茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章 (2)课件
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(1)非负性: 对于任意 A F , P(A) 0
(2)正则性: P(Ω) 1
( 3)可 列 可 加 性 : 若A1 , A 2 ,, An ,互 不 相 容 ,有 P
A
i 1 i
i 1
P(Ai )
则称P(A)为事件A的概率, 称(Ω ,F ,P)为概率空间.
直觉告诉我们, 事件的频率应能在一定程度上反映 事件发生的可能性大小. 因为如果事件发生的可 能性大, 它在n次试验中出现的机会也多, 事件发 生的频率就大些.
但是, 频率也有明显的缺陷: 随机事件的频率fn(A) 随着试验总次数n的不同而不同, 这种波动性在n 较小时较为明显, 这就为频率作为一个潜在的衡 量事件发生可能性的指标蒙上了阴影.
容易验证, 通过频率法定义的概率满足概 率的公理化定义, 实际上, 我们只要验证 频率满足那三条性质.
求概率的频率方法的最大优势在于它让我 们能够求得通过理论方法无法求得的概 率. 现在我们来看两个例子:
例一(女婴出生率的研究).
拉普拉斯在18世纪末对伦敦, 彼得堡, 柏林 和法国的众多统计资料进行研究, 发现这 些国家的女婴出生率都稳定地接近于 0.488.
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
频率(Frequency)的定义:
设随机事件A在n次试验中出现nA次, 则事件A 在n次试验中发生的频率为
nA f n ( A) n
易知, 随机事件的频率具有以下性质:
频率的性质:
(1)对任意事件 A, 0 f n ( A) 1
(2)对必然事件 S, fn ( S ) 1
(3)若A1 ,, Ak 是k个互不相容事件 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak )
为了证明这种说法, 我们考虑“抛硬币”的试 验: 将一枚硬币抛5次,50次,500次各做10遍, 得到的数据如下表.
试验序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n= 5 nH 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 ƒn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 nH 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
从上表也可以看出一些好消息, 在n较大时, 事件的频率表现 出一定的稳定性: 即随着n的增大, fn(A)越来越趋近于一个 常数. 历史上许多人投掷硬币实验的结果也证实了这点.
实验者
德摩根wenku.baidu.com
蒲丰 卡.皮尔逊 卡.皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
nH 1061 2048 6019 12012
通过对各种概率问题的深入研究, 抽象出概 率的一般特征(这种研究方法常称为弱抽象), 伟大的数学家, 现代概率论奠基者, 柯尔莫哥 洛夫(Kolmogorov)提出了概率的公理化的定 义, 引领了现代概率论的发展.
概率的公理化定义 (或称柯尔莫哥洛夫公理):
设Ω 为样本空间, F 为Ω 上的一个事件域. 如果对 任一事件A∈F , 定义在F 上的实值函数P(A)满足
n= 50 ƒn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
n=500 nH 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 ƒn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
第二节 概率的定义及其确定方法
1. 概率的定义 2. 求概率的频率方法
3. 求概率的古典方法
4. 求概率的几何方法
1. 概率的定义
事件的概率, 通俗地讲, 是指该事件发生可能性大 小地度量. 在历史上, 由于随机试验及随机事件的类型很多, 人们也就从不同侧面用不同方式研究了如何度 量事件发生的可能性.
例如, 研究女婴出生的概率, 瑞典人通过大 量观察, 测得女婴出生的频率在0.482左右 波动, 得出女婴出生的概率约为0.482.
再如, 掷两颗骰子获得双6的概率, 通过简 单理论推算知道, 其严格等于1/36.
所以, 概率研究的情形很多, 也相应产生了一 些特殊的计算方法.
但如何对概率给出一个一般性的 定义, 使得这些特殊的计算方法 得出的概率均符合这个一般性的 定义???
统计学家克拉梅(1893-1985)用瑞典1935 年地官方资料(见下表), 发现女婴出生频 率总是在0.482左右波动.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5003
这种大量重复试验中事件出现的频率的稳定性表明, 随机事件发生的可能性大小是随机事件本身所固 有的客观属性, 我们用这个频率的稳定值来表示 事件发生的可能性大小是合理的, 这就是概率的 频率化定义.
概率的频率化定义:
当与随机事件有A关的随机试验可大量重复进行时, 如进行n次. 当n很大时, 事件A出现的频率 fn(A)=nA/n 将稳定地在某一数值p附近摆动, 且一般 随试验次数n的增大, 摆动的幅度也越来越小, 则称 该数值p为事件A发生的概率, 记为P(A)=p
(2)正则性: P(Ω) 1
( 3)可 列 可 加 性 : 若A1 , A 2 ,, An ,互 不 相 容 ,有 P
A
i 1 i
i 1
P(Ai )
则称P(A)为事件A的概率, 称(Ω ,F ,P)为概率空间.
直觉告诉我们, 事件的频率应能在一定程度上反映 事件发生的可能性大小. 因为如果事件发生的可 能性大, 它在n次试验中出现的机会也多, 事件发 生的频率就大些.
但是, 频率也有明显的缺陷: 随机事件的频率fn(A) 随着试验总次数n的不同而不同, 这种波动性在n 较小时较为明显, 这就为频率作为一个潜在的衡 量事件发生可能性的指标蒙上了阴影.
容易验证, 通过频率法定义的概率满足概 率的公理化定义, 实际上, 我们只要验证 频率满足那三条性质.
求概率的频率方法的最大优势在于它让我 们能够求得通过理论方法无法求得的概 率. 现在我们来看两个例子:
例一(女婴出生率的研究).
拉普拉斯在18世纪末对伦敦, 彼得堡, 柏林 和法国的众多统计资料进行研究, 发现这 些国家的女婴出生率都稳定地接近于 0.488.
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
频率(Frequency)的定义:
设随机事件A在n次试验中出现nA次, 则事件A 在n次试验中发生的频率为
nA f n ( A) n
易知, 随机事件的频率具有以下性质:
频率的性质:
(1)对任意事件 A, 0 f n ( A) 1
(2)对必然事件 S, fn ( S ) 1
(3)若A1 ,, Ak 是k个互不相容事件 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak )
为了证明这种说法, 我们考虑“抛硬币”的试 验: 将一枚硬币抛5次,50次,500次各做10遍, 得到的数据如下表.
试验序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n= 5 nH 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 ƒn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 nH 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
从上表也可以看出一些好消息, 在n较大时, 事件的频率表现 出一定的稳定性: 即随着n的增大, fn(A)越来越趋近于一个 常数. 历史上许多人投掷硬币实验的结果也证实了这点.
实验者
德摩根wenku.baidu.com
蒲丰 卡.皮尔逊 卡.皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
nH 1061 2048 6019 12012
通过对各种概率问题的深入研究, 抽象出概 率的一般特征(这种研究方法常称为弱抽象), 伟大的数学家, 现代概率论奠基者, 柯尔莫哥 洛夫(Kolmogorov)提出了概率的公理化的定 义, 引领了现代概率论的发展.
概率的公理化定义 (或称柯尔莫哥洛夫公理):
设Ω 为样本空间, F 为Ω 上的一个事件域. 如果对 任一事件A∈F , 定义在F 上的实值函数P(A)满足
n= 50 ƒn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
n=500 nH 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 ƒn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
第二节 概率的定义及其确定方法
1. 概率的定义 2. 求概率的频率方法
3. 求概率的古典方法
4. 求概率的几何方法
1. 概率的定义
事件的概率, 通俗地讲, 是指该事件发生可能性大 小地度量. 在历史上, 由于随机试验及随机事件的类型很多, 人们也就从不同侧面用不同方式研究了如何度 量事件发生的可能性.
例如, 研究女婴出生的概率, 瑞典人通过大 量观察, 测得女婴出生的频率在0.482左右 波动, 得出女婴出生的概率约为0.482.
再如, 掷两颗骰子获得双6的概率, 通过简 单理论推算知道, 其严格等于1/36.
所以, 概率研究的情形很多, 也相应产生了一 些特殊的计算方法.
但如何对概率给出一个一般性的 定义, 使得这些特殊的计算方法 得出的概率均符合这个一般性的 定义???
统计学家克拉梅(1893-1985)用瑞典1935 年地官方资料(见下表), 发现女婴出生频 率总是在0.482左右波动.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5003
这种大量重复试验中事件出现的频率的稳定性表明, 随机事件发生的可能性大小是随机事件本身所固 有的客观属性, 我们用这个频率的稳定值来表示 事件发生的可能性大小是合理的, 这就是概率的 频率化定义.
概率的频率化定义:
当与随机事件有A关的随机试验可大量重复进行时, 如进行n次. 当n很大时, 事件A出现的频率 fn(A)=nA/n 将稳定地在某一数值p附近摆动, 且一般 随试验次数n的增大, 摆动的幅度也越来越小, 则称 该数值p为事件A发生的概率, 记为P(A)=p