【哈工大 结构动力学】SD 第10章 多自由度体系2020

得到三个根 ：
B1 0.3515, B2 1.6066, B3 3.5420
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
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§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
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5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 13
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5 DOF with uniform mass and stiffness
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设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振 动，多自由度体系的振动形式可写为：
u u (t ) s in ( t )
{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关， 不随时间变化，称为振型。
ω —简谐振动的频率， θ —相位角。
上式对时间求两次导数可得：
u u(t ) 2 sin( t )
结构动力学
第10章 多自由度运动方程
wo
Chapter10 Formulation of the MDOF Equations of Motion
本章提要
➢ §10-1 多自由度体系运动方程 ➢ §10-2 多自由度体系自由振动 ➢ §10-3 多自由度体系动力特性 ➢ §10-4 模态分析注意事项
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§10-1 多自由度体系运动方程
什么是多自由度体系？
工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如多层建筑结 构、大跨桥梁结构、空间网架结构等等。
为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采用更多的自由 度描述结构体系的质量分布并确定体系的变形。
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单自由度体系：
惯性力＋阻尼力＋恢复力＝外荷载
m u c u k u p ( t )
(K
2
M
)
1200
0
1200
1800 1.5 2
600
0
600
600
2
5 2B
600 2
频率方程：
0
B 2 600
2 3 1.5B
1
0 0
1 0
1 B 0
K 2 M 0
B 3 5.5B 2 7.5B 2 0
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算例10-1 由频率方程
B 3 5.5 B 2 7.5 B 2 0
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
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对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
频率的关系 ，称为运动方程广义特征值问题。
由广义特征值可解得ω和{φ}。
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(K 2 M ) 0
方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等
于零 ：
K 2 M 0
是一关于ω的多项式，称为频率方程。
将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：
k11 2m11 k21 2m21
k12 2m12 k1N 2m1N
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把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
多自由度体系：
{惯性力}＋{阻尼力}＋{恢复力}＝{外荷载}
f I f D fs p(t)
M u C u K u p (t )
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预备知识
若矩阵[A]存在常数λ满足：
[A]x x
则称λ为矩阵[A]的特征值，{x}为矩阵对应特征值λ 的特征向量。
问题求解：转化为线性代数方程
([A] [I ])x 0
K k 21
k 22
k
23
1200
1800
600
k 31 k 32 k 33 0
600 600
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算例10-1 运动方程的广义特征值问题：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
3000 1200 0
K 1200
1800
600
0 600 600
3000 2 2
➢ 所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。
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以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应 于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N 个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率
分别写成矩阵的形式，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 N
1 0 0
0
2
0
或
1,2,3
T
n
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将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：
u 2 sin( t ) u s in ( t )
M u K u 0
( 2 M K ) sin( t ) 0
因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，
(K 2 M ) 0
上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振
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算例10-1 如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层 间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。
(统一单位制：质量：吨，力：千牛，长度：米） 结构模型及各刚度元素：
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算例10-1 结构的质量阵、刚度阵：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
k11 k12 k13 3000 1200 0