离散系统的状态空间描述状态方程

2）系统中信号既有离散量，也有连续量。 描述方式：离散量部分用一阶差分方程描述 连续量部分用一阶微分方程描述，需要离散化。
2019/12/15
2
一、Z变换及相关理论知识
拉氏变换是分析、设计线性连续系统的主要数学工具。Z变 换是分析、设计线性离散控制系统的主要数学工具。
连续 输入信号
线性 系统
离散
2019/12/15

2)

x3 ( k )

xn1(k 1) y(k n 1) xn(k)

xn
(
k
1)

y(k

n)

a0 y(k) a1 y(k 1) an1 y(k n 1) b0u(k)

a0 x1(k) a1x2(k) an1xn(k) b0u(k)
c2

cn



x2
(kT
)

Du(kT
)

xn
(
kT
)
（T为采样周期，经常省去不写）
写成矩阵形式，得离散系统的状态空间描述：
x(k 1) Gx (k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
2019/12/15
4
2、线性定常离散系统状态空间描述的模拟结构图
第一节 线性离散时间系统 的状态空间描述
1. Z变换及相关理论知识 2. 离散时间系统的状态方程 3. 连续时间系统的离散化
2019/12/15
1
离散系统基本知识：
定义：在系统中，只要有一处信号不是时间t的连续函数，这种 系统就称为离散系统。
分类： 1）系统中所有信号均是离散量。 描述方式：一阶差分方程描述
x2 ( k

1)T



g21
g22

g2n


x2
(
kT
)

h2

u(
kT
)



xn
(
k

1)T


gn1
gn2

gnn


xn
(
kT
)
hn

x1(kT )
状态方程：y(kT ) c1
y(k) x1(k)
2019/12/15
9
写成矩阵形式，得到离散系统的状态空间表达式：
x1(k 1) 0

x2(k 1)


0
10 01
0 x1(k) 0


x2 ( k )


0

0 u(k)
G(z) Y(z) U(z)
用方框图表示为： U(z) G(z) Y (z)
2）MIMO离散系统的Z传递矩阵：
当初始状态 x(0) 0 时，对以下状态空间描述做Z变换：
x(k 1) Gx (k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
2019/12/15
6
得：
zX (z) GX(z) HU(z) Y(z) CX(z) DU(z)
整理上式得： Y (z) [C(zI G)1 H D]U(z) G(z)U(z)
所以Z传递矩阵为：G(z)＝C(zI G)1 H D
3）离散系统的特征方程为： zI G 0
而此特征方程的根就是线性离散系统的极点，也是系统矩 阵G的特征值。
2019/12/15
7
4、将差分方程化为状态空间描述：或转换为Z传递函数，再求

xn1
(
k

1)

0
0 0
1


xn1
(
k
)

0

xn(k 1) a0 a1 an2 an1 xn(k) b0
x1(k)
y 1
0

百度文库
0

x2
(
k
)


xn
(
k
)
对于：x(k 1) Gx (k) Hu(k) ，其模拟结构图如下： y(k) Cx(k) Du(k)
u(k) H
D
z x(k 1)
x(k)
1

C
y(k)

G
2019/12/15
单位 如同连续系统中积分器和1/s的关系
迟延
5
3、Z传递函数（矩阵）和特征方程
1）离散系统的Z传递函数为： 零初始条件下，脉冲输出序列的z变换与输入脉冲序列的z 变换之比，称为系统的脉冲传递函数或Z传递函数。
) )

x1 ( k x2 ( k
1) 1)

h1u( k ) h2u( k )

xn(k) xn1(k 1) hn1u(k)
上式中：
h0 bn

h1 h2

bn1 bn2

an1h0 an1h1

an2h0
拉氏变换 S域代数 方程
微分 方程
直接 求解
时域 解
差分 方程
Z变换
Z域代数 方程
S域解 拉
氏 反 变 换
Z 反 变 换
Z域解
3
二、离散系统的状态空间描述
1、线性定常离散系统的状态空间描述为：
x1(k 1)T g11 g12 g1n x1(kT ) h1
输出方程：
离散系统差分方程描述形式：
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k)
bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k)
(k 0,1,2)
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项 y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k) b0u(k)
选择状态变量：x1(k) y(k)

x2 x3
( (
k k
) )

y(k y(k
1) 2)

xn(k) y(k n 1)
2019/12/15
8
化为一阶差分方程组：
x1(k 1) y(k 1) x2(k)

x2
(
k
1)

y(k
2019/12/15
10
2）差分方程的输入函数中包含高于一阶的差分项 y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k) bnu(k n) b0u(k)
x1(k) y(k) h0u(k)
选择状态变量：

x2 x3
( (
k k