高中数学竞赛讲义_二次函数与命题
高中数学竞赛教材讲义 第二章 二次函数与命题讲义
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直≠a 线x =-，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-，下同。
a b 2ab 22．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab 2-}和空集，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
ab 2-≠∅3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和.f (x )图象与x 轴无公共∅点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=,若a <0，则当x =x 0=ab ac 442-a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, ab ac 442-n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)
一、基础知识2.二次函数的性质:当a>0时,f(x的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减,在[x0, -∞上随自变量增大函数值增大(简称递增。
当a<0时,情况相反。
1当△>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<x2,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数f(x图象与x轴有两个不同的交点,f(x还可写成f(x=a(x-x1(x-x2.2当△=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }和空集,f(x的图象与x轴有唯一公共点。
3当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是r和 .f(x图象与x轴无公共点。
当a<0时,请读者自己分析。
定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题:若p则q(p为条件,q为结论;逆命题:若q则p;否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q”为真,则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中,如果已知p q,则p是q的充分条件;如果q p,则称p是q的必要条件;如果p q但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不 q但p q,则p称为q的必要非充分条件;若p q且q p,则p是q的充要条件。
二次函数讲义
二次函数二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0典型例题：例1、 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
高中数学-二次函数-精华讲义
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式f(x) = ax2+bx + c f首先需要考虑d是否等于0,若∏ = 0,则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1 ) 一般式：y = Cix2+bx+c(a≠O)2)顶点式：y = a(x-h)2+k(a ≠0)此时二次函数的顶点坐标为(h,k);3)分解式：y = ^(%-Λ-1)(Λ-x2)其中为、勺是二次函数的与兀轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线X =送卫.3.二次函数的图像与性质①开口方向：当d>0,函数开口方向向上；当d<0,函数开口方向向下；②对称轴：Ici③顶点坐标：(-2，也二)；若图象与X轴有两个交点，分别为M I U I,0), M2(X2,O),2a 4a则∣Λ∕1Λf2∣=∣x1-X2∣ = -φ.④增减性⑤最值("R):当α>0时，函数有最小值，并且当A =-^- , y n∙n = ^Ic~h-；当d<0时,2a 4a函数有最大值，并且当X=斗时，),πm=色工•；3 4a⑥与尤轴的交点个数：当厶=b' -4心>0时，函数与X轴有两个不同的交点；△〈()时，函数尤轴没有交点；△二0时，函数与兀轴有一个交点.4.二次函数根的由来 ---- 配方法b z∙对cιx2+bx+c = (Xa≠O)进行配方，变换为√+-Λ+-=0,由于完全平方是：a aa2 +2ab + b2 =(a+bY艮卩x2 +2ax+a1 =(x+a)29所以要变扌奂为x2 +-x + -^+ - = 0 ,变a4cΓ 4cΓ a换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.Λ(X+⅛=X-S=≤Ξ±^∙从而得到，2a 4tr a 4a在b2-4ac≥0时有解，Y=^±√^-4∑c;若F-4M≤0,此时无解.2a5.有关一元二次方程判别式T2-4ac ,联系韦达定理D Δ>0有两个不等实根；△二O表示有两个相等实根，△<()表示没有实数根，实际就是(x + d), = /?, P < O 的情况.2)。
高中数学第二章函数-二次函数(竞赛精讲)
§2.2 二次函数一、 基础知识： 1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- （4）三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。
（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。
（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。
（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2b f m f n f a -中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。
常依轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
二、 综合应用：例1：已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
高中奥林匹克数学竞赛 二 次 函 数
第四讲 二 次 函 数二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如)0()(2≠++=a c bx ax x f 的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的主要性质：定义域为R ；图象是对称轴平行于y 轴（或与y 轴重合）的抛物线；当a ＞0时，抛物线开口向上方，函数的值域是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ，当∈x （－∞,a b 2-）时,)(x f 是减函数,当∈x [－a b2,＋∞]时，)(x f 是增函数；当a ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b ac 44,2，当∈x （－∞,ab 2-）时,)(x f 是增函数,当∈x [－,＋∞）时，)(x f 是减函数．当ac b 42-＞0时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点，它们分别是（0,242a ac b b ---），（0,242aacb b -+-）；ac b 42-=0时，函数的图象与x 轴有两个重合的交点（－ab2,0）,这时也称抛物线与x 轴相切, ac b 42-＜0时,函数的图象与x 轴没有交点．函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象是连续的．一个有用的结论是，在区间[q p ,]端点处的函数值异号，即)()(q f p f ⋅＜0时,方程)(x f =0在（q p ,）内恰有一个实根．抛物线的凸性也有一定用途，a ＞0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f +；a ＜0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式． 一．含有参变数的二次函数对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当a 、b 、c 固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若b 、c 固定时，a 可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于a 、b 、c 的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了．例题分析：1． 集合A ={42|2++=x x y y }，B ={a x ax y y 42|2+-=}，A ⊆B ，求实数a 的取值集合．解：A 、B 分别表示函数422++=x x y 与函数a x ax y 422+-=的值域．由3)1(4222++=++x x x ≥3知A =[3，＋∞）．而B 受参数a 的影响，要进行讨论．a =0时，x y 2-=，值域是R 符合条件A ⊆B ．a ≠0时，)(x f =a x ax 422+-是二次函数，如果a ＜0，该函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a a 14,，这时A B 不成立．如果a ＞0时，由[3，＋∞]⊆[a a 14-，＋∞],得⎪⎩⎪⎨⎧≤->314 0a a a ∴ 0＜a ≤1综上所述, a 的可取值集合为{a |0≤a ≤1}。
高中数学竞赛校本教材——§5二次函数(1)
高中数学竞赛校本教材§5二次函数(1)二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。
在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。
它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。
因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。
学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。
一、“四个二次型”概述（一元）二次函数→a=0→↑↑（一元）二次三项式→a=0→ax2+bx+c(a≠0)↓↓↓↓↓↓↓↓→a=0→↓↓↓一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)→a=0→观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。
故将它们合称为“四个二次型”。
其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。
而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。
高中数学竞赛试题汇编三 《二次函数、方程、不等式》讲义
高中数学竞赛试题汇编二《二次函数、方程、不等式》1. 如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） (A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞ (D) (],5-∞2. 若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） (A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<3. 函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为 .4. 已知2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，则()0f ax b +>的解集为 .5. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .6. 实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 .7. 已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 .8. 已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 .9. 已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 .10. 已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是 .11. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y = .12. 已知,x y 为实数，则()22225410max x y x x y +=+= .13. 实数,x y 满足x -x 的取值范围是 .14. 已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是 .15. 实数,x y 满足228624=0x x y y -+-+，则2x y -的最大值是 .。
二次函数专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
高中数学竞赛讲义第二章 二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab 2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=ab 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=a b ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
2013届高中数学竞赛教案讲义(2)二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2 二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
二次函数专题全解教学讲义
二次函数专题全解教学讲义第一讲：二次函数基础知识讲解知识网络二次函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→二次函数的应用程的关系二次函数与一元二次方二次函数的平移图象及性质解析式的求法两点式顶点式一般式分类解析式数含义二次函数一般式中的系定义（或判定）考点解读考点1：二次函数的概念:y=ax 2＋bx+c(a ≠０，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素，缺一不可:①函数关系式是整数；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项的系数不为0.考点2.抛物线y=ax 2＋bx+c 中系数a 、b 、c 的作用(1)a 的作用：a 的符号决定抛物线的开口方向．a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下．a 的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线开口越小．(2)b 与a 共同决定对称轴的位置：若a 、b 同号，则对称轴位于y 轴左侧；若a 、b 异号，则对称轴位于y 轴右侧；若b=0，则对称轴是y 轴．（可简单记忆为“左同右异”，一定要自己推导一篇，不但要把对称轴的横坐标和0作比较，还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1，-1做比较）(3)c 的作用：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置．若c>0，则抛物线交y 轴于正半轴；若c<0，则抛物线交y 轴于负半轴；若c=0，则抛物线过原点．c 的值就是抛物线与y 轴交点的纵坐标．（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数（5）a+b+c ，a-b+c 是分别横坐标为1，-1是y 的取值. 考点3 二次函数的解析式1.二次函数的解析式的三种设法：（1）一般式：y=ax2＋bx+c (a≠０，a、b、c为常数);（2）顶点式： y=a(x-h) 2＋k(a≠０，a、h、k为常数);（3）两点式：y=a(x-x1）（x-x2）(a≠０，a、x1、x2为常数)．2.二次函数解析式的求法（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2＋bx+c;（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：y=a(x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，０），（x2，０）．考点4 二次函数的图象和性质考点5 二次函数图象的画法y=ax2＋bx+c的步骤：①把二次函数y=ax2＋bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2＋k(a≠0)的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．考点6 二次函数图象的平移:“上加下减，左加右减”（1）将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．（2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) 2的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．（3）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2＋k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．考点7 二次函数与一元二次方程的关系（1）一元二次方程ax2＋bx+c＝0就是二次函数y=ax2＋bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0没有实数根．考点8 二次函数的应用函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值．课后测验一、填空题1、已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5、抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.9、把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________11、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:(1) 当x= -2时,y=1;(2) 当x> x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4) x1<-1,x2>-1;(5) x2 -x1=,其中正确的结论有：_ __ _(只需填写序号)12、已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0), x1<0<x2,与y轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为______ _ ___二.选择题13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )(A) 3个(B) 2个(C) 1个(D) 0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为（）(A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有( )(A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )(A) y1<y2<y3(B) y1>y2>y3(C) y3>y1>y2(D) y1>y3>y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有( ) (A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三解答题：21．已知函数的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。
第八讲二次函数讲义
第八讲二次函数讲义第八讲二次函数一、课标下复习指南 1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)．2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab 2-，y 有最小值ab ac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a b 2-时，y有最大值ab ac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况：当?＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2a ac b b ---和)0,24(2a acb b -+-，这两点的距离为||42a ac b -；当?＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab-；当?＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点． 4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定．二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．解∵矩形一边长x 米，周长6米，∴矩形另一边长为(3－x )米．∴矩形面积y 关于x 的函数解析式为y ＝x (3－x )即y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)．(函数图象如图8－1)图8－1注意列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)； (3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．解 (1)-=++-=+-=++.124,1,4c b a c b a c b a 解得==-=.4,25,25c b a.425252++-=∴x x y说明还可以由点的坐标之间的关系发现(－1，－1)与(2，－1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线21=x ．抛物线的对称性有时非常有用．(2)设y ＝a (x －2)2＋1(a ≠0)．∵抛物线经过点?=∴21),23,3(a.32212+-=∴x x y (3)由题意知顶点坐标为(0，4)．设y ＝ax 2＋4(a ≠0)．∵抛物线经过点(1，3)，∴a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4．(4)由题意知顶点坐标为(1，0)．设y ＝a (x －1)2(a ≠0)．∵抛物线经过点(2，2)，∴a ＝2．∴y ＝2x 2－4x ＋2．(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点．∵可设y ＝a (x －1)(x －3)，由抛物线过(0，－3)点得a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4x －3．(6)∵抛物线与x 轴交于(1，0)，(2，0)两点，∴设y ＝a (x －1)(x －2)(a ≠0)．由抛物线经过(3，6)点得到a ＝3．∴y ＝3x 2－9x ＋6．(7)∵抛物线与x 轴的两交点关于对称轴x ＝－2对称，∴两交点分别为(－5，0)，(1，0)．设y ＝a (x ＋5)(x －1)．由抛物线过点(－1，8)可得a ＝－1．∴y ＝－x 2－4x ＋5．说明根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；图8－2(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：图8－3①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)，其中正确的结论有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解 (1)p ＜Q 由图8－2知a ＜0，b ＞0，c ＝0，12>-ab．当x ＝1时，y ＝a ＋b ＞0．∴P ＝a ＋2b ，Q ＝2b －a ．∴P ＜Q ．(2)应选B ．由图8－3知a ＜0，b ＞0，c ＞0，12=-ab，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0．∴①②错误，③正确．∵a －b ＋c ＜0，又∵b ＝－2a ∴2b a -=． b c 23<∴，∴2c ＜3b ．∴④正确．∵b ＝－2a ，∴a ＋b ＝－a ， m (am ＋b )＝a (m 2－2m )．a ＋b －m (am ＋b )＝－a (m －1)2．∵m ≠1，∴－a (m －1)＞0．∴⑤正确．说明注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若|x －1|≤3，则关于y ＝－x 2＋2x －1的最值说法正确的是( )．A ．最大值是0，无最小值B ．最小值是－9，最大值是0 C ．无最大值，最小值是－9 D ．无最大值，也无最小值解∵|x －1|≤3，∴－3≤x －1≤3．∴－2≤x ≤4．∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，当x ＝－2时，y ＝－9，当x ＝4时，y ＝－9．由图8－4可知－9≤y ≤0．图8－4∴应选B ．例5 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->kB ．47->k 且k ≠0C ．47-≥kD ．47-≥k 且k ≠0解令y ＝0，则kx 2－7x －7＝0．由题意知一元二次方程kx 2－7x －7＝0有实根．?≥?=/∴.0,0k47-≥∴k 且k ≠0．∴应选择D ．说明抛物线与坐标轴的交点问题要注意：①方程类型．②一元二次方程两根相等?抛物线与x 轴有一个公共点；一元二次方程两根不等?抛物线与x 轴有两个公共点；一元二次方程无实根?抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )．A ．0B ．－1C ．2D ．41 解由题意知x 2＋kx ＋1＝0与x 2－x －k ＝0有一个公共解，不妨设为α，则有=--=++.0,0122k k αααα 整理得(k ＋1)(a ＋1)＝0．∵k ≠－1，∴α＝－1，∴k ＝2．∴应选择C ．例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．图8－5①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________；②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________；③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________；④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． (1)(2，0)，y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3．①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．说明方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝x mx )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．图8－6(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)；(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．解 (1)令y ＝0，则 .0)14(412=+++m x mx ∴x 2＋(m ＋4)x ＋4m ＝0．整理，得(x ＋m )(x ＋4)＝0．解得x ＝－m 或－4．∵m ＜4，∴－m ＞－4．∵点A 在点B 左侧，∴A (－4，0)，B (－m ，0)．(2)过C 作CD ⊥x 轴于D ，则∠CDA ＝90°．∵53sin ==∠AC CD BAC ，设AC ＝5k ，则 CD ＝3k ．∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴AD ＝4k ．∵A (－4，0)，∴OA ＝4，OD ＝4k －4．∵C 点在第一象限，∴C (4k －4，3k )．∵C 点在双曲线xy 9=上，∴3k (4k －4)＝9．23=∴k 或21-(∵k ＞0，21-=k 舍去) )29,2(23C k ∴?=∴． .14541,12++==∴x x y m例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．解(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，则－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)＝0．∵此方程有两个不等实根，?＝－8(m －2)＞0，∴?＞0，m ＜2．又∵m 是不小于0的整数，∴m ＝0，1．当m ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3．令y ＝0，则x 1＝－1，x 2＝3．∵A 在原点左侧，B 在原点右侧，∴A (－1，0)，B (3，0)．当m ＝1时，y ＝－x 2＋4x －2．令y ＝0，则.22,2221-=+=x x ∴不符合题意，舍去．∴y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ．(见图8－7)图8－7∵A (－1，0)，B (3，0)，∴A B ＝4．∵S △ABC ＝10，∴CD ＝5．∴C 点的纵坐标为±5．∵顶点(1，4)，∴C 点的纵坐标为－5．当y ＝－5时，－x 2＋2x ＋3＝－5．∴x 1＝－2，x 2＝4．∴C (－2，－5)，C (4，－5)．可得直线AC 的解析式为y ＝5x ＋5或y ＝－x －1．思考若过点A 的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式? 解见图8－8，情况①当直线与x 轴垂直时，为x ＝－1；图8－8情况②当直线不与x 轴垂直时，设直线的解析式为y ＝kx ＋b ．∵A (－1，0)，∴－k ＋b ＝0，∴k ＝b ，y ＝kx ＋k ．++-=+=∴.32,2x x y k kx y ∴x 2＋(k －2)x ＋k －3＝0．当?＝0时，有一个公共点．∴k ＝4，∴y ＝4x ＋4．综上所述，直线的解析式为x ＝－1或y ＝4x ＋4．例10 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F )，最后沿直线运动到点A 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．解(1)∵抛物线与x 轴分别交于(1，0)，(5，0)两点，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －5)(a ≠0)．又∵抛物线与y 轴交于(0，3)点，=∴=∴53.35a a .351853)5)(1(532+-=--=∴x x x x y(2)∵A (0，3)，∴OA ＝3．∵D 是OA 的一个三等分点，∴DO ＝1或2．∵D 在y 轴的正半轴上，∴D (0，1)或(0，2)．当D (0，1)时，设CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)=+=∴.03,1111b k b 解得=-=.1,3111b k .131+-=∴x y当D (0，2)时，同理可得.232+-=x y 综上所述，直线CD 的解析式为131+-=x y 或.232+-=x y(3)如图8－9所示，图8－9作点M 关于x 轴的对称点M ′．作A 关于对称轴直线x ＝3的对称点A ′．连接A ′M ′交x 轴于E ，交直线x ＝3于F ，则E ，F 即为所求．∵M ，M ＇关于x 轴对称，∴ME ＝M ＇E ．同理AF ＝A ′F ．∴ME ＋EF ＋AF ＝M ′E ＋EF ＋A ′F ＝A ′M ′．∵M 是OA 的中点，OA ＝3，).23,0(,23M OM =∴).23∵A (0，3)，∴A ′(6，3)．由勾股定理得?=+=''21548136M A 设直线 A ′M ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． =+-=∴.36,23.b k b 解得-==23,43b k ?-=∴2343x y 令y ＝0，则.02343=-x ∴x ＝2，E (2，0)．令x ＝3，则?=43y ).43,3(F ∴综上所述，总路径最短为215，此时E (2，0)，F ).43,3( 三、课标下新题展示例11 (2009长沙)如图8－10，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，A ，C 两点的坐标分别为A (－3，0)，)3,0(C ，且当x ＝－4和x ＝2时二次函数的值y 相等．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)若点M ，N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA ，BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题意，得?=++=+-=+-.3,24416,039c c b a c b a c b a解得=-=-=.3,332,33c b a(2)由(1)得3332332+--=x x y ．当y ＝0时，x ＝－3或1．∴B (1，0)，A (－3，0)，)3,0(C ．∴OA ＝3，OB ＝1，3=OC ．可得.4,2,32===AB BC AC∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°．又由BM ＝BN ＝PN ＝PM 知四边形PMBN 为菱形．∴PN ∥AB ．CBCN AB PN =∴即?-=224tt ?=∴34t 过点P 作PE ⊥AB 于E ．在Rt △PEM 中，∠PME ＝∠B ＝60°，PM ＝34．,332233460sin =?=?=∴ PM PF ?==3260tanPF ME又31=-=OB BM OM ，故OE ＝1． ).332,1(-∴P (3)由(1)、(2)知抛物线+--=x x y 3323323的对称轴为直线x ＝－1，且∠ACB ＝90°．①若∠BQN ＝90°，∵BN 的中点到对称轴的距离大于1，而,13221<=BM ∴以BN 为直径的圆不与对称轴相交，∴∠BQN ≠90°，即此时不存在符合条件的Q 点．②若∠BNQ ＝90°，当∠NBQ ＝60°时，Q ，E 重合，此时∠BNQ ≠90°；当∠NBQ ＝30°时，Q ，P 重合，此时∠BNQ ≠90°．即此时不存在符合条件的Q 点．③若∠QBN ＝90°时，延长NM 交对称轴于点Q ，此时，Q 为P 关于x 轴的对称点． )332,1(--∴Q 为所求．例12 (2009广州)如图8－11，二次函数y ＝x 2＋px ＋q (p ＜0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为?45图8－11(1)求该二次函数的解析式；(2)过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形?若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设点A (x 1，0)，B (x 2，0)，其中x 1＜x 2．∵抛物线y ＝x 2＋px ＋q 过点C (0，－1)，∴q ＝－1，y ＝x 2＋px －1．∵抛物线y ＝x 2＋px －1与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，设x 1，x 2是方程x 2＋px －1＝0的两根，则.42+=P AB 又∵S △ABC ,1,4521==?=OC OC AB ?=∴25AB ?=+∴42542p 解得23±=P (∵p ＜0，∴舍去正值)．.123,232--=-=∴x x y p(2)令01232=--x x ，解得.2,2121=-=x x ),0,2(),0,21(B A -∴.5,25,25===BC AC AB =+=+∴54522BC AC .4252AB =∴∠ACB ＝90°，△ABC 是直角三角形．∴Rt △ABC 的外接圆的圆心是斜边AB 的中点，且Rt △ABC 的外接圆的半径?==452AB r∵垂线与△ABC 的外接圆有公共点，?≤≤-∴4545m (3)假设在二次函数y 1232--=x x 的图象上存在点D ，使得四边形ACBD 是直角梯形．①若AD ∥BC ，设点D 的坐标为（--020023,x x x 1)，x 0＞0，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，如图8－12所示．图8－12在Rt △AED 中，)21(123tan 0020----==∠x x x AE DE DAE ，在Rt △BOC 中，?==∠2 1tan OB OC CBO ∴∠DAE ＝∠CBO ，∴tan ∠DAE ＝tan ∠CBO ．=----∴21)21(1230020x x x 整理，得204x －8x 0－5＝0．解得?=250x 或?-=210x ∵x 0＞0，250=∴x ，此时点D 的坐标为)23,25(．而AD 2＝AE 2＋ED 2＝445≠BC 2，因此当AD ∥BC 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )23,25(，使得四边形DACB 是直角梯形．②若AC ∥BD ，设点D 的坐标为(x 0，20x －)1230-x ，x 0＜0．过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，如图8－13所示．图8－13在Rt △DFB 中，FBDF DBF =∠tan 0x x x ---=，在Rt △COA 中，.2211tan ===∠OA OC CAO ∵∠DBF ＝∠CAO ，∴tan ∠DBF ＝tan ∠CAO ．.221230020=---∴x x x 整理，得220x ＋x 0－10＝0．解得250-=x 或x 0＝2．∵x 0＜0，∴250-=x ，此时点D 的坐标为)9,25(-．此时BD ≠AC ，因此当AC ∥BD 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )9,25(-使得四边形DACB 是直角梯形．综上所述，在抛物线1232--=x x y 上存在点D ，使得四边形DACB 是直角梯形，并且点D 的坐标为)23,25(或)9,25(-．四、课标考试达标题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值如果总是负数，那么a ，b ，c 满足( )． A ．a ＞0，b 2－4ac ＜0 B ．a ＞0，b 2－4ac ＞0 C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0 D ．a ＜0，b 2－4ac ＜02．(2007济南)已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－14所示，则y ＝ax －b 的图象一定经过( )．图8－14A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．(2007潜江)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．图8－15A．－4＜x＜1B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．图8－16A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )．x … －112…y… －1 47-－2 47- … A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y ＝x 2＋x －2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )． A ．y ＝－x 2－x ＋2 B ．y ＝－x 2＋x －2 C ．y ＝－x 2＋x ＋2 D ．y ＝x 2＋x ＋28．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，3)，(1，1)两点，且它与y 轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a 的取值范围是( )． A ．1＜a ＜3 B ．1≤a ≤3 C ．2≤a ＜3 D ．1＜a ＜2 9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A ．4元或6元 B ．4元 C ．6元 D ．8元 (二)填空题10．抛物线y ＝x 2－2x －8的对称轴方程为______，顶点为______，与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．11．已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是______．12．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点为(1，2)，与y 轴的交点为(0，3)，则a ＋b ＋c＝______． 13．将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______． 14．若抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(p ，0)，(q ，0)，则该抛物线的解析式为______． 15．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋5的顶点在x 轴上，则b 的值为______． (三)解答题16．(2008茂名)我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价 x (元/件)… 30 40 50 60 …每天销售量y (件)… 500 400 300 200 …(1)把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在图8－17中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；图8－17(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?17．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：,343321}3,2,1{=++-=-M min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a }?->--≤=).1(1)1(a a a解决下列问题：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝______；如果min ＝{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为______≤x ≤______．(2)①如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，那么x ＝______；②根据①，你发现了结论“如果M {a ，b ，c }＝min{a ，b ，c }，那么______”(填a ，b ，c 的大小关系)③运用②的结论，填空：若M {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }＝min{2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }，则x ＋y ＝______； (3)如图8－18，在同一直线坐标系中作出函数y ＝x ＋1，y ＝(x －1)2，y ＝2－x 的图象．通过观察图象，得出min{x ＋1，(x －1)2，2－x }的最大值为______．图8－1818．如图8－19，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B，O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上的一个动点．图8－19(1)求点A的坐标；(2)以点A，B，O，P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当6≤+S624≤＋82时，求x的取值范围．19．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．图8－20(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝<m< bdsfid="616" p=""></m<>m与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，求线<5)10(+段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案第八讲二次函数1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 6．B ． 7．C ． 8．D ． 9．C ．10．x ＝1，(1，－9)，(－2，0)和(4，0)，(0，－8)．11．直线x ＝－1， 12．2． 13．y ＝2x 2－4x ＋5． 14．y ＝x 2或y ＝x 2＋x －2． 15．.52 16．解：(1)画图如答图8－1：答图8－1由图可猜想y 与x 是一次函数关系，函数关系式是y ＝－10x ＋800．(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得W ＝(x －20)(－10x ＋800) ＝－10x 2＋1000x －16000 ＝－10(x －50)2＋9000．∴当x ＝50时，W 有最大值9000．所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．(3)对于函数W ＝－10(x －50)2＋9000，当x ≤45时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该式艺品每天获得的利润最大．17．(1)sin30°，0≤x ≤1；(2)①1，②a ＝b ＝c ，③－4； (3)见答图8－2．答图8－2最大值为1． 18．(1)(－2，－4)；。
高一数学竞赛讲义十----二次函数
高一数学竞赛讲义十----二次函数1.二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：（2）二次函数的限定区间上的最值（值域）问题（3）二次函数的图像（4）二次函数的讨论题型（5）二次函数的零点分布问题（6）二次不等式的转化策略课标练习：1.求下列函数的最大值、最小值、值域（1）221y x x =-- [0,3]x ∈ （2）221y x mx =--（m 为常数），[0,2]x ∈2.若函数2()43f x x x =-+在区间[0,]m 的值域为[0,]m ，则实数m 的取值范围是3.若函数2()1f x mx x =++的零点一个比1大，一个比1小，则实数m 的取值范围是4.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是5.设函数2()232(,)f x x ax a x a R =++∈的最小值为()m a ，当()m a 有最大值时a 的值 为6.设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-成立，则函数(1),(1),(2),(5)f f f f -中，最小的一个不可能是 .例题探究：例题1:求函数2()f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值()M a 的最小值.例题2：已知二次函数2()f x ax bx =+（,a b 为常数，且0a ≠）满足条件：(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数,()m n m n <，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和[3,3]m n ，如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，说明理由.例题3：设a 为实数，函数2()1,f x x x a x R =+-+∈（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值.例题4：设函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈的定义域为[,](0)m m m ->（1）求证：()f x 的最大值M 不小于212m ； （2）求证：当2b m <-时，在定义域内总存在一个0x ，使得0()f x m b >；（3）若方程()f x x =在实数集上无实数根，试判断方程(())f f x x =根的情况，并证明例题5.已知二次函数2()f x ax bx c =++，（,,0ab Ra ∈≠） 满足：（1）当x R ∈时，(4)(2)f x f x -=-，且()f x x ≥；（2）当(0,2)x ∈，21)()(2x f x +≤； （3）求函数()f x 在R 的最小值为0；例题6：设2()(0),f x ax bx c a =++≠若(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤试证明：对于任意11,x -≤≤有5()4f x ≤.例题7：定义在R 上的函数()f x 满足：如果对任意的12,x x R ∈，都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称函数()f x 是R 上的凹函数.已知二次函数2()(,0).f x ax x a R a =+∈≠（1）求证：当0a >，函数()f x 是凹函数；（2）如果()f x 时，()1,f x ≤试求实数a 的范围.例题8：设正系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根，证明：（1）1min{,,}()4a b c a b c ≤++； （2）4max{,,}()9a b c a b c ≤++.。
湖南常德市一中高中数学竞赛讲座：第三讲 二次函数无答案
第三讲 二次函数一、二次函数的几种形式 1、一般式： 2、顶点式： 3、两根式：例1、（1）将二次函数22x y =进行平移，使得它的顶点在一次函数x y 4-=上，且抛物线在x 轴上截得的线段长为2,，则平移后二次函数的解析式为（2）当a 取遍0到5的所有实数时，满足()833-=a a b 的整数b 的个数是（3）设二次函数()c bx ax x f ++=2，当3=x 时取最大值10，并且它的图象在x 轴上截得的线段长为4，则()=1f（4）已知()()2011,,2011,21x Q x P 在二次函数()()072≠++=a bx ax x f 的图象上，则()=+21x x f例2、已知二次函数()x f 满足：（1）()01=-f ，（2）对一切R x ∈都有()212x x f x +≤≤成立，求()x f 的解析式．例3、如果抛物线()112----k x k x y ＝与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，当△ABC 的面积最小时，求抛物线的解析式．二、二次函数的最值1、二次函数在R 上的最值：2、二次函数在给定区间上的最值：例4、设b a ,为常数，0≠a ，()()()x x f f bx ax x f ==+=,02,2有等根，是否存在实数n m ,使()x f 的定义域和值域分别是[][]()n m n m n m <2,2,,？例5、已知函数()()2211++-++a a x x x f ＝的最小值大于5，求实数a 的取值范围．例6、已知()[]1,,222+∈+-t t x x x x f ＝上的最小值为()t g ，求()t g 的表达式．三、二次函数与二次方程 例7、若抛物线()22++ax x x f ＝与连接两点M （0,1），N （2,3）的线段有两个相异交点，求a 的范围．例8、设R b a ∈,，二次方程02=+-b ax x 的两个根分别在[][]2,1,1,1-内，求b a 2-的范围．例9、设实数m c b a ,,,满足条件0,0,012>≥=++++m a mc m b m a ，求证：方程02=++c bx ax 有一根0x 满足100<<x ．四、二次函数与不等式例10、（1）对于任意实数x ，不等式()02212>++-x x a 恒成立，求a 的范围；（2）对于任意[]1,1-∈x ，不等式()02212>++-x x a 恒成立，求a 的范围．例11、设()()02>++a c bx ax x f ＝，方程()x x f ＝的两个实根为21,x x ，且11210,1,0x t ax x x <<>->，比较()1,x t f 的大小．例12、已知()()b ax x g c bx ax x f R c b a +=++=∈,,,,2，当[]1,1-∈x 时，()1≤x f（1）证明：1≤c ；（2）证明：当[]1,1-∈x 时，()2≤x g ；（3）设0>a ，当[]1,1-∈x 时，()x g 的最大值为2，求()x f 的解析式．练习：1、 若不等式1502≤++≤px x 有且只有一个实数解，则p 的范围为2、若32,12,,222++=+-=+∈a a y x a y x R y x ，当xy 最小时，=a3、给定函数()R q p q p b ax x x f ∈=+++,,1,2＝，证明：若对于任意R y x ∈,均有：()()()qy px f y qf x pf +≥+，则10≤≤p ．4、已知()[]0,1,0,22>∈+-a x aax x x f ＝，求()x f 的最小值()a g 的表达式，并求()a g 的最大值．5、a 为何值时，关于x 的方程()222log =-+x a x 有两相异实根？6、设二次函数()()x x f a c bx ax x f =>++,0,2＝的两个根21,x x 满足ax x 1021<<< （1）当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<；（2）设函数()x f 的图象关于直线0x x =对称，证明210x x <．7、关于x 的方程()()024152122=++--x a x a 有两个不等的负整数根，求a ．8、证明：不存在同时满足下列两个条件的二次多项式()x f ： （1）当[]1,1-∈x 时，()1≤x f ；（2）()82>f ．。
高中数学竞赛 第02讲 二次函数与二次不等式教案
第2讲 二次函数与二次不等式本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。
二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解,是相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中,函数值为0时x 的值,即此二次函数的图象在x 轴上的截距（函数图象与x 轴的交点的横坐标）。
二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解,是相应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y 中,函数值大于0时x 的值,即此二次函数的图象在x 轴上方时x 的取值范围；同样的,二次不等式)0(02><++a c bx ax 的解,是相应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y中,函数值小于0时x 的值,即此二次函数的图象在x 轴下方时x 的取值范围。
因此,0>∆0=∆ 0<∆的图象)0(2>++=a c bx ax y的解)0(02>>++a c bx ax21x x x x ><或 R x x x ∈≠且0 一切实数的解)0(02><++a c bx ax 21x x x << 无解 无解高次不等式可以先进行因式分解,再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式求解。
A 类例题例1 设二次函数)0(2222<++=a a ax x y 的图象的顶点为A ,与x 轴的交点为C B ,,当ABC ∆为等边三角形时,求a 的值。
分析 欲求a 的值,需得到一个关于a 的方程。
因为A 是抛物线的顶点,所以AC AB =。
由ABC ∆是等边三角形,得BC AD 23=。
只要以a 表示BC AD 和,则a 的值可求。
解 由函数)0(2222<++=a a ax x y ,化简得2)(22a a x y -+=。
因而有)2,(2a a A --,又设)0,(,)0,(21x C x B 。
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二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
f (x )在[m, n ]上的最小值为f (m)；当x 0>n 时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (n )（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。
定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。
注2 原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ⇒q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中，如果已知p ⇒q ,则p 是q 的充分条件；如果q ⇒p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ⇒q 但q 不⇒p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不⇒q 但p ⇒q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件。
二、方法与例题 1．待定系数法。
例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α，β，求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ). 【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a +b +1]=0， 因为方程x 2-x +1=0中△≠0，所以α≠β，所以(α+β)a +b +1=0. 又α+β=1,所以a +b +1=0. 又因为f (1)=a +b +c =1，所以c -1=1，所以c =2.又b =-(a +1)，所以f (x )=ax 2-(a +1)x +2. 再由f (α)=β得a α2-(a +1)α+2=β,所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0. 即a (α2-α+1)+1-a =0,即1-a =0， 所以a =1,所以f (x )=x 2-2x +2. 2．方程的思想。
例2 已知f (x )=ax 2-c 满足-4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围。
【解】 因为-4≤f (1)=a -c ≤-1, 所以1≤-f (1)=c -a ≤4.又-1≤f (2)=4a -c ≤5, f (3)=38f (2)-35f (1), 所以38×(-1)+35≤f (3)≤38×5+35×4,所以-1≤f (3)≤20.3．利用二次函数的性质。
例3 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R, a ≠0)，若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f (f (x ))=x 也无实根。
【证明】若a >0，因为f (x )=x 无实根，所以二次函数g (x )=f (x )-x 图象与x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的x ∈R,f (x )-x >0即f (x )>x ，从而f (f (x ))>f (x )。
所以f (f (x ))>x ，所以方程f (f (x ))=x 无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )=x 的两根x 1, x 2满足0<x 1<x 2<a1, （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；（Ⅱ）设函数f (x )的图象关于x =x 0对称，求证：x 0<.21x 【证明】 因为x 1, x 2是方程f (x )-x =0的两根，所以f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2)， 即f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x . （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，x -x 1<0, x -x 2<0, a >0，所以f (x )>x . 其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+a1]<0，所以f (x )<x 1. 综上，x <f (x )<x 1.（Ⅱ）f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2,所以x 0=a x x a x x a 21221)(2121-+=-+,所以012121222210<⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-a x a x x x ，所以.210xx <5．构造二次函数解题。
例5 已知关于x 的方程(ax +1)2=a 2(a -x 2), a >1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】 方程化为2a 2x 2+2ax +1-a 2=0. 构造f (x )=2a 2x 2+2ax +1-a 2,f (1)=(a +1)2>0, f (-1)=(a -1)2>0, f (0)=1-a 2<0, 即△>0， 所以f (x )在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6 当x 取何值时，函数y =2224)1(5+++x x x 取最小值？求出这个最小值。
【解】 y =1-222)1(511+++x x ,令=+112x u,则0<u ≤1。
y =5u 2-u+1=5201920191012≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-u , 且当101=u 即x =±3时，y m in =2019.例7 设变量x 满足x 2+bx ≤-x (b <-1)，并且x 2+bx 的最小值是21-，求b 的值。
【解】 由x 2+bx ≤-x (b <-1)，得0≤x ≤-(b +1).ⅰ)-2b ≤-(b +1)，即b ≤-2时，x 2+bx 的最小值为-214,422-=-b b ，所以b 2=2，所以2±=b （舍去）。
ⅱ) -2b>-(b +1)，即b >-2时，x 2+bx 在[0，-(b +1)]上是减函数， 所以x 2+bx 的最小值为b +1,b +1=-21,b =-23.综上，b =-23.7.一元二次不等式问题的解法。
例8 已知不等式组⎩⎨⎧>+<-+-12022a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。
【解】 因为方程x 2-x +a -a 2=0的两根为x 1=a , x 2=1-a ,若a ≤0，则x 1<x 2.①的解集为a <x <1-a ，由②得x >1-2a . 因为1-2a ≥1-a ，所以a ≤0,所以不等式组无解。
若a >0，ⅰ）当0<a <21时，x 1<x 2,①的解集为a <x <1-a . 因为0<a <x <1-a <1，所以不等式组无整数解。
ⅱ）当a =21时，a =1-a ，①无解。
ⅲ）当a >21时，a >1-a ，由②得x >1-2a ，所以不等式组的解集为1-a <x <a . 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a -(1-a )>1且a -(1-a )≤3，所以1<a ≤2，并且当1<a ≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。
综上，a 的取值范围是1<a ≤2. 8．充分性与必要性。
例9 设定数A ，B ，C 使得不等式A (x -y )(x -z )+B (y -z )(y -x )+C (z -x )(z -y )≥0 ①对一切实数x ,y ,z 都成立，问A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A ，B ，C 的等式或不等式表示条件）【解】 充要条件为A ，B ，C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ). 先证必要性，①可改写为A (x -y )2-(B -A -C )(y -z )(x -y )+C (y -z )2≥0 ② 若A =0，则由②对一切x ,y ,z ∈R 成立，则只有B =C ，再由①知B =C =0，若A ≠0，则因为②恒成立，所以A >0，△=(B -A -C )2(y -z )2-4AC (y -z )2≤0恒成立，所以(B -A -C )2-4AC ≤0，即A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA )同理有B ≥0，C ≥0，所以必要性成立。