2017年上海普陀区高考数学二模

第二学期普陀区高三数学质量调研

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空填对前6题得4分，后6题得5分，否则一律得零分.

1.计算：31lim 1n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

____________ 2.函数21log 1y x ⎛⎫=-

⎪⎝⎭的定义域为____________ 3.若2παπ<<，3sin 5α=，则tan 2α=____________ 4.若复数()21z i i =+⋅（i 表示虚数单位），则z =____________

5.曲线C ：sec tan x y θθ

=⎧⎨=⎩（θ为参数）的两个顶点之间的距离为____________

6.若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为____________（结果用最简分数表示）

7.若关于x 的方程sin cos 0x x m +-=在区间0,

2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是____________ 8.若一个圆锥的母线与底面所成的角为6

π，体积为125π，则此圆锥的高为____________ 9.若函数()()222log log 12f x x x x =-+≥的反函数为()1f x -，则()13f -=____________

10.若三棱锥S ABC -的所有的顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA AB ==，4AC =，

3BAC π

∠=，则球O 的表面积为____________

11.设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R

x ∈恒成立，则a 的取值范围是____________

12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的

动点，若△ABC 的面积为1，则2

M B M C B C ⋅+

的最小值为____________

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分

13.动点P 在抛物线2

21y x =+上移动，若P 与点()0,1Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ）

A. 22y x =

B. 24y x =

C. 26y x =

D. 2

8y x =

14.若α、R β∈，则“αβ≠”是“tan tan αβ≠”成立的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

15.设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（ ）

A. 若l //α，m ⊥β，l ⊥m ，则α⊥β

B . 若l //α，m ⊥β，l ⊥m ，则α//β

C . 若l //α，m ⊥β，l //m ，则α⊥β

D .若l //α，m ⊥β，l //m ，则α//β 16.关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ）

A .最小正周期为2π，值域为[]1,1-，在区间,22ππ⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦上是单调减函数 B .最小正周期为π,值域为[]1,1-，在区间0,

2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调减函数 C .最小正周期为π,值域为[]0,1，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上是单调增函数 D .最小正周期为2π，值域为[]0,1，在区间,22ππ⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦上是单调增函数 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是

BC 、11A D 的中点. （1）求证：四边形1B EDF 是菱形；

（2）求异面直线1AC 与

DE 所成的角（结果用反三角函数表示）

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 为常数且0a ≠，R x ∈），当4x π=

时，()f x 取得最大值. （1）计算114f π

⎛⎫ ⎪⎝⎭

的值； （2）设()4g x f x π⎛⎫=-

⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分

某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（45v ≤≤）从A 港前往相距50海里的B 地，然后乘汽

车以匀速ω千米/小时（30100ω≤≤）自B 港前往相距300

千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市，设乘船和汽车

的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费

()()100358P x y =+-+-（单位：元）

（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；

（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的

费用.

20.（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分

已知抛物线Γ：22

143

x y +=，直线l 经过点(),0P m 与Γ相交于A 、B 两点.

（1）若(0,C 且2PC =，求证：P 必为Γ的焦点；

（2）设0m >，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的

值；

（3）设O 为坐标原点，若m =，直线l 的一个法向量()1,n k =，求△AOB 面积的最大值.

21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分

已知数列{}n a ()

*N n ∈，若{}1n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P . （1）若数列{}n a 具有性质P ，且1231,3a a a ===，求4a 、5a 的值；

（2）若()21n

n n b =+-，求证：数列{}n b 具有性质P ； （3）设212n c c c n n +++=+，数列{}n d 具有性质P ，其中11d =，321d d c -=，232d d c +=，若210n d >，求正整数m 的取值范围.