第1章 命题逻辑

至多可以定义多少个二元联结词？
➢ 排斥或联结词
➢ 与非联结词 ➢ 或非联结词
全功能集
一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该 集合中的联结词来等值比较，就称他为全功能联 结词组（功能完备集）
如:{ ¬ ，∧，∨ }
极小的全功能集
如果一个联结词的功能完备集中不含冗余的联结词， 就不再具备这种特性，就称为极小全功能联结词组 （极小的功能完备集）
说明： 等值与等价不是一回事。等价是命题联结 词，是公式，在某些指派下为真，某些指派下 为假；等值不是逻辑联结词，而是公式关系符， A B描述了A ，B两公式之间的关系， 只有 “成立”，“不成立”的区别。
简单判定: A B 充要条件是 A与B的真值表相同.
例1 判定下列两公式是否等值？
1) p 与 ┑( ┑P) 2) (p q) r 与 p (q r)
离散数 学
主讲教师 李红军
北京林业大学 理学院 BEIJING FORESTY UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学 出版社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
14) 假言易位： AB ┑B ┑A 15) 等价否定等值式： A↔B ¬ A ¬ B
16) 归缪论: (AB) ∧( A ¬ B) ┑A
例2 用等值演算法验证等值式
教材p10—12 例1.9，1.10，1.11
1.4 联结词全功能集
n元真值函数 称F:{0,1}n{0,1}为n元真值函数.
3 对于优先级相同的联结词，按从左到右 的顺序运算.
命题公式的赋值
指派（赋值）：命题公式中出现n个不同的命题变 项P1 Pn ，对这n个命题给定一组真值指定称为 这个公式的一个指派或赋值或解释。
若一个公式中出现n个不同的命题变项，每个变项 分别可以取成1、0，那么该公式共有个2n不同的指 派。
成真赋值
主析取范式 若干个不同的极小项的析取式， 称为主析取范式 。
定理 任何一个命题公式均存在一个与之等值的主 析取范式，而且是唯一的。
求主析取范式方法 ：
1、真值表法 ；
2、等值演算法 ；
6 主合取范式
极大项 公式中共有n个命题变项P1，……，Pn这n 个变项的简单析取式中，每个变项Pi或其否定 Pi， 必出现且两者仅出现一个，并且按命题变项的下 标排列（字母按字典序列）这样的简单析取式称 为极大项。
3 析取 符号：∨ p ∨ q 读作“p或q”，“p析取q”。
p ∨ q 真值表
p
q
p∨q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
同类关联词语有：要么…要么，
注：“或”分为“相容或”和 “排斥或”两种.
4 蕴含 符号： ， p q 读作“p蕴含q”，“如果P则q”， “当p，则q”，“p是q的充分条件”。
P Q的真值表
➢ 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析 取式都是重言式。
4 范式存在定理：
任意一个命题公式均存在一个与之等值的析取范 式和合取范式
求范式的一般步骤：
1、消去联结词： 和 2、内移或消去否定号； 3、利用分配律。 注：公式的范式不唯一。
5 主析取范式
极小项 公式中共有n个命题变项p1，……，pn 这n个变项的合取式中，每个变项pi和其否定 pi，均出现且两者仅出现一个，并且按命题变 项的下标排列（字母按字典序列）这样的简单 合取式称为极小项，又称布尔合取。
二 范式
1 文字:命题变项及其否定统称作文字。
2 简单析取式 仅由有限个文字的析取构成的析 取式称为简单析取式。
简单合取式 仅由有限个文字的合取构成的合 取式称为简单合取式。
注：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
例：指出下列式子哪些是简单析取式哪 些是简单合取式？
1)、P P
简单析取式
2)、p Q 3. P Q R 4. P (Q R) 5. P Q R S
命题标识符：用字母p、q、r、s、p1、…来表示 命题，这些字母称为命题标识符。
1. 否定 符号：┑
P是命题， ┑ P读作“非P”。
P真值表为
P
┑P
1
0
0
1
2 合取 符号：∧， p∧q 读作“p且q”，“p合取q”。
P ∧ Q的真值表
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P∧Q 0 0 0 1
同类关联词语有：既…又…，不但…而且；虽然…但是，
则A*为（pq）（p（qs））
对偶原理 A和A*是互为对偶式，P1，
P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。
例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
简单合取式 简单合取式 都不是 简单合取式
6. P Q R
都不是
3 范式的概念
析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的析取 式称为析取范式。
合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的合取 式称为合取范式。
范式：析取范式和合取范式统称为范式。
范式的性质
➢ 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合 取式都是矛盾式。
成假赋值
真值表 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？
例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q) 3) ¬ p ∧ (p∨(¬ q∧p))
命题公式的类型
永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真 永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假 可满足式： 如公式不是矛盾式就是可满足式，即至
主合取范式 若干个不同的极大项的合取式，称为主 合取范式
定理5：任何一个命题公式均存在一个与之等值的 主合取范式，而且是唯一的。
求主合取范式的方法：
1、等值演算法； 2、真值表法； 3、利用主析取范式来得出主合取范式。
✓ 主范式有何作用？ ✓ 永真式、永假式的主析取和主合取范 式有何特点？
补充 应用举例
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1) 3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。 (4) 请把头抬起来！ (5) 火星上有生物。 (6) 我可以请假吗？ (7) 这句话是错的。
假命题 真命题 不是命题
不是命题 命题 不是命题 不是命题
复合命题
原子命题(原子命题)：不能分解成更简单的命题 的命题。 复合命题：由若干个原子命题用命题联结词、 标点符号联结起来的命题。
p ↔ q的真值表为
p
q
0
0
0
1
1
0
1
1
p↔q 1 0 0 1
命题符号化练习
1 晓红和元元是朋友 p:晓红和元元是朋友.（简单命题）
2 老王或小李中有一人去上海
p:老王去上海，q:小李去上海
(p ┑q) (┑ p q)
3 除非天下大雨，否则她不在室内运动 p:天下大雨 q:她在室内运动 q→p 或者 ┑p→┑q
┑(A ∧ B) ┑A∨┑B
7) 吸收律 : A ∧(A ∨ B) A, A∨(A∧B) A
8) 零律 : A ∨ 1 1 ,
A ∧00
9) 同一律： A ∨ 0 A,
A ∧1 A
10) 排中律： A ∨ ┑A 1
11) 否定律： A ∧ ┑A 0
12) 蕴含等值式：AB ¬ A∨B
13) 等价等值式：A↔B (AB)∧(BA)
解：( p p ) ( p p )
1
2
4
5
(( p2 p3 ) (p2 p3 ))
学习要求：
1. 上课时关闭手机或作静音处理，并且 不能打电话。
2. 必须独立完成作业。 3. 教师补充内容和例题需做笔记
联系方式:
Email: lihongjun_2002@
Tel: 62338357 基础楼：204
知识结构图
离散数学
数理逻辑
集合论
代数结构
图论
第一章 命题逻辑
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的； 用“1”表示真，用“0”表示假。
例1的参考答案
m z 1
1
3
r m 1
1
3
z m 1
1
2
m m 1 m (r m )
1
1
1
1
3
(m r ) (m m )
1
1
1
3
000
z 1 3
z 0从而m 1
1
2
因此，比赛结果为日本第一，美国第二，中国第
三.
例2 某班欲派李光，王明，张正，刘大，赵五去
西客站接新生。派人方案满足下列条件：
p
q
0
0
0
1
1
0
1
1
pq
1 1 0 1
同类关联词语：q是p的必要条件，只有…才，只要…就， 除非…才，
练习： 1） 如果它是鸟，就能飞。 2) 只有是鸟，它才能飞。 3) 除非它是鸟，否则它就不能飞。
4) 除非明天不下雨，否则我就不去香山. 5) 我不玩游戏，除非我情绪不稳定.