1.2集合的基本关系与基本运算(学生版)

信达雅教育内部教案

一、集合

1.2 集合的基本关系与基本运算

学习目标：

1.了解集合之间包含关系的意义.

2.理解子集、真子集的概念.

3.了解全集的意义,理解补集的概念.

1.2.1集合的基本关系

观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==

(2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合。

(3){2,4,6},{6,4,2}E F ==.

（1）子集

一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集.

记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 含于B(或B 包含A)

(2)集合相等与真子集

（2）空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø，并规定：空集是任何集合的子集。

（3）用韦恩图表示集合

为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。

如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.

图l ()A B B A ⊆⊇或 图2 B A =

（4）集合的一些基本结论：

1）任何一个集合是它本身的子集。即

A A ⊆；

2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C B B A ⊆⊆⊆

例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

解:集合{a,b}的所有子集为Ø，{a}，{b}，{a,b}。真子集为Ø，{a}，{b}。

练习：

1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．

解：

拓展：

2．用适当的符号填空：

（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；

（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；

（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；

（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；

（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．

1.2.2集合的基本运算

请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗?

(1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C ===

(2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数

（1）并集

—般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集.

记作：A ∪B.读作“A 并B ”.

其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈或

用Venn 图表示如下：

这样，在问题（1）（2）中，集合A 与B 的并集是C ，即

C B A = ：

例题：

（2）交集

（1）{2,4,6,8,10},{3,5,8,12},{8};A B C ===

（2）A={x |x 是国兴中学2004年9月在校的女同学}，

B={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级同学}，

C={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}.

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.

记作：B A . 读作：A 交B

其含义用符号表示为：{|,}.A

B x x A x B =∈∈且 用Venn

阴影部分即为B A

例题：

（3）全集与补集

（4）集合的简单性质：

（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂

（2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃

（3）);()(B A B A ⋃⊆⋂

（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；

（5）德.摩根定律 U C （A B ）=（U C A ） （U C B ），U C （A B ）=（U C A ） （U C B ） 练习：

1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A

B A B ．

2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A

B A B ．

3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．

4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求()()()B C A C B C A U U U ,