙格库塔法对导弹或火箭弹的飞行轨迹进行数值模拟和计算，得到较为准确的飞行轨迹数据。
在实际工程中，为了方便进行内弹道的计算，可以使用Matlab等数学建模和仿真软件。
Matlab是一种常用的科学计算软件，具有强大的数值计算和仿真功能，可以用于内弹道计算中的龙格库塔法数值模拟。
在Matlab中，可以编写相应的程序，利用龙格库塔法对导弹或火箭弹的飞行过程进行仿真和计算，得到准确的飞行轨迹和动力学性能数据。
内弹道计算是导弹或火箭弹研究设计中的重要内容，龙格库塔法是一种常用的数值积分方法，Matlab是一种常用的科学计算软件，它们的应用能够有效地进行内弹道的计算和仿真，为导弹或火箭弹的研制提供重要的技术支持。
随着技术的不断发展，内弹道计算已经成为导弹或火箭弹研究设计中不可或缺的一部分。
在内弹道计算中，龙格库塔法是一种常用的数值积分方法，可以对导弹或火箭弹的飞行轨迹进行数值模拟和计算，提供准确的飞行轨迹数据。
而Matlab作为一种强大的科学计算软件，对于内弹道的计算和仿真也有着重要的应用价值。
在实际工程中，使用Matlab编写程序，利用龙格库塔法对导弹或火箭弹的飞行轨迹进行数值模拟和计算，将为导弹或火箭弹的研制提供重要的技术支持。
matlab经典的4级4阶runge kutta法 -回复
matlab经典的4级4阶runge kutta法-回复使用MATLAB 实现经典的4 阶4 级Runge-Kutta 法引言：数值计算是现代科学和工程中的一个重要领域，它涉及到通过计算机模拟来解决数学问题。
在数值计算中，求解微分方程是一个常见的任务。
Runge-Kutta 法是求解微分方程的一种常见方法，它可以用于数值求解常微分方程和偏微分方程。
本文将介绍经典的4 级4 阶Runge-Kutta 法的原理，并使用MATLAB 来实现该方法。
一、原理介绍：Runge-Kutta 法是数值计算领域中最常用的方法之一。
它通过将微分方程的解逐步逼近来求解微分方程。
经典的4 级4 阶Runge-Kutta 法基于以下公式：\begin{align*}k_1 &= h f(t_n, y_n) \\k_2 &= h f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2}) \\k_3 &= h f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2}) \\k_4 &= h f(t_n + h, y_n + k_3) \\y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)\end{align*}其中，h 是步长，t_n 是当前时间点，y_n 是当前的解，f(t, y) 是微分方程的右手函数。
二、算法实现：现在我们将使用MATLAB 实现经典的4 级4 阶Runge-Kutta 法，并解决一个简单的一阶常微分方程。
首先，我们定义一个MATLAB 函数，用于实现4 级4 阶Runge-Kutta 法。
函数接受输入参数为微分方程的右手函数f(t, y)，初始时间t_0，初始解y_0，以及步长h。
函数输出为一个数组，包含了每个时间点的解。
以下是MATLAB 代码实现：matlabfunction y = runge_kutta(f, t0, y0, h, num_steps)初始化解数组y = zeros(num_steps+1, 1);y(1) = y0;循环计算每个时间点的解for i = 1:num_stepst = t0 + (i-1)*h;计算k1, k2, k3, 和k4k1 = h * f(t, y(i));k2 = h * f(t + h/2, y(i) + k1/2);k3 = h * f(t + h/2, y(i) + k2/2);k4 = h * f(t + h, y(i) + k3);计算下一个时间点的解y(i+1) = y(i) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6;endend接下来，我们使用这个函数来解决一个简单的一阶常微分方程。
四阶龙格库塔法求解微分方程组题目matlab
四阶龙格库塔法求解微分方程组题目matlab 在数学和工程学中，微分方程组求解是一个常见的问题。
其中，四阶龙格库塔法是一种常用的求解微分方程组的数值方法。
在本文中，我们将介绍如何使用 MATLAB 实现四阶龙格库塔法求解微分方程组。
首先，我们需要定义微分方程组。
假设我们要求解以下微分方程组：y1' = -2*y1 + y2y2' = -y1 + 2*y2可以将这个微分方程组写成向量形式：Y' = f(Y)其中，Y = [y1; y2]f(Y) = [-2*y1 + y2; -y1 + 2*y2]接下来，我们需要编写四阶龙格库塔法的代码。
具体步骤如下：1. 定义初始值 Y0 和时间间隔 dt。
2. 编写 f(Y) 的函数代码。
3. 使用四阶龙格库塔法计算下一个时间步的 Y 值。
4. 重复步骤 3 直到计算到指定的时间点。
以下是完整的 MATLAB 代码：% 定义初始值 Y0 和时间间隔 dtt0 = 0;tf = 10;dt = 0.01;Y0 = [1; 0];% 编写 f(Y) 的函数代码function dy = f(Y)dy = [-2*Y(1) + Y(2); -Y(1) + 2*Y(2)];end% 使用四阶龙格库塔法计算下一个时间步的 Y 值function Y = rk4(Y, f, dt)k1 = dt*f(Y);k2 = dt*f(Y + 0.5*k1);k3 = dt*f(Y + 0.5*k2);k4 = dt*f(Y + k3);Y = Y + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6;end% 计算 Y 的值Y = Y0;for t = t0:dt:tfY = rk4(Y, @f, dt);disp(Y);end以上代码将输出从 t0 到 tf 时间段内每个时间步的 Y 值。
您可以根据需要修改微分方程组和时间间隔等参数。
龙格库塔方法及其matlab实现
经几年的校际流传，在 Little 的推动下，由 Little、Moler、Steve Bangert 合 作，于 1984 年成立了 MathWorks 公司，并把 MATLAB 正式推向市场。从这时起，MATLAB 的 内核采用 C 语言编写，而且除原有的数值计算能力外，还新增了数据图视功能。
关键词：龙格-库塔 matlab 微分方程
1. 前言
：知识背景
龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭 代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于 1900 年左右发明。通常 所说的龙格库塔方法是相对四阶龙格库塔而言的，成为经典四阶龙格库塔法。该方法具有 精度高，收敛，稳定，计算过程中可以改变步长不需要计算高阶导数等优点，但是仍需计 算在一些点上的值，比如四阶龙格-库塔法没计算一步需要计算四步，在实际运用中是有 一定复杂性的。
y(n+1)=y(n)+h* =f（ ， ）
f（ 故二阶龙格-库塔公式
， h* i=2…r
y(n+1)=y(n)+h（ + ）
f（ ， ） (2)
f（
，
将 y（x）在 处展成幂级数
） h）
y（ ）=y( )+h ( )+
( )+o（ ）
f（x，y（x））
（x，y（x））+ （x，y（x））·f(x，y（x）)
微分方程组的龙格库塔公式求解matlab版
微分方程组的龙格-库塔公式求解matlab 版南京大学王寻1.一阶常微分方程组考虑方程组()()()()⎩⎨⎧====0000z x z ,z ,y ,x g 'z y x y ,z ,y ,x f 'y 其经典四阶龙格-库塔格式如下：对于n =0,1,2,...,计算()()⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=++4321143211226226L L L L h z z K K K K h y y n n n n 其中()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++===33433422322311211211222222222222hL z ,hK y ,h x g L ,hL z ,hK y ,h x f K hL z ,hK y ,h x g L ,hL z ,hK y ,h x f K hL z ,hK y ,h x g L ,hL z ,hK y ,h x f K z ,y ,x g L ,z ,y ,x f K n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 下面给出经典四阶龙格-库塔格式解常微分方程组的matlab 通用程序：%marunge4s.m%用途：4阶经典龙格库塔格式解常微分方程组y'=f(x,y),y(x0)=y0%格式：[x,y]=marunge4s(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 为向量函数f(x,y),xspan 为求解区间[x0,xn],%y0为初值向量，h 为步长，x 返回节点，y 返回数值解向量function [x,y]=marunge4s(dyfun,xspan,y0,h)x=xspan(1):h:xspan(2);y=zeros(length(y0),length(x));y(:,1)=y0(:);for n=1:(length(x)-1)k1=feval(dyfun,x(n),y(:,n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(:,n)+h/2*k1);k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(:,n)+h/2*k2);k4=feval(dyfun,x(n+1),y(:,n)+h*k3);y(:,n+1)=y(:,n)+(h/6).*(k1+2*k2+3*k3+k4);end如下为例题：例1：取h =0.02，利用程序marunge4s.m 求刚性微分方程组()()⎩⎨⎧=-==--=10100209999010z ,z 'z ,y ,z .y .'y 的数值解，其解析解为：xx x .e z ,e e y 100100010---=+=解：首先编写M 函数dyfun.m%dyfun.m function f=dyfun(t,y)f(1)=-0.01*y(1)-99.99*y(2);f(2)=-100*y(2);f=f(:);然后编写一个执行函数：close all ;clear all ;clc;[x,y]=marunge4s(@dyfun,[0500],[21],0.002);plot(x,y);axis([-50500-0.52]);text(120,0.4,'y(x)');text(70,0.1,'z(x)');title('数值解');figure;y1=exp(-0.01*x)+exp(-100*x);%解析解，用来做对比的。
matlab四阶龙格库塔法解方程组
matlab四阶龙格库塔法解方程组摘要：一、引言二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理2.龙格库塔法的发展历程三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解2.非线性方程组的求解五、结论正文：一、引言在数学领域，求解方程组是一项基本任务。
龙格库塔法作为高效数值求解线性方程组的方法，被广泛应用于各个领域。
MATLAB 作为一款强大的数学软件，可以方便地实现龙格库塔法求解方程组。
本文将介绍MATLAB 中四阶龙格库塔法解方程组的原理、实现与应用。
二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种求解常微分方程初值问题的数值方法。
它通过求解一组线性方程来逼近微分方程的解，具有较高的数值稳定性和精度。
龙格库塔法可以分为四阶、五阶等多种形式，其中四阶龙格库塔法是较为常用的一种。
2.龙格库塔法的发展历程龙格库塔法由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和英国数学家詹姆斯·库塔（James Kutta）分别在1900 年和1901 年独立发现。
自那时以来，龙格库塔法在数学、物理、工程等领域得到了广泛应用，并发展出了多种改进和扩展。
三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数在MATLAB 中，可以使用内置函数ode45、ode23、ode113 等实现龙格库塔法求解常微分方程。
这些函数分别对应四阶、五阶和三阶龙格库塔法。
2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现以下是一个使用MATLAB 实现四阶龙格库塔法求解方程组的示例：```matlabfunction [x, status] = solve_system_with_ode45(A, B, x0)% 定义方程组func = @(t, x) A * x + B;% 初始条件x0 = [1; 2];% 时间区间tspan = [0, 10];% 求解[x, status] = ode45(func, tspan, x0);end```四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解线性方程组在数学、物理、工程等领域具有广泛应用。
matlab迭龙格库塔法解常微分方程
一、介绍迭龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值求解常微分方程（ODE）的常用方法。
它是由卡尔·迭龙格（Carl Runge）和马丁·威尔黑尔姆·库塔（Wilhelm Kutta）在20世纪初提出的，该方法以两位数值分析家的名字来命名。
二、简单描述迭龙格-库塔法是通过数值逼近的方式，来计算常微分方程的近似解。
它是一种显式求解方法，适用于解非线性常微分方程和具有较大阶数的常微分方程。
三、数学原理迭龙格-库塔法主要是通过将微分方程转化为差分方程，利用数值解的方式来逼近微分方程的解。
它是一种显式方法，通过不断迭代得到下一个时间步的近似解。
四、matlab中的应用在matlab中，可以使用ode45函数来调用迭龙格-库塔法求解常微分方程。
ode45函数是matlab中集成的一个函数，通过调用ode45函数，可以直接求解常微分方程的数值解。
五、实例演示下面通过一个简单的例子来演示如何使用matlab中的ode45函数来求解常微分方程。
我们考虑一个简单的一阶常微分方程：dy/dt = -y初始条件为y(0) = 1。
在matlab中，可以通过以下代码来求解该微分方程：```定义微分方程的函数function dydt = myode(t, y)dydt = -y;调用ode45函数求解[t, y] = ode45(myode, [0, 5], 1);plot(t, y);```运行以上代码，即可得到微分方程的数值解，并通过绘图来展示解的变化。
六、总结迭龙格-库塔法是一种常用的数值解常微分方程的方法，它在matlab中有较为方便的调用方式。
通过ode45函数，可以快速求解常微分方程的数值解，并通过绘图来展示结果。
希望本篇文章对读者有所帮助，谢谢阅读。
七、应用场景和优势在实际应用中，迭龙格-库塔法广泛应用于各种科学和工程领域，如物理学、化学、生物学、经济学等。
matlab编写龙格库塔法或欧拉法求解常微分方程数值解
龙格库塔法（Runge-Kutta method）和欧拉法（Euler's method）是两种常用的数值求解常微分方程的方法。
这里分别给出它们的MATLAB实现：1. 龙格库塔法（Runge-Kutta method）：```matlabfunction [y, t] = runge_kutta(f, y0, t0, tf, h)% f: 微分方程函数，输入为[y, t]，输出为dy/dt% y0: 初始值% t0: 初始时间% tf: 结束时间% h: 步长N = round((tf - t0) / h); % 计算迭代次数t = zeros(1, N + 1); % 初始化时间向量y = zeros(size(y0), N + 1); % 初始化解向量t(1) = t0;y(:, 1) = y0;for i = 1:Nk1 = h * f(y(:, i), t(i));k2 = h * f(y(:, i) + k1 / 2, t(i) + h / 2);k3 = h * f(y(:, i) + k2 / 2, t(i) + h / 2);k4 = h * f(y(:, i) + k3, t(i) + h);y(:, i + 1) = y(:, i) + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6;t(i + 1) = t(i) + h;endend```2. 欧拉法（Euler's method）：```matlabfunction [y, t] = euler_method(f, y0, t0, tf, h)% f: 微分方程函数，输入为[y, t]，输出为dy/dt% y0: 初始值% t0: 初始时间% tf: 结束时间% h: 步长N = round((tf - t0) / h); % 计算迭代次数t = zeros(1, N + 1); % 初始化时间向量y = zeros(size(y0), N + 1); % 初始化解向量t(1) = t0;y(:, 1) = y0;for i = 1:Ny(:, i + 1) = y(:, i) + h * f(y(:, i), t(i));t(i + 1) = t(i) + h;endend```使用这两个函数时，需要定义一个表示微分方程的函数`f`，例如：```matlabfunction dydt = my_ode(y, t)dydt = -y; % 一个简单的一阶线性微分方程：dy/dt = -yend```然后调用相应的求解函数，例如：```matlaby0 = 1; % 初始值t0 = 0; % 初始时间tf = 5; % 结束时间h = 0.1; % 步长[y_rk, t_rk] = runge_kutta(@my_ode, y0, t0, tf, h);[y_euler, t_euler] = euler_method(@my_ode, y0, t0, tf, h);```。
基于matlab的龙格库塔法求解布拉修斯方程
Runge —Kutta 法求解布拉修斯解摘要薄剪切层方程主要有三种解法，即相似解，非相似条件下对偏微分方程组的数值解和近似解。
布拉修斯解是布拉修斯于1908年求出的，它是零攻角沿平板流动的相似解。
本文用四阶Runge —Kutta 法求解高阶微分方程的方法，并用matlab 编程实现，求得了与实际层流边界层相符合的数值解。
关键词：布拉修斯解，相似解，Runge —Kutta 法，数值解。
1 布拉修斯近似解方程二维定常不可压缩层流边界层的方程为：0=∂∂+∂∂yvx u （1）22yuv dx d y u v x u u u u e e ∂∂+=∂∂+∂∂（2）边界条件为:0=y )(,0x v u v w ==:δ=y )(x u u e =将式（1）和式（2）进行法沃克纳—斯坎变换（简称F —S 变换），将边界层方程无量纲化，即设（3）y x v u e 5.0⎪⎪⎭⎫⎝⎛=η（4）x x =得出F —S 变换后的动量方程（5）()[]()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-∂'∂'='-+''++'''+x f f xf f x f m f f m f t k221211其中k 为流动类型指标，横曲率项t 为（6）212120cos 211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ηφe u vxL r L t m 是量纲一的压力梯度参数，定义为（7）xd du u x m ee =其边界条件变为:0=η0='f:∞=η1='f 对于二维平面实壁流动（）可以忽略横曲率项t 的轴对称流动，式（5）成:0=η0=w f 为（8）()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-∂'∂'='-+''++'''x f f xf f x f m f f m f 2121根据相似解的定义，方程（8）中的函数f 若式相似的，则它应只与η有关而与x 无关，即对x 的偏导数应为零。
matlab, 求解时延方程, 龙格库塔方法
matlab, 求解时延方程, 龙格库塔方法【主题】MATLAB中的龙格库塔方法求解时延方程一、引言时延方程是一类具有时滞效应的微分方程，其求解对于许多实际问题具有非常重要的意义。
在MATLAB中，我们可以利用龙格库塔方法来高效地求解时延方程，本篇文章将深入探讨这一方法的原理、实现步骤以及实际应用。
二、时延方程的概念和应用时延方程是一种描述系统动力学行为的微分方程，其中包含了自变量的延迟项。
时延方程的求解在控制系统、生态学、神经科学等领域有着广泛的应用，例如在控制系统中常用于描述时滞控制器，生态学中用于描述种群动力学的迟滞效应，神经科学中用于描述神经元之间的传导时延等。
三、龙格库塔方法的原理龙格库塔方法是一种常用的数值求解方法，特别适用于求解微分方程。
其基本思想是通过递推的方式，利用前一步的计算结果来近似下一步的解，并通过不断迭代来逼近精确解。
在求解时延方程时，我们可以利用龙格库塔方法对时滞项进行适当的处理，并结合数值积分技巧来求得方程的近似解。
四、龙格库塔方法的实现步骤1. 制定数值积分网格：在MATLAB中，我们首先需要制定适当的数值积分网格，将时延方程离散化为一系列常微分方程。
2. 利用龙格库塔方法进行迭代求解：我们可以编写MATLAB代码，利用龙格库塔方法对时延方程进行迭代求解，其中需要注意时滞项的处理和数值积分的精度控制。
3. 可视化结果：我们可以利用MATLAB绘图工具对求解结果进行可视化展示，从而直观地观察系统的动力学行为和时滞效应对系统响应的影响。
五、实际应用案例分析以某控制系统中的时滞控制器设计为例，我们可以利用MATLAB中的龙格库塔方法对时延方程进行求解，并结合控制理论进行系统设计和分析。
通过该案例，我们不仅可以初步了解龙格库塔方法在控制系统中的应用，还可以深入思考时滞效应对系统稳定性和性能的影响。
六、个人观点和总结从个人角度而言，我认为MATLAB中的龙格库塔方法对时延方程的求解提供了一种高效、灵活和可靠的数值计算工具。
龙格-库塔法(Runge-Kutta)matlab代码及含义
龙格－库塔法（Runge-Kutta）数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
经典四阶龙格库塔法RK4””或者就是龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4“龙格库塔法”。
令初值问题表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。
该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn+h/2的值；k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
显式龙格库塔法显示龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。
它由下式给出其中(注意：上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。
要给定一个特定的方法，必须提供整数s(阶段数)，以及系数aij(对于1≤j<i≤s),bi(对于i=1,2,2,...,...,s)和ci(对于i=2,3,3,...,...,s)。
这些数据通常排列在一个助记c3a31如果要求方法有精度p则还有相应的条件，也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。
这些可以从舍入误差本身的定义中导出。
例如，一个2阶精度的2段方法要求b1+b2=1,b2c2=1/2,以及b2a21=1/2。
二阶常系数微分方程的龙格库塔法MATLAB实现
二阶常系数微分方程的龙格库塔发MATLAB实现
作者：头铁的小甘
上一篇我们讲到一阶常系数微分方程利用MATLAB写四阶龙格库塔法进行求解。
无论如何，对于线性系统，系统都可以表示为输出的n阶导数和等于输入的m阶导数和进行表示，因此两边都是高阶微分，那么怎样把高阶微分方程变成一阶微分方程组合，再使用四阶龙格库塔法进行求解成为我们需要解决的问题。
因此其中一个最常用的思路是将高阶导数变成一阶微分的线性方程组表示。
下面我们解决一个二阶微分方程：
ð2U c ðt =−
RC
L
ðU c
ðt
−
1
L
U c+U i
该方程式对应物理电路的RLC串联，或者受迫振动的弹簧振子系统。
现在我们用线性方程组进行降阶。
令
x1=ðU c ðt
x2=U c
利用线性代数对变化后方程进行表示
(ẋ1
ẋ2
)=(
−
RC
L，−
1
L
1，0
)(
x1
x2
)+(
1
L
)U i
到该式已经完成利用一阶微分方程表示二阶微分方程，更高阶依次类推。
MATLAB代码实现
图1
图2
图3
图1表示时间轴定义的主程序，图2 为四阶龙格库塔算法，图3为二阶微分方程用一阶微
分方程组进行表示、
结果表示
下一篇：一阶空间域、时域常系数微分方程四阶龙格库塔法MATLAB求解。
matlab用四阶龙格库塔函数求解微分方程组
一、介绍Matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了众多函数和工具来解决微分方程组。
其中，四阶龙格库塔函数是一种常用的数值方法，用于求解常微分方程组。
本文将介绍如何使用Matlab中的四阶龙格库塔函数来求解微分方程组，并对该方法的原理和实现进行详细说明。
二、四阶龙格库塔方法四阶龙格库塔方法是一种常用的数值方法，用于求解常微分方程组。
它是一种显式的Runge-Kutta方法，通过逐步逼近微分方程的解，在每一步使用多个中间值来计算下一步的解。
该方法通过四个中间值来计算下一步的状态，并且具有较高的精度和稳定性。
三、在Matlab中使用四阶龙格库塔方法求解微分方程组在Matlab中，可以使用ode45函数来调用四阶龙格库塔方法来解决微分方程组的问题。
ode45函数是Matlab提供的用于求解常微分方程组的函数，可以通过指定微分方程组以及初值条件来调用四阶龙格库塔方法来进行求解。
1. 定义微分方程组我们需要定义要求解的微分方程组。
可以使用Matlab中的匿名函数来定义微分方程组，例如：```matlabf = (t, y) [y(2); -sin(y(1))];```其中，f是一个匿名函数，用于表示微分方程组。
在这个例子中，微分方程组是y' = y2, y2' = -sin(y1)。
2. 指定初值条件和求解区间接下来，我们需要指定微分方程组的初值条件和求解区间。
初值条件可以通过指定一个初始时刻的状态向量来完成，例如：```matlabtspan = [0, 10];y0 = [0, 1];```其中，tspan表示求解区间，y0表示初值条件。
3. 调用ode45函数进行求解我们可以通过调用ode45函数来求解微分方程组的数值解。
具体的调用方式如下：```matlab[t, y] = ode45(f, tspan, y0);```其中，t和y分别表示求解的时间点和对应的状态值。
四、示例下面我们通过一个具体的例子来演示如何使用Matlab中的四阶龙格库塔方法来求解微分方程组。
Matlab中龙格-库塔（Runge-Kutta）方法原理及实现
函数功能ode是专门用于解微分方程的功能函数，他有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。
ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)³。
解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.使用方法[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名tspan 是区间[t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]y0 是初始值向量T 返回列向量的时间点Y 返回对应T的求解列向量[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)在设置了事件参数后的对应输出TE 事件发生时间YE 事件解决时间IE 事件消失时间sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)sol 结构体输出结果应用举例1 求解一阶常微分方程程序:一阶常微分方程odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数tspan=[1 4]; %求解区间y0=-2; %初值[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y) %作图title('t^2y''=y+3t,y(1)=-2,1<t<4')legend('t^2y''=y+3t')xlabel('t')ylabel('y')% 精确解% dsolve('t^2*Dy=y+3*t','y(1)=-2')% ans =一阶求解结果图% (3*Ei(1) - 2*exp(1))/exp(1/t) - (3*Ei(1/t))/exp(1/t)2 求解高阶常微分方程关键是将高阶转为一阶,odefun的书写.F(y,y',y''...y(n-1),t)=0用变量替换,y1=y,y2=y'...注意odefun方程定义为列向量dxdy=[y(1),y(2)....]程序:function Testode45tspan=[3.9 4.0]; %求解区间y0=[2 8]; %初值[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')legend('y1','y2')title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')xlabel('t')ylabel('y')function y=odefun(t,x)y=zeros(2,1); % 列向量y(1)=x(2);y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t);endend高阶求解结果图相关函数ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tbMatlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
龙格库塔法RKF45Matlab实现
龙格库塔法RKF45的Matlab实现2007-08-16 14:03:32| 分类：MatLab/Maple/Mat|字号订阅4阶5级龙格库塔法用于解一阶微分方程（组），对于高阶微分方程，可以将其转换为一阶微分方程组求解。
原程序由John.H.Mathews编写（数值方法matlab版），但只能解微分方程，不能解微分方程组。
由LiuLiu@uestc修改，使之能够解微分方程组。
该程序精度比matlab自带的ode45更高。
rkf45.m:function [Rt Rx]=rkf45(f,tspan,ya,m,tol)% Input:% - f function column vector% - tspan[a,b] left & right point of [a,b]% - ya initial value column vector% -m initial guess for number of steps% -tol tolerance% Output:% - Rt solution: vector of abscissas% - Rx solution: vector of ordinates% Program by John.Mathews, improved by liuliu@uestcif length(tspan)~=2error('length of vector tspan must be 2.');endif ~isnumeric(tspan)error('TSPAN should be a vector of integration steps.');endif ~isnumeric(ya)error('Ya should be a vector of initial conditions.');endh = diff(tspan);if any(sign(h(1))*h <= 0)error('Entries of TSPAN are not in order.') ;enda=tspan(1);b=tspan(2);ya=ya(:);a2 = 1/4; b2 = 1/4; a3 = 3/8; b3 = 3/32; c3 = 9/32; a4 = 12/13;b4 = 1932/2197; c4 = -7200/2197; d4 = 7296/2197; a5 = 1;b5 = 439/216; c5 = -8; d5 = 3680/513; e5 = -845/4104; a6 = 1/2;b6 = -8/27; c6 = 2; d6 = -3544/2565; e6 = 1859/4104; f6 = -11/40;r1 = 1/360; r3 = -128/4275; r4 = -2197/75240; r5 = 1/50;r6 = 2/55; n1 = 25/216; n3 = 1408/2565; n4 = 2197/4104; n5 = -1/5;big = 1e15;h = (b-a)/m;hmin = h/64;% 步长自适应范围下限hmax = 64*h;% 步长自适应范围上限max1 = 200;% 迭代次数上限Y(1,:) = ya;T(1) = a;j = 1;% tj = T(1);br = b - 0.00001*abs(b);while (T(j)<b),if ((T(j)+h)>br), h = b - T(j); end%caculate values of k1...k6,y1...y6tj = T(j);yj = Y(j,:);y1 = yj;k1 = h*feval(f,tj,y1);y2 = yj+b2*k1;if big<abs(max(y2)) return, endk2 = h*feval(f,tj+a2*h,y2);y3 = yj+b3*k1+c3*k2; if big<abs(max(y3)) return, endk3 = h*feval(f,tj+a3*h,y3);y4 = yj+b4*k1+c4*k2+d4*k3; if big<abs(max(y4)) return, endk4 = h*feval(f,tj+a4*h,y4);y5 = yj+b5*k1+c5.*k2+d5*k3+e5*k4; if big<abs(max(y5)) return, end k5 = h*feval(f,tj+a5*h,y5);y6 = yj+b6*k1+c6.*k2+d6*k3+e6*k4+f6*k5; if big<abs(max(y6)) return, endk6 = h*feval(f,tj+a6*h,y6);err = abs(r1*k1+r3*k3+r4*k4+r5*k5+r6*k6);ynew = yj+n1*k1+n3*k3+n4*k4+n5*k5;% error and step size controlif ( (err<tol) | (h<2*hmin) ),Y(j+1,:) = ynew;if ((tj+h)>br),T(j+1) = b;elseT(j+1) = tj + h;endj = j+1;tj = T(j);endif (max(err)==0),s = 0;elses1 = 0.84*(tol.*h./err).^(0.25);% 最佳步长值s=min(s1);endif ((s<0.75)&(h>2*hmin)), h = h/2; endif ((s>1.50)&(2*h<hmax)), h = 2*h; endif ( (big<abs(Y(j,:))) | (max1==j) ), return, endend% [Rt Rx]=[T' Y];Rt=T';Rx=Y;使用方法：首先编写方程（组）文件（注意与ode45不同，这儿方程组为1Xn数组：function dx= fun(t,x)dx=zeros(1,2);dx(1)=x(1)+x(2)*2+0*t;dx(2)=3*x(1)+x(2)*2+0*t;然后使用：[Rt,Rx]=rkf45(@fun,[0,0.2],[6;4],100,1e-7)。
如何用matlab求解非线性微分方程组(基于龙格库塔的数值微分算法)？
如何用matlab求解非线性微分方程组（基于龙格库塔的数值微分算法）？例如要求解下面这个含时间的线性微分方程组，如下图所示其中：这里的tau_q，g_f，w0都是不含时间的常数：初始条件为：归一化条件：通过观察以上方程组，可以看到：每个方程等式里面并没有u（t）*v（t）这样的交叉项形式，也就是没有非线性项。
因此，用龙格库塔的数值微分算法，可以有两种思路，一种思路是利用哈密顿量矩阵去算，另外一种思路是用列向量去算。
两种代码如下解析：（1）利用哈密顿量矩阵的思路先构建一个子程序m文件，文件名为：coupled_differential_equation.m这里.m文件写入以下代码：function[U,Er,U_condition,TEST]=coupled_differential_equation(rho_0,T,L,w 0,g_f,tau_q)t=linspace(0,T,L);%最终演化时间T就等于每一个tau_qh=T/L;%h这是步长和精度，不同的tau_q，精度应该不一样C{1}=rho_0; %演化矩阵的初态for x=1:1:LTEST(1:2,x)=C{1};%这里的测试代码时用，没有其他用途，以下才是龙格库塔算法 k1=master(t(1,x),C{1},w0,g_f,tau_q);k2=master(t(1,x)+h/2,C{1}+h*k1/2,w0,g_f,tau_q);k3=master(t(1,x)+h/2,C{1}+h*k2/2,w0,g_f,tau_q);k4=master(t(1,x)+h,C{1}+h*k3,w0,g_f,tau_q);C{1}=C{1}+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;U=C{1};endEr=w0*(abs(U(2,1)))^2-(w0*g_f^2)/4*(abs(U(1,1)+U(2,1)))^2-(w0*sqr t(1-g_f^2)-w0)/2;%这是根据Er公式算写的，U（1,1）和U（2,1）就是演化到每一个最终时间T=tau_q时的解u（tau_q）和v（tau_q）解。
三阶与四阶龙格库塔Matlab实现
三阶与四阶龙格库塔Matlab 实现三阶龙格—库塔法的计算公式为:K,g(x,y)1iihhK,g(x，,y，K)2ii122 K,g(x，h,y,hK，2hK)3ii12hy,y，(K，4K，K)i，1i1236三阶龙格—库塔公式的Matlab程序代码:function y = DELGKT3_kuta(f, h,a,b,y0,varvec) format long; N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);y(1) = y0;x = a:h:b;var = findsym(f);for i=2:N+1K1 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);K2 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]);K3 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)-h*K1+K2*2*h]);y(i) = y(i-1)+h*(K1+4*K2+K3)/6; endformat short;DELGKT3_kuta函数运行时需要调用下列函数:function fv=Funval(f, varvec, varval)var= findsym(f);if length(var)<4if var(1)==varvec(1)fv=subs(f,varvec(1),varval(1));elsefv=subs(f,varvec(2),varval(2));endelsefv=subs(f,varvec,varval);end三阶龙格—库塔求解一阶常微分方程应用实例。
用三阶龙格—库塔法求下面常微分方程的数值解。
dy,,2x,3y，2, 0,x,1dx,,y(0),1,在编辑窗口输入下列程序段，然后执行该程序。
syms x y;z=2*x-3*y+2;yy=DELGKT3_kuta(z,0.1,0,1,1,[x y]) 程序执行后得结果四阶龙格—库塔法的计算公式为:K,g(x,y)1iihhK,g(x，,y，K)2ii122hhK,g(x，,y，K) 3ii222K,g(x，h,y，hK)4ii3hy,y，(K，2K，2K，K)i，1i12346function y = DELGKT4_lungkuta(f, h,a,b,y0,varvec)format long;N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);y(1) = y0;x = a:h:b;var = findsym(f);for i=2:N+1K1 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);K2 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]);K3 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K2*h/2]);K4 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)+h*K3]);y(i) = y(i-1)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; endformat short; 同理也要先调用Funval函数(见上)四阶龙格—库塔求解一阶常微分方程应用实例。