二次函数图象(1)

y=3(x-1)2
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大 而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的 增大而减少？
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与 y =3 x 2 的图象有什么关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y=3x2
二次函数y=3(x-1)2 图象是轴对称图形, 与y=3x2的图象形状 对称轴是平行于 相同,可以看作是抛 y轴的直线:x=1. 物线y=3x2整体沿x轴 顶点坐标 向右平移了1 个单位. 是点(1,0).
2 2
27
12
3
0
3
12
27
27 27 12 3
12 0
3 3
0 12
3 27
12
27
1. 函数 y =3( x +1) 2 的图象 y 3x 2 2 与y=3x2和y=3(x-1)2的图象 2 y 3 x 1 y 3x 1 有什么关系?它是轴对称图 形吗?它的对称轴和顶点坐 标分别是什么? 二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 图象是轴对称图形, 二次项系数相同 2 物线y=3x 整体沿x 对称轴是平行于 a>0,开口都向上. 轴向左平移了1 个 y轴的直线:x= -1. 顶点坐标 单位. 是点(-1,0). 2 想一想,二次函数y=3(x+1) 的图象的增减性会怎样?
?源自文库
做一做
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和 y=3(x+1)2的图象． 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值, 它们之间有什么关系?
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x 2
y 3x 1 y 3x 1
独立 作业
知识的升华
P48 习题2.4
1题.
祝你成功！
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什 么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什 么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系? (3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函 数y=3(x+1)2+4呢?
?
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象和抛物线y=3x² , y=3(x-1)2有什么关系?它 的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2+2 的图象可以看作是抛 x=1 物线y=3x2先沿着x轴向 开口向上 右平移1个单位,再沿直 对称轴仍是平行于 y轴的直 ,当 x=1 时有最小 线x=1向上平移2个单 线x=1;增减性与y=3 x2 类似. 值,且最小值为2. 位后得到的. 顶点是(1,2).
在对称轴(直线x=1)左侧 (即x<1时),函数y=3(x-1)2 顶点是最低点 ,函数 的值随x的增大而减少 .
y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样?
议一议P47
1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它 与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是 轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
2. x取哪些值时,函数 y=3(x+1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x+1)2的值随x的 增大而减少？
y 3x 1
y 3x 2
2
y 3x 1
2
在对称轴(直线x=-1)左侧 在对称轴(直线x=-1) 顶点是最低点 ,函数 (即x<-1时),函数y =3(x+1)2 右侧 有最小值 , (即x>-1时), 的值随x的增大而减少 . .当x=-1时 最小值是0. 函数y=3(x+1)2的值 二次函数y=3(x+1)2 随x的增大而增大. 与y=3x2的增减性类似. 猜一猜:函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状. 请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
随堂练习

悟出真谛,练出本事
2
1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:
1 1 2 1y 2x 3 ; 2y x 1 5. 3 2
y=ax2+bx+c
想一想
函数y=ax²+bx +c的图象
二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状?它与我们已 经作过的二次函数的图象有什么关系?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。
⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间 有什么关系?
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
（ h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
由h和k的符号确定
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系

一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数 y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体 左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与 a,h,k的值有关.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3 x2
27
12 27
3 12
0 3
3 0
12 3
27 12
48 27
3(x-1)2 48
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
做一做
y=3x2 (3)函数y=3(x-1)2的 图象与 y =3 x 2 的图象 有什么关系 ? 它是轴 对称图形吗 ? 它的对 称轴和顶点坐标分别 是什么?
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
y 2.抛物线y=-3(x-1)2 和y=-3(x+1)2在x轴的 下方(除顶点外),它的 2 2 开口向下,并且向下无 y 3x 1 y 3x 1 限伸展. 1.抛物线y=-3(x-1)2 3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴 的顶点是(1,0);对称 (直线x=1)的左侧(即当x<1时), y =1;抛物线 y 3x 2 轴是直线x2 随着x的增大而增大;在对称轴 y=-3(x+1) 的顶点是 (直线x=1)右侧(即当x>1时), y随 x=-1 x=1 (-1,0);对称轴是直线 着x的增大而减小;当x=1时,函 x=-1. 数y的值最大(是0).抛物线y=4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 3(x+1)2在对称轴(直线x=-1)的 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 左侧(即当x<-1时), y随着x的增 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 大而增大;在对称轴(直线x=-1) 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移 右侧(即当x>-1时), y随着x的增 了1个单位. 大而减小;当x=-1时,函数y的值 最大(是0).
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
抛物线 顶点坐标 对称轴
y=a(x-h)2 (a>0)
（h，0） 直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大.
y=a(x-h)2 (a<0)

小结
拓展
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x轴整 体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再 沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向 下平移)得到的.
（h，0） 直线x=h 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值
开口大小
当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
做一做
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象. 二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么 关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 ? 作图看一看．
二次项系数 相同a>0, 开口都向上.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2 的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2的值随x值的增 大而增大?x取哪些值时, 函数y=3(x-1)2的值随x的 增大而减少？
y 3x
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2 有最小值.当x=1时, 在对称轴 (直线x=1)右侧 与y=3x2的增减性类似. 最小值是 0。 (即x>1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,. 想一想,在同一坐标系中作出二次函数