直角三角形的性质、判定习题
直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质与判定性质：(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
判定：(1)有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(2)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(“斜边、直角边”或“HL”)基础题1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为( )A．35°B．55°C．56°D．65°3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．104．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 7．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是( )A．5，12，13 .B．3，5，27C．6，9，14 . D．4，10，138．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝4，BC＝3，CD＝12 5.(1)求AD的长；(2)求证：△ABC是直角三角形．9.已知CD是△ABC的边AB上的高．若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．10．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形11．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC＝3，则B′C的长为( )A．3 3 B．6 C．3 2 D.2112．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)13．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？。
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题
八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。
等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（ ）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定Ⅰ1-1-2含30°角的直角三角形的性质及其应用习题
解：过点D作DC⊥AB于点C.∵∠DAB＝15°， ∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴DB＝AB＝100 m， ∴在Rt△DBC中，DC＝ ×100＝50(m)． 答：河宽是50 m.
8．[临湘期中]如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是BC上一点，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若BD＝3，CD＝2，则AE的长为________．
D
6．[教材改编题]如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2 m，∠A＝30°，则AB等于________m.
8
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝ AD.又DE＝2 m，∴AD＝4 m．∵D是．[教材改编题]如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与其所在河岸的直线成15°角，然后沿该直线行走100 m到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°角，问河宽是多少米？
4
9．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于点E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝ AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
10．[邵阳洞口期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E.若BC＝9，则DE的长是( ) A．3 B．4 C．4.5 D．5
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时含30°角的直角三角形的性质习题新版湘教版
腰长为12 m，则底边上的高是( B
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
)
(第6题)
7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点
E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足
为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 6 cm
∴∠B＝30°，∴∠BAC＝ (180°－∠B)＝75°.
②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝ BC＝
AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB.
∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝ ∠ACD＝15°.
③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底
交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的
是( D
)
A.∠CAD＝30°
B.AD＝BD
C.BD＝2CD
D.CD＝ED
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC
绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在
AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长度；
【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，
形状
12. [新考法 分类判断法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝12 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运
动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动.如果动点P以2
cm/s，动点Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t
s，解答下面的问题：
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
直角三角形的性质、判定练习 10-20
Rt △资料练习第 1 页 共 1 页E A C B D DE一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。
8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 为 。
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， ＥBC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。
二、选择题10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( )A.2aB.3aC.4aD.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有组 (1)7,24,25 (2)2223,4,5 (3)35,2,22(4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ）A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′=30°, 则折痕DE 的长为（ ） A 、2 B 、32C 、4D 、1三、解答题15、如右图,已知∠BAC=90°,∠C=30°,AD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E,BE=1,求BC ？ .16、如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E,交BC 于点F.求证:BF=2CF.17、小明站在高为20米的楼上C 处,测得一条河边一点A 的俯角为30°,河对岸一点B 的俯角为15°,问河宽约多少米?18、在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=5cm ，AD 是高，AE 是斜边上的中线，且DC=21AC ，求∠B 的度数及AE 的长。
直角三角形的性质和判定（教案练习）
1.2.2直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米3.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米5.如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤156.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米7.一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有米．A．23米B．15米C．25米D．22米8.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题9.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.10.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.11.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过米。
1.1直角三角形的性质和判定(I)
2，等腰三角形一腰上的高与腰之比为1∶2，求该等腰三角 形顶角的度数。（沁彤组 佳琪组 子涵组）
3，如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D， CD＝2，求BC的长．（恩熙组 梓涵组 李佳组）
解：∵AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2， ∴AD＝AC－CD＝10－2＝8. ∴在Rt△ADB中， BD＝ 100 - 64 =6 在Rt△BDC中， BC＝ 36 2 =2 10
第一章 直角三角形
1.1 —1.2直角三角形的性质和判定 （复习）
学习目标：
1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的 三角形是直角三角形”两个定理． 2．能熟练的运用直角三角形斜边上的中线的性质． 3.会运用含30°角的直角三角形的相关性质解决相关问题． 4.掌握勾股定理及自学部分．
解：过P作PD⊥AB，垂足为D. ∵∠PBD＝90°－60°＝30°，且 ∠PBD＝∠PAB＋∠APB， ∠PAB＝90°－75°＝15°. ∴∠PAB＝∠APB. ∴BP＝AB＝15×2＝30(海里)．
∵在Rt△BPD中，∠PBD＝30°， ∴PD＝1/2BP＝15海里＜25海里． ∴该轮船不能一直向东航行．
归纳总结
1．直角三角形的两个锐角 互余
2．有两个角互余的三角形是直角 三角形．
3 .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半
．
4 .在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于30°.
5 .在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边
的一半。
6. 勾股定理的内容：在直角三角形中 两直角边的平
课后作业：
见导学案达标检测部分
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，课后和同伴交流。
直角三角形的性质与判定练习题
13m5m直角三角形的性质与判定练习题一、填空题1在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,①∠A=30°,b=＿＿,c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿,c=＿＿。
2.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米3.已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。
4.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 335.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少 秒才可能到达大树和伙伴在一起？6．有一个角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________7．在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角；8．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
9．在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=3，c=5，则b=___________；②若a=5，b=12，则c=___________；③若c=25，b=7，则a=__________；④a=8，b=15，则c= 。
10已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是11． 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，则这个等腰三角形面积为 。
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m,宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？14．已知△ABC 的三边长分别为1，3，2，则△ABC 是 三角形.15． 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 . 16 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长 是 .17．在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为 ． 18．如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =，则3S = ；以Rt ∆ABC 的三边向外 作等边三角形，其面积分别为 1S ，2S ，3S ，DCABFEDCBA则1S ，2S ，3S 三者之间的关系为 .19． 如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，B 的度数为 ．20．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是 ．21．如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积为 ．22. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是 。
直角三角形的性质与判定
1.2 一定是直角三角形吗（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 2．△ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则△ABC 的直角是（ ） A ．∠ C B ．∠A C ．∠B D ．不能确定3．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A ．321，421，521 B ．6，8，10 C ．18，24，30 D ．4，721，821 4．下面四组数中，是勾股数的有（ ） ①1.5，2.5，2；②，，；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3；⑤50，120，130；A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 5．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ） A ．a=15，b=8，c=17 B ．a=9，b=12，c=15 C ．a=7，b=24，c=25 D ．a=3，b=5，c=7 6．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．b 2=c 2－a 2B ．a ∶b ∶c =3∶4∶5C ．∠C =∠A －∠BD ．a =32，b=42，c=527．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对8．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A ．8m B ．10m C ．12m D ．14m9．如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)，那么（ ）A ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为2 mC ．△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D ．△ABC 不是直角三角形10．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为 ； 12．一个三角形的三边之比为13:12:5，且周长为60cm ，则它的面积是 2cm ；13．满足222c b a =+的三个正整数，称为________ ,例如：7，24，25是一组勾股数，再写出与这组勾股数相关的两组勾股数：_______________________________；14．下列几组数：①0.6，0.8，1；②1，1，2；③10，24，26；④6，7，8；⑤8，15，17；其中能作为直角三角形三边长的是__________________；（填序号）15．传说古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角，现有一根长24cm 的绳子，利用它拉出一个周长为24cm 的直角三角形，那么拉出的直角三角形的三边的长度分别为_______________，其中的道理是：__________________________；16．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状；解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ② ∴c 2=a 2+b 2 ③ ∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________； 错误的原因为_________________；本题正确的结论是________________________；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）17．在△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，问△ABC 是什么形状的三角形？为什么？715 2024 25 7 15 202425715 202425 7 15 20242518．如图，在四边形ABCD 中，已知AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB ⊥BC ；求证：AC ⊥CD ；19．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ； 试判断△ABC 的形状，并说明理由；20．如图，在正方形ABCD 中，F 是DC 边的中点，E 为BC 边上的一点，且EC=BC ；请猜想AF 与EF 的关系，并说明理由．AFDC BADCB1.2 一定是直角三角形吗参考答案：1~10 CBABD DACAC11．9或41； 12．120； 13．勾股数，略； 14．① ③ ⑤； 15．6，8，10；勾股定理的逆定理；16．③，a 2－b 2可以为零，△ABC 为直角三角形或等腰三角形； 17．△ABC 是等腰三角形；如图，∵AD 是BC 边上的中线 ∴ BD=CD=1116822BC =⨯= △ABD 中，AB=17，AD=15，BD=8 ∴ AD 2+BD 2=152+82=289=172=AB 2 ∴ ∠ADB=90º ∴∠ADC=180º-90º=90ºRt △ADC 中，AC 2= AD 2+CD 2= 152+82=289=172 ∵AC>0 ∴AC=17 ∴ AC =AB∴ △ABC 是等腰三角形； 18．∵ AB ⊥BC ∴ ∠B=90º在Rt △ABC 中，AC 2= AB 2+BC 2= 12+22=5 △ACD 中，∵ AC 2 +CD 2= 5+22=9=AD 2 ∴∠ACD=90º ∴AC ⊥CD19．由已知得：(a 2－10a +25)+(b 2－24b +144)+(c 2－26c +169)=0即：(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0 ∵(a －5)2≥0，(b －12)2≥0，(c －13)2≥0.∴a －5=0，b －12=0，c －13=0， 解得：a =5，b =12，c =13. 又∵132=52+122，即a 2+b 2=c 2 ∴△ABC 是直角三角形. 20．AF=2EF ，AF ⊥EF ；设正方形的边长为4，由题意得：AB=AD=4，DF=CF=2，CE=1，BE=3 在Rt △ADF 中，AF 2= AD 2+DF 2= 42+22=20 在Rt △ECF 中，EF 2= CE 2+CF 2= 12+22=5 在Rt △ABE 中，AE 2= AB 2+BE 2= 42+32=25 ∴ AF 2=4 EF 2 ∵ AF>0，AD>0 ∴AF =2EF∵ AF 2+ EF 2=20+5=25= AE 2 ∴ △AEF 是直角三角形，∠AFE=90º ∴AF ⊥EF ；A第17题解答图ADCB 第18题解答图AFEDC B第20题图。
直角三角形的性质练习题
直角三角形的性质练习题直角三角形的性质练习题直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
它具有一些独特的性质和特点，我们可以通过练习题来加深对这些性质的理解和应用。
下面是一些直角三角形的性质练习题，希望能够帮助你更好地掌握这一知识点。
1. 在一个直角三角形ABC中，角A为90度，边AC的长度为5，边BC的长度为12。
求边AB的长度。
解析：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
设边AB的长度为x，则有x^2 = 5^2 + 12^2，即x^2 = 25 + 144，解得x =√169，即x = 13。
所以边AB的长度为13。
2. 在一个直角三角形DEF中，角D为90度，边DE的长度为9，边DF的长度为15。
求角E的度数。
解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。
设角E的度数为x，则有sin(x) = 9/15，即sin(x) = 3/5。
查表可得sin(x) = 0.6，所以x = arcsin(0.6)。
计算得x约等于36.87度。
所以角E的度数约为36.87度。
3. 在一个直角三角形GHI中，角G为90度，边GI的长度为10，角H的度数为30度。
求边GH的长度。
解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。
设边GH的长度为x，则有sin(30) = x/10，即1/2 = x/10。
解得x = 5。
所以边GH的长度为5。
4. 在一个直角三角形JKL中，角J为90度，边JK的长度为8，边KL的长度为6。
求角K的度数。
解析：根据余弦定理，对于一个三角形，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的这两边的长度乘积与这两边夹角的余弦值的乘积。
设角K的度数为x，则有8^2 = 6^2 + KL^2 - 2*6*KL*cos(x)。
化简得64 = 36 + KL^2 -12KL*cos(x)。
整理得KL^2 - 12KL*cos(x) = 28。
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步练习含答案
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶1B.1∶2∶1C.1D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )5.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )13.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.7.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.5 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )米米 D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )m D.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.9.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，32.已知三角形的三边长之比为1∶1，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3. cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.若a、b、c表示△ABC+|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，，，，则最大边上的中线长为( )以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。
1.2.1 直角三角形的性质与判定同步练习(答案版)
1.2.1 直角三角形的性质与判定1．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(D) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．下列说法中错误的是(D)A．任何一个命题都有逆命题B．一个真命题的逆命题可能是真命题C．一个定理不一定有逆定理D．任何一个定理都没有逆定理3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，则∠DCB等于(A)A．50°B．45°C．40°D．25°4．【2020·绍兴】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作AH ⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数(C)A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【点拨】由旋转的性质可得BP＝BC，又BA＝BC，则BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC＋∠BP A＝135°＝∠CP A，由三角形的外角的性质可求∠P AH＝135°－90°＝45°，故选C.【答案】C5．【2020·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(C)A．25 cm2 B.1003cm2C．50 cm2D．75 cm26．【2020·河北】如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6 km到达l；从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是(A)A．从点P向北偏西45°走3 km到达lB．公路l的走向是南偏西45°C．公路l的走向是北偏东45°D．从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达l7.【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)A．2 B．3 C．4 D．23【点拨】延长CE至F，使EF＝CE，连接AF，可得△CEB≌△FEA，∴∠B＝∠FAE，BC＝AF.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠FAE＋∠BAC＝90°，即∠CAF＝90°.可得△ABC≌△CFA.∴AB＝CF.∵AE＝12AB，CE＝12CF，∴AE＝CE＝5.∵AD＝2，∴DE＝3.在Rt△CDE中，CD＝CE2－DE2＝4.【答案】C8．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(C)A．43 2 B．2 2C．83 2 D．32【点拨】∵AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∴AD＝CD＝4 2.又∵∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DAB＝30°，∴BE＝AE＝2DE，∴AE＝23AD＝823.【答案】C9．【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到C处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A．31＋πB．32 C.34＋π22D．31＋π210.【2020·重庆A】如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD 于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为(B)A.55 B.255 C.455 D.433点拨】由题意知AD 垂直平分BE ，先求出△ABD 的面积，再根据三角形的面积公式求出DF ，然后根据勾股定理求出BD ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12BD ·h＝12BF ·DF 即可解决问题．【答案】B11．【中考·包头】已知下列命题：①若a b >1，则a >b ；②若a ＋b ＝0，则|a |＝|b |；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．【中考·黔西南州】一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )A ．5 B. 5 C.7 D ．5或7【点拨】因为已知的两条边未指明是直角边还是斜边，所以需对两条边分类讨论．当3和4为直角边长时，则第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为5；当3为直角边长，4为斜边长时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为7.故选D.本题易因没有分类讨论，直接将3和4作为直角边长去求斜边的长而出错．二．填空题13.命题“全等三角形对应角相等”的逆命题是___“对应角相等的三角形是全等三角形”,它是一个____假___(选填“真”或“假”)命题.14．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为___20°和70°_______．15．如图，在△ABC中，CE平分△ACB，CF平分△ACD，且EF△BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2＝_100_______．16.(教材P18T5变式)如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是___10_____．17．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B 落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，CN的长=__4____解析：设CN＝x，则B′N＝BN＝9－x.在Rt△B′CN中，根据勾股定理，得B′N2＝CN2＋B′C2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.故CN的长为4.三．计算证明题18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高．(1)若∠A＝40°，∠B＝72°，求∠DCE的度数；(2)试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝68°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝12∠ACB＝34°.又∵CE⊥AB，∠B＝72°，∴∠BCE＝18°.∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝16°.（2）：∠DCE＝12(∠B－∠A)．(2)证明：∠DCE＝90°－∠CDE＝90°－(∠A＋∠ACD)＝90°－⎝ ⎛⎭⎪⎫∠A ＋12∠ACB ＝90°－[∠A ＋12×(180°－∠A －∠B )]＝90°－(∠A ＋90°－12∠A －12∠B )＝12(∠B －∠A )19．【中考·内蒙古】如图，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：(1)△ACE ≌△BCD ； (2)2CD2＝AD2＋DB2.（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD .∴∠ACE ＝∠BCD .在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS)．（2）解：∵△ACB 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠B ＝45°.∴∠DAE ＝∠CAE ＋∠BAC ＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.又∵AE ＝DB ，DE2＝CD2＋CE2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2.20．(中考·柳州)如图，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，且DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5.求：(1)DB 的长；(2)△ABC 中BC 边上的高．图1 图2解：（1）∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴DB ＝52－42＝3.（2）：如图2，延长BD 至点E ，使DE ＝BD ，连接AE ，∴BE ＝2BD ＝6.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC . 在△BDC 和△EDA 中，⎩⎨⎧CD ＝AD ，∠CDB ＝∠ADE ，BD ＝ED ，∴△BDC ≌△EDA (SAS)．∴∠CAE ＝∠BCD .∴AE ∥BC .∵DB ⊥BC ，∴BE ⊥AE .∴BE的长度等于△ABC中BC边上的高．∴△ABC中BC边上的高为6.21．【2019·枣庄】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；(2)如图②，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；(3)如图③，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝2AM.【点拨】通过构造全等三角形更容易找出线段间的数量关系．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°.∴AD＝BD＝CD.∵AB＝2，∴AD＝BD＝CD＝ 2.∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∴∠BMD＝180°－90°－30°＝60°.∴∠MBD＝30°.∴BM＝2DM.由勾股定理得BM2－DM2＝BD2，即(2DM)2－DM2＝(2)2，解得DM ＝63.∴AM ＝AD －DM ＝2－63.证明：（2）∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∠ADF ＋∠ADE ＝90°.∴∠BDE ＝∠ADF .由(1)知∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD .在△BDE 和△ADF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF (ASA)．∴BE ＝AF .证明：如上图，过点M 作ME ∥BC ，交AB 的延长线于点E ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵ME ∥BC ，∴∠AME ＝∠ADB ＝90°.由(1)知∠EAM ＝∠NAM ＝45°，∴∠E ＝∠EAM ＝∠NAM ＝45°.∴ME ＝MA .∴AE ＝2AM .∵∠AME ＝90°，∠BMN ＝90°，∴∠BME ＋∠AMB ＝90°，∠NMA ＋∠AMB ＝90°.∴∠BME ＝∠NMA .在△BME 和△NMA 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠NAM ，ME ＝MA ，∠BME ＝∠NMA ，∴△BME ≌△NMA (ASA)．∴BE ＝AN .∴AB ＋AN ＝AB ＋BE ＝AE ＝2AM .22．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求证：AB ＋CD ＝BC .问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°.求AB ＋CD BC 的值．【思路点拨】易证△BAP ≌△CPD ，可得BP ＝CD ，AB ＝PC ，可得结论；证明：（1）∵∠B ＝∠APD ＝90°，∴∠BAP ＋∠APB ＝90°，∠APB ＋∠DPC ＝90°，∴∠BAP ＝∠DPC .又∵P A ＝PD ，∠B ＝∠C ，∴△BAP ≌△CPD ，∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，∴BC ＝BP ＋PC ＝AB ＋CD . 【思路点拨】过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，由(1)知EF ＝AE ＋DF ，由等腰直角三角形性质可求解．（2）解：如上图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F .由(1)可知，EF ＝AE ＋DF ，∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB ＝2AE ，CD ＝2DF ，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝2(AE ＋DF )，∴AB ＋CD BC ＝2（AE ＋DF ）2（AE ＋DF ）＝22.。
直角三角形的性质与判定练习题
直角三角形的性质与判定练习题一、填空题1在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,①∠A=30°,b=＿＿,c=＿＿. ②∠A=45°,b=＿＿,c=＿＿。
2.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米 3.已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为。
4.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 335.有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 6．有一个角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________ 7．在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是三角形，是直角；8．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。
9．在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=3，c=5，则b=___________；②若a=5，b=12，则c=___________； ③若c=25，b=7，则a=__________；④a=8，b=15，则c=。
10已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是11． 已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，则这个等腰三角形面积为 。
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
13．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ，长13m,宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你计算一下最少费用是多少？14．已知△ABC 的三边长分别为1，2，则△ABC 是三角形. 15．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为. 16如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长是. 17．在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别为．18．如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =，则3S =；以Rt ∆ABC 的三边向外作等边三角形，其面积分别为1S ，2S ，3S ， 则1S ，2S ，3S 三者之间的关系为.19．如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，BAFEDCBA的度数为．20．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是．21．如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积为．22. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值X 围是。
直角三角形的性质判定习题
直角三角形习题一、填空题一、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,那么斜边长为 .二、等腰直角三角形的斜边长为3,那么它的面积为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,那么其顶角为 .4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,那么BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；五、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，那么最长边上的中线等于____________；六、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，那么∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，那么它的面积是 。
八、直角三角形两直角边别离为6cm 和８cm九、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cmBC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 等于 。
二、选择题10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,那么DB 等于( ) A.2a B.3a C.4a D.以上结果都不对1一、 以下各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的有 组(1)7,24,25 (2)2223,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 1二、以下命题错误的选项是（ ）A ．有两个角互余的三角形必然是直角三角形；B ．三角形中，假设一边等于另一边一半，那么较小边对角为30°C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ABC 中，假设∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，那么那个三角形为直角三角形。
13、若是三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么那个三角形是( )A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形14、将一张长方形纸片ABCD 如下图折叠，使极点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′=30°,那么折痕DE 的长为（A 、2 B、32C、4D、115. 两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，那么以下四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．316. 在以下定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形17 ，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC那么AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：318 。
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直角三角形习题
一、填空题
1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .
2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .
4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；
5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；
6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________；
7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。
8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm
9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，
BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，
使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。
二、选择题
10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a
B.3a
C.4
a D.以上结果都不对
11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组
(1)7,24,25 (2)2
2
2
3,4,5 (3)35,2,22
(4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ）
A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；
B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30°
C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′
=30°,
则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
C、4
D、1
15. 两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个
①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等
③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等
A．0 B．1 C．2 D．3
16. 在下列定理中假命题是（）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
17 ，如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则
AC：BD=（）
A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3
18 。
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中
线，CF是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定
(17) (18)
19 。
在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则
∠ADB的度数是（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
E A
C B
D 三、解答题 1、如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E,交BC 于点F.求证:BF=2CF.
2、小明站在高为20米的楼上C 处,测得一条河边一点A 的俯角为30°,河对岸一点B 的俯角为15°,问河宽约多少米?
AD 是高，AE 是斜边上的中线，且DC=2
1
AC ，求
3、在△ABC 中，∠BAC=90°，AC=5cm ，∠B 的度数及AE 的长。
、 4. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？.
，
5、如图，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则∠ACB 为多少？
A
B E B
C
B
D
C
6、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。
（1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE 。
7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。
8.已知，如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，AB=6，求DE 的长。
9. 已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE 求证：OB=OC.
C B A 第
2 G
E
D
题第7题图 F E O
D
C
B A。