第四章拉普拉斯变换与S域分析

举例4.4:
解：k13 1 d2 F (s) 1 2 k2 sF ( s ) s 0 2 ds s p
1
1 4 s 2 s4
F (s)
2
s 1

s2 ( s 1)3
2
s 0
３ ２ ２ ２ － ( s 1)3 ( s 1) 2 ( s １ ) s
0系统：若某些信号在0点有跳变且已知f (0 ) 则 F (s)
def


0
f (t )e st dt
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
2.指数函数
3.单位冲激信号
全s域平面收敛
4．tnu(t)
作业

P250 4-1
第三节 拉氏变换的基 本性质
一．线性
例题：
已知 则 同理
s 3

举例4.1:
100 20 10 解： F ( s ) 3s s 1 3( s 3)
10 3t 100 t f (t ) 20e e u (t ) 3 3
部分分式展开法
(2)极点包含共轭复根的情况 ( p1,2 j )
第四章 拉普拉斯变换 与S域分析
第一节 引言
一、拉氏变换的优点


把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换， 经求解再还原为时间函数。 拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。 应用拉氏变换： （1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含 在变换式里。 （2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”， “积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代 数方程。 拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。 利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。
得多重根部分的逆变换 ：
K11 k 1 p1t f c (t ) t e ( k 1) ! K1i k i p1t p1t t e K1k e u (t ) (k i) !
L1
三、留数法
f (t ) 2 j j 1
第二种情况：极点为共轭复数
共轭极点出现在
求f(t)
例题
另一种方法
求下示函数F(s) 的逆变换f(t)： 解：F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法
求得
部分分式展开法
(3)极点包含多重根的情况 (k重根p1 )
A( s ) F ( s) k ( s p1 ) D( s )
其中D(s)为分母除去多重根剩余 部分
A( s ) F (s) D( s ) ( s ) 2 2 A( s ) D( s )( s j )( s j )
其中D(s)为分母除去共轭复根剩余部分

举例4.2:
s 5s 9 s 7 已知F ( s) , ( s 1)( s 2)
部分分式展开法
(1)极点为单实根的情况 ( p1 pn )
kn k1 m n时，F ( s ) s p1 s pn 其中ki ( s pi ) F ( s) s p （留数）
i
分解
f (t ) k1e
L1

p1t
kn e
s2 令F1 ( s ) ( s 1) F ( s ) s
3
（重根p1极点处的留数）

举例4.4:
解：其中k11 F ( s ) s p 1 s2 s
k12
1
3
s 1
d F (s) 1 ds s p1 s ( s 2) 1 2 2 s s 1
t
s α cosω0 t u( t ) 2 s α ω02 ω0 sinω0 t u( t ) s α 2 ω02
同理 : e
t
证明：
时移和尺度变换都有时:
七．初值
初值定理证明
由原函数微分定理可知 d f (t ) sF ( s ) f 0 L dt d f (t ) e st d t 0 dt 0 d f ( t ) d f (t ) st e dt e st d t 0 0 dt dt d f (t ) f 0 f 0 e st d t 0 dt d f (t ) 所以 sF ( s ) f 0 e std t 0 dt
3 2 t f (t ) t e 2te t 2e t 2 u (t ) 2
作业

P251 4-4
第五节
拉氏变换法分 析电路
一. 用拉氏变换法分析电路的步骤
列s域方程（可以从两方面入手） • 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
• 直接按电路的s域模型建立代数方程。
用拉氏变换方法分析系统时，最后还要 将象函数进行拉氏反（逆）变换。 求解拉氏逆变换的方法有：
（1）部分分式展开法
（2）长除法 （3）留数法
二、部分分式展开法
A( s) am s am1s a0 设F ( s) （有理式） n n 1 B( s) bn s bn 1s b0
证明：
推广：
电感元件的s域模型
设 应用原函数微分性质
三．原函数的积分
证明：
① ②
① ②
电容元件的s域模型
四．延时（时域平移）
证明：
例题 4-3-1
已知
证明：
例4-6
求 e α t cosω0 t的拉氏变换
s 已知 : Lcosω0 t u( t ) 2 s ω02
所以 e
求解s域方程。 ，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
三．利用元件的s域模型分析电路
1.电路元件的s域模型
·电阻元件的s域模型
·电感元件的s域模型
利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：
3 2
求其逆变换
解：长除法 F (s)

举例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.2:
s2 2 3 2 s 3s 2 s 5 s 9 s 7 s 3s 2 s
3 2
7 s 7 2s
2
６s ４ 2s s 3
2

举例4.2:
k1 k2 部分分式展开法 F ( s ) s 2 s 1 s 2
·电容元件的s域模型
电流源形式：
S域电路分析
s域电路分析方法：
将网络中每个元件用其s域模型代替； E E 将信号源写作变换式（ 或 ，U s ( s)或I s ( s)）； s sR 对此构成的s域模型图采用KVL和KCL 分析得到所需的系统方程变换式。
（所进行的数字运算是代数关系，类似电阻性网络； 戴维南定理与诺顿定理均适用； 适合较多结点或回路的网络分析。）
s3 其中k1 ( s 1) ( s 1)( s 2) s3 k2 1 s 1 s 2
2 1 F (s) s 2 s 1 s 2
2
s 1
f (t ) '(t ) 2 (t ) 2e t e 2t u (t )
八．终值
终值存在的条件:
例如
九．卷积
时域卷 积定理
频域卷 积定理
证明：
L f1 t f2 t
0


0
f1 τ uτ f2 t ut τ dτ e std t
交换积分次序
L f1 t f2 t
0
L f1 t f 2 t f τ F2 s e
其中k1 sF ( s ) s 0 10( s 2)( s 5) ( s 1)( s 3) 100 3
s 0

举例4.1:
解：k2 ( s 1) F ( s ) s 1 10( s 2)( s 5) ( s 3) 20
s 1
k3 ( s 3) F ( s ) s 3 10( s 2)( s 5) s( s 1) 10 3
i 1 n
d k 1 1 k st ri ds k 1 ( s pi ) F ( s )e (k 1)!

举例
s2 已知F ( s ) , 3 s ( s 1) 求其逆变换
k13 k11 k12 k2 解：F ( s) 3 2 ( s 1) ( s 1) ( s 1) s
m m 1
则A( s ) am ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) 其中z1，z2， zm 称F ( s )的零点 B ( s ) bn ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) 其中p1 , p2 , pn 称F ( s )的极点
j
F ( s)e st ds, t 0
设一闭合围线的积分路径为无限大圆弧,
则上式中积分等于围线中 被积函数所有极点的留数之和
留数法
即f (t ) F (s)e 的留数
st 极点


若极点s pi处留数为ri , 围线中 有n个极点pi (k阶) 则f (t ) ri ,
0 1
f t τ ut τ e std t dτ f1 τ 2 0

s
d τ
L f1 t f 2 t F2 s f τ e
0 1
s
dτ
F1 ( s)F2 ( s)
第四节
拉氏逆变换
一、系统的s域分析方法
pn t
u(t)
m n时，先用长除法将分子中的高次项提出， 余下的满足m n部分按上法分解

举例4-8:
已知 10( s 2)( s 5) F ( s) , s( s 1)( s 3)
求其逆变换
k3 k1 k2 解：部分分解法 F ( s ) （m n） s s 1 s 3
est e t e jwt e t (cos wt j sin wt )
看出：将频率变换为复频率s,且只能描述振荡的 重复频率，而s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅 度的增长速率或衰减速率。
三．拉氏变换的收敛域
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
第二节 拉氏变换的定义、 收敛域
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
则
2．拉氏逆变换
3．拉氏变换对
二、拉氏变换的物理意义



s j
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)， 或作相反变换。 时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。 变量s又称“复频率”。 拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
其中０与f t 有关， 过０ 的垂直线为收敛轴，
０在S 平面内称收敛坐标
拉氏变换收敛域举例
(1)有界非周期信号收敛域: 全平面 (即凡是有始有终,能量有限的信号); (2)有稳定幅度的周期信号收敛域: 0; 右半平面.
(3)随时间成正比增长的信号 0; (4)按指数eat 增长的信号 a。

举例4.16:
如图所示电路， 0时开关s位于“１”端 t 电路达到稳定， 0时s从“１”端 t “２”端 求iL (t )
部分分式展开法
A( s ) 设F ( s ) 1 D( s )
F1 ( s ) 则F ( s ) ( s p1 ) k
分解
K1i K11 k ( s p1 ) ( s p1 ) k i 1 K1k s p1
部分分式展开法
1 d i 1 其中K1i i 1 F1 ( s) s p 1 (i 1)! ds