2.1.1类比推理(公开课教学设计)
2.1.1合情推理---类比推理优秀教学设计
2.1.1合情推理----类比推理教学目标：知识与技能：了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理．过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法．情感、态度与价值观：体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用，提高学习数学的兴趣，增强创新意识．教学重点和难点：教学重点：能用类比推理进行简单的推理.教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比.教学方法：以学生活动为主，自主探究、合作交流，教师启发引导式教学教学重难点突破策略：学生在学习本节内容时主要有以下两个困难：1.用类比进行推理，作出猜想.这部分中大多数问题是给出具有类似特征的两类对象，由学生根据一类事物的已知特征推测另一类对象也具有这些特征.要弄清楚怎样类比首先应该会明确指出这两类对象具有哪些类似特征.所以在教学过程中对学生举到的类比推理的例子和教师给出的小练习，都应注重从两个方面先分析：（1）问题中两类对象分别是什么；（2）他们有哪些类似特征.通过寻找两类对象的相似性，将两类不同的对象联系起来，从这种相似性出发，从概念、结构、维度、方法等角度出发，由一类对象的已知特征推测另一类也具有这样的特征.本节课主要以平面几何与立体几何的类比为载体，因此也特别注意从它们研究的对象出发，建立平面内点、直线、平面图形与空间元素的对应关系.2.确定合适的类比对象进行类比推理时，合理的确定类比对象是非常重要的，否则会使类比成为“乱比”.这部分内容对学生要求较高，本节课通过对正方形、长方形等平面图形的特征，尤其是图形蕴含的位置关系和数量关系的分析，使学生初步感受和体会寻找类比对象的方法.教学过程：（一）创设问题情境问题1：大家知道锯子是谁发明的吗？是怎么发明的？学生活动：春秋时期的公输班也就是鲁班发明的，是他受到路边的齿形草能割破行人退的启发。
《类比推理》优质课说课教学设计
《类比推理》教学设计高中新课标，北师大数学选修2-2第一章第一节一、教材分析：1. 教材的地位与作用在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方向，类比推理是合情推理的重要组成部分，介于归纳推理与演绎推理之间，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，是“大胆猜想小心求证”的第一步，有利于创新意识的培养，在实际生活中用途很大，况且，高考命题的方向是以能力考察为主线，通过减少计算量，增加阅读量和思维量，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，类比推理就显得格外的举足轻重了.2. 学生情况分析（1）学习经验：学生才学习过归纳推理的概念，但是认识较为模糊，尚未在头脑中形成一个完整的归纳与类比的体系（2）生活经验：对于本节课开篇引例比较熟悉，易于接受（3）学习能力：由于类比推理涉及章节广泛，学生数学基础参差不齐，所以讲解定义，配置例题以及习题都需要由浅入深，合理设置梯度，符合学生的认知水平和接受能力.所以，借助信息化手段，选择合理的切入点，可以激发学生的学习兴趣，调动学生的学习志愿，促进学生参与体验３、教学目标（1）知识与技能目标：课标要求：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流本节课要求：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的解决中去（2）核心素养能力目标：主要对应六大素养之逻辑推理课标要求：通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力本节课要求：通过本节课的学习，理解类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
教学设计4：2.1.1 合情推理
《合情推理》教学设计●三维目标1．知识与技能(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．2．过程与方法让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．3．情感、态度与价值观通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．●重点难点重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．难点：归纳推理、类比推理的应用．通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．教学思路1．关于归纳推理的教学教学时要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．2．关于类比推理的教学类比推理的难度要大于归纳推理，教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点，学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征．通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法．引导学生总结并掌握常见的类比结论．教学流程创设问题情境，引出问题，猜想数列的项及三角形内角和，引入归纳推理的概念．创设问题情境，引出问题，由三角形的性质，推测空间四面体的性质，从而引出类比推理的概念．创设问题情境，通过归纳推理、类比推理的概念，引出合情推理的概念．引导学生分析例题1，找出图案的个数变化，猜想出排列规律，从而计算出第六个图案的个数．总结方法，完成变式训练．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．讲解例题3，指出解题误区及如何避免，总结合情推理的应用类型解题方法．引导学生分析例题2，指出相对应的类比元素，三边对四面，高对高推测结论，并给出证明，总结类比方法，引导学生完成互动探究．自主学习一归纳推理【问题导思】1．数列{a n}中，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝.你能猜出a5的值吗？【提示】a5＝.2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.二类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．三合情推理【问题导思】1．归纳推理与类比推理有没有共同点？【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．2．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？【提示】不一定正确．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．四典例分析例1有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图2－1－1A．26B．31C．32 D．36【思路探究】本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．【自主解答】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.【答案】B1．解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律．2．对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解．变式练习观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，………照此规律，第五个．．．不等式为________．【解析】观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.【答案】1＋＋＋＋＋<例2如图2－1－2所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为p a，p b，p c，可以得到结论＋＋＝1.图2－1－2证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．【思路探究】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．【自主解答】＝＝，同理，＝，＝.∵S△PBC＋S△P AC＋S△P AB＝S△ABC，∴＋＋＝＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论＋＋＋＝1.证明如下：＝＝，同理，＝，＝，＝.∵V P－BCD＋V P－ACD＋V P－ABD＋V P－ABC＝V A－BCD，∴＋＋＋＝＝1.五课时练习1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比如下：在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由a＝b·cos C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面P AB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.3在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列{b n}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n}中，若S n 是{a n}的前n项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．【思路探究】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．【自主解答】(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝10d＋10d＋…＋10＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.(2)对于∀k∈N*，都有数列S2k－S k，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.。
江苏省沭阳高级中学学案 2-2 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理-------类比推理学生版
省沭中高二年级数学学案02 主备仲飞审校审批班级学号姓名同伴评价老师评价我们的责任：修炼自我，精工学业，同伴互助，追求卓越。
老师寄语：课前预习不可少，自主质疑效果好；课上跟着目标跑，合作探究是法宝；知识网络要织巧，理论清晰又明了；达标训练讲效率，拓展提升很重要；格式合理讲效率，要点全面话要巧。
高效课堂要旨：设疑性引导，高效率自学；生活化导入，总揽式介绍；互动式探究，理论性归纳；针对性达标，网络化小结；拓展式提升，开放性思考。
教学设计9：2.1.1 合情推理（二）
2.1.1 合情推理（二）教学目标1．知识与技能目标通过对已学知识的回顾，进一步理解推理这种基本的分析问题的方法，了解类比推理的含义，掌握类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去．2．过程与方法目标类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质；通过教学使学生认识到，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越密切，从而类比得出的结论就越可靠．3．情感、态度与价值观(1)正确认识合情推理在数学中的重要作用，培养学生养成认真观察事物，发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题、分析问题、解决问题．(2)认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学、完善数学的意识．重点难点重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理，提出猜想．教学过程引入新课我们先看几个推理的实例：1．工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿，发明了锯．2．人类仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理，发明了潜水艇．3．利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理．提出问题1：这些推理是归纳推理吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：学生根据上节所学归纳推理的定义，很快就可以得出答案．活动结果：以上推理不是归纳推理．提出问题2：这三个推理过程有何共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后再分小组讨论．学情预测：以实例1为例，学生的思路有可能是这样的：草叶是齿形的；草叶能割破手；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的．这是学生应该能想到的，但对这种思维方式共同点的总结存在一定的难度．活动结果：将两类不同事物进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，以此创造和谐积极的学习氛围．探究新知我们再看几个类似的推理实例．例1 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．例2 根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a＝b⇒a＋c＝b＋c; (1)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(2)a＝b⇒ac＝bc; (2)a＞b⇒ac>bc；(3)a＝b⇒a2＝b2等等. (3)a＞b⇒a2＞b2等等．提出问题：这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论，教师适当加以指导．活动结果：共同特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．设计意图从大量的实例出发，让学生充分体会类比推理的含义和类比推理的构成，使类比推理概念的形成自然、生动，训练和培养学生的抽象概括和表达能力．理解新知教师举例：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论．教师适时介入全班引导，提醒学生注意类比的对象是什么？平面内直角三角形的性质是什么？反映的是哪些几何量之间的关系？给出空间四面体性质应从哪些方面进行类比？学情预测：学生的回答可能很杂，甚至于偏离主题，教师应及时地加以引导．活动结果：猜想：S2＝S21＋S22＋S23.类比推理的几个特点：1．类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以已有的旧的认识为基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；3．类比的结果是猜测，不一定可靠，但它却有发现的功能．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对类比推理的理解程度，使学生加深对关键词、重点词的理解，掌握类比推理的特点，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固类比推理的定义．运用新知例1 计算机中常用的十六进位制是逢16进1的计算制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如用16进位制表示E＋D＝1B，则A×B等于()A．6E B．72C．5F D．0B思路分析：类比十六进位制是逢16进1的规律，找到本题所规定的进位制的规律．【解析】因为用16进位制表示E＋D＝1B，所以A×B＝6E，应选A.【答案】A点评：类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想，即证明结论．例2试将平面上圆的性质与空间中球的性质进行类比．思路分析：从已掌握的平面上圆的基本性质出发，逐步类比推测出空间中球的性质，圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆球弦←→ 截面圆直径←→ 大圆周长←→ 表面积面积←→ 体积解：点评：通过例题让学生进一步熟悉进行类比推理的一般过程，同时体会类比推理的特点和作用．虽然猜想的正确性还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一个方向．设计意图选择开放性命题加以练习，让全班同学做．在学生学习类比推理方法和步骤的同时，完成对类比推理的再认识．教师：我们上节所学的归纳推理和本节所学的类比推理，就其所进行的推理过程可以概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想可见，上节所学的归纳推理和本节所学的类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．提出问题：合情推理所得的结论有时是正确的，有时是错误的，那么我们为什么还要进行合情推理呢？活动设计：学生先独立思考，然后进行讨论．活动成果：合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子：例3 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片(小在上，大在下)．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？思路分析：我们分别从1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数．解：当n＝1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号(13)表示，共移动了1次．当n＝2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：(1)把第1个金属片从1号针移到2号针；(2)把第2个金属片从1号针移到3号针；(3)把第1个金属片从2号针移到3号针；用符号表示为(12)(13)(23)，共移动了3次．当n＝3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n＝2的情形，移动的顺序是：(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；(2)把第3个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面两个金属片从2号针移到3号针．其中(1)和(3)都需要借助中间针．用符号表示为(13)(12)(32)；(13)；(21)(23)(13)，共移动了7次．当n＝4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；(2)把第4个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面3个金属片从2号针移到3号针．用符号表示为(12)(13)(23)(12)(31)(32)(12)；(13)；(23)(21)(31)(23)(12)(13)(23)，共移动了15次．至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构成的数列为1,3,7,15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1.由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n 次，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N )．①点评：通过研究上述n ＝1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：(1)把上面(n －1)个金属片从1号针移到2号针； (2)把第n 个金属片从1号针移到3号针； (3)把上面(n －1)个金属片从2号针移到3号针．这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动(n －1)个金属片和移动一次第n 个金属片的任务．而移动(n －1)个金属片需要移动两次(n －2)个金属片和移动一次第(n －1)个金属片，移动(n －2)个金属片需要移动两次(n －3)个金属片和移动一次第(n －2)个金属片……如此继续下去，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ∈N )，且n >1.从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠． 变练演编前面我们类比平面内直角三角形的勾股定理，给出了对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．得到猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23.变式1：平面内的一般三角形的性质与空间中的四面体的性质类比：三角形四面体 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半 在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，则AB AC ＝BD DC在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C(正弦定理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则(1)r ＝2Sa ＋b ＋c；(2)R ≥2r变式2：平面内三角形的性质与空间中的三棱柱的性质类比：活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结果一一列举，并让学生之间互相判断合理性．活动结果：变式1：平面内的一般三角形的性质与空间中的四面体的性质类比：变式2：平面内三角形的性质与空间中的三棱柱的性质类比：设计意图通过变练演编，使学生对类比推理的方法和步骤的掌握更加牢固，同时培养学生善于发现问题，探求新知识、发现事物之间的质的联系的良好品质．课堂小结1．知识收获：了解类比推理和合情推理的含义； 2．方法收获：利用类比进行简单推理的方法和步骤；3．思维收获：合情推理是进行猜测发现结论，探索和提供思路的常用思维方法．布置作业1．课本习题2.1 A 组 第5题．2．实习作业：登陆网站，选择两例用类比推理得到的猜想并探究其来源．补充练习基础练习1．下列哪个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 2．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ×3＝b ×3，则a ＝b ”类比推出“若a ×0＝b ×0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系：________.4．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“－”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a ∈A ，都有a －a ； (2)对称性：对于a ，b ∈A ，若a －b ，则有b －a ； (3)传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a －b ，b －c ，则有a －c .则称“－”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：__________.5．若图(1)有面积关系S′△ΡΑ′Β′S′△ΡΑΒ＝ΡΑ′·ΡΒ′ΡΑ·ΡΒ，则图(2)有体积关系V P—A′B′C′V P—ABC＝__________.【答案】 1.C 2.C3.b 4＋b 8>b 5＋b 74.集合相等；充要条件；非零向量共线5.P A′·PB′·PC′P A·PB·PC拓展练习6．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立． (1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线平行．解：(1)一个平面若和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立；(2)若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面平行，此结论不成立．设计说明【设计思想】 从已学知识入手，以学生熟知的生活实例和数学实例为载体，引导他们概括、提炼类比推理的含义和类比推理的方法．【设计意图】 给学生创建一个开放、有活力、有个性的数学学习环境，感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律，同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事．【设计特点】自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，通过创造和谐积极的学习气氛，让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应用类比推理的过程.。
教学设计7：2.1.1合情推理
2.1.1合情推理教学目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识链接1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．教学导入1．归纳推理和类比推理(1)归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，归纳是从特殊到一般的过程．(2)类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．合情推理(1)定义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想教学案例要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 11 14 11 5 (5)…………记第n (n ＞1)行的第2个数为a n (n ≥2，n ∈N ＋)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________； (2)依次写出a 2、a 3、a 4、a 5； (3)归纳出a n ＋1与a n 的关系式．解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6 16 25 25 16 6 (2)a 2＝2，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝11. (3)∵a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，a 5＝a 4＋4， 由此归纳：a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2，n ∈N ＋)．规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N ＋，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N ＋. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N ＋)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N ＋，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形四面体跟踪演练2 已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．【答案】2x －y －2＝0【解析】将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：解球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.当堂检测1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 【答案】B【解析】根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】A【解析】由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 【答案】n 2－n ＋62【解析】前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 【答案】1 000【解析】由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.。
2.1.1合情推理(第2课时)类比推理 学案(含答案)
2.1.1合情推理（第2课时）类比推理学案（含答案）第2课时类比推理学习目标1.了解类比推理的含义.特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征1火星也是绕太阳公转.绕轴自转的行星；2有大气层，在一年中也有季节更替；3火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等由此，科学家猜想火星上也可能有生命存在他们使用了什么样的推理答案类比推理梳理1类比推理的定义根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法2类比推理的思维过程大致如图3特征由特殊到特殊的推理知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系答案区别归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗答案不一定正确梳理1合情推理的含义合情推理是根据已有的事实.正确的结论.实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2合情推理的过程1由合情推理得出的结论一定是正确的2合情推理必须有前提有结论3类比推理不能猜想类型一数列中的类比推理例1设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列答案解析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列下面证明该结论的正确性设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq127bq28，T12bq1211bq66，T16bq1215bq120，bq22，bq38，bq54，即2T4，2，故T4，，，成等比数列反思与感悟已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论其中d，q分别是公差和公比，m，n，p，rN*等差数列等比数列定义anan1dn2anan1qn2通项公式ana1n1dana1qn1性质若mnpr，则amanapar若mnpr，则amanapar跟踪训练1若数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列；类比上述性质，相应地若数列cnnN*是等比数列，且cn0，则有数列dn______________nN*也是等比数列答案解析数列annN*是等差数列，则有数列bnnN*也是等差数列类比猜想若数列cnnN*是各项均为正数的等比数列，则当dnnN*时，数列dn也是等比数列类型二几何中的类比推理例2如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想解如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立反思与感悟1类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目.位置关系.度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论2中学阶段常见的类比知识点等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，，cos2cos21，则在立体几何中，给出类比猜想解在长方形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，，，则cos2cos2cos21.类型三合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢1类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；2探索等和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；3在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.解1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列2由1知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等3当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S2k2a2k1abaabaab；当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kkabab所以它的前n项和Sn反思与感悟定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性跟踪训练3定义“等积数列”在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为6，求这个数列的前n项和Sn.解由定义，得an前n项和Sn1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则“mnnm”类比得到“abba”；“mntmtnt”类比得到“abcacbc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，acbcab”；“|mn||m||n|”类比得到“|ab||a||b|”以上类比得到的正确结论的序号是________答案2下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________填序号三角形；梯形；平行四边形；矩形答案解析因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行3在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________答案18解析设两个正四面体的体积分别为V1，V2，则V1V2S1h1S2h2S1h1S2h218.4已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则类似结论为________________答案a1a2a929解析等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1a2a929.5三角形的面积为Sabcr，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________答案S1S2S3S4rS1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径解析ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c.类比设四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以VS1S2S3S4r.1在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2提高所得结论的准确性的常用技巧1类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些2这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性3这些共同相似属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.。
2.1.1类比推理
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3、进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的 特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
4、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
圆
三角形 四边形
球
四面体（各面均为三角形） 六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象 数 向量 方程 函数 不等式 交集，并集，补集 或，且，非运算
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完成下面猜想并指出下列哪些是归纳推理：
1.铜、铁、铝、银都能导电。 猜想：一切金属都能导电 2、服装涨价了、食用油、文具价格都涨价了。 猜想：物价上涨了 3、三角形内角和180º ，四边形内角和180º x2，五边形内 角和180º x3。 猜想：n边形内角和180º x（n-2） 4.地球上存在生命，火星表面某些环境与地球相似 猜想：火星上也有生命 5.氢氧化钠与盐酸进行中和反应，碳酸钠与氢氧化钠一样 是碱性的。 猜想：碳酸钠也可以与盐酸进行中和反应 其中1、2、3为归纳推理 4,5为类比推理
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类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
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小结
归纳推理 由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理 由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
高中数学教案选修2-2《2.1.1 合情推理(2)》
教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤． 3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理． 教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、 复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有 ．3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5．222233＋＝，333388＋＝，44441515＋＝，…，66a a b b＋＝（a ，b均为实数），请推测a ＝ b ＝ ．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：实验，观察概括，推广猜测一般性结论四、数学运用例1 （G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．解在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋）乘（×）加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆截面圆弦大圆直径周长表面积圆面积球体积五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx nya m n＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。
教学设计3：2.1.1合情推理
《合情推理》教学设计●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
●教学过程：学生探究过程：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？A对象具有属性a、b、c、d；B对象具有属性a、b、c；所以，B对象具有属性d。
为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。
数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=b⇒a+c=b+c; (1)a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b ⇒ ac=bc; (2) a ＞b ⇒ ac ＞bc;(3) a =b ⇒a 2=b 2;等等。
(3) a ＞b ⇒a 2＞b 2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。
等差数列 等比数列a n -a n -1=d(n ≥2,n ∈N) ),2(1N n n q a a n n ∈≥=-a n =a 1+(n -1)d a n =a 1⋅q n -1a n = (n ≥2,n ∈N) a n 2= (n ≥2,n ∈N)设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？ 设问2：如何分析表达式结构特征？设问3：类比对象是什么？三角形与三棱柱。
教学设计5：2.1.1合情推理
2.1.1 合情推理【教学目标】：1、结合已经学过的教学实例和生活实例，了解推理的含义；2、了解归纳推理的含义，并能用归纳的方法进行简单的推理【教学过程】一、案例引入：在日常生活中，我们常常遇到这样一些问题：1、看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，你能得出什么判断？2、张三今天没来上学，我们会有什么判断？3、八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯；4、朝霞不出门，晚霞行千里；5、瑞雪兆丰年。
问：这些实例具有什么样的共同特征？二、新授：I、推理：（1）定义：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理（2）结构：推理的前提：所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；推理的结论：根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么（3）一般形式：注：推理也可看作是用连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接常用的连接有：“因为…所以…”、“如果…那么…”、“根据…可知…”等等形式（4）分类：推理一般可分为“合情推理”和“演绎推理”两种类型。
问题引入：分析下列几个推理，寻找它们的共同特征：2．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180°.3.已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.2．以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．II、归纳推理：（1）定义：上述几个例子均是从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理（2）特点：1、归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；2、归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，结论是尚属未知的一般现象；3、归纳推理具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；4、归纳推理是一种具有创造性的推理。
辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学 2.1.1合情推理(类比推理)教学案 理 新人教B版选修22
2.1.1合情推理（类比推理）【教学目标】理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法；通过本节的学习，掌握归纳法和类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性；体会数学在现实生活中的应用.【教学重点】类比推理的概念【教学难点】利用类比推理进行简单的推理一、课前预习：（阅读教材57页，完成知识点填空）1.类比推理：根据________事物之间具有某些(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物_________(或________)的性质的推理,叫做类比推理(简称类比).2.类比推理的一般步骤：1. ；2. .二、课上学习：1.类比椭圆的一些性质推测双曲线的相关性质：2.类比等差数列的性质推测等比数列的相关性质：三、课后练习： 1.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -,812S S -,1216S S -成等差数列。
类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,则4T ，____，____，1216T T 成等比数列2.在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+.”拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥BCD A -的三个侧面ADB ACD ABC ,,两两互相垂直，则______.”3．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥u u u r u u u r时,其离心率为12,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于 （ ）A.12+B.12114. 设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则c b a Sr ++=2；类比这个结论可知：四面体ABC S -的四个面的面积分别为4321S S S S 、、、，内切球的半径为r ，四面体的体积为V ，则r = ( )A.4321S S S S V+++ B.43212S S S S V+++C.43213S S S S V+++ D. 43214S S S S V+++。
2.1.1类比推理（公开课教学设计）
、《火星宝贝》等。
由于《阿凡达》、《长江七号》、《火星宝贝》票房收入都不错，故推测以外星生命为题材的科幻片票房收入都不错。
这样的推理是什么推理？（归纳推理）情境2、真的存在外星生命吗？科学家做了下面的研究：问：这是归纳推理吗？它是一种类比推理。
（板书课题）（二）新课探究问题（一）什么是类比推理？问1：你能说说科学家的推理思路吗？（学生回答，老师总结,见图）师：运用这种推理方法的例子还有很多，比如：（1）鲁班发明锯子（2）奥地利医生奥恩布鲁格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声音推测桶内的酒还剩多少。
联想到胸腔和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊法——通过叩击人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多少；问2：你能说出鲁班发明锯子的思路吗？（学生回答，老师总结,见图）（从这个问题开始探讨如何运用类比推理，由一类事物的性质得到另一类事物的性质）师：所猜想的结论可能真，可能假，所以类比推理也是一种合情推理。
问4：如果我们想得到球的一些性质，你会想到用类比的思维方式吗？（学生能够想到将球与圆进行类比，利用PPT 给出了圆的一些性质，由学生推测出相对应的球的性质）圆的性质：①同圆或等圆的半径相等，直径是半径的两倍.②与弦垂直的直径过弦的中点.③连结圆心和弦（非直径）中点的直线垂直于弦.④圆半径的平方=圆心到弦的距离平方+弦长一半的平方.⑤不过圆心的弦小于直径，经过圆心的弦是直径，且直径是最大的弦.问5：实数运算中加法和乘法是一对非常典型的可类比对象，请大家类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若则,,a b R ∈a b R +∈若则,,a b R ∈ab R ∈运算律()()a b b a a b c a b c +=+++=++()()ab ba ab c a bc ==逆运算加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解0a x +=x a =-乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解1ax =1x a =单位元0a a +=11a ⋅=问6：通过上节课的学习我们体会到了归纳推理在数列中的应用，那么数列中有可进行类比的对象吗？问7：等差数列与等比数列可以进行类比，请将等差数列与等比数列的一些常用结论进行对比。
类比推理教案
“类比推理”教案泰兴市第三高级中学杨翠“类比推理”是苏教版选修2—2的第二章第一节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.一、重难点分析重点:了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.难点：用类比进行推理，做出猜想.二、目标定位1、知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去.2、过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.3、情感态度与价值观：（1）正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识.（2）认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善正确的数学意识.三、教法学法针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们结合实际、大胆联想，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程，让学生亲历逻辑推理的发现之旅.课时安排：1课时.四、教学设想1、创设情境、引Array出课题——鲁班发明锯子4、讨论探究、例Array题演练——两类常见应用1、教学内容:类比推理作为合情推理的第二课时，必须把学生的认知力引导到类比上来，让学生理解并区分两类合情推理.故事形式开讲————激发学习兴趣生活实例讨论————学生全情投入例题演练巩固————延续求知热情课堂小结反思————分享自身成长2、教学理念：始终贯彻以学生为中心的教育理念.关注学生的认知过程，重视学生的自由发挥，随时发现、肯定学生的闪光点，让学生及时享受成功的愉悦.同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，给予适时点拨.在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学生.3、教学预想：“类比推理”概念枯燥抽象，学生似懂非懂，道理似易实难.题目浅深度难以把握，而且对具体题目的处理，没有确信的统一方法.思辨之美，难以体会.笔者根据新课程标准的要求，更多的专注于推理的形式，引用多个实例，带领学生亲历思维过程即推理过程，真正理解推理概念.同时，笔者也希望通过这节课的教学，能让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值.当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理；科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在其他方面的广泛应用.。
类比推理(公开课教学设计)
类比推理（公开课教学设计）一、教学目标1.理解类比推理的概念及其应用；2.提高学生的类比思维能力；3.培养学生运用类比推理法解决问题的能力；4.增强学生自主学习、逻辑思考和表达能力。
二、教学内容1.类比推理的概念和相关知识；2.类比推理在各个领域中的应用实例；3.类比推理在社会生活中的应用；4.类比推理的案例分析。
三、教学方法1.课前提问：通过提出一些日常生活中的问题，引导学生进行对话并激发学生的思考；2.案例讲解：选择具体实例，通过讲解来巩固学生对类比推理的理解；3.举例演示：老师给出一个类比推理的问题，让同学们以小组方式合作解答；4.批判性思维：通过提出不同观点，引导学生探讨类比推理的局限和可能存在的误区。
四、教学步骤1.导入（5分钟）：老师用一些日常生活中的问题来引入课题，例如“太阳是地球的永恒光源，那为什么太阳辉光不会耗尽呢？”这可以帮助学生进入课堂氛围并激发思考。
2.理论讲解（20分钟）：老师简要地讲解类比推理的概念和基本内容。
重点说明类比推理在实际应用中的特点、优势和限制，并结合一些案例进行讲解，让学生了解到类比推理的情景应用和作用。
3.案例分析（30分钟）：老师选取具体的案例，如“燃气灶与电饭煲”的工作原理的类比推理案例，对其进行详细的讲解和分析，以此强化学生的理解和记忆，同时指导学生如何将类比推理应用于实际问题的解决。
4.小组讨论（20分钟）：老师提出一个类比推理的问题，让学生小组合作进行解答。
鼓励学生多思考、多表达，促进学生之间的交流和互动。
5.总结（10分钟）：通过回顾课上的主要内容，让学生总结类比推理的特点和方法，同时也引导学生认识到类比推理的局限性和难点，加深学生对该知识点的理解和记忆。
五、教学评价1.课前提问：学生能够积极回答问题，表现出思考问题的态度；2.案例讲解：学生能够听取老师的讲解并理解案例的运用；3.举例演示：学生能够合作解答问题，并通过类比推理法得到正确答案；4.批判性思维：学生能够主动提出问题，并与同学之间进行思想交流和辩论。
类比推理教学设计
类比推理教学设计教学设计：例子解析课程名称：类比推理目标：通过课程的学习，学生能够提高他们的类比推理能力，以解决问题并发展创造性思维。
年级：八年级时间：5个课时前导知识：学生需要掌握基本的逻辑思维和解决问题的能力。
教学目标和关键内容：1.了解类比推理的定义和应用领域。
2.学会使用类比推理方法解决问题。
3.掌握类比推理中的常见错误，并能够避免这些错误。
4.发展创造性思维和问题解决能力。
教学步骤：第一课时：导入和定义1.导入：通过一个生活中的例子引入类比推理的概念，比如比较两种不同的动物，让学生观察它们的类似之处。
2.定义：向学生解释类比推理的定义和用途，以及类比推理的基本原则和步骤。
第二课时：类比推理的方法和实例1.回顾类比推理的基本原则和步骤。
2.向学生介绍类比推理的常见方法，如分类类比、属性类比和关系类比，并给出实际例子。
3.引导学生分组进行小组讨论并分享解决问题的过程和思路。
第三课时：类比推理中的错误和避免方法1.向学生介绍类比推理中常见的错误，如表面相似性错觉、无效比较和错误的类比关系。
2.分析并讨论一些错误的例子，并引导学生提出改正的方法和思考问题的角度。
第四课时：创造性思维和问题解决1.引导学生展示并分析一些创造性思维的例子，如逆向思维和扭曲思维。
2.提出一个复杂的问题，并引导学生运用类比推理和创造性思维来解决问题。
3.学生在小组中进行讨论和分享他们的思路和解决方案。
第五课时：总结和评价1.回顾类比推理的定义、方法和常见错误。
2.学生进行个人总结，并写下自己在这个课程中的收获。
3.进行课程评价，收集学生的反馈意见并作为改进的参考。
教学方法：1.启发式引导法：通过给学生一些生活中的例子来引发他们对类比推理的兴趣和认识。
2.小组讨论：让学生在小组中进行问题解决的过程，通过相互交流和分享得出结论。
3.认知教学法：通过提供具体的实例和案例，引导学生自主思考并形成自己的认知。
4.创造性解决问题：通过引导学生运用类比推理和创造性思维来解决复杂的问题，培养他们的创造力和问题解决能力。
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、《火星宝贝》等。
由于《阿凡达》、《长江七号》、《火星宝贝》票房收入都不错，故推测以外星生命为题材的科幻片票房收入都不错。
这样的推理是什么推理？（归纳推理）
情境2、真的存在外星生命吗？科学家做了下面的研究：
问：这是归纳推理吗？它是一种类比推理。
（板书课题）
（二）新课探究
问题（一）什么是类比推理？
问1：你能说说科学家的推理思路吗？（学生回答，老师总结,见图）
师：运用这种推理方法的例子还有很多，比如：
（1）鲁班发明锯子
（2）奥地利医生奥恩布鲁格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据声音推测桶内的酒还剩多少。
联想到胸腔和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊法——通过叩击人体胸腔的方法判断其中有无积水或积水的多少；
问2：你能说出鲁班发明锯子的思路吗？（学生回答，老师总结,见图）
（从这个问题开始探讨如何运用类比推理，由一类事物的性质得到另一类事物的性质）
师：所猜想的结论可能真，可能假，所以类比推理也是一种合情推理。
问4：如果我们想得到球的一些性质，你会想到用类比的思维方式吗？（学生能够想到将球与圆进行类比，利用PPT 给出了圆的一些性质，由学生推测出相对应的球的性质）圆的性质：①同圆或等圆的半径相等，直径是半径的两倍.②与弦垂直的直径过弦的中点.③连结圆心和弦（非直径）中点的直线垂直于弦.④圆半径的平方=圆心到弦的距离平方+弦长一半的平方.⑤不过圆心的弦小于直径，经过圆心的弦是直径，且直径是最大的弦.问5：实数运算中加法和乘法是一对非常典型的可类比对象，请大家类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若则,,a b R ∈a b R +∈若则,,a b R ∈ab R ∈运算律()()a b b a a b c a b c +=+++=++()()ab ba ab c a bc ==逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解0a x +=x a =-乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解1ax =1x a =单位元0a a +=11a ⋅=问6：通过上节课的学习我们体会到了归纳推理在数列中的应用，那么数列中有可进行类比的对象吗？问7：等差数列与等比数列可以进行类比，请将等差数列与等比数列的一些常用结论进
行对比。
（这是数学中典型的可类比的两个事物。
从学生较熟悉的知识出发，加深学生对类比的认识。
学生基本说出了等差数列和等比数列的常用结论，这个问题中让学生将常用结论进行对比，而不是类比。
因为，毕竟学生已经学习了这两种数列的性质，不适宜再假装猜测。
通过对性质的对比，可知等差数列和等比数列是非常适合类比的两个对象，而其实质在于加法和乘法是可类比的，因为它们有着相似的运算规律）问8：类比等差数列、等比数列定义是否可以定义等和数列或等积数列？
直角三角形3个面两两垂直的四面体。