灵敏度分析图解法
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第六章灵敏度分析
∧ ∧ ∧ H 12 U b1 = H U b1 b ∧ ∧ ∧ I b2 H 22 I b 2
∧
则
∧ H 11 ∧ H 21
^
T H 12 = H11 ∧ T − H 21 H 22
∧
T − H12 T H 22
（3）网络N和 N 中的对应独立源支路具有相同的性质，即同为电流 ）网络N 源 或同为电压源，但可有不同的值。
用伴随网络法计算灵敏度
• 设网络N的微扰网络为Np,伴随网络为 N ,I、(I+∆)、I 和U、 设网络N的微扰网络为Np, ,I、(I+∆I)、 ∧ （U+∆U）、 分别为以上三个网络的电流向量和电压向量。由于N U+∆ U 分别为以上三个网络的电流向量和电压向量。由于N ∧ 、Np和 N 三者有相同的拓扑结构，其中任意二网络的电流、电 Np和 压均满足特勒根定理所给出的关系，故有
• 在复频域和频域分析中，输出量与输入量之比称 为网络函数。有时网络的支路特性不是用数值， 而是用某些变量表示，这样得到的网络函数就是 符号网络函数。
网络函数分为以下三类： 网络函数分为以下三类：
• 第一类，全符号网络函数：全部元件参数（R、L 第一类，全符号网络函数：全部元件参数（R 、C等）均用符号表示。复频域用s表示。 等）均用符号表示。复频域用s • 第二类，部分符号网络函数：部分元件参数用符 号表示，另一部分元件参数用数值表示。复频域 变量用s 变量用s表示。 • 第三类，具有数值系数的s的有理函数：全部元件 第三类，具有数值系数的s 参数均用数值表示。复频域变量用s 参数均用数值表示。复频域变量用s表示。
第六章 灵敏度分析
本章主要内容： • 网络的灵敏度 • 灵敏度恒等式 • 增量网络法 • 伴随网络法 • 符号网络函数法
∧
则
∧ H 11 ∧ H 21
^
T H 12 = H11 ∧ T − H 21 H 22
∧
T − H12 T H 22
（3）网络N和 N 中的对应独立源支路具有相同的性质，即同为电流 ）网络N 源 或同为电压源，但可有不同的值。
用伴随网络法计算灵敏度
• 设网络N的微扰网络为Np,伴随网络为 N ,I、(I+∆)、I 和U、 设网络N的微扰网络为Np, ,I、(I+∆I)、 ∧ （U+∆U）、 分别为以上三个网络的电流向量和电压向量。由于N U+∆ U 分别为以上三个网络的电流向量和电压向量。由于N ∧ 、Np和 N 三者有相同的拓扑结构，其中任意二网络的电流、电 Np和 压均满足特勒根定理所给出的关系，故有
• 在复频域和频域分析中，输出量与输入量之比称 为网络函数。有时网络的支路特性不是用数值， 而是用某些变量表示，这样得到的网络函数就是 符号网络函数。
网络函数分为以下三类： 网络函数分为以下三类：
• 第一类，全符号网络函数：全部元件参数（R、L 第一类，全符号网络函数：全部元件参数（R 、C等）均用符号表示。复频域用s表示。 等）均用符号表示。复频域用s • 第二类，部分符号网络函数：部分元件参数用符 号表示，另一部分元件参数用数值表示。复频域 变量用s 变量用s表示。 • 第三类，具有数值系数的s的有理函数：全部元件 第三类，具有数值系数的s 参数均用数值表示。复频域变量用s 参数均用数值表示。复频域变量用s表示。
第六章 灵敏度分析
本章主要内容： • 网络的灵敏度 • 灵敏度恒等式 • 增量网络法 • 伴随网络法 • 符号网络函数法
whut运筹学9灵敏度分析
x1 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2
-z 0 -5 0 0 -10 -10 -280
若在原问题中又增加了一个新变量x7, 价值系数为25，技术系数列向量 为 a7=(1, 1, 1)T, 求新问题的最优解。
灵敏度分析
解: 由于增加了新变量 x7, 最终表中的数字都不改变。计算 x7 的检验数：
' k
ck C B B 1 ( pk pk ).
•若
' k
0,
则当前基仍为最优基。
•若
' k
0,
则当前基不再是最优基。修改单纯形表的第
k
列，
以 xk 为进基变量继续用单纯形法求解即可。
灵敏度分析
例 4 已知线性规划问题及其最优单纯形表：
maxz 60x1 30x2 20x3
8x1 6x2 x3 48
灵敏度分析
(3) 增加一个新变量xn+1的分析
若追加了一个新变量xn+1, 价值系数为cn+1 , 技术系数列向量为
pn1 (a1,n1 , a2,n1 ,, am,n1 )T .
新变量xn+1的检验数为： n1 cn1 C B B 1 pn1
• 若 n1 0, 则当前基仍为最优基。新问题的最优解为
x3 0 -2 1 0 2 -4 8
灵敏度分析 x1 1 1.25 0 0 -0.5 1.5 2 -z 0 -5 0 0 -10 -10 -280
解: (a) 假设 c1' 60 . 由于 x1 是基变量, CB 将改变，此时非基变量的
检验数为
' N
N
(0,0, c1)B 1N
2
( 2 , 5 , 6 ) (0,0, ) 2
2.灵敏度分析1
8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
系统工程概论运筹学6.5灵敏度分析.ppt
❖ 原问题最优解不变，若反之
j
0
❖ 则以 B1Pj 替代原最优表的第j列，用单纯 形法继续求解至最优解。
❖ （4）改变某基变量系数列向量的分析
❖ 设 x j 基变量的系数列向量变为
Pj
，试分
析原最优解的变化。
❖
Pj
的变化将导致B的变化，因而原最优表
❖ 所有元素都将发生变化，似乎只能重新计算
❖ 但是经过认真分析，还是可以利用原最优解 来计算新的最优解。
-2/5 1/5
-2 X1 11/5 1
σj
0
0 7/5
-1/5 -2/5
0 -9/5+Δc3 -8/5 -1/5
只要-9/5+Δc3 ≤0 ，即Δc3 ≤9/5 则原最优解不变
表中σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) = -9/5+Δc3
❖ 2)设基变量 XB 的价值系数 CB 有增量 CBr ，
备注
CB X B B 1b x1 x2 x3 x4
4 x2 70 0 1 1/2 -1/4
K=1
6 x1 -5 1 0 -1/4 3/8
L=2
j 4 x2 60 0 x3 20
j
0 0 -1 /2 -5/4
2 1 0 1/ 2 4 0 1 3/2
2 0 0 2
新的最优 解为：
x2
x3
6 2
00,
例4
例2增加3x1+ 2x2≤15，原最优解不 满足这个约束。于是
Ci
2
3
000
0
CB XB b
X1
X2
X3 X4 X5
X6
2 X1 4
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
第3章 灵敏度分析
3 灵敏度分析 灵敏度分析：灵敏度分析是研究当目标 函数中的系数发生变化、以及当约束条 件右边的发生变化时，原有的最优解、 最优目标值受到的影响。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
管 理 运 筹 学
9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
管
理
运
筹
学
1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
管 理 运 筹 学
3
灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
管 理 运 筹 学
9
• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
灵敏度分析图解法
若 c1增加16 —x2
（c2
不变）
14 —
=
-
c1x1 c2
+
Z c2
灵敏度分析 —图解法
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
C
6—
4—
2x1 + 2x2 18
新的最优解
D 4x1 + 6x2 48
2—
0
A
|| 24
|||| |||
6 E 8 10 12 14 16 18
x1
目标函数的系数
– 当这些系数在什么范围内变化时，原最优解 仍保持不变？
– 若最优解发生变化，如何用最简单的方法找 到现行的最优解？
• 研究内容：
研究线性规划中，aij , bi , c j 的变化对最
优解的影响。
研究方法：
➢ 图解法
仅适用于含2个变量 的线性规划问题
➢ 对偶理论分析
在单纯形表中 进行分析
灵敏度分析——图解法
最优解 (3,6)
4x1+ 6x2=48 2x1+ 2x2 =18
4—
4x1 + 6x2 48
2—
D
0
A
|| 24
| 6
||| ||| 8 10 12 14 16 18
x1
E (8,0)
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 18 —40x2 = - 34x1 + Z
16 —
x2
=
-
34x1 40
34x1 + 40x2 = Z 18 —40x2 = - 34x1 + Z
16 —
《灵敏度分析》课件
案例二：建筑结构优化中的灵敏度分析
背景：建筑结 构优化需要灵 敏度分析来提 高安全性和稳
定性
目的：通过灵 敏度分析，找 出影响建筑结 构稳定性的关
键因素
方法：采用灵 敏度分析方法， 对建筑结构进
行优化设计
结果：提高了 建筑结构的安 全性和稳定性，
降低了成本
案例三：气候变化模拟中的灵敏度分析
背景：全球气候变化问题日益严重，需要准确预测气候变化的影响
教学质量
感谢您的观看
汇报人：
价值
灵敏度分析可以 帮助我们更好地 理解和优化模型， 从而提高决策的 科学性和准确性
对未来研究和应用的建议
加强灵敏度分 析在工程设计 中的应用，提
高设计质量
开展灵敏度分 析在复杂系统 中的应用研究， 提高系统稳定
性
推广灵敏度分 析在科学研究 中的应用，提
高科研效率
加强灵敏度分 析在教育领域 的应用，提高
灵敏度分析的步骤：确定参数、 计算灵敏度、分析结果
灵敏度分析的应用：优化模型、 风险评估、决策支持
灵敏度分析的实 现过程
确定分析目标
明确分析目的： 了解灵敏度对系 统稳定性的影响
确定分析范围：系 统参数、输入输出、 环境因素等
确定分析方法：灵 敏度分析、稳定性 分析、响应分析等
确定分析工具： MATL AB、 Python、 Simulink等
计算灵敏度指标 分析灵敏度结果 提出改进措施或建议
结果解释与优化建议
灵敏度分析结果：包括灵敏度系数、灵敏度区间等 结果解释：对灵敏度系数、灵敏度区间进行解释，说明其含义和影响因素 优化建议：根据灵敏度分析结果，提出优化建议，如调整参数、改进模型等 案例分析：结合实际案例，分析灵敏度分析结果的应用和优化建议的效果
第四章灵敏度分析
❖ 解：求解新的单纯形表中系数第一列：
1 0 0 1 1
代入原单纯形表，得新单纯形表为 ❖
0 0
1/ 4
0
1/ 2
0 1 1/ 2 2 1
3 5 0 00
cB xB B-1b x1
x2
x3
x4 x5
0 x3 8
0
1
00
5 x2 9 1/2 1 0 0 1/4
0 x4 6 -1 0 0 1 -1/2
6. 增加一个新约束的分析
•当出现新的资源限制时，模型要加入新约 束，可在原最优解的基础上进行分析：
最优解满足新约束，最优解不变； 最优解不满足新约束，应继续寻找新的 最优解； 无论加入什么类型约束，目标函数值都 不会改善。
例: 考虑范例，则原最优生产方案是否需要 改变？
❖ 解:
1 2 / 3 1/ 3 1 1
0 1/ 2
0
1
1
/
2
0 1/ 3 1/ 3 2 0
❖ 代入原单纯形表解的一列，得新单纯形表为
3
5
0
0
0
cB xB B-1b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x3 4
1
0
1 2/3 -1/3
❖ 非优且无基53变量xx，21 因此64 先得1到0/2基变量10 ，继00续迭代-12//23
2. 右边项发生变化的灵敏度分析
(1) 分析什么？ 假定只有一个 br 变化，假定 br 从 br 变到
br*=br+Δ br，当Δ br在什么范围内变化时，不
会影响最优基。（不改变产品种类，只调整 数量） (2) 怎么分析？ 最优基不变的充要条件是：
1 0 0 1 1
代入原单纯形表，得新单纯形表为 ❖
0 0
1/ 4
0
1/ 2
0 1 1/ 2 2 1
3 5 0 00
cB xB B-1b x1
x2
x3
x4 x5
0 x3 8
0
1
00
5 x2 9 1/2 1 0 0 1/4
0 x4 6 -1 0 0 1 -1/2
6. 增加一个新约束的分析
•当出现新的资源限制时，模型要加入新约 束，可在原最优解的基础上进行分析：
最优解满足新约束，最优解不变； 最优解不满足新约束，应继续寻找新的 最优解； 无论加入什么类型约束，目标函数值都 不会改善。
例: 考虑范例，则原最优生产方案是否需要 改变？
❖ 解:
1 2 / 3 1/ 3 1 1
0 1/ 2
0
1
1
/
2
0 1/ 3 1/ 3 2 0
❖ 代入原单纯形表解的一列，得新单纯形表为
3
5
0
0
0
cB xB B-1b
x1
x2
x3
x4
x5
0 x3 4
1
0
1 2/3 -1/3
❖ 非优且无基53变量xx，21 因此64 先得1到0/2基变量10 ，继00续迭代-12//23
2. 右边项发生变化的灵敏度分析
(1) 分析什么？ 假定只有一个 br 变化，假定 br 从 br 变到
br*=br+Δ br，当Δ br在什么范围内变化时，不
会影响最优基。（不改变产品种类，只调整 数量） (2) 怎么分析？ 最优基不变的充要条件是：
04.灵敏度分析
yi aij
j
yi 0
时， aij
j
yi
yi 0 时， a
j
yi
39
ij
例1
max Z x1 5 x2 3x3 4 x4 2 x1 3x2 x3 2 x4 800; 5 x 4 x 3x 4 x 1200; 2 3 4 1 s.t. 3x1 4 x2 5 x3 3x4 1000; x j 0 j 1, 2,3, 4
26
EXCEL的求解
图5-2“规划求解结果”对话框
27
图5-3目标系数灵பைடு நூலகம்度分析报告
28
三. 右端常数项的变化
B b0
C CB B A 0
1
1
29
设
0 B 1 b b B 1b B 1b B 1b B 1 bi0 0 a1' i0 b1* a1' i0 bi0 b b* a ' b b* a ' b k ki0 i0 ki0 i0 k * ' * ' b a bm ami bi m mi0 0 0
22
请同学们对例2中的C2进行灵 敏度分析
23
C
CB XB
2 x1 1
0 0 0
3+△c2 x2 0
0 1 △c2
0 x3 0
4 1/2 -3/2
0 x4 1/4
1/2 -1/8 -1/8
第5讲 灵敏度分析
第5讲 灵敏度分析灵敏度分析是指对系统因环境变化显示出来的敏感程度的分析。
在线性规划问题中讨论灵敏度分析，目的是描述一种能确定线性规划模型结构中元素变化对问题解的影响的分析方法。
前面的讨论都假定价值系数、资源系数和技术系数向量或矩阵中的元素是常数，但实际上这些系数往往只是估计值，不可能十分准确和一成不变。
这就是说，随着时间的推移或情况的改变，往往需要修改原线性规划问题中的若干参数。
因此，求得线性规划的最优解，还不能说问题已得到了完全的解决。
决策者还需要获得这样两方面的信息：一是当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优解会有什么变化；二是这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解（或最优基）不变。
显然，当线性规划问题中的某些量发生变化时，原来已得的结果一般会发生变化。
在单纯形法迭代时，每次运算都和基B 有关，所以可以把发生变化的量经过一定计算，直接反映进最终单纯形表并按表5-1处理。
4.1 资源系数变化的分析资源系数发生变化，即b 发生变化的灵敏度分析；该类问题关键是如何将b 的变化直接反映进原问题的最终单纯形表。
单纯形法的迭代过程，其实不过就是矩阵的初等变换过程；而线性代数的知识告诉我们，对分块矩阵[]I B 进行初等变换，当矩阵B 变为单位矩阵I 时，单位矩阵I 将变为矩阵1-B ，即：[]1-B I由此可知，如果已知最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1-B”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），而最终单纯形表中的每一列均可用其在初始单纯形表中的相应列左乘1-B 来得到；即b B b 1-='。
[例5-1] 已知LP 问题5432104125min Mx x x x x w ++---=1x + 22x 3x + 4x + = 512x 2x -+ 33x 5x + = 20,,,,54321≥x x x x x单纯形求解可得如表5-1所示的最终单纯形表，问（1）2b 在什么范围内变化时，最优解（在此实际上是最优基）保持不变；（2）2b 由2增加至15，求新的最优解。
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
运筹学图解法的灵敏度分析 PPT课件
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
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0
A
|| 24
|||| |||
6 E 8 10 12 14 16 18
x1
灵敏度问题及其图解法
若 c1增加16 —x2
（c2
不变）
14 —
=
-
c1x1 c2
+
Z c2
灵敏度分析 —图解法
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
C
6—
4—
2x1 + 2x2 18
新的最优解
D 4x1 + 6x2 48
2—
0
A
|| 24
|||| |||
6 E 8 10 12 14 16 18
x1
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 18 —40x2 = - 34x1 + Z
16 —
若 c1减14少—
x2
=
-
c1x1 c2
+
Z c2
灵敏度分析 —图解法
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
6— C
4—
2x1 + 2x2 18
新的最优解
D 4x1 + 6x2 48
2—
0
A
|| | | || | | |
+
Z 40
14 —
灵敏度分析 —图解法
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
C
6—
4—
2x1 + 2x2 18 D
4x1 + 6x2 48
||| |||
6 E 8 10 12 14 16 18
x1
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z
1480—x2 = - 34x1 + Z
最优解 (3,6)
4x1+ 6x2=48 2x1+ 2x2 =18
4—
4x1 + 6x2 48
2—
D
0
A
|| 24
| 6
||| ||| 8 10 12 14 16 18
x1
E (8,0)
目标函数的系数
34x1 + 40x2 = Z 18 —40x2 = - 34x1 + Z
16 —
x2
=
-
34x1 40
– 当这些系数在什么范围内变化时，原最优解 仍保持不变？
– 若最优解发生变化，如何用最简单的方法找 到现行的最优解？
• 研究内容：
研究线性规划中，aij , bi , c j 的变化对最
优解的影响。
研究方法：
➢ 图解法
仅适用于含2个变量 的线性规划问题
➢ 对偶理论分析
在单纯形表中 进行分析
灵敏度分析——图解法
线性规划模型
Max Z = 34 x1 + 40 x2 4 x1 + 6 x2 48 2 x1 + 2 x2 18 2 x1 + x2 16 x1、 x2 0
灵敏度分析——图解法
x2
18 —
16 —
14 —
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
(0,6.8)
C
6—
2x1 + 2x2 18
2 4 6 E 8 10 12 14 16 18
x1
最优解不变的范围
（设c1固定c2可变）
34 2
1
18 —c2
3
34 16c2— 51
14 —
灵敏度分析 —图解法
12 —
2x1 + x2 16
10 — B
8—
C
6— 4— 2—
2x1 + 2x2 18 (斜率 = - 1)
D 4x1 + 6x2 48 (斜率 = - 2/3)
第五节 灵敏度问题及其图解法
灵敏度问题 灵敏度分析——图解法
灵敏度问题
• 背景：
线性规划问题中，aij , bi , c j 都是常数，
但这些系数是估计值和预测值。
市场的变化 c j 值变化； 工艺的变化 aij 值变化； 资源的变化 bi 值变化。
• 问题：
– 当这些系数中的一个或多个发生变化时，原 最优解会怎样变化？